Выбор в условиях риска и неопределенности

Поскольку функция ожидаемой полезности линейна по вероятностям исходов, то равна произведению отношения вероятностей и отношения предельных полезностей. Но так как функция ожидаемой полезности одинакова для обоих исходов при равенстве дохода вдоль луча - биссектрисы, выходящей из начала координат, то равна отношению вероятностей наступления благоприятного и неблагоприятного исходов. Наклон кривой безразличия в точке зависит от величины вероятности благоприятного исхода . Если она велика, то кривая безразличия будет относительно крутой, и наоборот. Вдоль луча - биссектрисы все типы кривых безразличия индивида будут иметь одинаковый наклон.

Индивид, нейтрально относящийся к риску, не проводит различия между ожидаемой полезностью дохода и полезностью ожидаемой стоимости дохода, т.е. математическое ожидание (случайной) полезности дохода в условиях риска равно полезности математического ожидания случайного дохода, которое (математическое ожидание ) равно безрисковому доходу , т.е. .

По мере изменения и при движении вдоль кривой безразличия предельная полезность дохода в каждом состоянии остается постоянной и, следовательно, отношение предельных полезностей не изменяется: . В соответствии с предельной нормой замещения для индивида, нейтрального к риску, она равна постоянной величине - отношению вероятностей исходов . Такие кривые безразличия - прямые линии с наклоном, равным по абсолютной величине .

Рассмотрим все комбинации и , которые приносят индивиду ожидаемый доход , для которых . Выразим доход в случае неблагоприятного исхода через доход в случае благоприятного исхода , получим:

.

Это линия ожидаемого дохода с наклоном , представляющая все варианты выбора с ожидаемой стоимостью дохода, равной исходному доходу индивида. Все варианты с ожидаемым доходом, например и , кроме варианта, отмеченного точкой , являются рисковыми.

Размещено на http://www.allbest.ru/

213

Если индивид рискует и откажется от части дохода и при этом выиграет в размере . Индивид переместится в новую точку на бюджетной линии. Структура его дохода изменится: увеличится на величину и уменьшится на величину . Индивид, выиграв исходный доход , мог бы полностью обменять доход при неблагоприятном исходе на доход при благоприятном исходе. Пропорция этого обмена задана отношением вероятностей . Выигрыш можно рассматривать как продажа доллара в неблагоприятных условиях и покупка их в благоприятных условиях по рыночным ценам и . Тогда . Индивид, проиграв и двигаясь от точки в направлении точки , совершит обмен обратного рода по этим же ценам.

Таким образом, линия ожидаемого дохода аналогична бюджетной линии индивида с доходом и наклоном, равным отношению вероятностей и соотношению цен, так как цены условных благ равны соответствующим вероятностям: Равенство цен вероятностям характеризует обмен благ индивидом как актуарно справедливую игру или игру со справедливыми исходами. Это имеет место в развитых рынках.

Параллельное перемещение бюджетной линии вправо означает увеличение дохода при обоих исходах. Изменение вероятности одного из исходов изменяет относительную цену, при которой индивид может обменять доход при одном исходе на доход при другом исходе. Норма замещения между обусловленными благами задана значениями цен или вероятностей.

Таким образом, модель выбора в условиях неопределенности полностью укладывается в рамки традиционной модели потребительского выбора.

Рассмотрим особенности оптимального положения индивида с различным отношением к риску. Если индивид не склонен к риску, то его кривые безразличия выпуклы относительно начала координат. Максимизация ожидаемой полезности достигается в точке касания кривой безразличия и бюджетной линии. Соблюдается условие

на линии уверенности, и оптимум индивида не склонного к риску будет находиться в точке пересечения линии уверенности и точки касания линии ожидаемого дохода и кривой безразличия.

Размещено на http://www.allbest.ru/

213

Возникает вопрос, означает ли, что не склонный к риску индивид не заключает никаких договоров, например со страховой компанией. Если у экономического субъекта имеется первоначальный доход в точке , и он может заключить договор, который переместит его в точку , то он это сделает. Таким образом, речь идет о ситуациях изначально рискованных, и не склонный к риску индивид заключает договор со страховой компанией, перемещаясь в положение меньшего риска. Он максимизирует свою полезность, устраняя из своей жизни любой риск.

Если рынок обусловленных благ не удовлетворяет критерию справедливой игры и не выполняется условие (3.2.4), например , а , то бюджетная линия переместится из положения 1 в положение 2, рис. 3.2.5. Максимизация полезности будет достигаться не на линии уверенности, не в точке , а в точке под линией уверенности. Это означает, что индивид действует в направлении замещения в структуре своего дохода на , поскольку получение обходится слишком дорого.

Субъекта не склонного к риску интересует величина ожидаемого дохода. Его кривые безразличия представляют прямые линии с наклоном , рис. 3.2.4б. Кривая безразличия лежит поверх бюджетной линии - линии ожидаемого дохода и для него представляет интерес любая точка на кривой безразличия (, или ), так как ожидаемый доход в них одинаков.

Для субъекта склонного к риску, рис 3.2.4.в, кривые безразличия характеризуются увеличивающейся предельной нормой замещения. Поэтому оптимум в таком случае возможен лишь в краевых точках. Если первоначальный доход отмечается точкой , то самая большая полезность достигается в тоске , на оси абсцисс.

Проанализировав особенности аксиом теории потребительского поведения с учетом вероятности получения предпочитаемого набора, определена сложная лотерея и сформулирована основная теорема теории ожидаемой полезности фон Неймана - Моргенштерна. Потребительский выбор рассмотрен с помощью модели ожидаемой полезности потребителя применительно к исходам, характеризующимся той или иной степенью неопределенности (случайности) с использованием теории полезности и теории вероятности. В качестве следствия теоремы о математическом ожидании полезности выведено правило рационального поведения потребителя в процессе принятия решения в условиях риска и неопределенности. Используя кривые безразличия в плоскости обусловленных благ в случаях предпочтений индивида нейтрального, склонного и несклонного к риску, проанализированы особенности оптимального положения индивида с различным отношением к риску.

Рассмотрено применение классического традиционного подхода модели потребительского выбора с применением функции полезности фон Неймана - Моргенштерна.

Проектное задание

Раскрыть особенности содержания аксиом теории потребительского поведения с учетом вероятности получения индивидом предпочитаемого набора. Определить содержание сложной лотереи и сформулировать основную теорему теории полезности фон Неймана - Моргенштерна. Обосновать правило рационального поведения в процессе принятия решений в условиях риска как следствие теоремы о математическом ожидании полезности.

Используя инструментарий традиционной теории потребительского поведения (кривые безразличия, предельную норму замещения благ, бюджетную линию и др.), проиллюстрировать графически и аналитически их особенности для индивидов с различным отношением к риску. Охарактеризовать особенности максимизации ожидаемой полезности индивидами с различным отношением к риску.

1. Доказать, что отношения безразличия ( ? ) и строгого предпочтения (), определенных соотношениями ( ? , если и только если и ) и , если и только если , а отношение несправедливо) справедливы следующие утверждения:

- отношение строгого предпочтения является транзитивным, рефлексивным и асимметричным;

- отношение безразличия является транзитивным и симметричным;

- для двух заданных наборов и выполняется , или ? ;

- если функция полезности существует, то , если и только если , в то время как , если и только если .

2. Рассмотрим лексикографические предпочтения. Что является для них множеством безразличия? Показать, что для них не справедлива аксиома непрерывности.

3. Показать, что аксиома непрерывности эквивалентна допущению, что если , то любая непрерывная кривая, содержащая и , проходит через набор , такой, что ? .

4. Показать, что необходимые условия

инвариантны по отношению к монотонному строгому возрастающему преобразованию полезности.

5. Имеются два товара, которые потребляются в установленных пропорциях:

- на плоскости этих товаров показать, как выглядят кривые безразличия и индивидуальный спрос;

- запишите алгебраически необходимые условия для равновесия потребителя.

6. Функция полезности является аддитивной, если .

Какие ограничения на слабое отношение предпочтения гарантирует аддитивность функции полезности?

Показать, что если функция полезности аддитивна, то спрос на каждый товар зависит только от цены этого товара, цены любого другого товара и общего расхода на эти два товара.

Показать, что если функция полезности аддитивна, то в экономике не будет малоценных и взаимодополняемых товаров.

Показать, что аддитивная функция полезности предполагает только монотонное строго возрастающее линейное преобразование полезности.

7. Определим функции спроса Торнквиста

для «предметов первой необходимости», «предметов относительной роскоши» и «предметов роскоши» соответственно, где параметры и зависят от цен. риск опасность неопределенность

Найти эластичности по доходу этих функций.

В случае двух товаров спрос на первый выражается функцией Торнквиста для «предметов первой необходимости» при и (второй товар является единицей счета). Проверить, что соответствующая функция полезности имеет вид

.

8. Доказать, что если в пределах определенной группы товаров цены изменяются пропорционально, то такую группу можно рассматривать как один товар, который называется композитным (сложным). Достаточно рассмотреть три товара, причем цены двух из них всегда изменяются в одинаковой пропорции.

8. Товар Гиффена определяется тем, что спрос на него возрастает по мере повышения его цены. Покажите геометрически влияние дохода и влияние замены для товара Гиффена. Могут ли существовать товары Гиффена, если выполняется слабая аксиома выявленного предпочтения.

9. Так как функция полезности определена в пространстве всех наборов товаров, а функция спроса выражает оптимальный набор как функцию цен и дохода, то оптимальный уровень полезности косвенно зависит от цен и дохода.

Покажите, что косвенная функция полезности - убывающая функция всех цен и возрастающая функция дохода.

10. Используя аксиомы выявленного предпочтения, докажите

- существование функций спроса, т.е. что на самом деле любой набор цен и дохода приводит к выбору единственного набора товаров;

- однородность нулевой степени функций спроса.

11. Покажите, что для заданной шкалы полезности фон Неймана-Моргенштерна:

Монотонное строго возрастающее линейное преобразование полезности дает новую шкалу полезности, которая удовлетворяет аксиомам фон Неймана-Моргенштерна и выводам из них; монотонное строго возрастающее нелинейное преобразование полезности несовместимо с этими аксиомами и результатами.

12. На рис. 3.2.4 представлен графически выбор индивидов с различным отношением к риску в предположении, что вероятности и , используемые для расчета наклона бюджетной линии, являются такими же, что и субъективные вероятности, используемые в определении ожидаемой функции полезности. Допустим, что, по мнению индивидов, субъективные вероятности отличны от объективных, определяющих цены условных благ, и составляют и , где .

- Как изменятся кривые безразличия по сравнению с кривыми на рис. 3.2.4.

- Покажите, что произойдет с оптимумами индивидов в каждом из трех случаев.

13. Каждый набор обусловленных благ на линии уверенности характеризуется

- одинаковой степенью риска;

- одинаковым отношением вероятностей исходов;

- одинаковой ожидаемой стоимостью.

14. Для индивида, не склонного к риску, наклон кривой безразличия равен отношению вероятности исхода по оси абсцисс к вероятности исход по оси ординат:

- в каждой точке кривой безразличия;

- справа от набора начального запаса;

- слева от набора начального запаса;

- при пересечении кривой безразличия и линии уверенности.

15. Не склонный к риску индивид:

- будет играть в справедливую игру;

- не станет играть в справедливую игру;

- безразличен к тому, играть в справедливую игру или нет;

- не станет играть в несправедливую игру.

4. Прикладные аспекты модели выбора индивида в пространстве обусловленных благ

4.1 Совместное несение рисков

Институты совместного несения риска принимают разнообразные формы. Проанализируем мотивы и предпочтения, которые делают такие институты привлекательными для экономических субъектов.

Два предпринимателя занимаются бизнесом. Для каждого из них существует вероятность неблагоприятного исхода в реализации проекта. Вероятность неблагоприятного исхода для каждого предпринимателя равна . Вероятности исходов для обоих предпринимателей независимы друг друга. Материальные потери в случае неблагоприятного исхода событий для каждого предпринимателя равны . В отсутствие соглашения о совместном несении рисков ожидаемая полезность дохода каждого предпринимателя составляет:

,

где - начальный доход.

Но предприниматели договорились о совместном несении рисков, о равном долевом участии в несении убытков, связанных с наступлением неблагоприятной ситуации. В результате появляются три возможных исхода: неблагоприятная ситуация складывается для обоих предпринимателей; для одного из предпринимателей создается неблагоприятная, а для другого - благоприятная ситуация; и наконец, оба предпринимателя реализуют свои проекты в благоприятной ситуации. Ввиду независимости вероятностей наступления неблагоприятной ситуации, вероятность того, что оба предпринимателя будут осуществлять свои проекты в неблагоприятной ситуации, равна , т.е. произведению вероятностей осуществления проектов обоими предпринимателями в неблагоприятной ситуации. В этом случае потери каждого предпринимателя составят .

Вероятность того, что оба предпринимателя реализуют проекты в благоприятной ситуации, равна . В этом случае потери каждого предпринимателя равны нулю.

Вероятность того, что первый предприниматель реализует проект в благоприятной ситуации, а второй - в неблагоприятной, равна . Аналогично, вероятность того, что второй предприниматель реализует проект в благоприятной ситуации, а первый - в неблагоприятной, равна . Поэтому вероятность того, что хотя бы один из предпринимателей реализует проект в неблагоприятной ситуации, равна . В этом случае потери предпринимателя, реализовавшего проект в неблагоприятной ситуации, составят Ожидаемая полезность дохода такого предпринимателя составит:

.

Соглашение о совместном несении рисков увеличит ожидаемую полезность дохода предпринимателя, для которого будет соблюдаться неравенство:

Для предпринимателя не склонного к риску, заключившего соглашение о совместном несении рисков с другим предпринимателем, выполняется условие: или

.

При совместном несении рисков полезность дохода уровня достигается и при благоприятном и неблагоприятном исходах и доход в таком размере составляет набор обусловленных благ, находящийся на линии уверенности. Если отсутствует договор об объединении рисков, то набор обусловленных благ находится на другой линии, что означает рискованность таких действий со стороны предпринимателя. Предприниматель не склонный к риску предпочитает соглашение о совместном несении рисков независимому поведению.

В современной экономике большинство функций, выполняемых соглашениями об объединении рисков, осуществляется рынками страховых услуг.

4.2 Рынок страховых услуг

Индивид не склонный к риску готов заплатить премию за избавление от риска и становится клиентом страховой компании.

Рассмотрим случай полного страхового покрытия, т.е. полного возмещения страховой компанией убытков индивида в размере при неблагоприятном исходе. Определим максимальную сумму, которую готов клиент заплатить компании, чтобы не нести риск самому, или резервную цену спроса на страховые услуги. Проиллюстрируем поставленную задачу графически и аналитически.

Первоначально индивид находится в рисковой ситуации в точке , ожидаемая полезность его в отсутствие страхования составляет . Если индивид не купит страховку, то его ожидаемая полезность будет равна:

Определим эквивалент уверенности для данного рискового проекта. Под эквивалентом уверенности понимается такая величина гарантированного дохода , при которой индивиду безразлично, покупать страховку или не покупать. Эквивалент уверенности удовлетворяет следующему условию:

.

Чтобы определить , необходимо переместиться вдоль кривой безразличия на линию уверенности. Доход , получаемый без всякого риска, имеет для индивида такую же полезность, что и сопряженный с риском доход , так как оба дохода отмечаются точками на одной и той же кривой безразличия. Величина представляет собой максимальную сумму, которую индивид готов заплатить за полное страховое покрытие потери в размере . Если фактическая цена страховки меньше , т.е. меньше разности величины начального дохода и эквивалента уверенности, то при покупке страхового полиса ожидаемая полезность для индивида будет выше, чем в отсутствие покупки. Если же фактическая цена полного страхового покрытия будет больше величины , то ожидаемая полезность для индивида будет меньше, чем ожидаемая полезность в отсутствие покупки полиса.

Возникает вопрос, захотят ли страховые компании предложить клиенту полное страховое покрытие на условиях, которые его устраивают? Так мы отправляемся на рынок страховых услуг, на рынок условных благ, например, на доход при благоприятном исходе и на доход при неблагоприятном исходе. Если по ценам и индивид покупает и продает притязания на условные блага, то его бюджетное ограничение имеет вид:

.

Такое же бюджетное ограничение имеет место в случае формирования дохода потребителя при наличии начального запаса, используя который индивид покупает и продает притязания на условные блага. Но это бюджетное ограничение, с наклоном, определяемым относительной ценой дохода при благоприятном исходе .

Допустим, что страховая компания нейтрально относится к риску. Какая самая низкая цена, по которой компания готова предложить клиенту полное страховое покрытие? Другими словами, какую часть своего дохода при благоприятном исходе должен передать страховой компании ее клиент, чтобы иметь одинаковый доход при обоих исходах - благоприятном и неблагоприятном.

Обозначим резервную цену предложения страховых услуг компании Страховая компания, будучи нейтральной к риску, обосновывает свое решение о предоставлении услуги по страхованию по сравнению значений ожидаемой стоимости. Издержки, связанные с оформлением и предоставлением полиса, приравняем к нулю. Тогда компания выплатит сумму с вероятностью и нулевую сумму с вероятностью . Ее ожидаемые издержки составят и она предоставит полис, если доход от его продажи превысит ожидаемые издержки. Следовательно, резервная цена предложения страховой компании равна:

.

В ситуации, представленной на рисунке 4.2.1, рынок страхования может существовать, так как резервная цена предложения страхования меньше резервной цены спроса на него. Резервная цена предложения страхования равна отрезку , резервная цена спроса равна . Названное соотношение резервной цены предложения страхования и спроса на него характерно для справедливого страхования, когда наклон бюджетного ограничения при страховании - отношение цен притязаний на доход в отсутствие и при наступлении страхового случая равен отношению вероятностей этих исходов.

Если в сфере предоставления полисов существует конкуренция между страховыми компаниями, соответствующая признакам совершенной конкуренции, и не учитываются издержки оформления и предоставления полисов, то при равновесной цене страхования прибыль равна нулю. Это означает, что страхования компания должна предоставить справедливое страхование, при котором относительная цена страхования равна . В таком случае страхуемый индивид продает рисковое притязание на доход при хорошем исходе и покупает гарантированный уровень дохода , а получаемая им полезность составляет величину , соответствующую кривой безразличия , рис. 4.2.1.

В положении равновесия на рынке страхования ожидаемый доход индивида соответствует тому уровню ожидаемого дохода, который он имел бы в отсутствие страхования, но теперь он не несет никакого риска. Если бы страховая компания запросила бы несправедливую цену за страхование, то не склонный к риску индивид все равно купил бы страховку, но продолжал бы нести риск.

Допущение о рисконейтральности страховой компании не влияет на выводы применительно других страховых компаний - не склонных к риску, склонных к риску. Страховые компании несут малый риск, так как продают очень большое количество страховых полисов и таким образом объединяют большое число независимых рисков. Это снижает риск (см. 4.1. Совместное несение рисков). По закону больших чисел страховые компании способны точно оценивать свои издержки.

Таким образом, страхование представляет собой рыночный механизм объединения рисков, весьма привлекательный для экономических субъектов не склонных к риску. С помощью специально создаваемых институтов осуществляется рассредоточение рисков. Так, в акционерном обществе держатели акций совместно владеют специфическим рисковым активом. Акционерное финансирование представляет собой один из способов рассредоточения риска фирмы между держателями ее акций. В условиях ускорения научно-технического прогресса создание компаний по управлению совместными фондами рискового финансирования стало важнейшим способом привлечения и осуществления инвестиций в разработки и внедрение наукоемких технологий и продукции.

4.3 Уклонение от налогов

Уклонение от налогов представляет собой выбор в условиях неопределенности. Если предпринимателя, уклоняющегося от уплаты налога, не выявила налоговая инспекция, то он будет в выигрыше. В противном случае - уклоняющийся от уплаты налога проиграет. Теория выбора в условиях неопределенности позволяет моделировать такое поведение.

Некий предприниматель располагает до налогообложения доходом Он должен уплатить налог в размере руб. за каждую единицу дохода, т.е. общая сумма налога составит третью часть его дохода. Каждый рубль, скрытый от налогообложения, составит выигрыш в размере рубля. Вероятность проверки дохода составляет , и при проверке обман обязательно раскроется. В таком случае придется заплатить штраф в размере рубля за каждую единицу скрытого дохода. Кроме штрафа предприниматель обязан заплатить еще и налог.

Условными благами в нашем примере выбора являются доход в отсутствие проверки и доход в случае проверки На рисунке 4.3.1 эти величины отложены по осям координат. Если предприниматель не склонен к риску, то его предпочтения представлены кривыми безразличия выпуклыми относительно начала координат. В точках на линии уверенности норма замещения на равна , т.е. равна отношению вероятностей проверки и непроверки дохода.

Если предприниматель заплатит налог в размере , то его доход составит , независимо от того, будет проверка или не будет. Набор начального запаса на рисунке отмечен точкой .

Предположим, предприниматель уклоняется от уплаты налога. Если не будет проверки, то на каждом скрытом рубле он выигрывает 1/3 рубля. Если проверка состоится, 0,8 каждого рубля из дохода предпринимателя пойдет на уплату штрафа. Бюджетная линия предпринимателя представлена отрезком, соединяющим точки и с наклоном . Начальный запас уже включает уплату налога, поэтому перемещение влево от точки означает уплату и штрафа и налога. Не имеет смысла продлевать бюджетную линию до оси абсцисс потому, что предприниматель не платит налог с большего дохода, чем имеющегося у него фактически. Не имеет смысла продлевать бюджетную линию и до оси ординат, поскольку не выплачиваются обратные выплаты налогоплательщику в случае заявленного отрицательного дохода, т.е. убытков.

Предприниматель максимизирует полезность в точке , где его доход в случае отсутствия проверки составляет , т.е. на величину от точки начального запаса Это означает, что он не доплачивает налог в размере Этой величине соответствует сокрытие налога в размере При налоговой ставке недоплата 200 рублей означает сокрытие 600 рублей дохода.

Допустим, налоговая инспекция выявила факт уклонения от уплаты налога. Выработаем меры предупреждения уклонения от уплаты налога. Будем исходит из посылки, что не склонный к риску индивид не станет играть в справедливую игру. Поэтому при размере штрафа в таком отношении к вероятности проверки , для которого ожидаемый выигрыш от успешного сокрытия одного рубля был равен ожидаемым потерям при выявлении нарушителя, предпринимателю будет невыгодно уклоняться от налога. При заданных величинах и , есть та величина штрафа, которая превращает уклонение от налога в справедливую игру. Тогда такая игра есть игра с нулевой ожидаемой стоимостью, для которой должно выполняться условие:

,

или для :

.

Таким образом, во избежание уклонения от налогов штраф должен быть равен, по меньшей мере, отношению вероятностей выявления и не выявления нарушителя, умноженному на налог.

5. Задача оптимизации инвестиционного портфеля

5.1 Спрос на рисковые активы

Под активом понимают любой источник, обеспечивающий поступления дохода его владельцу в денежной форме. Если Вы имеете срочный счет в банке, то банк ежегодно или в другие сроки (ежемесячно, каждые три месяца и т.п.) выплачиваем проценты, которые причисляются к основному счету. Если в аренду сдается дом, то его владелец получает рентный доход.

Рисковый актив является источником денежных поступлений, величина которых зависит не только от конкретных факторов, но и от случая, т.е. предстоящие поступления неопределенны. Примером рискового актива являются обыкновенные акции любой компании. Неизвестно, поднимется или упадет со временем курс ее акций, будет ли продолжена выплата дивидендов, и в каком размере и т.п. Даже долгосрочные государственные облигации, которые имеют срок погашения 10 или 20 лет, имеют элемент риска. Могут вырасти темпы инфляции, обесценивающие выплаты процентов и номинал в реальном выражении.

Свободный от риска, т.е. безрисковый актив, обеспечивает денежные поступления в заранее установленном размере. Примером безрискового актива являются казначейские векселя США - краткосрочные государственные облигации, которые погашаются через несколько месяцев и являются почти безрисковым активом.

Доходность актива определяется отношением общего объема денежных поступлений к его цене. Так, если цена дома, который сдается в аренду, выросла с 10 до 11 млн. д.е., чистый рентный доход составляет 0,5 млн. д.е., тогда доходность актива в абсолютном выражении составила (11 - 10)+ 0,5 =1,5 млн. д.е., в относительном выражении - 1,5/10=0,15 или на 15%. Реальная доходность актива с поправкой на инфляцию равна номинальной доходности минус темп инфляции.

Ожидаемая доходность есть математическое ожидание его доходности, т.е. доходность, которую актив принесет в среднем. На длительном временном промежутке ожидаемая доходность близка к средней величине.

Различные активы имеют разную ожидаемую полезность. В нижеследующей таблице приведены данные об ожидаемой доходности и величине риска по инвестициям в США.

Таблица Риск и прибыль активов в США (1926-1991 гг.)

Ценные бумаги	Ожидаемая реальная доходность (%)	Величина риска (среднее отклонение, %)
Обычные акции	8,3	21,2
Долгосрочные промышленные облигации	0,9	8,5
Казначейские векселя	0,15	3,4

Ожидаемая реальная доходность по долгосрочным промышленным облигациям и казначейским векселям составляла менее 1%, в то время как доходность типичной акции - более 8%. Типичная акция в отличие от облигаций и векселей является рисковым активом. Величина риска, измеряемая в показателях среднего квадратичного отклонения реальной доходности, равна 21,2% для обычной акции, 8,5% -для долгосрочных корпоративных облигаций и 3,4% - для казначейских билетов. Таким образом, чем выше доход от инвестиций, тем больше связанный с этим риск. Спрос на активы зависит не только от ожидаемой доходности, но и от риска.

Рассмотрим ситуацию, когда инвестор вкладывает свои сбережения в активы двух видов: в казначейские векселя, которые практически не сопряжены с риском, и в акции, являющиеся рисковым активом. Надо определить, какую часть средств следует вложить в казначейские билеты, а какую часть - в акции.

Допустим - доходность от казначейских векселей, свободная от риска; - ожидаемая доходность от акций, купленных на фондовой бирже, - реальная доходность, связанная с риском. Между ожидаемой и реальной доходностями существует зависимость , т.е. ожидаемая доходность представляет собой математическое ожидание реальной доходности, которая является случайной величиной. Для , не являющейся случайной величиной, .

У рисковых активов ожидаемая доходность выше, чем у безрисковых, т.е. . Если бы это было не так, то рискофобы приобретали бы только казначейские билеты и не покупали бы акции.

Допустим, инвестор размещает долю средств на фондовой бирже, приобретая акции, а доля средств используется им для покупки казначейских векселей. Ожидаемая доходность, т.е. математическое ожидание доходности всего набора ценных бумаг равна средневзвешенным значениям ожидаемых доходностей (математических ожиданий доходностей) двух активов

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Риск от такого набора ценных бумаг определяется с помощью дисперсии (квадратичного отклонения) общей доходности всего набора ценных бумаг.

Допустим - дисперсия ( - среднее квадратичное отклонение) доходности от вклада в фондовую биржу. Дисперсия доходности набора (портфеля) ценных бумаг по определению дисперсии

Используя выражение, можно записать, что

,

.

Согласно выражению имеем

Откуда следует, что ожидаемая доходность имеет вид

.

Выражение с экономической точки зрения отражает взаимосвязь между риском и ожидаемым доходом (математическим ожиданием доходности) . В тоже время представляет собой уравнение бюджетной прямой в плоскости и . Угловой коэффициент прямой (5.1.3), т.е. наклон прямой, равен

.

С точки зрения экономического содержания дробь (5.1.4) представляет цену риска, а ее обратная величина показывает, насколько возрастет риск инвестора, если он пожелает получить дополнительную единицу ожидаемой доходности

.

Линия безразличия инвестора отражает зависимость размеров риска и ожидаемой доходности. Рост размеров риска следует компенсировать повышением ожидаемой доходности. С ростом ожидаемой доходности растет риск.

На рис.5.1.1. представлена карта кривых безразличия инвестора тремя линиями безразличия: . Линия касается бюджетной прямой в точке с координатами . Это означает, что ожидаемая доходность инвестора равна , а риск равен , откуда . Поэтому оптимальный инвестиционный портфель инвестора имеет вид . Точка касания линии безразличия инвестора с бюджетной прямой имеет координаты . Так как , то инвестор более склонен к риску, инвестор менее склонен к риску.

5.2 Принятие решений в условиях неопределенности

В условиях неопределенности вероятности результатов принятых решений неизвестны или не имеют оценок. В условиях риска вероятности результатов принятых решений известны и для них могут быть получены оценки.

Сформулируем и решим задачу оптимизации принимаемых решений, используя таблицу эффективности. В задаче конечное число ситуаций и конечное число принимаемых решений. Если решение принимается в ситуации , то эффективность этого решения определяется показателем .

Таблица эффективностей

		Ситуации
				…		…
Решения				…		…
				…		…
	…	…	…	…	…	…	…
				…		…
	…	…	…	…	…	…	…
				…		…

В ситуации наиболее эффективным является решение . Тогда Если в ситуации принимается решение такое, что , то потери , которые появляются в связи с принятием решения , равны . Построим таблицу потерь, в которой вместо показателей эффективности представлены потери .

Таблица потерь

		Ситуации
				…		…
Решения				…		…
				…		…
	…	…	…	…	…	…	…
				…		…
	…	…	…	…	…	…	…
				…		…

Если ситуация появляется с вероятностью , ситуация - с вероятностью , …, ситуация - с вероятностью , то решение принимается в условиях риска. В этом случае средние потери первого варианта принимаемых решений равны:

потери второго варианта равны:

потери -го варианта равны:

.

Предпочтение отдается тому решению , для которого средние потери минимальны. Средние потери решения можно трактовать как средневзвешенный показатель риска решения , тогда решение с минимальным средневзвешенным риском должно предпочитаться остальным решениям . Решение, предпочитаемое остальным решениям, называется оптимальным решением.

Если вероятности появления ситуаций неизвестны или для них невозможно получить какие-либо удовлетворительные оценки, приходится принимать решение в условиях неопределенности.

Классическими критериями принятия решения в условиях неопределенности являются:

- принцип недостаточного обоснования Лапласа,

- максиминный критерий Вальда,

- минимаксный критерий Сэвиджа,

- критерий обобщенного максимина (пессимизма - оптимизма) Гурвица.

Принцип недостаточного обоснования Лапласа применяется, если все ситуации равновероятны. В таком случае выбирается решение , у которого средневзвешенный показатель риска минимален, т.е.

,

при условии, что

.

Выбираемое решение называется оптимальным по принципу недостаточного обоснования Лапласа.

Максиминный критерий Вальда используется, когда показатель эффективности в любой ситуации должен быть не меньше, чем наибольший показатель эффективности из возможных наихудших показателей. Формально максиминный критерий Вальда имеет вид:

.

В каждой строке таблицы 5.2.1 выбрать минимальный элемент , а потом из этих минимумов выбрать максимальный элемент. Если это будет элемент , тогда решение должно предпочитаться всем остальным. Решение, предпочитаемое всем остальным решениям, называется оптимальным по максиминному критерию Вальда.

Максиминный критерий Вальда ориентирует предпринимателей на слишком осторожную стратегию поведения. Поэтому этот критерий используется, когда необходимо обеспечить успех при любых возможных условиях.

Минимаксный критерий Сэвиджа используется, когда требуется при любых условиях избежать большого риска. Формально минимаксный критерий Сэвиджа имеет вид

.

В каждой строке таблицы 5.2.2 выбрать максимальный элемент , затем из этих максимумов выбрать минимальный элемент . Тогда решение должно предпочитаться всем остальным решениям. Решение , предпочитаемое остальным решениям, называется оптимальным по минимаксному критерию Сэвиджа.

Критерий Сэвиджа ориентирует предпринимателей также на осторожную стратегию поведения. Но в отличие от критерия Вальда получения гарантированной эффективности критерий Сэвиджа минимизирует возможные потери. Это особенно важно, если конкуренты уже успели реализовать все свои преимущества.

Критерий обобщенного максимина (пессимизма - оптимизма) Гурвица используется, если требуется выбирать что-то промежуточное между двумя крайними стратегиями - стратегией, рассчитанной на получение худшего, и стратегией, рассчитанной на получение лучшего.

Критерий обобщенного максимина Гурвица имеет вид , где

,

в котором скалярный множитель фиксирован. Если , тогда решение должно предпочитаться всем остальным решениям. Решение , предпочитаемое всем остальным решениям, называется оптимальным по критерию обобщенного максимина Гурвица. Если скалярный множитель изменить, то появится новое оптимальное решение.

При критерий обобщенного максимина совпадает с критерием максимина Вальда. При имеем максимальный критерий ,

ориентированный на максимальную эффективность, которая сопряжена с большим риском. Значения параметра между 0 и 1 являются промежуточными между осторожностью и большим риском и выбирается в зависимости от конкретной ситуации и склонности экономического субъекта к риску.

На одном и том же примере рассмотрим принятие решения в условиях неопределенности, используя принцип недостаточного обоснования Лапласа, максиминный критерий Вальда, минимаксный критерий Сэвиджа и критерий обобщенного максимина Гурвица.

Используем следующую таблицу эффективностей.

Таблица

		Ситуации
Решения		0,3	0,4	0,6
		0,7	0,25	0,45
		0,4	0,9	0,15
		0,85	0,2	0,5

Каждый показатель эффективности представляет собой относительную величину: прибыль на единицу выпускаемой продукции, валовой доход на единицу продукции и т.д.

На основе таблицы эффективности построена таблица потерь.

		Ситуации
Решения		0,55	0,5	0
		0,15	0,65	0,15
		0,45	0	0,45
		0	0,7	0,1

Допустим вероятности появления ситуаций соответственно равны . Тогда

Поскольку средние потери минимальны, постольку решение является наименее рискованным.

Используем принцип недостаточного обоснования Лапласа. Пусть . Тогда

.

Поскольку средние потери минимальны, постольку следует в качестве оптимального выбрать решение .

Используя максиминный критерий Вальда, построим нижеследующую таблицу эффективностей.

Минимальные элементы всех строк записаны в правом крайнем столбце. В самом нижнем правом столбце записан максимальный элемент среди всех элементов правого столбца, т.е.

.

	0,3	0,4	0,6	0,3
	0,7	0,25	0,45	0,25
	0,4	0,9	0,15	0,15
	0,85	0,2	0,5	0,2
	0,3

Из таблицы следует, что в качестве оптимального следует выбрать решение .

Используем минимаксный критерий Сэдвижа, построим таблицу потерь.

	0,55	0,5	0	0,55
	0,15	0,65	0,15	0,65
	0,45	0	0,45	0,45
	0	0,7	0,1	0,7
	0,45

Максимальные элементы всех строк записаны в крайнем правом столбце. В самом нижнем правом столбце записан минимальный элемент среди всех элементов правого столбца, т.е. . Отсюда следует, что в качестве оптимального следует выбрать решение

Используем критерий обобщенного максимума Гурвица. При будем иметь случай максиминного критерия Вальда с оптимальным решением .

При заполним таблицу эффективностей

	0,3	+		0,6	=	0,42
	0,25			0,7		0,4
0,67	0,15		0,33	0,9		0,4
	0,2		0,85		0,41
		0,42

В левом столбце расположены минимальные элементы всех строк таблицы, во втором столбце - максимальные элементы всех строк. Третий столбец представляет собой выпуклую комбинацию первых двух столбцов. Самый нижний элемент последнего столбца представляет максимальный элемент последнего столбца. Следовательно, при оптимальное решение представлено .

Если , то таблица эффективностей имеет вид:

	0,3	+		0,6	=	0,5
	0,25			0,7		0,55
0,33	0,15		0,67	0,9		0,52
	0,2		0,85		0,64
		0,64

При оптимальным является решение .

Если , то таблица эффективностей имеет вид:

т.е. при оптимальным является решение . Таким образом, в приведенном примере в условиях риска наименее рискованным является решение Оптимальным решением

по критерию Лапласа является решение ;

по критерию Вальда - ;

по критерию Сэвиджа - ;

по критерию Гурвица при оптимальным является решение , при - решение , при - решение , при - решение .

Самыми осторожными из четырех решений являются и а самым рискованным предстало решение .

В разделе проанализированы модели выбора индивида в пространстве обусловленных благ в случае совместного несения рисков. Обосновано оптимальное объединение рисков. На рынке страховых услуг рассмотрен случай полного страхового возмещения страховой компанией убытков индивида. Задача оптимизации инвестиционного портфеля рассмотрена с позиций критериев принятия решения в условиях неопределенности - принципа недостаточного обоснования Лапласа, максиминного критерия Вальда, минимаксного критерия Сэвиджа, критерия обобщенного максимина (пессимизма - оптимизма) Гурвица. С учетом названных критериев выбрано оптимальное решение на примере одной ситуации и приведен сравнительный анализ решений.

Проектное задание

Изучив теоретические положения раздела, необходимо использовать их для ответа на контрольные вопросы и в решении заданий рубежного контроля. Обосновать величину оптимального дохода в условиях отсутствия совместного несения рисков и объединения рисков предпринимателей. Определить оптимальные размеры дохода инвестиционного портфеля, ожидаемую доходность набора ценных бумаг. Показать, как используются принцип недостаточного обоснования Лапласа, максиминный критерий Вальда, минимаксный критерий Сэвиджа и обобщенный максимин Гурвица в принятии решений инвестором в условиях неопределенности.

1. Иванов и Петров любят рыбалку, и каждый имеет функцию полезности , где - количество пойманной рыбы. Вероятность поймать одну рыбину для каждого составляет 1/10, а поймать две рыбины ни один из них не в состоянии. Объединятся ли рыболовы в синдикат «Совместный риск»?

2. Предприниматель размышляет, куда вложить средства, полученные от удачно реализованного проекта: или осуществить еще один проект или положить деньги в надежный банк. Годовой доход на вложение в банк составит 1600 тыс. руб., а годовой доход от реализации проекта зависит от того, насколько успешно проект будет реализован. В случае неблагоприятно сложившихся обстоятельств доход составит 400 тыс. руб., а в благоприятных условиях - 6400 тыс. руб. Вероятность неблагоприятных обстоятельств составляет 0,5, а функция фон Неймана - Моргенштерна имеет вид: , где - годовой доход в тыс. руб. Создание благоприятных обстоятельств связано с дополнительным расходом предпринимателя. Возникают вопросы:

- какую альтернативу выберет предприниматель, если он не сможет своевременно создать благоприятную ситуации, понеся при этом дополнительный расход?

- максимальная цена, которую согласился бы заплатить предприниматель за создание благоприятных обстоятельств для своего бизнеса, составит 924 тыс. руб., или это будет другая сумма.

- изменится ли выбор предпринимателя, если ему удастся создать благоприятную ситуацию всего за 300 тыс. руб. Каков будет при этом достигаемый уровень полезности?

3. Большинство людей, если есть выбор между и , где = 1 млн. долл. наверняка, млн. долл. с вероятностью выберут Большинство людей также, если есть выбор из и , где

млн. долл. с вероятностью ,

млн. долл. с вероятностью

выберут . Покажите, что согласно выводам фон Неймана-Моргенштерна, это поведение непоследовательно.

4. В лотерею можно ничего не выиграть с вероятностью , выиграть 10 руб. с вероятностью , выиграть 50 руб. с вероятностью , выиграть 100 руб. с вероятностью . Выполните следующие задания:

- определите математическое ожидание участника лотереи;

- определите дисперсию всех исходов лотереи, квадратичное отклонение и вариацию;

- определите премию за риск участника лотереи, если участник рискофоб, рисконейтрал, рискофил.

5. Вложение в бизнес имеет три возможных исхода: получение прибыли 2000д.е. с вероятностью , получение прибыли 800 д.е. с вероятностью , получение убытка 300 д.е. с вероятностью . При заданных условиях

- найдите математическое ожидание этого неопределенного вложения в бизнес;

- найдите дисперсию всех возможных исходов, среднее квадратичное отклонение и вариацию.

6. Предстоящее лето может оказаться дождливым или засушливым. Вероятность дождливого лета равна , вероятность сухого лета - . Есть два варианта решений - закончить отложенную работу или отдохнуть. Информация о возможных исходах представлена в платежной таблице.

		Ситуации
		Дождливое лето	Засушливое лето
Решения	Работать	1000	1500
	Отдыхать	-500	-800
	Вероятности	0,3	0,7

- какое решение примет рискофоб, рисконейтрал, рискофил?

- проиллюстрируйте на графике все три случая.

7. После окончания университета Максиму предлагают два места работы. Безопасная работа преподавателем с заработной платой в тыс. руб. и опасная работа менеджером полукриминальной фирмы, где его доход составит тыс. руб. Вероятность получить «травмы» на работе равна 40%. Функция полезности Максима , где в случае получения «травмы» и без травмы. Какова должна быть премия за риск, чтобы максим предпочел стать менеджером?

8. Стоимость дома составляет 500 тыс. рублей. В случае пожара его стоимость уменьшается до 300 тыс. рублей. Вероятность пожара равна 10%. Страховая компания предлагает страховку по цене 200 руб. за каждую тысячу возмещенного ущерба. Стоит ли покупать страховку человеку, не склонному к риску? Является ли данная страховка справедливой игрой?

9. Существует вероятность, равная 0,1, что строение может обрушиться. Если это произойдет, то уровень потребления собственника строения будет равен 30 тыс. долл., в противном случае он составит 50 тыс. долл. Собственник может приобрести страховку по цене 0,2 долл. за 1 долл. страховой премии. Будет ли такой страховой полис справедливым? Нарисуйте бюджетное ограничение и кривые безразличия собственника строения, считая, что он не расположен к риску.

10. Страховая компания определяет объем премии за риск. Если у Петровых с 3-го этажа произойдет утечка воды из ванной и запортит потолок после «евроремонта» у Ивановых, живущих на 2-м этаже, то компании придется выплатить 80000 руб. Вероятность такого события равна 1 против 99. Справедливая премия компании за риск должна быть равна:

- более, чем 800 руб.;

- менее, чем 800 руб.;

- точно 800 руб.;

- для ответа на вопрос недостаточно информации.

11. Дана таблица эффективности

		Ситуации
Решения		0,9	0,5	0,4	0,3
		0,4	0,2	0,7	0,5
		0,5	0,8	0,5	0,2
		0,3	0,6	0,3	0,6

- постройте таблицу потерь;

- найдите оптимальное решение в условиях риска, если вероятность появления ситуации равна , ситуации равна , ситуации - , ситуации - ;

- найдите решение, оптимальное по принципу недостаточного обоснования Лапласа;

- найдите решение, оптимальное по максиминному критерию Вальда;

- найдите решение, оптимальное по минимаксному критерию Сэвиджа;

- найдите решение, оптимальное по критерию обобщенного максимина Гурвица для .

12. Функция полезности предпринимателя имеет вид , где - доход, а параметр . Все расчеты проводите для

Доход равен 40 д.е. Предпринимателю предлагают новые условия, в которых равновероятностно его доход может вырасти на 30 д.е., но может уменьшиться на 20 д.е. Примет ли предприниматель новые условия?

Сколько будет стоить страховка, приобретаемая в целях элиминирования неопределенности, связанной с новыми условиями.

13. Приведите в графической и аналитической формах пример функции полезности предпринимателя, - его доход, который при низком доходе является рискофобом, а при высоком доходе - рискофилом.

Литература

1. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. М.: ЮНИТИ. 1997. Гл. 12.

2. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения. М.: ДИС. 2002.

3. Дж. Фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. М. Наука. 1970.

4. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА-М. 1999.

5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС. 1997.

6. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс. 2002. Гл. 7.6.

7. Кац М., Роузен Х. Микроэкономика. Мн.: Новое знание. 2004. Гл. 6.

8. Качалов Р.М. Управление хозяйственным риском. М.: Наука. 2002.

9. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос. 2002.

10. Льюис Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. М.: ИЛ. 1961.

11. Найт Ф.Х. Риск, неопределенность и прибыль. М.: Дело. 2003.

12. Розанова Н.М. Микроэкономика - 2. М.: ТЕИС. 1998.

13. Ступаков В.С., Токаренко Г.С. Риск-менеджмент. М. Финансы и статистика. 2005.

14. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. М. Русская деловая литература. 1999. Гл. 8-9, 11, 21.

15. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2005. Гл. 19-20.

16. Черемных Ю. Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2008. Гл. 5.

17. Хэй Д., Моррис Д. Теория организации промышленности: В 2-х т. СПб.: Экономическая школа. 1999. Т. 1. Т. 2.

Размещено на Allbest.ru