Расчет дефицита ресурсов и производственной программы предприятия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант 10

Для изготовления трех видов продукции (A, B, C) используется три вида ресурсов (1, 2, 3). Объем ресурса bi , ( i = 1, 2, 3) нормы его расхода aij на единицу продукции и цена сj, (j =1,2,3) продукции заданы таблицей (номер таблицы соответствует номеру варианта).

По заданной таблице:

Требуется:

1) определить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую выручку при имеющихся ограниченных ресурсах;

2) определить дефицитность ресурсов;

3) решить задачу о расшивке узких мест производства (количество дополнительных ресурсов должно быть целым числом).

Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть xi -выпуск продукции i-го вида в оптимальном плане, тогда целевая функция задачи линейного программирования будет иметь вид:

f(x) = 12х1 + 5х2 + 3х3 max.

Ограничения задачи имеют вид:

4х1 + 8х2 + 2х3 100 - ограничение по ресурсу 1;

8х1 + 4х2 + 3х3 300 - ограничение по ресурсу 2;

2х1 + 3х2 + 5х3 250 - ограничение по ресурсу 3;

По экономическому смыслу задачи х1,2,3 0.

Задача линейного программирования имеет вид:

Приведем ЗЛП к каноническому виду (что необходимо для симплекс-метода). Для этого добавим в неравенства-ограничения по одной неотрицательной переменной х4, х5 и х6, чтобы получились равенства. В целевую функцию запишем эти переменные с нулевыми коэффициентами. Получим эквивалентную ЗЛП в каноническом виде:

Задача имеет первоначальный опорный план

Х1 = (0,0,0,100,300,250) и может быть решена симплекс-методом. В симплекс-таблицу №0 впишем в базис единичные векторы А4, А5 и А6 (табл. 1).

Симплекс-таблица

предприятие ресурсы дефицит задача

Таблица 1

Найдем оценки столбцов по формуле:

Как видим, в строке оценок с.т. №0 есть отрицательные, значит первоначальный опорный план - не оптимальный и его можно улучшить. Выберем столбец, имеющий самую минимальную отрицательную оценку (-12), назовем его «направляющим». Для каждой строки в столбце Q рассчитаем неотрицательные значения

и строку, имеющую Qmin, назовем «направляющей». Элемент, лежащий на пересечении направляющего столбца с направляющей строкой (4), назовем «главным» и выделим заливкой. Разделим все элементы (включая Bi) направляющей строки на главный элемент и полученную строку впишем в симплекс-таблицу №1 (также во 2-ю строку). Вектор А5 (направляющая строка) выведем из базиса, а на его место в симплекс-таблицу №1 впишем вектор А1 (направляющий столбец). Остальные строки симплекс-таблицы №1 заполним по следующему правилу:

(новая строка) = (старая строка) - (эл-т напр.столбца)*(строка, записанная первой в с.т.№1).

Найдем оценки в таблице №1, отрицательных оценок нет, значит, план оптимальный.

Оптимальный план: Х1 = 25, Х2 = 0, Х3 = 0.

Нулевые значения Х2 и Х3 в оптимальном плане показывают, что продукцию вида II и III выпускать невыгодно. Максимальная выручка (целевая функция) равна: 12х1 = 12*25 = 300 ден.ед.

Для определения полноты использования и дефицитности ресурсов составим двойственную задачу по следующим правилам:

если исходная задача на максимум целевой функции, то двойственная будет на минимум;

если в исходной задаче неравенства-ограничения имеют вид (), то в двойственной будут ();

число неравенств в двойственной задаче равно числу переменных в целевой функции исходной задачи;

коэффициентами целевой функции двойственной задачи являются правые части неравенств исходной задачи;

матрица коэффициентов в ограничениях двойственной задачи транспонирована к матрице коэффициентов исходной задачи;

свободные члены ограничений в двойственной задаче равны коэффициентам целевой функции исходной задачи.

При этих условиях двойственная задача имеет вид:

Анализ использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи начнем с проверки системы неравенств исходной ЗЛП:

Х* = (90/7, 0, 0).

5*90/7 + 7*0 + 0 = 450/7 ( <180, удовлетворяет как строгое неравенство)

7*90/7 +6*0 + 8*0 = 90 (удовлетворяет как равенство)

90/7 + 5*0 + 8*0 = 90/7 (<120, удовлетворяет как строгое неравенство)

Как видим, при оптимальном плане I ресурс израсходован полностью, а II и III ресурсы имеют остатки.

Значение целевой функции на оптимальном плане равно:

max f(x) = 12*90/7+5*0 + 3*0 = 1080/7 (д.е.)

Оценки двойственной задачи (у1 - у3) найдем по второй теореме двойственности. Поскольку первое и третье ограничения являются строгими неравенствами, то у1 = 0 и у3 = 0. Так как в оптимальном плане только х1 > 0, то 1-е ограничение двойственной задачи будет в оптимальном плане строгим равенством, поэтому для определения оценок двойственной задачи имеем только одно уравнение:

Оптимальный план двойственной задачи:

Y* = (0, 12/7, 0)

Следовательно

min (Y*) = 180*0 +12/7*90 + 120*0 = 1080/7

Как видим, значения целевых функций исходной и двойственной задач на оптимальных планах совпали.

Двойственные оценки отражают дефицитность ресурсов. В нашем случае у1 = 0 и у3 = 0, поэтому ресурсы I и III вида недефицитны, т.к. при оптимальном плане производства они израсходованы неполностью.

Будем расшивать узкие места производства, т. е. закажем дополнительно тот ресурс, который полностью используется при выполнении оптимальной производственной программы. Пусть:

вектор дополнительных объемов ресурсов.

Прирост выручки, связанный с вовлечением в производство t1 дополнительных единиц первого ресурса, t2 - второго, …, tm - m-го, равен

так как двойственные оценки этих ресурсов (y1, y2, …, ym) показывают, насколько увеличится выручка при добавлении к имеющимся запасам единицы соответствующего ресурса. Естественно этот прирост прибыли необходимо максимизировать.

Чтобы двойственные оценки не изменились при переходе от вектора запасов ресурсов b к вектору b + t, должно выполняться условие устойчивости двойственных оценок:

h +Q-1t 0.

Кроме того, как правило, производитель не может получить неограниченно много ресурсов, т.е. все компоненты вектора t ограничены.

В общем случае расшивка узких мест производства позволяет максимально задействовать имеющийся потенциал предприятия по производству данной продукции по данным технологиям в условиях существующих цен.

При выполнении оптимальной производственной программы в условиях нашей задачи только второй ресурс используется полностью, т.е. образует «узкое» место производства. Будем этот ресурс заказывать дополнительно. Пусть:

- это

вектор дополнительных объемов ресурсов. При этом вектор запасов ресурсов изменится от:

до

Производственная программа, содержащаяся в последней симплексной таблице, выразится через новый вектор запасов ресурсов при помощи обращенного базиса:

Эта матрица взята из с.т. №1 (вектора А4, А5 и А6).

Hнов = Q-1 (b + t) = h + Q-1t.

Прирост выручки, связанный с вовлечением в производство t2 дополнительных единиц второго ресурса, равен

,

так как двойственная оценка этого ресурса (y2 = 12/7) показывает, на сколько увеличится выручка при добавлении к имеющимся запасам единицы этого ресурса.

Чтобы двойственные оценки не изменялись, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие устойчивости двойственных оценок:

h + Q-1t 0 или

Здесь вектор h взят из столбца h с.т. №2.

Перемножая матрицы, получим:

Поскольку ресурсы добавляются в сравнительно ограниченных количествах, примем, что их величина не превышает одной трети первоначальной, т.е.

Таким образом, задача о расшивке узких мест производства формулируется следующим образом: требуется максимизировать дополнительный прирост выручки, связанный с вовлечением в производство t2 0 дополнительных единиц второго ресурса, при выполнении условия устойчивости двойственных оценок и условия, означающего, что невозможно заказать дополнительно более трети первоначальных запасов ресурсов.

Окончательно задача о расшивке узких мест производства запишется так:

В условии задачи задано, что количество дополнительных ресурсов должно быть целым числом, поэтому примем

Размещено на Allbest.ru