Оценка статистической надёжности результата регрессионного моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Постановка задачи

2. Построение поля корреляции и формулировка гипотезы о форме связи

3. Расчет параметров уравнений парной регрессии

4. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации

5. Сравнительная оценка силы связи фактора с результатом

6. Оценка качества уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации

7. Оценка статистической надёжности результата регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера

8. Расчет прогнозного значения результата

9. Оцените полученные результаты, выводы



Задача

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за Ноябрь 1997 г.

Таблица 1

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., y	Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., x
Уральский
Респ. Башкортостан	461	632
Удмуртская Респ.	524	738
Курганская обл.	298	515
Оренбургская обл.	351	640
Пермская обл.	624	942
Свердловская обл.	584	888
Челябинская обл.	425	704
Западно-Сибирский
Респ. Алтай	277	603
Алтайский край	321	439
Кемеровская обл.	573	985
Новосибирская обл.	576	735
Омская обл.	588	760
Томская обл.	497	830
Тюменская обл.	863	2093

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 8% от его среднего уровня значимости .

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи

Гипотеза о форме связи: Визуальный анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой воображаемой линии, но не очень плотно, рассеиваясь около неё. Можно предположить, что связь между денежными доходами на душу населения и потребительскими расходами на душу населения обратная, не очень тесная.

Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем ,что связь между признаками х и у может быть нелинейного вида.

Расчет параметров уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии

А) Рассчитаем параметры уравнений линейной парной регрессии. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y = a + bx , решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным рассчитываем:

В таблице 2 рассчитаем средние величины значений х и у.



Таблица 2

№	y	x	x*y	x^2	y^2	A	y'
1	461	632	291352	399424	212521	0,062193	432,32915
2	524	738	386712	544644	274576	0,105682	468,62265
3	298	515	153470	265225	88804	-0,31634	392,26933
4	351	640	224640	409600	123201	-0,23951	435,06828
5	624	942	587808	887364	389376	0,137066	538,47053
6	584	888	518592	788544	341056	0,109621	519,98138
7	425	704	299200	495616	180625	-0,07525	456,98134
8	277	603	167031	363609	76729	-0,52491	422,39979
9	321	439	140919	192721	103041	-0,14096	366,24758
10	573	985	564405	970225	328329	0,034567	553,19336
11	576	735	423360	540225	331776	0,188202	467,59548
12	588	760	446880	577600	345744	0,190212	476,15526
13	497	830	412510	688900	247009	-0,00628	500,12267
14	863	2093	1806259	4380649	744769	-0,08061	932,5632
Cумма	6962	11504	6423138	11504346	3787556	-0,55631	6962
Среднее значение	497,28571	821,714	458795,5714	821739	270539,714	-0,03974	497,28571

Для расчета параметров a и b линейной регрессии y = a + bx используем формулы:

Следовательно, линейное уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:

Б) Рассчитаем параметры уравнений степенной парной регрессии. Уравнение степенной регрессии имеет вид:

Параметры a и b находятся также как и при линейной зависимости, но для уравнения

1. Определим параметры а* и b линейной регрессионной модели



Уравнение регрессии имеет вид:

Для того чтобы представить зависимость в виде степенной, необходимо найти a:

Таблица 3

В результате степенная зависимость имеет вид:

В) Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии. Построению экспоненциальной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:



Таблица 4

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение Y=. Выполнив его потенцирование, получим: а = 283,5;

Г) Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии.

Рассчитаем параметры а и b в регрессии:

у_x =а +blnх.

Линеаризуем данное уравнение, обозначив: Z = lnx

Тогда: y = a + bz. Параметры a и b уравнения = a + bz

определяются методом наименьших квадратов:



Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b:

Таблица 5

№	y	x	z	yz	z^2	y^2	y'	(y-y')^2	Ai
1	461	632	6,448889394	2972,938	41,58817	212521	422,66385	1469,66	0,083159
2	524	738	6,603943825	3460,4666	43,61207	274576	483,84158	1612,7	0,076638
3	298	515	6,244166901	1860,7617	38,98962	88804	341,88928	1926,27	-0,14728
4	351	640	6,461468176	2267,9753	41,75057	123201	427,62689	5871,68	-0,21831
5	624	942	6,848005275	4273,1553	46,89518	389376	580,13759	1923,91	0,070292
6	584	888	6,788971743	3964,7595	46,09014	341056	556,84553	737,365	0,046497
7	425	704	6,556778356	2786,6308	42,99134	180625	465,23214	1618,62	-0,09466
8	277	603	6,401917197	1773,3311	40,98454	76729	404,13067	16162,2	-0,45896
9	321	439	6,084499413	1953,1243	37,02113	103041	278,89144	1773,13	0,131179
10	573	985	6,892641641	3949,4837	47,50851	328329	597,74916	612,521	-0,04319
11	576	735	6,599870499	3801,5254	43,55829	331776	482,23442	8791,98	0,162787
12	588	760	6,633318433	3900,3912	44,00091	345744	495,43152	8568,92	0,157429
13	497	830	6,721425701	3340,5486	45,17756	247009	530,19481	1101,9	-0,06679
14	863	2093	7,646353722	6598,8033	58,46673	744769	895,13111	1032,41	-0,03723
Cумм.	6962	11504	92,93225028	46903,895	618,6348	3787556	6962	53203,3	-0,33844
Ср.зн.	497,286	821,7	6,638017877	3350,2782	44,1882	270539,7	497,28571	3800,23	-0,02417

Уравнение полулогарифмической парной регрессии имеет вид:

Д) Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии.

Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель к линейному виду, заменив

Для расчетов используем данные таблицы 6.

регрессия корреляция детерминация аппроксимация



Таблица 6

№	y	x	xZ	x^2	y^2	y'	(y-y')^2	A	Z
1	461	632	1,370932755	399424	212521	407,7833	2832,0162	0,11544	0,002169
2	524	738	1,408396947	544644	274576	430,9535	8657,647	0,17757	0,001908
3	298	515	1,728187919	265225	88804	384,9393	7558,446	-0,29174	0,003356
4	351	640	1,823361823	409600	123201	409,4447	3415,7862	-0,16651	0,002849
5	624	942	1,509615385	887364	389376	483,8649	19637,849	0,22458	0,001603
6	584	888	1,520547945	788544	341056	468,6343	13309,24	0,19754	0,001712
7	425	704	1,656470588	495616	180625	423,2399	3,0980667	0,00414	0,002353
8	277	603	2,176895307	363609	76729	401,8721	15593,03	-0,4508	0,00361
9	321	439	1,367601246	192721	103041	371,4236	2542,5384	-0,15708	0,003115
10	573	985	1,719022688	970225	328329	496,7198	5818,672	0,13312	0,001745
11	576	735	1,276041667	540225	331776	430,2616	21239,677	0,25302	0,001736
12	588	760	1,292517007	577600	345744	436,0963	23074,727	0,25834	0,001701
13	497	830	1,670020121	688900	247009	453,3086	1908,9369	0,08791	0,002012
14	863	2093	2,425260718	4380649	744769	1574,72	506545,3	-0,8247	0,001159
Cумма	6962	11504	22,94487212	11504346	3787556	7173,262	632136,96	-0,43918	0,031028
Ср. зн.	497,286	821,7	1,638919437	821739	270539,7	512,3759	45152,64	-0,03137	0,002216

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение

Выполнив его потенцирование, получим:

Е) Рассчитаем параметры гиперболического уравнения парной регрессии.

Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы

к линейному виду, заменив , тогда .

Для расчетов используем данные табл. 7:

Таблица 7

№	y	x	X=1/x	x^2	Y^2	y'	xy	(y-y')^2	A
1	461	632	0,001582278	0,0000025036	212521	431,7602	0,7294304	854,967	0,063427
2	524	738	0,001355014	0,0000018361	274576	506,4381	0,7100271	308,419	0,033515
3	298	515	0,001941748	0,0000037704	88804	313,6407	0,5786408	244,632	-0,05249
4	351	640	0,0015625	0,0000024414	123201	438,2593	0,5484375	7614,18	-0,2486
5	624	942	0,001061571	0,0000011269	389376	602,8616	0,6624204	446,832	0,033876
6	584	888	0,001126126	0,0000012682	341056	581,6492	0,6576577	5,52622	0,004025
7	425	704	0,001420455	0,0000020177	180625	484,9346	0,6036932	3592,16	-0,14102
8	277	603	0,001658375	0,0000027502	76729	406,7554	0,4593698	16836,5	-0,46843
9	321	439	0,002277904	0,0000051888	103041	203,1816	0,7312073	13881,2	0,367036
10	573	985	0,001015228	0,0000010307	328329	618,0896	0,5817259	2033,07	-0,07869
11	576	735	0,001360544	0,0000018511	331776	504,6208	0,7836735	5094,99	0,123922
12	588	760	0,001315789	0,0000017313	345744	519,3269	0,7736842	4715,99	0,116791
13	497	830	0,001204819	0,0000014516	247009	555,7911	0,5987952	3456,39	-0,11829
14	863	2093	0,000477783	0,0000002283	744769	794,691	0,4123268	4666,12	0,079153
Cумма	6962	11504	0,019360135	0,0000291962	3787556	6962	8,8310896	63750,9	-0,28578
Ср. зн.	497,286	821,7	0,001382867	0,0000020854	270539,7	497,2857	0,6307921	4553,64	-0,02041

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение

Уравнение гиперболической регрессии примет вид:

Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

A) Линейная регрессия. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции.

Линейная связь положительная, теснота связи (0.7 < r_xy < 0.9) высокая и прямая.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака -x, объясненную вариацией факторного признака - y, равную 73,89%.

Б) Степенная регрессия. Оценим тесноту связи между признаками У и Х с помощью индекса парной корреляции r_yx. Предварительно рассчитаем теоретическое значение для каждого значения фактора x, и , тогда: что говорит о средней умеренной связи, меньше чем в линейной модели. Коэффициент детерминации. Это означает, что 23,49% вариации результативного признака у объясняется вариацией фактора х - среднедушевой денежный доход в месяц.

В) Экспоненциальная регрессия. Получен следующий индекс корреляции: что говорит о том, что связь заметная и сильная. Коэффициент детерминации. Это означает, что 58,64% вариации результативного признака у объясняется вариацией фактора х.

Г) Полулогарифмическая регрессия. Был получен следующий индекс корреляции что говорит о том, что связь прямая и очень сильная. Коэффициент детерминации. Это означает, что 83,65% вариации результативного признака у объясняется вариацией фактора х

Д) Обратная регрессия. Был получен следующий индекс корреляции

Это означает, что 80,4% вариации результативного признака

Е) Гиперболическая регрессия. Был получен следующий индекс корреляции что говорит о том, что связь прямая и очень сильная. Коэффициент детерминации. Это означает, что 80,4% вариации результативного признака у объясняется вариацией фактора х.

Сравнительная оценка силы связи фактора с результатом с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности

А) Рассчитаем коэффициент эластичности для линейной модели:

Для уравнения прямой:

Б) Для уравнения степенной модели

B) Для уравнения экспоненциальной модели

Г) Для уравнения полулогарифмической регрессии

Д) Для уравнения обратной регрессии

Е) Для уравнения равносторонней гиперболической модели

Сравнивая значения , характеризуем оценку силы связи фактора с результатом:

Известно, что коэффициент эластичности показывает связь между фактором и результатом, т.е. на сколько % изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. В данном примере получилось, что самая большая сила связи между фактором и результатом в степенной модели, слабая сила связи в обратной модели.

Оценка качества уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на:

Линейная регрессия. =0,03974*100% = 3,9%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%.

Степенная регрессия. = *100% = 1,34%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%.

Экспоненциальная регрессия. = *100% = 2,1%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%.

Полулогарифмическая регрессия. = *100% = 2,4% что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%.

Гиперболическая регрессия. =*100% = 2% что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%.

Обратная регрессия. = *100% = 3,1% что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%.

Расчет F-критерия:

А) Линейная регрессия. = 33,9626956

где =4,75<

Б) Степенная регрессия. = 3,6859056, где = 4,75>

В) Экспоненциальная регрессия. = 17,0142, где =4,75<

Г) Полулогарифмическая регрессия. = 61,40589,где =4,75<

Д) Гиперболическая регрессия. = 49,26083,где =4,75<

Е) Обратная регрессия. = -5,82185,где =4,75>



Таблица 8

	А	R^2	Fфакт
Линейная модель	3,9	0,7389	33,9627
Степенная модель	1,34	0,23498	3,6859056
Полулогарифмическая модель	2,4	0,8365	61,40589
Экспоненциальная модель	2,1	0,5864	17,0142
Гиперболическая модель	2	0,804	49,26083
Обратная модель	3,1	-0,9423	-5,82185

Для всех регрессий = 4,75, из чего следует, что уравнения регрессии статистически значимы, кроме степенного и обратного уравнений регрессии, для которого = 4,75 - то есть уравнение регрессии статистически не значимое.

Вывод: остается на допустимом уровне для всех уравнений регрессий.

Расчет прогнозного значения результата по линейному уравнению регрессии, если прогнозное значение фактора увеличится на 8% от его среднего уровня. Определение доверительного интервала прогноза для уровня значимости б = 0,05

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения .

где = 821,714*1,08 = 887,451;

Средняя стандартная ошибка прогноза :

где

Предельная ошибка прогноза:



Доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05:

где

Выполненный прогноз среднедушевых денежных доходов в месяц, x оказался надежным (р = 1 - б = 1 - 0,05 = 0,95), но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала

Оценка полученных результатов

Полученный интервал от до является достаточно широким.

Коэффициент парной корреляции указывает на то, что связь прямая и средняя, коэффициент детерминации показывает, что вариация результата на %, Объясняется изменением x. Коэффициент эластичности показывает, что при изменении прожиточного … на 1% средний размер пенсий изменится примерно на %. Средняя ошибка аппроксимации указывает на то, что расчетные значения отличаются от фактических примерно на % .F-тест показал статистическую значимость и надежность оценок. Некоторое несовершенство модели можно устранить увеличением объема выборки.

Размещено на Allbest.ru