Особенности расчета статистических показателей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Особенности расчета статистических показателей



Исходные данные

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из корпораций в отчетном году (выборка 20%-ная, механическая), млн руб.:

Таблица 1. Данные выборки

№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.	№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.
1	110	14	16	155	43
2	115	18	17	156	42
3	126	22	18	160	41
4	131	27	19	162	47
5	133	30	20	163	60
6	136	40	21	173	55
7	141	35	22	175	52
8	144	38	23	177	53
9	152	41	24	181	56
10	154	34	25	183	57
11	156	40	26	185	51
12	150	30	27	192	61
13	150	36	28	193	71
14	150	36	29	205	69
15	152	42	30	210	79



Задание 1

Пункт 1

Провести группировку единиц наблюдения статистической совокупности по факторному признаку, образовав пять групп с равными интервалами. Построить аналитическую таблицу. Построить гистограмму и круговую диаграмму. Сделать выводы.

1) На рабочем листе MS Excel создадим таблицу с исходными данными (таблица 1). Скопируем данные таблицы 1 в ячейки А1:С31

2) Факторным признаком является "Средняя списочная численность работников". "Выпуск продукции" - результативный признак. Проведем группировку выборки по факторному признаку

3) Найдем интервал, разбивающий выборку на 5 групп. Для этого в ячейку А37 вводим формулу: "=(МАКС(B2:B31)-МИН(B2:B31))/5"

4) Интервал равен 20. Обозначим теперь границы групп:

Таблица 2. Группировка по факторному признаку

Интервал		Нижняя	Верхняя
20	I группа	110	130
	II группа	130	150
	III группа	150	170
	IV группа	170	190
	V группа	190	210

5) Для наглядности отобразим данные выборки в порядке возрастания по факторному признаку. Для этого выделим таблицу с исходными данными, выберем пункт меню "Данные" - "Сортировка". Укажем сортировать по "Средняя списочная численность работников", порядок - "по возрастанию"

Рисунок 1

6) Для удобства отображения группировки выделим данные выборки различными цветами, согласно таблице 3

Таблица 3. Различие групп по цветам

	Нижняя	Верхняя
I группа	110	130
II группа	130	150
III группа	150	170
IV группа	170	190
V группа	190	210

7) По исходным данным таблицы 1 составим и результатам группировки (таблица 2) составим следующую аналитическую таблицу:

Таблица 4. Аналитическая таблица

№ гр	Группы предприятий по численности работников	число предприятий	Удельный вес группы	Средняя списочная чиленность работников	Выпуск продукции
				Всего по группе	На 1 предприятие	всего по группе	На 1 предприятие
I	110 - 130	3	0,100	351	117,000	54,000	18,000
II	130 - 150	8	0,267	1135	141,875	272,000	34,000
III	150 - 170	9	0,300	1410	156,667	390,000	43,333
IV	170 - 190	6	0,200	1074	179,000	324,000	54,000
V	190 - 210	4	0,133	800	200,000	280,000	70,000
Итого:	30	1,000	4770	159,000	1320,000	44,000

Вывод: наибольшее число предприятий находится в 3 группе, здесь же и самая высокая численность работников. Наибольший показатель численности работников на 1 предприятие имеет 5 группа предприятий. Аналогично распределены показатели и выпуска продукции. Это показывает, что между этими двумя факторами существует какая-либо взаимосвязь.

8) По данным столбцов "Группы предприятий по численности работников" и "Число предприятий" построим гистограмму (рисунок 2). По данным столбцов "№ группы" и "Удельный вес группы" построим круговую диаграмму (рисунок 3)

Рисунок 2

Рисунок 3

9) На основании рисунков 2 и 3 делаем вывод о том, что наибольшее количество предприятий относятся к 3 группе и имеют среднюю списочную численность работников, заключенную между 150 и 170 чел.



Пункт 2

По данным первоначальной и аналитической таблицы по факторной и результативной переменными расчетным путем (в форме расчетной таблицы) и с использованием статистических функций в Excel (в качестве проверки правильности расчета) определить и обосновать:

· средние значения, моду и медиану. Сравнить их между собой и сделать соответствующие выводы

· показатели вариации (среднее линейное отклонение, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации). Оценить исходную информацию на устойчивость и сделать выводы

1. Расчетным путем:

1) Среднее арифметическое =

2) Мода - наиболее часто встречающийся вариант значений признака. Так как во всей выборке как в факторном признаке, так и в результативном нет повторяющихся значений, то, соответственно, нет и моды.

3) Медиана - серединное значение ранжированного ряда вариантов значений признака

4) Среднее линейное отклонение =

5) Дисперсия =

6) Среднеквадратическое отклонение =

7) Коэффициент вариации = Среднеквадратическое отклонение/среднее арифметическое

2. Используя статистические функции MS Excel:

1) В ячейку G38 вводим формулу "=СРЗНАЧ(B2:B31)"

2) В ячейук H38 вводим формулу "=СРЗНАЧ(C2:C31)"

3) В ячейку G39 вводим формулу "=МОДА(B2:B31)"

4) В ячейку H39 вводим формулу "=МОДА(C2:C31)"

5) В ячейку G40 вводим формулу "=МЕДИАНА(B2:B31)"

6) В ячейку H40 вводим формулу "=МЕДИАНА(C2:C31)"

7) В ячейку G41 вводим формулу "=СРОТКЛ(B2:B31)"

8) В ячейку H41 вводим формулу "=СРОТКЛ(C2:C31)"

9) В ячейку G42 вводим формулу "=ДИСПР(B2:B31)"

10) В ячейку H42 вводим формулу "=ДИСПР(C2:C31)"

11) В ячейку G43 вводим формулу "=СТАНДОТКЛОНП(B2:B31)"

12) В ячейку H43 вводим формулу "=СТАНДОТКЛОНП(C2:C31)"

13) В ячейку G44 вводим формулу "=G43/G38"

14) В ячейку H44 вводим формулу "=H43/H38"

3. Результаты расчетов представлены в таблице 5:

Таблица 5. Показатели описательной статистики

	Ипользуя статистические функции	Расчетный метод
	Численность работников	Выпуск продукции	Численность работников	Выпуск продукции
среднее значение	159,000	44,000	159,000	44,000
мода	150,000	30,000	150,000	30,000
медиана	155,500	41,500	155,500	41,500
среднее линейное отклонение	19,467	12,200	19,467	12,200
дисперсия	595,467	230,200	595,467	230,200
среднеквадратическое отклонение	24,402	15,172	24,402	15,172
коэффициент вариации	15,3%	34,5%	15,3%	34,5%

4. Проанализировав показатели описательной статистики (таблица 5), можем сделать следующие выводы:

· Т.к. по обоим признакам коэффициент вариации <40%, то делаем вывод о том, что колеблемость значений незначительна, устойчивость высокая. Следовательно, можно считать, что совокупности однородны.

· Согласно показателям "Среднее линейное отклонение", "Дисперсия", "Среднеквадратическое отклонение" может сделать вывод, что разброс значений двух факторов и отклонение их от средних однороден



Задание 2

Пункт 1

Установить наличие и направление связи между факторной и результативной переменными.

Для проверки наличия и направленности связи между факторной и результативной переменными найдем коэффициент ковариации

А также используя формулу "=КОВАР(B2:B31;C2:C31)"

Таблица 6. Коэффициент ковариации

	Используя статистические функции	Расчетный метод
коэффициент ковариации	352,900	352,900

Так как |352,9| > 0, то зависимость между признаками существует и имеет прямую направленность (352,9 > 0). Другими словами, при увеличении численности работников увеличится и выпуск продукции. Так же и при уменьшении.

Пункт 2

Дать количественную оценку тесноте связи между исследуемыми переменными на основе расчета линейного коэффициента корреляции как расчетным путем (в форме расчетной таблицы) так и в автоматическом режиме с использованием статистической функций в Excel в качестве проверки правильности расчета. Сделать вывод.

Коэффициент корреляции является количественной оценкой тесноты связи между исследуемыми переменными. Он рассчитывается по формуле:

Где cov(x,y) - коэффициент ковариации между двумя совокупностями, D1, D2 - дисперсия первой и второй совокупности соответственно.

А также используя формулу "=КОРРЕЛ(B2:B31;C2:C31)".

Таблица 7. Коэффициент корреляции

	Используя статистические функции	Расчетный метод
коэффициент корреляции	0,953	0,953

Так как |0,953| > 0,9, то зависимость между факторной и результативной переменными весьма тесная, близкая к функциональной.

Пункт 3

Построить уравнение регрессии и показать его на графике. Обосновать параметры уравнения. Определить теоретические значения результативной переменной. Рассчитать коэффициент эластичности. Все расчеты представить в виде расчетной таблицы. Проверить полученные расчеты в автоматическом режиме с использованием статистических функций в Excel. Сделать выводы.

Для построения уравнения регрессии выделим исходные данные двух совокупностей (B2:C31), выберем пункт меню "Вставка" - "Точечная". Получим следующий график распределения значений переменных:

Рисунок 4

Далее правой кнопкой мыши по графику вызываем контекстное меню. Выбираем "Добавить линию тренда"

Рисунок 5

Выбираем вид линии "Линейная", ставим галочку в пункте "показывать уравнение на диаграмме".

Рисунок 6

Черная линия на графике (рисунок 6) это и есть линия регрессии. Формула "Y = 0,592x - 50,23" - уравнение регрессии.

Составим уравнение регрессии расчетным путем.

Уравнение линейной регрессии Y на X имеет следующий вид:

Коэффициент линейной регрессии Y по X вычисляется по формуле:

Где cov(x,y) - коэффициент ковариации между двумя переменными, D(x) - дисперсия совокупности значений численности работников

Введем данную формулу в ячейку G47.

Значение коэффициента b1(y,x) равно 0,592. Оно показывает, что при изменении значения численности работников на 1 чел., значение выпуска продукции изменится на 0,592 млн.руб.

Найдем коэффициент b0(y,x):

b0 = Ycp - b1*Xcp

В ячейку G48 введем формулу: "=H38-G47*G38"

Получили значение факторный выборка территориальный прогнозный

b0 = -50,23.

Таким образом, уравнение линейной регрессии Y по X выглядит следующим образом:

Y = 0,592х - 50,23

Для нахождения теоретических значений Y введем в ячейку I2 формулу: "=$G$48+$G$47*B2". Скопируем эту формулу по ячейку I31.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится показатель результативного признака от своего среднего значения при изменении факторного на 1% от средней величины.

В ячейку G49 вводим формулу: "=G47*G38/H38".

Получившееся значение 214,2% показывает, что при изменении значения численности работников на 1% значение выпуска продукции в среднем изменится на 214,2%.

Для проверки значений коэффициентов b1 и b0, а также полученных теоретических значений Y (издержек обращения) воспользуемся встроенными инструментами MS Excel

Выберем пункт меню "Данные" - "Анализ данных" - "Регрессия".

Рисунок 7

"Входной интервал Y" -

Таблица 8. Коэффициенты линейной регрессии

	Коэффициенты
Y-пересечение	-50,2304635
Переменная X 1	0,592644425

Пункт 4

Провести дисперсионный анализ на основе расчета общей, факторной и остаточной дисперсий (расчеты показать в виде данных расчетной таблицы). На основе правила сложения дисперсий определить эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Оценить выведенное уравнение регрессии на статистическую значимость. Сделать соответствующие выводы.

Общая дисперсия находится по формуле:

Факторная дисперсия находится по формуле:

Остаточная дисперсия находится по формуле:

Данные формулы записываем в ячейки

G50:G52 соответственно. Результаты вычислений приведены в таблице 9.

Таблица 9. Дисперсионный анализ

S2общ	238,138
S2факт	6274,327
S2ост	22,560

Используя данные таблицы 9, найдем расчетное значение F-критерия:

Fрасч = S²_факт/S²_ост = 278,12

Fтабл = 4,17

Следовательно, Fрасч > Fтабл, значит, нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков может быть отклонена и можно сделать вывод о существенности этой связи.

Другими словами, уравнение регрессии статистически значимо.

Эмпирический коэффициент детерминации - показатель, представляющий собой долю факторной дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации. Он вычисляется по формуле:

R² = 0,909

Так как коэффициент детерминации достаточно высок, можно говорить о высоком уровне доверия к уравнению регрессии.

Эмпирически коэффициент корреляции находится как корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации.

r = 0,953

Так как 0,953 > 0,9, можно говорить о прямой весьма тесной, близкой к функциональной связи между переменными.



Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. ошибку выборки средней списочной численности работников и границы, в которых будет находиться средняя списочная численность работников для предприятий в генеральной совокупности;

2. ошибку выборки доли предприятий со средней списочной численностью работников 170 и более человек и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Найдем ошибку выборки средней списочной численности работников и границы, в которых будет находиться средняя списочная численность работников для предприятий генеральной совокупности.

Для этого выберем пункт меню "Данные" - "Анализ данных" -"Описательная статистика".

Рисунок 8

Входной интервал - столбец значений численности работников

Ставим галочки в пунктах "Итоговая статистика" и "Уровень надежности". Задаем уровень надежности равный 68,3%. Нажимаем "ОК".

Таблица 10. Описательная статистика

Столбец1
Среднее	159
Стандартная ошибка	4,5313721
Медиана	155,5
Мода	150
Стандартное отклонение	24,819347
Дисперсия выборки	616
Эксцесс	-0,293424
Асимметричность	0,1383518
Интервал	100
Минимум	110
Максимум	210
Сумма	4770
Счет	30
Уровень надежности (68,3%)	4,6138693

Обращаем внимание на последнюю строчку таблицы 10. Предельная ошибка выборки равна 4,6 человека = 5 человек.

Определяем границы:

159 - 5 = 154

159 + 5 = 164

Таким образом, среднее значение численности работников для предприятий генеральной совокупности будет заключена между 154 и 164 чел. с вероятностью 68,3%.

Найдем ошибку выборки доли предприятий генеральной совокупности со средней списочной численностью работников 170 и более чел. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Для этого воспользуемся формулами:

b

w=m/n

m - число предприятий со средней списочной численностью работников 170 и более чел.

w=10/30=0,33

N - количество предприятий в генеральной совокупности. Так как по условию выборка составляет 20% от генеральной совокупности, то N = 150. Тогда:

Так как вероятность p=0,683, следовательно, Ф(t) = 0,683. По таблице значений функции Лапласа находим t=1. Тогда предельная ошибка выборки равна:

Находим границы:

0,33 - 0,077 = 0,253

0,33 + 0,077 = 0,407

Таким образом, с вероятностью 68,3% генеральная доля предприятий со средней списочной численностью работников 170 и более чел. будет находиться в границах от 0,253 до 0,407 (от 25,3% до 40,7%).



Задание 4

По материалам государственной статистики построить за последние пять лет ряд динамики, характеризующий изменение численности экономически активного населения на любом территориальном уровне. Ряд динамики представить в табличной и графической (в виде линейной диаграммы) форме.

Пункт 1

Определить показатели анализа ряда динамики (абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное содержание 1% прироста, средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средние темпы роста и прироста). Все расчеты представить в виде данных расчетной таблицы. Сделать выводы по рассчитанным показателям. Определить тенденцию развития исследуемого явления.

На основании статистических данных численности экономически активного населения в Сибирском федеральном округе за последние 5 лет составили таблицу исходных данных:

Таблица 11. Численность экономически активного населения

ГОД	Численность, млн.чел.
2010	10,1
2011	10
2012	10,2
2013	10,3
2014	10,2

На основании данных таблицы 11 построим линейчатую диаграмму ("Вставка" - "Диаграмма" - "Линейчатая"):

Рисунок 9. Численность экономически активного населения

Определим показатели анализа динамики ряда:

1) Абсолютный прирост:

Цепной:

Базисный:

2) Темп роста:

Цепночй:

Базисный:

3) Темп прироста:

Цепной:

Т_П^Ц = Т_Р^Ц - 100 %

Базисный:

Т_П^Б = Т_Р^Б - 100 %

4) Абсолютное содержание 1% прироста:

Результаты вычислений представлены в таблице 12:

Таблица 12. Показатели динамики ряда

ГОД	Численность, млн.чел.	Абсолютный прирост	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное содержание 1% прироста
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
2010	10,1
2011	10	-0,1	-0,1	99,0	99,0	-1,0	-1,0	0,101
2012	10,2	0,2	0,1	102,0	101,0	2,0	1,0	0,1
2013	10,3	0,1	0,2	101,0	102,0	1,0	2,0	0,102
2014	10,2	-0,1	0,1	99,0	101,0	-1,0	1,0	0,103

Вывод. Графы "Цепной" абсолютного прироста, темпа роста и прироста показывают нам, на сколько изменилась численность экономически активного населения относительно показателя предыдущего года. Графы "Базисный" показывают на сколько изменилась численность экономически активного населения относительно начального периода (2010 года). Графа "Абсолютное содержание 1% прироста" показывает количественное содержание 1% увеличения показателя.

5) Средний уровень ряда:

6) Средний абсолютный прирост:

7) Средний темп роста:

8) Средний темп прироста:

Результаты вычислений представлены в таблице 13:

Таблица 13. Средние показатели ряда динамики

Средние показатели ряда динамики
Средний уровень ряда динамики	10,160
Средний абсолютный прирост	0,025
Средний темп роста	100,247
Средний темп прироста	0,25

Вывод: средние показатели ряда динамики позволяют оценить средние значения по всем рассматриваемым 5 периодам. В среднем каждый год численность экономически активного населения увеличивалась на 0,025 млн.чел., или на 0,25%.

Пункт 2

Построить уравнение тренда, определив теоретические значения уровня ряда динамики за каждый период, обосновать параметры уравнения тренда, определить точечный прогноз по исследуемому показателю.

1) Построим точечную диаграмму временного ряда (выбрать исходные данные - таблица 11, столбец "Численность экономически активного населения", пункт меню "Вставка" - "Диаграмма" - "Точечная"). Правым щелчком мыши вызовем контекстное меню и выберем "Добавить линию тренда".

2) Поочередно выбираем тип линии и оцениваем значение R². Для этого необходимо поставить галочку в пункте "поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации"

3) Замечаем, что наилучшим образом описывает тенденцию ряда полиномиальный тренд. Значение коэффициента детерминации при полиномиальной линии тренда, значение R² = 0,494.

4) Выведем уравнение тренда. Для этого поставим галочку в пункте "показывать уравнение на диаграмме"

5) Уравнение тренда:

y = -0,007x² + 0,107x + 9,86

6) Осуществим прогноз на 1 год вперед, используя параметры линии тренда

Рисунок 10

7) Найдем теоретические значения численности экономически активного населения. Для этого используем уравнение регрессии и введем в ячейки J4:J8. В качестве "х" используем номер года по порядку (от 1 до 5).

Результаты вычислений представлены в таблице 14

Таблица 14. Теоретические значения численности экономически активного населения за последние 5 лет

Теоретические значения	№ года
9,96	1
10,046	2
10,118	3
10,176	4
10,22	5

8) Осуществим прогноз значения показателя "Численность экономически активного населения" на один год вперед (соответственно, в качестве "х" будет номер года 6).

Прогнозное значение численности экономически активного населения по Сибирскому федеральному округу на 2015 год равно 10,25 млн.чел.

Размещено на Allbest.ru