Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Производственные функции как модель производства
• 1. Производственная функция как модель процесса производства
• 1.1 Производственная функция и ее свойства
• 1.2 Производство с одним переменным фактором
• 1.3 Максимизация прибыли с одним переменным фактором в краткосрочном периоде. Изопрофиты
• 2. Производство с двумя переменными факторами
• 2.1 Максимизация прибыли в условиях совершенной конкуренции
• 2.2 Максимизация прибыли в условиях несовершенной конкуренции
• 2.3 Концепция выявленной максимизации прибыли, ее практическое значение
• 3. Изменение спроса фирмы на труд и на капитал
• 3.1 Изменение спроса фирмы на труд и на капитал при изменении выпуска и цены одного фактора
• Заключение по разделу
• Издержки производства и доход фирмы
• 1. Издержки производства в краткосрочном и долговременном периодах
• 1.1 Издержки производства в краткосрочном периоде
• 1.2 Издержки производства в долгосрочном периоде
• 1.3 Изокоста - прямая равных издержек
• 1.4 Концепция выявленной минимизации издержек
• 1.5 Доход фирмы. Общий, предельный доход и эластичность спроса
• Заключение по разделу
• Литература

Производственные функции как модель производства

Производство - важнейшая сфера деятельности фирмы, в которой создаются продукция и услуги в результате использования факторов производства. Производственные функции являются экономико-математическими моделями, отражающими зависимость между выпуском продукции, с одной стороны, затратами факторов производства и показателями технического прогресса, с другой. Производственные функции широко используются в теории фирмы в решении задач минимизации издержек, максимизации прибыли, в определении возможностей замещения факторов производства и их эффективного сочетания. Производственные функции используются в анализе типов технического прогресса, его роли в обеспечении экономического роста, в измерении производительности факторов производства и в решении многих других теоретических и прикладных задач.

Основная цель изучения производственных функций состоит в углубленном изучении студентами предмета, методологических средств и методов анализа экономических процессов, протекающих в производстве и используемых в принятии решений менеджерами.

Для достижения цели решается совокупность задач:

проанализировать производственную функцию как модель процесса производства;

изучить процесс производства в краткосрочном периоде, определить предельные и средние продукты факторов производства и взаимосвязь между ними;

рассмотреть процесс максимизации прибыли в краткосрочном периоде;

проанализировать максимизацию прибыли фирмой в случае, если все факторы производства являются переменными величинами; обосновать необходимое и достаточное условие максимизации прибыли для совершенной и несовершенной конкуренции;

вывести зависимость, отражаемую в слабой аксиоме максимизации прибыли, и показать ее практическое применение;

изменить изменение спроса фирмы на труд и капитал при изменении объема выпуска и цены одного товара.

В разделе используется методология теории факторов производства, применявшаяся в исследованиях Р. Алленом, Дж. Хиксом, Р. Солоу, Р. Эрроу и другими экономистами - лауреатами премии А. Нобеля по экономике. В моделировании процесса производства широко используются методы математического анализа, дифференциальных уравнений и других дисциплин.

1. Производственная функция как модель процесса производства

1.1 Производственная функция и ее свойства

Под производством в современной микроэкономике понимается деятельность по использованию факторов производства с целью создания продукта или услуги и достижения наилучшего результата. В процессе производства используются факторы производства: труд, капитал, земля и др. Можно выделить составные части каждого фактора и рассматривать их как самостоятельные факторы. Например, в факторе "труд" могут быть выделены труд менеджеров, инженеров, рабочих и т.д.

В экономической теории выделяют первичные факторы производства, которые в соответствии с теорией факторов производства (ее связывают с именем французского экономиста Жана Б. Сэя) создают новую стоимость. К ним относятся труд, капитал, земля и предпринимательские способности. Вторичные факторы не создают новую стоимость. В современном производстве возрастает роль энергии и информации, им присущи признаки первичных и вторичных факторов.

В моделях процесса производства, в производственных функциях, учитываются два основных фактора: труд и капитал . Это позволяет проанализировать важнейшие связи и зависимости в процессе производства без упрощения их реального содержания.

Производственная функция выражает технологическую взаимосвязь между конечным выпуском и затратами факторов производства и . В неявном виде она записывается следующим образом:

,

где - форма функции;

- максимальный выпуск, который можно получить при используемой технологии и имеющемся количестве факторов производства ( и ).

В производственной функции выпуск, затраты труда и капитала измеряются в натуральных единицах (выпуск в метрах, тоннах и т.п., затраты труда в человеко-часах, капитала - в машино-часах и т.п.).

Примером производственной функции, в явном виде представляющей зависимость между выпуском и затратами факторов производства, является функция Кобба-Дугласа:

, ,

где - эффективность технологии;

- частная эластичность выпуска по труду;

- частная эластичность выпуска по капиталу.

Функция была выведена математиком Ч. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 г. на основе статистических данных обрабатывающей промышленности США. Эта сегодня широко известная функция обладает рядом замечательных свойств. Ниже проанализируем экономический смысл ее параметров. Функция Кобба-Дугласа описывает экстенсивный тип производства.

Если используются факторов производства, то производственная функция имеет вид:

,

где - количество используемого -го фактора производства.

Свойства производственной функции состоят в следующем.

1. Производственные факторы являются взаимодополняющими. Это значит, если затраты хотя бы одного фактора равны нулю, то и выпуск равен нулю: . Исключение составляет функция . В соответствии с такой функцией можно использовать только труд или только капитал, и выпуск не будет равен нулю.

2. Свойство аддитивности означает, что можно объединить факторы производства и . Но объединение целесообразно лишь в том случае, если выпуск после объединения превышает сумму выпусков до объединения факторов производства: .

3. Свойство делимости означает, что процесс производства может осуществляться в сокращенных масштабах, если выполняется следующее условие:

,

где - любое положительное число. При уменьшении числа рабочих и объема капитала вдвое выпуск продукции сократится не более чем наполовину. Данное свойство не выполняется на малых предприятиях, где производственная деятельность при уменьшающихся масштабах либо невозможна, либо неэффективна. Такое свойство характерно для функции, отражающей процесс производства в отрасли или в народном хозяйстве.

4. Отдача от масштаба. Если затраты и изменяются в раз, как правило, возрастают, то выпуск изменяется в раз: .

При этом, если , то имеем неизменную отдачу от масштаба; если - возрастающую отдачу от масштаба; если , то имеет место убывающая отдача от масштаба. При неизменной отдаче средние издержки фирмы не изменяются, при возрастающей - снижаются, при убывающей - возрастают.

Изокванта (или кривая постоянного продукта - (isoquant) представляет собой график производственной функции. Точки на изокванте отражают множество комбинаций факторов производства, использование которых обеспечивает одинаковый выпуск продукции.

Изокванты характеризуют процесс производства подобно тому, как кривые безразличия процесс потребления. Они имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат. Изокванта (рис.3.1), лежащая выше и правее другой изокванты, представляет больший объем выпускаемой продукции ( изделий, , ).

Однако, в отличие от кривых безразличия, где общую полезность набора товаров точно измерить нельзя, изокванты показывают реальный объем производства. Совокупность изоквант, каждая из которых представляет максимальный выпуск продукции, получаемый при использовании факторов производства в различных сочетаниях, называется картой изоквант (isoquant map).

издержка функция доход производство

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реальная изокванта с выпуском представлена на рис 3.1а в трехмерном пространстве. Ее проекция отмечена пунктирной линией и перенесена на рис.3.1б. Если используются отмеченные сочетания факторов производства , но применяется более прогрессивная технология, то выпуск будет равен . Но проекция у изокванты с таким выпуском будет той же, что и у изокванты с меньшим выпуском.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Экономисты располагают на плоскости изокванту с большим выпуском (рис.3.1б) выше и правее изокванты с меньшим выпуском. На рис.3.1 а взаимосвязь между выпуском и затратами нарушается: выпуск получен с большими затратами труда и капитала, чем . Ниже будет показано, как на расположение изокванты оказывает влияние применяемая технология и ее параметры.

Эффективность технологии (параметр в функции Кобба-Дугласа) можно представить графически следующим образом (рис.3.2). В точках и выпуск один и тот же . На рис.3.2б изокванта представляет более эффективную технологию, так как затраты на единицу продукции здесь ниже, чем на изокванте на рис.3.2а.

1.2 Производство с одним переменным фактором

В зависимости от ситуации, складывающейся на рынке, фирма то расширяет, то сокращает объем производства. В краткосрочном периоде трудно изменить объем используемых факторов производства - установить новое оборудование, расширить производственные площади и т.п. Состояние и параметры факторов производства в краткосрочном периоде определены предшествующими решениями фирмы. В долговременном периоде все факторы производства являются переменными.

Проанализируем часто встречающийся на практике случай, когда в краткосрочном периоде объем используемого капитала остается постоянным, а затраты труда изменяются. Труд является переменным фактором. Производственная функция имеет вид: , где .

Построим кривую общего продукта (рис.3.3). До точки объем производства увеличивается быстрее затрат труда, потому что на каждого работника или на единицу труда приходится в сравнении с последующими периодами больший объем капитала. После этой точки темп роста общего продукта замедляется, достигает максимума в точке и затем начинает снижаться. В точке выпуск и затраты растут одинаковыми темпами. Кривая общего продукта иллюстрирует зависимость между выпуском и затратами одного переменного фактора.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проведем секущую линию через точки и (рис.3.4). Точка имеет координаты ; в точке прирост затрат труда позволяет увеличить выпуск, ее координаты . Таким образом, , откуда .

Отношение - измеряет предельную производительность труда на дуге. Предельная производительность труда представляет собой отношение прироста выпуска продукции к вызвавшему его приросту затрат труда. Предельную производительность можно измерить тангенсом угла, который образует секущая с положительно направленной осью абсцисс: .

Считается, что прирост выпуска обеспечен приростом затрат труда, хотя его величина зависит от объема применяемого капитала.

Если , то точка перемещается по дуге в точку , а секущая занимает положение касательной.

Тогда предельная производительность труда в точке измеряется величиной - первой частной производной производственной функции по переменному фактору - труду:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Предельную производительность труда в любой точке можно измерить тангенсом угла, который образует касательная к кривой общего продукта с положительно направленной осью абсцисс: . Частное изменение выпуска при изменении затрат труда составляет . Аналогично можно записать для капитала .

Построим кривую предельной производительности (рис.3.3). До точки предельная производительность труда растет потому, что по мере вовлечения в производство дополнительных работников все более полно используются производственные мощности фирмы и выпуск растет быстрее затрат труда. На отрезке каждый последующий дополнительный работник обеспечивает уменьшающийся прирост продукта, так как вооруженность труда капиталом уменьшается. В точке выпуск достигает максимального значения, приращение продукта - предельный продукт становится равным нулю: . После точки с увеличением затрат труда выпуск сокращается, дополнительные работники становятся избыточными, а предельный продукт - отрицательным.

Средний продукт труда, или средняя производительность труда, измеряется отношением выпуска к затратам труда. В точке она равна:

Средний продукт труда можно измерить тангенсом угла, который образует линия, соединяющая точку на кривой общего продукта с началом координат, с положительно направленной осью абсцисс. Построим кривую среднего продукта (рис. 3.3).

Средний продукт труда растет до точки . На этом отрезке с вовлечением в процесс производства дополнительной единицы труда к средней добавляется предельная, превышающая предыдущее значение предельной производительности. После точки средняя производительность снижается. На этом отрезке с вовлечением в процесс производства дополнительной единицы труда к средней добавляется предельная величина, которая меньше предыдущего значения предельной. В точке средняя и предельная производительность равны: . Касательная линия к точке и линия, соединяющая точку с началом координат, совпадают.

Кривые и являются зеркальным отражением кривых средних общих и предельных издержек фирмы в краткосрочном периоде, что будет показано ниже.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если внедрять новую технологию, то кривая общего продукта изменяет свою форму (рис.3.5).

1.3 Максимизация прибыли с одним переменным фактором в краткосрочном периоде. Изопрофиты

В краткосрочном периоде производственная функция имеет вид кривой общего продукта , если .

Функция экономической прибыли , где и - цены соответственно труда и капитала. Выразим выпуск как функцию переменной величины - затрат труда. Получим уравнение изопрофитной линии , в которой всем комбинациям , и соответствует постоянный уровень прибыли .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Наклон изопрофитной линии равен . Условие максимизации прибыли . По мере изменения величины прибыли имеем семейство изопрофитных линий - параллельных прямых с наклоном . Величина измеряет сумму реальной прибыли и постоянных издержек . Более высокие уровни прибыли отмечаются на выше расположенных изопрофитах.

Задача максимизации прибыли сводится к нахождению самой высокой точки на кривой общего продукта и самой высокой изопрофитной линии.

В этой точке наклоны названных линий будут равны. Так как наклон кривой общего продукта измеряет предельный продукт , то , что эквивалентно условию максимизации прибыли.

Если повышается цена труда, то увеличивается и наклон кривой (рис.3.7).

На линии 2 с более высоким наклоном затраты труда уменьшаются, т.е. рост цены труда ведет к сокращению потребления труда фирмой.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Допустим, растет цена продукта, тогда снижается наклон изопрофитной линии и выпуск растет.

Это свидетельствует о прямой зависимости между предложением и ценой товара, что подтверждает действие закона предложения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если изменяется цена капитала , то в коротком периоде его потребление не изменится. Изменение цены капитала не изменяется наклон изопрофитной линии, не изменяются затраты труда и выпуск , но изменяется прибыль фирмы.

2. Производство с двумя переменными факторами

2.1 Максимизация прибыли в условиях совершенной конкуренции

Заданный объем производства можно произвести при различном сочетании затрачиваемых ресурсов. Среди них находится сочетание, обеспечивающее минимум затрат. При выполнении правила наименьших издержек каждый рубль, затрачиваемый на любой ресурс, позволяет фирме получить одинаковый предельный продукт.

Чтобы прибыль фирмы была максимальной, недостаточно минимизировать издержки. Существует несколько объемов производства, при которых продукт можно производить с минимальными затратами, и только один объем выпуска, при котором прибыль максимальна.

Существует строгое математическое обоснование необходимых и достаточных условий получения максимальной прибыли фирмой. В теоретическом анализе используем классические методы определения экстремума затрат и прибыли. В условиях чистой конкуренции фирма покупает факторы производства по ценам и продает продукт по цене . Определим такую комбинацию затрат труда и капитала, при которой прибыль фирмы максимальна.

На основе определения экономической прибыли запишем ее функцию:

. (3.1)

Необходимым условием максимума прибыли - функции двух переменных - является равенство нулю первых частных производных:

, или

(3.2)

Решим систему уравнений (3.2) и определим расходуемые количества труда и капитала как функции факторных цен и цены продукта, тем самым определим, как говорят математики, критические точки. Условие (3.2) можно представить в форме . Оно означает, что для достижения максимума прибыли необходимо, чтобы предельная норма технологического замещения (левая часть равенства) была равна соотношению цен факторов производства. При выполнении такого условия фирма обеспечит минимальные издержки на выпуск. Необходимое условие максимизации прибыли позволяет определить не одно, а несколько сочетаний затрат труда и капитала, обеспечивающих минимальные издержки при различных выпусках. В этом заключается экономическое содержание необходимого условия максимизации прибыли фирмой.

Выделим из всех найденных критических точек сочетание труда и капитала, которое обеспечит максимум прибыли и отвечает достаточному условию максимума прибыли. Из математического анализа известно, что надо исследовать, остается ли неизменным знак разности [] для всех точек, достаточно близких к каждой критической точке. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке имеем минимум, если отрицательный - то максимум прибыли. Если разность не сохраняет знака, то в критической точке нет экстремума.

Исследование иногда облегчается применением другого достаточного условия, суть которого состоит в следующем. Полный дифференциал функции прибыли равен нулю в критических точках, так как в этих точках выполняется необходимое условие экстремума функции прибыли (2.2). Запишем второй дифференциал функции прибыли и введем обозначения: . Величины и - вторые частные производные производственной функции по труду и капиталу измеряют наклоны кривых предельной производительности труда и предельной производительности капитала, имеют в любой заданной точке одинаковые знаки. Если предельная производительность труда и капитала убывает, то и - отрицательные числа. Функция прибыли имеет в критической точке экстремум, если и не имеет экстремума, если . Вопрос об экстремуме остается открытым, если .

Прибыль фирмы максимальна, если или отрицательна, прибыль минимальна, если или положительна. В критической точке выполняется достаточное условие максимума прибыли, и для затрат () определяем объем выпуска. Отсюда следует вывод: достаточное условие максимизации прибыли позволяет из всех возможных сочетаний затрат труда и капитала, обеспечивающих минимум затрат на производство продукции, выделить одно сочетание, позволяющее произвести такой объем продукции и при заданной рынком цене продукта получить максимум прибыли.

Достаточным условием максимума функции прибыли является отрицательное значение дифференциала второго порядка при любых приращениях труда и капитала , не обращающихся в нуль одновременно. Если принимает в зависимости от знака и dK положительные и отрицательные значения, то в критической точке экстремума функции прибыли нет. Если , то вопрос об экстремуме остается открытым.

Существует другой метод исследования условий, в которых фирма при минимальных издержках получает максимум прибыли. Это метод множителей Лагранжа, с помощью которого находят условный экстремум. Метод носит имя французского математика Ж.Л. Лагранжа (1736-1813). Используя такой метод, построим вспомогательную функцию Лагранжа для чистой прибыли:

. (3.3)

Она отличается от функции (3.1) слагаемым , где - множитель Лагранжа. Если фирма производит максимум продукции в соответствии с определением производственной функции, то выражение в квадратных скобках равно нулю и функция Лагранжа ведет себя точно так же, как и функция прибыли.

В действительности же нередко фирма в соответствии с изменяющейся конъюнктурой рынка производит различные объемы производства, отличающиеся от максимального возможного, и при таких объемах максимизирует прибыль. Данное обстоятельство учитывается названным выше слагаемым, максимум прибыли фирма получает при условии выпуска продукции в соответствии с технологической взаимосвязью выпуска и затрат в производственной функции.

2.2 Максимизация прибыли в условиях несовершенной конкуренции

Продукт реализуется на рынке несовершенной конкуренции. Заданы функции спроса на продукцию фирмы и предложения ресурсов. Функция спроса имеет однородную форму , где , - цена продукта, - ценовая эластичность спроса. Если , то цена продукта станет постоянной величиной и получим условия совершенной конкуренции. Обратная функция спроса , где . Валовой доход фирмы . Если , то валовой доход является постоянным, не зависящим от изменения или цены или объема выпуска . Это значит, что объем производства является заданной величиной , а, следовательно, и цена в выражении () также постоянна.

Функции предложения труда , капитала также однородны, и , и - эластичности предложения факторов производства, и , соответственно, ставка заработной платы и процент на единицу капитала.

Определим и как обратные функции предложения труда и капитала при названных условиях. Тогда , где . Затраты труда и капитала равны соответственно: .

Запишем функцию Лагранжа для экономической прибыли:

, где - множитель Лагранжа.

Необходимые условия максимизации прибыли:

Последнее уравнение добавляется, если является переменной величиной. Из системы уравнений находим:

Если , то .

Если , то

Определим факторные цены в условиях несовершенной конкуренции:

Полученные выражения отражают характер зависимости заработной платы и ставки процента от рыночных параметров - цены товара, ценовой эластичности спроса на товар, ценовой эластичности предложения труда и капитала, а также предельной производительности труда и капитала. Решая систему уравнений, представляющую необходимое условие максимизации прибыли, находим значения , , и .

Достаточное условие максимизации прибыли <0. Если оно выполняется при найденных значениях , , и , то фирма получает максимальную прибыль.

2.3 Концепция выявленной максимизации прибыли, ее практическое значение

Поскольку фирма максимизирует прибыль, ее величина должна быть не ниже того уровня, который сложился бы, если бы она по тем же ценам приобрела другое количество ресурсов и произвела другое количество продукции.

Это правило известно как слабая аксиома минимизации прибыли. При ее выполнении должны выполняться следующие неравенства:

, (3.5)

, (3.6)

где , и - оптимальные количества выпуска, капитала и труда при ценах , и ; , и - оптимальные количества выпуска, капитала и труда при ценах , и .

Поменяем местами стороны неравенства (3.6):

.

Прибавим полученное выражение к неравенству (2.5), получим:

.

Вынесем за скобки подобные члены:

.

Вновь вынесем за скобки подобные члены и перенесем все слагаемые в левую часть:

. (3.7)

Выражения в скобках неравенства (3.7) характеризуют: изменения цен на готовую продукцию , объемов выпуска , цен на капитальные ресурсы , количества капитала , цен на труд , и количества труда . Неравенство (3.7) трансформируется в неравенство (3.8):

. (3.8)

Слабая аксиома максимизации прибыли предполагает соблюдение неравенства (3.8). Если при прежней технологии производства фирма в ответ на изменения цен выпускаемой продукции или ресурсов изменяет выпуск и количества потребляемых ресурсов, то, подставляя значения соответствующих изменений в неравенство (3.8), можно дать первичную оценку деятельности фирмы. Если неравенство не соблюдается, значит, либо до изменения цен, либо после изменения, либо и до, и после изменения цен фирма не максимизировала прибыль.

3. Изменение спроса фирмы на труд и на капитал

3.1 Изменение спроса фирмы на труд и на капитал при изменении выпуска и цены одного фактора

В исходном положении фирма выпускает некоторый объем продукции в соответствии с производственной функцией , ее издержки минимальны, а прибыль максимальна. Цены ресурсов и продукта заданы рынком и остаются постоянными в коротком периоде. Положение фирмы описывается необходимыми и достаточными условиями максимизации прибыли. Но в силу изменяющейся конъюнктуры рынка спрос на продукцию фирмы увеличивается (сокращается) и она расширяет (сокращает) объем выпуска. Другими словами, объем выпуска становится переменной величиной при прочих равных условиях, т.е. при постоянных ценах ресурсов, цены продукта и других параметрах. Следует отметить, что получить ответ на вопрос, как изменится спрос на труд и капитал при изменении выпуска, не используя математические методы анализа, просто невозможно.

Воспользуемся уравнениями (2.4), описывающими исходное положение фирмы, которая использует два фактора производства, выпускает один продукт и получает максимум прибыли:

.

Продифференцируем эти уравнения по переменной , так как изменяется выпуск. Экономический смысл дифференцирования состоит в следующем. Выпуск получает приращение, изменяется на бесконечно малую величину. Приращение может быть положительным - выпуск увеличивается и отрицательным - выпуск уменьшается. Это вызывает изменение спроса фирмы на труд и капитал. Но спрос, например, на труд зависит не только от изменения объема производства, но и от изменения цены труда (если цена растет, то фирма уменьшает потребление этого ресурса), от изменения цены капитала. Если капитал становится относительно более дешевым фактором, труд замещают капиталом и его потребление сокращается. Спрос на труд зависит также и от изменения других параметров рынка.

Вот почему изменение спроса на труд, вызванное изменением только выпуска продукции, измеряется частной производной , представляет собой частное приращение. Соответственно, изменение спроса на капитал при изменении выпуска и прочих равных условиях измеряется частной производной . Если бы требовалось определить изменение спроса на труд (капитал), вызванное всеми влияющими на него факторами, то пришлось бы найти сумму частных приращений спроса, каждое из которых вызывается изменением одного из выше названных факторов. Например, одно из частных приращений спроса на труд вызывается изменением цены труда, другое - изменением цены капитала и т.д. Возьмем первое условие и поясним процедуру дифференцирования. Выражение в левой части представляет собой сложную функцию двух аргументов - затрат труда и капитала , которые в свою очередь зависят, как было сказано, от объема выпуска, от цены труда и цены капитала и от других факторов. По условию затраты труда и капитала изменяются по причине изменения выпуска при прочих равных условиях. Последнее означает, что и K рассматриваем как функции только одной изменяющейся переменной - выпуска. Дифференцируя первое условие, характеризующее исходное положение фирмы, как сложную функцию по переменной - выпуску, получаем:

или в равнозначной записи

(3.9)

Дифференцируя второе условие (3.4), необходимо помнить, что предельная производительность труда является сложной функцией от двух аргументов и , которые в свою очередь зависят от выше азванных факторов - изменения объема производства, цен ресурсов и других. Предельная производительность денег также является переменной величиной. Для левой части условия записываем дифференциал произведения, в его правой части цена труда остается постоянной и ее приращение равно нулю.

Поэтому

. (3.10)

Аналогично дифференцируем третье условие:

. (3.11)

Разделим уравнения (3.10) и (3.11) на . Получили систему уравнений:

(3.12)

Неизвестными величинами являются , определяем их по правилу Г. Крамера. Определитель системы

(3.13)

можно представить в виде:

Такая запись позволяет легко определить знак любого минора по сумме индексов элементов.

Решение системы уравнений:

, (3.14)

где и - алгебраические дополнения (миноры) элементов и первой строки определителя .

Таким образом, если известна производственная функция фирмы, то изменение спроса на факторы производства в заданной точке изокванты (при заданных затратах труда и капитала) определяют по формулам (2.14).

Аналогично определяют изменение спроса фирмы на труд и капитал при изменении, например, цены труда . Для этого продифференцируем уравнения (2.4), характеризующие исходное состояние фирмы, по переменному параметру - цене труда. Остальные параметры - объем выпуска, цена единицы капитала, цена продукта и другие, не изменяются, остаются постоянными. Получим систему уравнений:

(3.15)

Решаем систему из трех уравнений, как и в предыдущем случае, по правилу Г. Крамера. Определитель системы (3.13). Находим - изменения спроса фирмы на труд и капитал, вызванные изменением цены труда:

, (3.16)

где и - алгебраические дополнения элементов и определителя .

Таким образом, выражениями (3.16) определяется изменение спроса фирмы на факторы производства, вызванные изменением цены одного из них - труда. При этом выполняются исходные условия (3.4), которые экономисты называют условиями устойчивости. Полученное аналитическое решение задачи свидетельствует, что по мере увеличения цены труда его потребление уменьшается и отрицательно, а потребление капитала увеличивается и положительно. В процессе производства эти два фактора являются взаимозаменяемыми.

В использованной нами производственной функции выпуск зависит от затрат труда и капитала. Полученное решение не позволяет определить изменение спроса на взаимодополняемые факторы, так как число факторов в функции должно быть более двух.

Существует решение вопроса в общем случае, когда фирма производит любое число видов продукции и использует любое число видов ресурсов. Фирма может осуществлять взаимозамещение и факторов и продуктов. Тогда производственная функция аналитически представляет реально протекающий процесс, в котором многопродуктовая фирма сокращает производство одних и увеличивает производство других продуктов в соответствии с изменяющейся конъюнктурой рынка, а также осуществляет замещение факторов производства. В производственной функции затраты факторов представляют как отрицательный выпуск, в отличие от положительных значений объемов продукции. Другими словами, если товар затрачивается, его величина отрицательна, если товар выпускается - положительна. С решением задачи в общем виде для любого числа выпускаемых продуктов и используемых факторов производства можно познакомиться по работам Аллена Р. и Хикса Д.Р., названным в списке литературы.

Заключение по разделу

Производственная функция является моделью процесса производства, на основе которой определяют среднюю и предельную производительность факторов производства; определяют сочетание затрат факторов, позволяющих максимизировать экономическую прибыль в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; измеряют изменение спроса на труд и на капитал при увеличении объема выпуска или при изменении цены одного из ресурсов, используют концепцию выявленной максимизации прибыли в получении ответа на вопрос, получала ли фирма максимум прибыли или нет.

Проектное задание состоит в том, чтобы на основе углубленного изучения производственных функций как имитационной модели производства принимать решения по управлению динамикой средней и предельной производительности труда и капитала, определять и обеспечивать условия получения максимальной прибыли, определять, как необходимо изменить потребление каждого ресурса при изменении объема выпуска или при изменении цены хотя бы одного ресурса.

Контрольные вопросы:

1. Как отражена технология производства в производственной функции?

2. Назовите все признаки, в совокупности определяющие производственную функцию.

3. Определив среднюю и предельную производительность труда, определите точку, в которой они равны.

4. Какие проблемы возникают при графической интерпретации производственной функции и как они преодолеваются?

5. Выведите условие максимизации прибыли в краткосрочном периоде в случае функции одной переменной.

6. В чем заключается экономический смысл концепции выявленной максимизации прибыли?

7. Поясните экономический смысл необходимого и достаточного условий максимизации прибыли для функции двух переменных.

8. Выведите условие максимизации прибыли для рынка несовершенной конкуренции.

9. Сравните необходимое условие максимизации прибыли на рынке совершенной и несовершенной конкуренции.

10. Определите, на какую величину изменяется спрос фирмы на труд и капитал, если увеличивается выпуск.

11. На какую величину изменяется спрос фирмы на труд и капитал, если изменяется цена одного из факторов производства.

Задание рубежного контроля:

1. Выпуск сливочного масла задается формулой , где - количество расходуемого молока. Найти прирост выпуска масла при увеличении расхода молока с 8 до 9 единиц.

2. Освещенность улицы задается формулой , где - количество расходуемой энергии. Определить дополнительное количество энергии, которое потребуется для увеличения освещенности с 100 до 101 единицы.

3. Производственная функция фирмы . Найти предельный продукт труда (предельную производительность труда ) и предельный продукт капитала (предельную производительность капитала ) при .

4. Технология работ по разгрузке вагонов описывается производственной функцией Кобба-Дугласа и характеризуется тем, что средний продукт труда всегда вдвое больше предельного продукта труда, а предельный продукт капитала составляет 75% от среднего продукта капитала. Известно также, что, используя 16 ед. труда и 16 ед. капитала, можно ежедневно разгружать 64 вагона. Определите, сколько вагонов можно разгружать в день, если увеличить в 16 раз количество используемого труда и капитала.

5. Производственная функция конкурентной фирмы максимизирующей прибыль задана выражением . Цена единицы труда составляет 4 тыс руб. и равна цене единицы капитала. Определите цену продукции.

6. Определите соотношение между средним и предельным продуктами труда и капитала в функции Кобба-Дугласа.

7. Задана производственная функция . Цены труда , капитала и продукта . Определить значения труда и капитала , при которых прибыль фирмы максимальна.

8. Цена единицы труда выросла на 10 руб., а его потребление сократилось на 100 единиц; цена единицы капитала выросла на 5 руб., а его использование увеличилось на 200 единиц. Выпуск увеличился на 1000 изделий, а цена товара снизилась на 20 руб. Возникает вопрос, максимизировала ли фирма прибыль до или после названных изменений. Выполняется ли слабая аксиома максимизации прибыли?

Издержки производства и доход фирмы

В данном разделе курса изучаются важнейшие зависимости в системе издержек производства и дохода фирмы. Издержки фирмы анализируют в краткосрочном и долговременном периодах. Краткосрочный (или короткий) период - это отрезок времени, в течение которого хотя бы один фактор производства является постоянным, например капитал, а другие - переменными. Долгосрочный период - это отрезок времени, в котором все факторы производства являются переменными.

Основная цель изучения издержек и дохода фирмы состоит в углубленном анализе их видов и динамики и использовании полученных выводов в принятии решений фирмой по минимизации издержек.

Для достижения цели решается совокупность задач, состоящих:

в изучении издержек производства и их динамики в краткосрочном периоде,

в анализе зависимостей между видами издержек производства;

в исследовании издержек производства в долговременном периоде и их связи с издержками в краткосрочном периоде,

в определении условий минимизации издержек производства;

в обосновании концепции выявленной минимизации издержек;

в изучении всех видов доходов фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции.

В разделе используется методология традиционного классического анализа, совокупность методов: категориального, сравнительного, а также математического анализа.

Программа раздела "Издержки производства и доход фирмы"

Издержки производства. Взаимосвязи валовых постоянных, переменных; средних постоянных, средних переменных и предельных издержек. Издержки производства в краткосрочном периоде. Издержки производства в долговременном периоде. Необходимое и достаточное условие минимизации издержек производства. Концепция выявленной минимизации издержек и ее использование в принятии решений фирмой.

1. Издержки производства в краткосрочном и долговременном периодах

1.1 Издержки производства в краткосрочном периоде

Постоянные издержки (Fixed Cost) имеют место в краткосрочном периоде. Их величина остается постоянной, не изменяется с увеличением или сокращением объема производства. К ним относятся, например, амортизационные отчисления, арендная плата, расходы на содержание административного аппарата и др.

Величина переменных издержек (Variable Cost) изменяется с увеличением или сокращением объема производства. К ним относятся затраты в денежной форме на сырье, электроэнергию, вспомогательные материалы, оплату труда и др. Общие (валовые) издержки ( или - Total Cost) равны сумме постоянных и переменных издержек фирмы на производство продукции в краткосрочном периоде. Таким образом, .

Общие издержки являются функцией, зависящей от объема выпускаемой продукции: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Величина представляет постоянные издержки. Например, , где , а .

Кривые постоянных, переменных и общих издержек можно построить, используя данные конкретной фирмы. В учебных целях используют классические кривые, графически представляющие издержки типичной фирмы. Кривые постоянных, переменных и общих издержек можно построить, используя данные конкретной фирмы. В учебных целях используют классические кривые, графически представляющие издержки типичной фирмы. Кривую общих издержек можно построить суммированием кривых постоянных и переменных издержек (рис.3.9). Средние общие издержки ( или - Average Total Cost) представляют собой издержки на единицу продукции:

, где

(Average Fixed Cost) - средние постоянные издержки;

(Average Variable Cost) - средние переменные издержки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Форма кривой определяется формой кривой . Построим кривую на основе . На рисунке 3.9 отрезок измеряет величину в точке . Отрезок отмечает соответствующий объем производства, поэтому . С помощью тангенса изменяющегося угла при перемещении точки вверх по кривой на рис.3.9 построим кривую . Таким же образом можно построить кривые и .

Предельные издержки ( - Marginal Cost) представляют собой издержки на производство еще одной дополнительной единицы продукции. Это самое простое определение предельных издержек. Если выпуск увеличивается на величину , то издержки производства увеличиваются на величину . Тогда выпуск равен , а , . В таком случае на дуге измеряют отношением приращения валовых издержек к вызвавшему их приращению выпуска:

.

Если объем производства увеличивается на бесконечно малую величину, тогда предельные издержки измеряют в точке для заданной единицы продукта первой простой производной функции валовых издержек по переменной - объему выпуска: Предельные издержки измеряют наклон кривой валовых издержек на дуге или в заданной точке.

Например: , тогда . Если известна функция , то можно найти первообразную функцию валовых издержек: , где .

Если , то валовые издержки фирмы равны общим постоянным издержкам. Рассмотрим взаимосвязь между средними валовыми и предельными издержками . Так как , то . По определению . В точке минимума или максимума функции ее производная равна нулю: в точке минимума , т.е. . Кривая пересекает кривую в точке ее минимума: если , то и, следовательно, убывают; если , то и возрастают.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Предельные издержки можно представить следующим образом: , так как производная от постоянных издержек равна нулю . Это позволяет сделать вывод о том, что постоянные издержки не оказывают влияния на величину предельных издержек.

В краткосрочном периоде . Рассуждая аналогично, как в случае с валовыми издержками, приходим к выводу, что кривая пресекает кривую также в точке ее минимального значения.

Если известны предельные издержки производства каждой единицы продукции , то легко определить валовые издержки: . Если , то валовые издержки увеличиваются при росте объема производства на одну и ту же величину, равную .

1.2 Издержки производства в долгосрочном периоде

Кривая общих издержек в долгосрочном периоде выходит из начала координат, так как в долгосрочном периоде все издержки являются переменными.

Кривая огибает множество кривых в коротких периодах и имеет одну общую точку с каждой из этих кривых (рис. 3.12)

Размещено на http://www.allbest.ru/

По форме кривой можно построить кривую средних валовых издержек в долгосрочном периоде . Кривая строится аналогично тому, как мы это делали в краткосрочном периоде для кривой (рис.3.11).

Если выпуск и общие издержки в долгосрочном периоде растут одинаковыми темпами, то остаются постоянными, и в интервале от до кривая - прямая линия с положительным наклоном, а кривая средних валовых издержек - горизонтальная линия (рис.3.13).

На отрезке выпуск растет быстрее валовых издержек и средние издержки снижаются. Если , то валовые издержки растут быстрее выпуска и увеличиваются. В точке средние издержки в коротком и долговременном периодах равны, и кривая касается в этой точке кривой . Так как для любого другого значения выпуска кривая расположена выше , то больше .

Размещено на http://www.allbest.ru/

В точке касания и предельные издержки в краткосрочном и долговременном периодах равны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Различие в значениях и слева от точки (рис.3.14) по мере приближения к точке уменьшается. Это значит, что здесь имеет меньший наклон, чем . Следовательно, левее точки имеем . Обратная картина представлена на отрезках кривых правее точки , где характеризуется убывающей отдачей. На отрезке кривые и совпадают. Если же отрезок представляет собой точку, то неизменная отдача от масштаба существует только в одной точке . В этой точке минимальная величина в долгосрочном и краткосрочном периодах одна и та же, а кривая в коротком и долговременном периодах проходит через эту точку.

1.3 Изокоста - прямая равных издержек

Правило минимизации издержек фирмы

В соответствии с производственной функцией фирма стремится произвести максимальный объем продукции. Но существуют ограничения: цены факторов производства ( - цена труда, - цена капитала) заданы рынком, - общие издержки фирмы. Фирма расходует все имеющиеся в ее распоряжении средства на покупку труда в количестве и капитала в количестве . Тогда бюджетное ограничение производителя имеет вид: или . Это уравнение изокосты (isocost line) (рис.3.15а). Ее наклон отрицателен и равен - соотношению цен факторов производства. Точки на изокосте представляют все возможные сочетания затрат факторов производства, имеющие одинаковую рыночную стоимость.

При перемещении изокосты 2 (рис.3.15а) в положение линии 3 цена капитала растет. На линиях 1 и 2 цены труда и капитала одинаковы. Фирма может производить продукцию (рис.3.15б) в точке в объеме или в точке в объеме . Выпуск - максимально возможный. В точке изокоста касается изокванты. В этой точке наклон изокосты равен наклону изокванты. Наклон изокванты измеряется предельной нормой технологического замещения , а наклон изокосты . Приравняв наклоны изокосты и изокванты, получим условие минимизации издержек: или . В случае выполнения условия средние общие издержки фирмы будут минимальными, так как при заданном объеме использованных ресурсов в денежной форме получен максимально возможный объем выпуска.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В определении величины затрат труда и капитала, при которых для заданного объема выпуска издержки на единицу продукции будут минимальными, используется следующий простой метод решения задачи. Издержки фирмы составляют , задан объем выпуска . Выразим затраты труда как функцию выпуска и затрат капитала . Функция издержек принимает вид: . Решаем задачу на нахождение минимального значения и для заданного выпуска классическим методом математического анализа. Приравняем к нулю первую производную функцию издержек и из полученного уравнения находим величину затрат капитала . Проверим, выполняется ли достаточное условие минимизации. Из находим значение затрат труда . Затраты обеспечивают минимум средних валовых издержек. Однако этот простой метод не всегда применим. Форма производственной функции не всегда позволят выразить затраты труда через затраты капитала и заданный выпуск. В общем случае используется метод Лагранжа.

Издержки производства минимизируем при ограничении . Функция Лагранжа имеет вид: , где - цена капитала, - цена труда. Необходимые условия минимизации издержек:.

Разделив первое уравнение на второе, получим . Это соотношение и есть условие минимизации издержек. Из выражения определим экономический смысл множителя Лагранжа в задаче минимизации издержек. Он показывает, на какую величину изменяются издержки при увеличении выпуска на единицу, т.е. характеризует величину предельных издержек.

1.4 Концепция выявленной минимизации издержек

Если фирма минимизирует издержки для определенного объема производства, то они должны быть не выше того уровня, который при данных ценах сложился бы при использовании другого сочетания затрат факторов производства. Это правило известно как слабая аксиома минимизации издержек. При ее соблюдении должны выполняться следующие условия при постоянном выпуске:

, (3.17)

где и представляют экономически эффективный способ производства при ценах и , а и - при ценах и . Если неравенства (3.17) не соблюдаются, то фирма не минимизирует издержки.

Запишем второе неравенство системы (3.17) в виде: . Сложим его с первым неравенством системы, перенесем все члены неравенства в левую часть, вынесем за скобки общие члены, получим: . Изменения цен и количества используемых ресурсов характеризуют величины: . Последнее неравенство можно представить в виде:

. (3.18)

Если при неизменном объеме выпуска и изменении цен фирма изменяет спрос на ресурсы, то, подставляя соответствующие изменения в неравенство (3.18) можно дать первичную оценку деятельности фирмы. Если неравенство нарушается, то либо до, либо после изменения цен фирма не минимизировала издержки.

1.5 Доход фирмы. Общий, предельный доход и эластичность спроса

Валовой (совокупный) доход ( - Total Revenue) - представляет собой выручку фирмы от продажи произведенной продукции. Если весь объем продукции продан по одной и той же цене, то .

Средний доход ( - Average Revenue) - это доход от реализации единицы продукции. В условиях совершенной конкуренции средний доход равен рыночной цене:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Предельный доход ( - Marginal Revenue) - приращение валового дохода в результате производства и реализации дополнительной единицы продукции.

В условиях совершенной конкуренции предельный доход равен рыночной цене. Если выпуск увеличился на и составил (), то это приведет к росту валового дохода, который станет равным (). Если , тогда . Отсюда .

Предельный доход на дуге равен:

.

Предельный доход в точке для конкретного изделия определяется первой простой производной функции валового дохода по переменной - объему выпуска:

В условиях несовершенной конкуренции цена является переменной величиной и зависит от объема продаж, т.е. . Тогда .

Средний доход представляет собой среднюю цену реализованной продукции.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если фирма увеличивает выпуск до (), то это приведет к росту валового дохода и он составит (). Если , тогда . Отсюда .

Предельный доход измеряет наклон кривой валового дохода на дуге. По определению предельный доход в точке равен:

, или

.

В скобке перед дробью () знак "минус" свидетельствует, что коэффициент ценовой эластичности спроса отрицателен, и, следовательно, товар относится к типу нормальных товаров.

Проанализируем взаимосвязь предельного дохода и эластичности спроса. Если , то выражение в скобках () и . Поскольку предельный доход измеряется первой простой производной функции валового дохода и она равна нулю, то валовой доход достигает максимальной величины при значении выпуска, для которого . Если , то положительная величина (наклон кривой положителен) и валовой доход увеличивается. Если , то отрицателен и валовой доход уменьшается. На неэластичном отрезке линии спроса фирмы, как правило, продукцию не выпускают. Увеличение объема производства здесь сопровождается уменьшением выручки. Таким образом, валовой доход достигает своего максимума, когда предельный доход равен нулю.