Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Южно-Уральский Государственный Университет»

(национально исследовательский университет)

Факультет «Компьютерных технологий, управления и радиоэлектроники» (ПС)

Кафедра «Информационно-измерительная техника»

Практическая работа №4

по теме:

«Точечная оценка величины сдвига (оценка Ходжес-Лемана). Интервальная оценка (интервал Мозеса)»

по дисциплине:

«Статистический анализ и планирование измерительного эксперимента»

Проверил: доцент

А.П.Лапин

Выполнил:

студент группы ПС-336

П.С. Сажин

Челябинск 2015



• ОГЛАВЛЕНИЕ
• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
• 2. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ХОДЖЕС-ЛЕМАНА
• 3. ИНТЕРВАЛ МОЗЕСА
• 3.1 Аналитический способ
• 3.2 Графический способ
• 4. ДВУХВЫБОРОЧНАЯ ЗАДАЧА О РАССЕЯНИИ. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАНГОВЫЙ КРИТЕРИЯ АНСАРИ-БРЕДЛИ
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК


ВВЕДЕНИЕ

При решении задачи о положении(сдвиге) рассматривают 2 случайные выборки: одна из контрольной генеральной совокупности, а другая, независимая от первой из рабочей совокупности.

На основе обработки этих выборок, определяем, есть ли эффект обработки (воздействия), которые приводит к сдвигу этих выборок одна относительно другой.

В данной работе гипотеза Н₀ гласит о том, что эффект обработки отсутствует.

В предыдущей работе, используя двухвыборочный ранговый критерий Вилкоксона, мы увидели, что двум независимым выборкам объёмами n и m (n?m) отвечают одинаковые функции распределения: F₁(x) F₂(x), т.е. выборки взяты из двух различных генеральных совокупностей, но имеют одинаковый закон распределения. Гипотеза принималась только для уровня значимости р=0,01, а для уровней значимости р=0,05 и р=0,1 отклонялась. Следовательно, есть основания полагать, что законы распределения выборок имеют определённый сдвиг. Оценку величины сдвига определим следующими способами: точечно и интервально (графически и аналитически).



1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Исходные данные представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Исходные данные

Y	X
216	238
202	224
205	218
200	227
207	234
192	215
222	219
267	225
226	230
204
n=10	m=9

Здесь m < n и N = m + n. Выборка Х является контрольной, а выборка Y - рабочей.



2. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ХОДЖЕС-ЛЕМАНА

Для нахождения оценки величины сдвига выполним следующее:

1) Количество разностей по всем элементам выборок определяется как

2) Искомая оценка - медиана упорядоченного по возрастанию ряда

3) Если , т.е. нечётное, то . Если , т.е. чётное, то . В нашем случае произведение является чётным, следовательно, медиана найдётся как среднее арифметическое 45-ого и 46-ого элементов выборки, состоящей из расчитанных разностей.

Рассчитаем разности по формуле (1):

, (1)

Результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Разности U

1	2	3	4	5	6	7	8	9
-22	-8	-2	-11	-18	1	-3	-9	-14
-36	-22	-16	-25	-32	-13	-17	-23	-28
-33	-19	-13	-22	-29	-10	-14	-20	-25
-38	-24	-18	-27	-34	-15	-19	-25	-30
-31	-17	-11	-20	-27	-8	-12	-18	-23
-46	-32	-26	-35	-42	-23	-27	-33	-38
-16	-2	4	-5	-12	7	3	-3	-8
29	43	49	40	33	52	48	42	37
-12	2	8	-1	-8	11	7	1	-4
-34	-20	-14	-23	-30	-11	-15	-21	-26

Упорядочим разности:



Таблица 3 - Упорядоченный по возрастанию ряд разностей U^k

-46	-32	-26	-22	-18	-14	-9	-2	11
-42	-32	-26	-22	-18	-13	-8	-1	29
-38	-31	-25	-22	-17	-13	-8	1	33
-38	-30	-25	-21	-17	-12	-8	1	37
-36	-30	-25	-20	-16	-12	-8	2	40
-35	-29	-24	-20	-16	-12	-5	3	42
-34	-28	-23	-20	-15	-11	-4	4	43
-34	-27	-23	-19	-15	-11	-3	7	48
-33	-27	-23	-19	-14	-11	-3	7	49
-33	-27	-23	-18	-14	-10	-2	8	52

Согласно точечной оценке Ходжес-Лемана .

Для того чтобы получить представление о точности и надёжности найденной оценки построим доверительный интервал (интервал Мозеса).



3. ИНТЕРВАЛ МОЗЕСА

3.1 Аналитический способ

Основная задача сводится к поиску параметра из выражения (2)

где - значение из таблицы А5 [1]

б - уровень значимости

Границы интервала находятся по следующим формулам:

Левая граница:

Правая граница:

Доверительный интервал имеет вид:

Проведём вычисления для уровней значимости, на которых гипотеза Н₀ была отклонена: б = 0,05 и б = 0,1. Необходимо заметить, что для таблиц, содержащихся в книге Холлендера и Вульфа, n < m, т.е. n = 9, m = 10.

Следовательно

3.2 Графический способ

Графический способ обладает меньшей точностью, но позволяет очень быстро определить точную интервальную оценку величины сдвига.

Каждому из элементов двух выборок мы прибавляем такую константу, которая делает их всех положительными. Для более четкого представления было из каждого элемента 2х выборок вычитаем число 191. Результат вычислений приведен в таблице 4.

Таблица 4 - Модифицированные выборки

Y	X
25	47
11	33
14	27
9	36
16	43
1	24
31	28
76	34
35	39
13

Чертим линию под углом в , так чтобы с двух сторон прямой было по 45 точек. Оценка величины сдвига графическим методом . Этот результат совпадаетс тем, что получен аналитически.

Из аналитических рассчетов берём для заданных уровней значимости. Это количество точек ограничиваем с двух сторон под углом в для нахождения правых и левых границ.

Находим правые и левые границы. Доверительный интервал находится по формуле 7.

, (7)

а). Для ; ;

Построим график в соответствии с указанными выше предписаниями.



Рисунок 1 - Графический способ для С_а = 25

распределение вариационный ряд выборка

Из графика видим, что

б). Для ;

;



Рисунок 2 - Графический способ для С_а = 22

Из графика получим:

Результаты, полученные графически имеют незначительные отличия от аналитических расчетов, следовательно исследование проведено верно.



4. двухвыборочная задача о рассеянии. свободный от распределения ранговый критерия ансари-бредли

Критерий Ансари-Бредли используется в том случае, ссли сдвига нет. В предыдущей работе мы определили по критерию Уилкоксона, что сдвиг отсутствует при заданном уровне значимости p=0,01. Воспользумся критерием Ансари-Бредли для заданного уровня значимости.

Выдвигаем нулевую гипотезу, в которой говорится, что дисперсии двух выборок равны.

,

где

Найдем дисперсию по формуле (8).

, (8)

Получим и . Отсюда следует, что: ,

В итоге имеем:

Делаем вывод о том, что дисперсии двух выборок не равны, следовательно гипотезу отклоняем.

Исходя из полученных результатов, выдвигаем альтернативные гипотезы:



1).

2).

Для проверки альтернативных гипотез мы объединяем две выборки N=m+n и упорядочиваем по возрастанию. Затем ранжируем выборку. Наименьшему и наибольшему значению присваеваем ранг 1, второму с начала и с конца - 2 и т.д. Получим ранжированный вариационный ряд.

Таблица 5 - Проранжированный вариационный ряд

192	200	202	204	205	207	215	216	218	219
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
222	224	225	226	227	230	234	238	267
9	8	7	6	5	4	3	2	1

Находим сумму рангов наименьшей выборки (критическая статистика) по формуле (9).

, (9)

Получив критическую статистику , проверяем альтернативные гипотезы:

1).

Гипотеза будет принята, если:

, (10)

Для заданного уровня значимости: . Квантили находим из таблицы А6 Холлендера.

Делаем вывод о том, что гипотеза H1 принята.

Проверим следующую гипотезу

2).

Гипотеза будет принята, если:

(11)

Квантили так же находим из таблицы А6 Холлендера:

В результате:

Следовательно:

Это говорит о том, что альтернативная гипотеза H2 принята.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведения трех различных исследований: точечного и интервального (графически и аналитически) было обнаружено, что на выборку Y по сравнению с контрольной выборкой Х оказано воздействие, которое носит отрицательный эффект, так как величина сдвига .



БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Холлендер, М. Непараметрические методы статистики / М. Холлендер, Д.А. Вульф; пер. с англ. Д.С. Шмерлинга. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 520 с.

2 Большев, Л.Н. Таблицы математическои? статистики. / Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов. - М: Наука. Главная редакция физико-математическои? литературы, 1983. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru