Электронный дидактический комплекс "Математические методы в микроэкономике"

Рисунок 1- Режимы работы системы

Администратор имеет доступ к таблицам, которые представляют собой область хранения, доступа и обработки информации об участниках тестирования. Содержат их имена, пароли и уровни сложности решаемых заданий. Имя и пароль заносятся в базу при регистрации пользователя. Начальный уровень сложности тестирования для каждого студента устанавливается равным 2 (средний).

Так же в таблицах находятся данные о содержании тестов, указаны предлагаемые для изучения темы, условия заданий и ответы к ним (Рисунок 2).

Рисунок 2 - Пример вопроса, включенного в тестирование

В задачи администратора входит: регистрация пользователей, добавления новых модулей, подбор теоретического материала и формирование тестов.

Режим пользователя _ это сама дидактическая система.

При входе в систему пользователю предлагается ввести имя и пароль. Осуществляется выбор режима работы: тестирование, либо изучение материала по курсу.

В качестве обучающего контента компьютерной системы нами выбраны первые темы курса "Математические методы в микроэкономике". Учебный курс состоит из 8 модулей. Модули М₁-М₇ содержат учебный материал. В каждом из этих модулей представлены три варианта теории, соответствующего различным уровням сложности. Модуль М₈- задания для контрольной работы. Имеют три уровня сложности.

Каждый модуль содержит теоретический и справочный материал, задания для самостоятельной работы, набор контрольных заданий для самопроверки.

Процесс прохождения учебного модуля заключается в следующем: из базы учебного материала извлекается очередная порция теории, которую предлагается освоить студенту. В теоретическом разделе указан весь необходимый для выполнения заданий материал. Участнику тестирования предлагается весь электронный учебный материал по изучаемому курсу (Рисунок 3).

Рисунок 3 - Пример теории, включенной в тестирование

Возможность обратиться за помощью к источнику информации позволит ученику "освежить" свои знания, научит его применять теоретические навыки при решении практической части.

Кроме того, обучаемый имеет доступ к тестам, которые выполняются либо после окончания изучения теоретического материала, либо немедленно (Рисунок 4).

Рисунок 4 - Пример оформления вопроса предлагаемого учащемуся

В тестирование включены задания по различным темам [10],[11], таким как

- теория производства и предложения благ;

- теория потребительского спроса;

- ценообразование на рынке совершенной конкуренции;

- ценообразование на монополизированном рынке;

- ценообразование на рынках несовершенной конкуренции;

- ценообразование факторов производства;

- общее экономическое равновесие и общественное благосостояние.

Из базы тестов выбираются задания и предлагаются студенту, который вводит в систему ответы. Эти ответы анализируются системой оценивания, которая в зависимости от прохождения данного модуля выбирается один из вариантов:

- возможен переход к следующему модулю, а также повышение уровня сложности;

- предлагается изучить дополнительный материал и затем пройти повторное тестирование;

- предлагается изучить материал модуля с самого начала; также возможно понижение уровня сложности.

Применение компьютерных технологий для самоконтроля позволяет ученику корректно оценить свои знания. При традиционной оценке уровня усвоения знаний преподаватель, кроме объективных факторов, также принимает во внимание и субъективные (симпатии или антипатии). Субъективная оценка присутствует всегда, хотя в большинстве случаев она может быть подсознательная. С другой стороны учащийся может воспринимать объективную (неудовлетворительную) оценку с точки зрения своего субъективного отношения к преподавателю. Когда учащийся имеет возможность оценивать сам уровень усвоения материала и качество собственной подготовки по определенному разделу знаний, то субъективных факторов просто нет. Поэтому, если баллы выставляет компьютер, то оценка знаний всегда воспринимается как объективная.

Также ученику предлагаются задания без заранее определенных вариантов ответов. Предполагается, что пользователь самостоятельно вводит решение задачи, полученное путем вычислений по алгоритму, изучаемому в предложенном курсе. Решения на подобные задания оцениваются не системой, а преподавателем (Рисунок 5).

Рисунок 5 - Область ввода решения

Задания данного типа наиболее ярко показывают уровень знания студента. Для решения предложенной задачи пользователь должен знать основные понятия, формулы, алгоритмы и методы.

Предполагается, что тест поможет участнику определить уровень своих знаний, понять, каким темам нужно уделять повышенное внимание, а какие предстоит разобрать "с нуля". Так же тестируемый увидит весь объем материала, предоставленный для изучения.

Таким образом, тестирование, применяемое в разработанном дидактическом комплексе, - это эффективный метод приобретения знаний, умений и навыков, удобный способ оценивания и анализа результатов. Предлагаемая нами система предоставляет ученику необходимую информацию по дисциплине "Математические методы в микроэкономики" и помогает ему получить и закрепить знания, решая соответствующие тестовые задачи.

5. Контент и алгоритм работы с электронным дидактическим комплексом "Математические методы в микроэкономике"

В обучающей системе "Математические методы в микроэкономике" предоставляется учебный материал по темам [10], [11]:

- теория производства и предложения благ;

- теория потребительского спроса;

- ценообразование на рынке совершенной конкуренции;

- ценообразование на монополизированном рынке;

- ценообразование на рынках несовершенной конкуренции;

- общее экономическое равновесие и общественное благосостояние.

Учебный материал взят из источников: Тарасевич Л.С., Микроэкономика (с задачами и решениями) [10]. Т.П. Барановская Современные математические методы анализа финансово-экономического состояния предприятия, монография [11]. Также использовались собственные наработки. Предлагаемая обучающая система предназначена для студентов экономических специальностей. Примеры теоретического и практического учебного материала дидактического комплекса приведены в приложениях A и B соответственно.

Рассмотрим последовательность действий пользователя при взаимодействии с системой "Математические методы в микроэкономике".

1. Перед началом тестирования необходимо заполнить форму регистрации (Рисунок 6), введя имя и пароль.

Рисунок 6 - Форма для регистрации

В случае если регистрация осуществлялась ранее, необходимо ввести имя и пароль. Нажмите на слово "Войти"

2. При нажатии на "Зарегистрироваться" или "Войти", пользователь приступает к изучению модуля. При первом обращении к системе предоставляется теория, соответствующая первой теме курса. При последующих обращениях студент продолжите изучение курса с модуля, решение тестов для которого не было осуществлено. При необходимости, пользователь может проигнорировать теоретический материал и перейти к решению тестов (Рисунок 7).

Рисунок 7 - Решение теста

Практические задания приведены к темам:

- теория производства и предложения благ;

- теория потребительского спроса;

- ценообразование на рынке совершенной конкуренции;

- ценообразование на монополизированном рынке;

- ценообразование на рынках несовершенной конкуренции;

- ценообразование факторов производства;

- общее экономическое равновесие и общественное благосостояние.

Пользователь в любой момент может прервать тестирование, выбрав "Закончить тестирование". Возвращаться к предыдущему вопросу запрещается.

• 
• Заключение
• Цель дипломной работы - разработка и практическая реализация электронного дидактического комплекса "Математические методы в микроэкономике" - достигнута.
• В рамках дипломной работы была изучена литература по компьютерным обучающим системам, дистанционному образованию, информационным технологиям обучения, математическим методам в микроэкономике.
• Предлагаемая компьютерная дидактическая система выявляет имеющиеся базовые знания студента в области микроэкономики, обеспечивает качественное и полное обучение студента в рамках выбранной специализации, производит промежуточные оценивания приобретенных знаний учащегося, составляет статистику успеваемости студента.
• Дистанционная обучающая система является комплексной, то есть охватывает все разделы предмета специализации. Система имеет простой и понятный интерфейс пользователя.
• Обучающий контент и проверочные тесты разработанного дистанционного курса удовлетворяют основным педагогическим требованиям. Система носит открытый характер и может применяться в качестве базового, углубленного и дополнительного образования в сферах программирования, информатики, математики, химии, механики и др.
• 
• Список использованных источников
• 1. Афанасьев В.В., Анализ показателей эффективности обучающих программ. // Первая Всероссийская научно-техническая конференция "Компьютерные технологи в науке, проектировании и производстве" Тезисы докладов, часть V, Нижний Новгород, 1999, 43с. Стр.15.
• 2. Дистанционное обучение: идеи, технологии, проблемы и перспективы. http://www.fos.ru/pedagog/9338.html.
• 3. Достоинства и недостатки дистанционного обучения. http://dstudy.ru
• 4. Тестирование как метод педагогического контроля http://www.roman.by/r-50768.html
• 5. Мельников А.В., "Принципы построения обучающих систем и их классификация". // Педагогические и информационные технологии в образовании. Научно-методический журнал. Выпуск 4 (2002) http://www.cdo.susu.ac.ru/journal/numero4/pedag/tsit1.html
• 6. Раскин В.А., Графическая среда в системе тестирования знаний по учебной дисциплине "Микропроцессорные системы". http://www.masters.donntu.edu.ua/2006/fvti/raskin/diss/index.htm
• 7.Сайт Московского университета имени С.Ю. Витте http://www.muiv.ru/vidy_obrazovaniya/distantsionnoe_obuchenie/menedzhment-magistratura-distans/
• 8.Сайт учебного центра BI Consult http://www.biconsult.ru/services/traning
• 9. Сайт международного института менеджмента http://www.mimlink.ru/hi_edu/faculty_of_management/online-vo.php
• 10. Л. С. Тарасевич Микроэкономика // Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов. Учебник 4-е издание
• 11. Т. П. Барановская Современные математические методы анализа финансово-экономического состояния предприятия // ФГОУ ВПО "ЛубГАУ", 2009 Монография

• Приложение А
• Теоретический учебный материал на примере темы "Теория производства и предложения благ"
• Уровень сложности теории 1
• Производственная функция и техническая результативность производства
• Производство есть процесс преобразования одних благ в другие: факторов производства в готовую продукцию. Зависимость между количеством используемых факторов производства и максимально возможным при этом выпуском продукции называют производственной функцией.
• Все факторы производства можно представить в виде трех агрегатов: труд (L), капитал (K) (орудия и средства труда, включая природные ресурсы) и уровень научно-технических знаний (научно-технический прогресс). Все параметры производственной функции являются натуральными величинами потока, имеющими размерность количество/время. Конкретный вид производственной функции устанавливается на основе наблюдений за тем, как меняется объем выпуска по мере изменения применяемых объемов труда и капитала.
• Короткий и длительный периоды
• Время, в течение которого нельзя изменить объем одного из используемых в производстве факторов, называют коротким периодом. В свою очередь фактор, объем которого нельзя изменить в коротком периоде называют постоянным, а фактор, объем использования которого меняется по мере изменения выпуска, -- переменным.
• Длительный период -время, достаточное для изменения объемов обоих факторов производства. В нем все факторы являются переменными.
• Соотношение между количеством выпускаемой за определенное время продукции (output) и количеством используемых для ее изготовления факторов производства (input) назовем технической результативностью производства. В коротком и длительном периодах она измеряется по-разному. дистанционный обучение образование компьютерный
• Техническая результативность производства в коротком периоде.
• Примем, что переменным фактором является труд. Тогда в коротком периоде у производственной функции остается одна переменная -- количество используемого труда. Типичная зависимость между выпуском продукции и количеством труда, применяемого при фиксированном объеме капитала, представлена на рисунке 1. В алгебраическом виде:
• Q=aL + bL²+cL³,
• где а, b, с -- вещественные коэффициенты, определяемые технологией
• производства.
• Рисунок A1 - Кривая общего выпуска продукции
• Результат первых порций затраченного труда, присоединяемый к заданному объему капитала, обеспечивает увеличение выпуска, опережающее рост количества вовлекаемого в производство труда (график общего выпуска ТР (totalproduct) загибается к оси ординат).
• Если в цехе с двумя десятками станков численность работающих возрастает с 5 до 10 человек, то выпуск увеличится более чем
• в 2 раза. Ускоренный рост выпуска продолжается до определенного соотношения K/LA, где K-- фиксированный объем капитала.
• Отношение общего объема выпуска к общему количеству используемого переменного фактора (Q/L) называют средней производительностью переменного фактора АР (average product).
• Рисунок A2 - Средняя предельная производительность труда
• Графически она представляется наклоном прямой, соединяющей точки кривой ТР с началом координат.
• Приращение общего выпуска при увеличении количества используемого труда на единицу называют предельной производительностью труда МР
• (marginal product).
• Алгебраически она представляется как производная функции общего выпуска по труду:
• МРL = dQ/dL.
• Графически предельная производительность труда при использовании L1 единиц труда соответствует на рисунке 2 величине tg.
• Таблица A1 - стадии технической результативности производства в коротком периоде

• Пример 1
• При выпуске Q0 единиц продукции предельная производительность труда сравнялась со средней его производительностью.
• Как будет изменяться средняя производительность капитала по мере дальнейшего увеличения выпуска за счет использования дополнительного труда?
• Решение:
• Понятия средней и предельной производительности факторов относятся только к короткому периоду. Поскольку в условиях задачи меняется количество используемого труда, то K = const; средняя производительность капитала (Q/K) по мере роста L будет увеличиваться, пока MPL > 0.
• Пример 2
• При заданном бюджете М и ценах факторов производства r_l и r_k фирма работает по технологии, отображаемой функцией
• Q = L^aK^в.
• 1. При каких объемах труда и капитала объем выпуска фирмы будет максимальным?
• 2. Как изменится капиталовооруженность труда, если:
• а -- бюджет фирмы возрастет в 1,5 раза; б -- цена труда возрастет в 1,5 раза?
• Решение:
• Из условия равновесия фирмы следует, что
• = => K =
• В соответствии с бюджетным ограничением
• M = r_LL + r_KK = r_LL()
• Отсюда
• L^* = K^* = .
• 2а. Из условия равновесия фирмы следует, что капиталовооруженность труда не зависит от бюджета фирмы.
• 2б. Капиталовооруженность труда возрастет в 1,5 раза.
• Уровень сложности теории 2
• Основные термины:
• Производственная функция - зависимость между количеством используемых факторов производства и максимально возможным при этом выпуском продукции.
• Короткий период - время, в течение которого нельзя изменить объем одного из используемых в производстве факторов.
• Длительный период - время, достаточное для изменения объемов обоих факторов производства.
• Техническая результативность производства - соотношение между количеством выпускаемой за определенное время продукции (output) и количеством используемых для ее изготовления факторов производства (input).
• Средняя производительность переменного фактора АP (average product) - отношение общего объема выпуска к общему количеству используемого переменного фактора (Q/L).
• Предельная производительность труда МР (marginal product) - приращение общего выпуска при увеличении количества используемого труда на единицу.
• Затраты и функция затрат
• Затраты -- это ценность материалов и услуг факторов производства, использованных при изготовлении продукции. Поскольку материалы, потребленные в данном процессе производства, ранее были изготовлены при использовании труда и капитала, то в итоге все затраты сводятся к оплате факторов производства.
• Когда объем производства превышает единицу, тогда различают общие затраты ТС (total cost) на весь выпуск, средние затраты АС (average cost) на единицу продукции (АС = TC/Q) и предельные затраты МС(marginal cost) - приращение общих затрат при увеличении выпуска на единицу (МС = TC/Q).
• Зависимость между объемом произведенной продукции и минимально необходимыми для ее производства затратами называют функцией затрат.
• Обозначим цену труда, т.е. количество денег, которое необходимо заплатить за использование наемного работника в течение определенного времени,
• r_L, а цену капитала -- количество денег, уплачиваемое за применение средств производства в течение некоторого времени, -- r_K. Тогда общие затраты на выпуск некоторого количества продукции TC = r_LL + r_KK.
• При заданных ценах факторов производства величина затрат определяется минимально необходимыми для выпуска продукции объемами труда и капитала, т.е. технологией, представленной производственной функцией
• Q = Q(L,K).
• Поэтому
• L = L(Q), K=K(Q),
• а следовательно, и
• TC = TC(Q).
• Выделение короткого и длительного периодов при построении производственной функции находит свое отражение и в функции затрат. Поскольку в коротком периоде K = const, то функция затрат в этом случае имеет вид
• TC(Q) = r_LL(Q) + r_KK,
• т.е. в коротком периоде затраты делятся на постоянные TFC (total fixed cost), не зависящие от объема выпуска
• (TFC = r_KK),
• и переменные TVC (total variable cost), меняющиеся по мере изменения выпуска (TVC = r_LL(Q)). В длительном периоде все затраты переменные.
• Переход от производственной функции к функции общих затрат осуществляется в приведенной ниже последовательности.
• Рисунок A3 - последовательность перехода от производственной функции к функции общих затрат
• Выполним этот переход графически и алгебраически для короткого и длинного периодов.
• Короткий период
• Возьмем за основу график общего выпуска в коротком периоде, представленный на рисунке A4.
• Рисунок A4 - Кривая общего выпуска в коротком периоде
• Если на оси абсцисс откладывать не количество труда, а расходы на его оплату(r_LL), то получим график денежной производственной функции общего выпуска, изображенный на рисунке A5 при r_L = 3.
• Кривая
• Q (C) ?Q(r_LL)
• на рисунке A5 есть деформированная вследствие изменения масштаба по оси абсцисс кривая ТР на рисунке A4 при r_L > 1 она растянута, при r_L < 1 -- сжата.
• Развернув рисунок A5 таким образом, чтобы затраты на правах функции оказались на оси ординат, получим график общих переменных затрат, изображенный на рисунке A6. Трем особым точкам (а, b, с) на графике общего выпуска на рисунках A5 и A6 соответствуют точки а?, b?, с?. Так как график TFC по определению -- это прямая, параллельная оси абсцисс, а
• ТС = TFC + TVC,
• то график общих затрат получается в результате параллельного сдвига кривой TVC вверх на величину общих постоянных затрат.
• Рисунок A5 - Кривая денежной производственной функции общего выпуска
• Рисунок A6 - Кривая общих переменных затрат
• Для получения алгебраического представления функции затрат примем, что производство продукции осуществляется по технологии, которая соответствует производственной функции Q.. Если объем капитала фиксирован, то
• Q = L^aK^в =>L = .
• Поэтому в коротком периоде общие затраты
• TC = + r_KK.
• Первое слагаемое представляет переменные затраты, а второе -- постоянные.
• Длительный период.
• Аналогично тому, как производственную функцию длительного периода можно представить в виде множества производственных функций короткого периода, различающихся объемами постоянного фактора производства, затраты в длительном периоде можно изобразить посредством множества кривых затрат в коротком периоде, которые отличаются величиной постоянных затрат.
• Пример 1
• При производстве 5 тыс. стульев предельные затраты сравнялись со средними переменными затратами.
• Как будут изменяться совокупные средние затраты по мере увеличения выпуска?
• Решение:
• После того как предельные затраты сравняются со средними переменными, с увеличением выпуска совокупные средние затраты будут снижаться до тех пор, пока не сравняются с предельными, а затем будут повышаться. Когда AVC = MC = const, совокупные средние затраты монотонно снижаются.
• Пример 2
• Фирма, работающая в условиях совершенной конкуренции, выращивает пшеницу по технологии, отображаемой функцией
• Q = ; L,
• Z -- количества используемого труда и земли. Ставки заработной и арендной платы равны соответственно 4 и 9 ден. ед.
• 1. По какой цене фирма будут предлагать пшеницу в длительном периоде?
• 2. Вывести функцию предложения пшеницы, если при заданных ценах труда и земли технология выращивания пшеницы отображается функцией
• Q = L ^0,25K^0,5 .
• Решение:
• Фирма, максимизирующая прибыль, определяет цену предложения
• по следующему правилу:
• P^S = MC.
• 1. P^S = + 9(4,9)^0,5 = 12,
• следовательно, пшеница будет продаваться по цене 12 ден. ед.
• 2. P^S = ( + 90,889^0,333)Q^0,333 = 17,3 =>Q^s = ()³
• Уровень сложности теории 3
• Основные термины
• Производственная функция - зависимость между количеством используемых факторов производства и максимально возможным при этом выпуском продукции.
• Короткий период - время, в течение которого нельзя изменить объем одного из используемых в производстве факторов.
• Длительный период - время, достаточное для изменения объемов обоих факторов производства.
• Затраты -- это ценность материалов и услуг факторов производства, использованных при изготовлении продукции.
• Функция затрат - зависимость между объемом произведенной продукции и минимально необходимыми для ее производства затратами.
• Прибыль и условия ее максимизации
• Кривая общих затрат представляет все множество объемов выпуска с минимальными затратами. Какой объем выберет конкурентная фирма, зависит от цены ее продукции. Произведение объема проданной продукции на ее цену называют общей выручкой TR (total revenue).
• Разность между общей выручкой и общими затратами есть прибыль.
• Цель конкурентной фирмы -- получить максимум прибыли. Если у фирмы разность между выручкой и затратами будет меньше, чем у конкурентов, то со временем ее вытеснят с рынка. Поэтому конкурентная фирма производит и предлагает на рынке такой объем продукции, который максимизирует ее прибыль.
• При экзогенно заданной системе цен прибыль зависит только от объема выпуска
• (Q) = PQ - TC(Q),
• где Р -- цена блага.
• Функция предложения и излишки производителя
• Функция предложения выражает зависимость между количеством предлагаемых благ и объемами факторов, определяющими это количество. Так как фирма предлагает объем выпуска, максимизирующий прибыль, то функция предложения выводится из условия максимизации прибыли: функция предложения является обратной к функции, выражающей условие максимизации прибыли. Выведем ее для конкурентной фирмы, работающей по технологии Q = . Соответствующая ей функция общих затрат в длительном периоде представлена формулой; ее производная по выпуску представляет предельные затраты
• LMC = (
• Приравняв предельные затраты к цене продукции и решив полученное уравнение относительно объема выпуска, получим функцию предложения фирмы в длительном периоде
• P = ( => Q^S = ( .
• Таким образом, в длительном периоде объем предложения конкурентной фирмы при заданной технологии определяется только системой (вектором) цен:
• QS = QS(rL, rK, P).
• Пример 1
• Фирма, работающая в условиях совершенной конкуренции, выращивает пшеницу по технологии, отображаемой функцией Q = ; L, Z -- количества используемого труда и земли. Ставки заработной и арендной платы равны соответственно 4 и 9 ден. ед.
• 1. По какой цене фирма будут предлагать пшеницу в длительном периоде?
• 2. Вывести функцию предложения пшеницы, если при заданных ценах труда и земли технология выращивания пшеницы отображается функцией
• Q = L ^0,25K^0,5 .
• Решение:
• Фирма, максимизирующая прибыль, определяет цену предложения
• по следующему правилу:
• P^S = MC.
• 1. P^S = + 9(4,9)^0,5 = 12,
• следовательно, пшеница будет продаваться по цене 12 ден. ед.
• 2. P^S = ( + 90,889^0,333)Q^0,333 = 17,3 =>Q^s = ()³
• Пример 2
• Функция полезности индивида имеет следующий вид:
• U = Q_A^0,4 Q _B ^0,5 Q_C ^0,3 ,
• где , A B C Q_A Q_B Q_C -- объемы потребляемых благ А, В, С; бюджет индивида равен 120 ден. ед.
• Как изменится объем спроса индивида на блага А и С, если цена блага В будет снижаться?
• Решение
• Для ответа на вопрос нужно вывести функции спроса индивида на
• каждый товар, решив следующую задачу:
• Q_A^0,4 Q _B ^0,5 Q_C ^0,3 -> max при
• 120 = P_AQ_A+P_BQ_B+P_CQ_C
• В результате решения (например, посредством функции Лагранжа)
• Получаем
• Q_A^D = ; Q_B^D = ; Q_C^D = .
• Следовательно,
• изменение цены блага В не влияет на объемы спроса на блага А и С. Это вытекает из специфики предпочтений (функции полезности) индивида.

• Приложение В
• Практический учебный материал на примере темы "Теория производства и предложения благ"
• Уровень сложности тестирования 1
• Задача 1
• При выпуске Q₀ единиц продукции предельная производительность труда сравнялась со средней его производительностью.
• Какова эластичность выпуска по труду при таком объеме выпуска?
• Решение:
• Коэффициент эластичности выпуска
• ?Q,L = MPL/APL = 1.
• Задача 2
• Фирма работает по технологии, отображаемой производственной функцией
• Q = L^0,6K^0,4.
• Цена труда -- 8 ден. ед., а цена капитала -- 16 ден. ед.
• Определить среднюю производительность труда при нахождении фирмы в состоянии равновесия.
• Решение:
• Условие равновесия фирмы следующее:
• = ; = > = .
• Отсюда
• AP_L = = )^0,4 = ()^0,4 = 0,644.
• Задача 3
• Продукция производится по технологии, отображаемой функцией Q = L^0,25K^0,5. Цены факторов производства равны: r_L = 1; r_K = 3. Определить минимум средних затрат в коротком периоде при использовании следующих объемов капитала: K = 10; 15; 20. Построить
• кривые АС для каждого из указанных объемов капитала.
• Решение:
• При заданной технологии
• L = Q⁴/K².
• Поэтому
• TC = Q⁴/K² +3K => AC = Q³/K² + 3K/Q.
• Минимум определяется из условия
• AC = 3Q²/K² -3K/Q² = 0.
• При K = 10 AC_min = 7,11; при K = 15 AC_min = 7,87; при K = 20 AC_min = 8,46.
• Уровень сложности тестирования 2
• Задача 1
• При цене моркови 8 ден. ед. за 1 кг на рынке было три продавца; функции предложения каждого были линейными. Первый из них (e^S₁ = 1,6) предлагал 10 кг, второй (e^S₂ = 2) -- 12 кг, а третий (e^S₃ = 1) -- 40 кг.
• Определить объем рыночного отраслевого предложения при P = 12.
• Решение
• В общем виде линейная функция предложения имеет вид
• Q^S = m + nP, а e^S = .
• Поскольку
• = n, то
• n₁ = = 2; n₂ = = 3; n₃ = = 5.
• Тогда
• m₁ = 10 (1 - 1,6) = - 6; m₂ = 12 (1 - 2); m₃ = 40 (1 - 1) = 0.
• Следовательно, индивидуальные функции предложения будут
• Q₁^S = - 6 + 2P; Q₂^S = - 12 +3P; Q₃^S = 5P.
• При цене 12 ден. ед. объем предложения на рынке составит (18 + 24 + 60) = 102.
• Задача 2
• Продукция на рынке продается тремя производителями; функции предложения каждого были следующими:
• Q ^S₁ = -6 + 2P; Q ^S₂ = -15 +3P; Q ^s₃ = 5P.
• Определить отраслевую эластичность предложения по цене, когда цена на рынке будет равна 4,5 ден. ед.
• Решение:
• В заданных условиях функция отраслевого предложения имеет вид
• Q^S_? =
• Если Р = 4,5, то Q = 25,5. Так как на этом участке кривой предложения
• dQ/dP = 7,
• то e^S = 74,5/25,5 = 1,235.
• Задача 3
• Общие затраты конкурентной фирмы TC = a + bQ².
• При какой цене фирма будет производить продукцию с минимальными средними затратами?
• Решение:
• P = MC; AC = a/Q + bQ; AC= - a/Q² + b = 0 => Q = (a/b)^0,5; MC = 2bQ; P = 2b(a/b)^0,5 = 2(ab)^0,5.
• Уровень сложности тестирования 3
• Задача 1
• Фирма имеет капитал K = 256 и технологию, отображаемую функцией 4 Q . Факторы производства она покупает по неизменным ценам: r_L = 2; r_K = 8 и продает свою продукцию на рынке совершенной конкуренции по цене Р = 432.
• Сколько труда фирма будет использовать в коротком и длительном периодах? Каков будет объем прибыли в каждом из периодов?
• Решение:
• Короткий период
• Q = 4 => L = => TVC = => MC = .
• Функция предложения
• Q^S = .
• При P = 432 фирма произведет
• Q^S = = 24.
• Для этого она использует L = = 1296; прибыль составит (43224 - 21296 - 8256) = 5728.
• Длительный период
• L^* = 2Q²; K^* = 0,5Q².
• LMC = ( + 80,25^0,5) Q = 16Q.
• Выведем функцию предложения:
• P = 16Q => Q^S = P/16.
• При P =432 фирма произведет 432/16 = 27 ед. продукции. Для этого она использует (2272) = 1458 ед. труда и (0,527²) = 364,5 ед. капитала; прибыль составит (43227 - 21458 - 8364,5) = 5832.
• Задача 2
• Фирма работает по технологии
• Q = L^0,25K^0,5
• и может покупать факторы производства по ценам r_L = 2; r_K = 10.
• Сколько труда она будет использовать, если сможет продавать свою продукцию по цене Р = 60?
• Решение:
• Из условия равновесия фирмы определим капиталовооруженность труда
• = = 0,4.
• Зная производственную функцию, а также цены факторов производства и продукции, можно определить объем предложения фирмы
• Q ^S = ( )()²60³ = 67,5.
• Тогда
• 67,5 = L^0,25 (0,4L)^0,5 L = 506,25.
• Задача 3
• Производственная функция фирмы
• Q = .
• Она покупает труд по цене r_L.
• Вывести уравнения функции предложения фирмы и изопрофиты максимальной прибыли.
• Решение:
• Так как технология отображается функцией
• L = Q², функции затрат
• TC = 2Q²;
• MC = 4Q.
• Из условия максимизации прибыли получаем
• Q^S = 0,25P.
• При Р = 60 нужно производить 15 ед. продукции; прибыль составит (60Ч 15 - 2Ч 225) = 450. Тогда уравнение изопрофиты будет
• 450 = 60Q - 2L => Q = 7,5 - 0,033L.
• Размещено на Allbest.ru