Динамика изменения национального дохода во времени в макроэкономической модели воспроизводства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика изменения национального дохода во времени в макроэкономической модели воспроизводства

В простых макроэкономических моделях воспроизводства национальных доход как функция от времени принято брать в качестве основной величины, характеризующей динамику экономического процесса. Обыкновенное дифференциальное уравнение, которое описывает динамику изменения , можно получить из следующего простого закона баланса производства и потребления [1-2; 6].

(1)

где: накопление в момент времени потребление (мультипликатор) в момент времени Учитывая, что функции и связаны соотношением

(2)

где: капиталоемкость национального дохода (отношение нормы производственных накоплений к темпу прироста национального дохода) или акселератор и подставляя (2) в (1), получим следующее линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции

(3)

Пусть функция потребления зависит от времени по закону гиперболического косинуса (в работах [3-5] рассмотрены другие законы зависимости от времени).

(4)

где: постоянная норма производственного накопления, темп прироста потребления. Подставляя (4) в (3), получим

(5)

Как известно, общее решение уравнения (5) имеет вид [7]

(6)

где: общее решение соответствующего однородного уравнения

(7)

а одно частное решение неоднородного уравнения (5). Решение уравнение (7) с разделяющимися переменными имеет вид

(8)

где: положительную произвольную постоянную можно определить из начального условия Коши

(9)

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального (5) воспользуемся методом вариации постоянной, то есть его будем искать в виде

(10)

где: пока неизвестная функция. Подстановка (10) в (5) приводит к следующему дифференциальному уравнению первого порядка относительно

(11)

Решая (11) и полученное выражение для подставляя в (10), получим

(12)

Теперь из (7) с учетом (9) и (12) получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5) в виде

(13)

Заметим, что решение (13) теряет смысл при (темп прироста потребления равен технологическому темпу прироста национального дохода). Отметим, что в данном случае, как следует из (11), функция будет удовлетворять уравнению

(14)

решение которого выражается формулой

(15)

Подставляя (15) в (10) и учитывая (9), получим

(16)

Как видно из (13) и (16), в случае, когда функция потребления меняется по закону гиперболического косинуса, решение дифференциального уравнения относительно функции является неустойчивым, так как при

В заключение отметим, что, основываясь на полученные в работе результаты, можно решить аналогичную задачу с учетом инвестиционного временного лага и выяснить характер его влияния на динамику национального дохода.

Список литературы

макроэкономический доход потребление

1. Аллен Рой Дж.Д. Математическая экономия. Перевод с английского. - М.: Иностранная литература, 1963. - 667 с.

2. Геворкян Э.А. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, - М.: МЭСИ, 2012. - 79 с.

3. Геворкян Э.А., Макаров Д.П., Питерсен Д.С. Зависимость валового внутреннего продукта от времени в макроэкономической модели Калецкого с учетом инвестиционного временного лага // Научно-практический журнал «Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО». - 2014. - №2. - С. 58-60.

4. Геворкян Э.А., Мартиросян А.Э. Макроэкономическая модель Калецкого с учетом инвестиционного временного лага // Научно-практический журнал «Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО». - 2015. - №4. - С. 13-15.

5. Геворкян Э.А., Трофимов М.В., Шукенбаева А.А. Динамика изменения валового внутреннего продукта в макроэкономической модели воспроизводства с учетом временного лага // Научно-практический журнал «Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО». - 2012. - №2. - С. 109-112.

6. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства, 1985. - 240 с.

7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. - М.: ЛКИ, 2008. - 320 с.

Размещено на Allbest.ru