Размещено на http://www.allbest.ru

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Вологодский государственный университет» (ВоГУ)

Экономический факультет

Кафедра экономической теории, учёта и анализа

Отчёт по лабораторной работе № 5,6

Дисциплина: «Статистика»

Наименование темы: «Средние величины. Статистический анализ вариации признака»

Руководитель: Никитина Н.А.

кандидат экономических наук,

доцент кафедры ЭГУиА

Выполнила студентка:

Сухих Мария Алексеевна

Вологда 2014 г.

Лабораторная работа по темам 5, 6: Средние величины. Статистический анализ вариации признака

Цель работы: изучить порядок расчёта среднего и структурных средних (модального, медианного, квартильного и децильного) значений признака, показателей вариации для различных типов исходных данных.

Задача 5.1. Имеются следующие данные о производстве подшипников десятью рабочими бригады за смену:

модальный медианный признак вариация интервальный

Номер рабочего,	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Произведено подшипников за смену, шт. xi	21	18	15	17	16	25	14	27	12	13

Расчёт среднего количества произведённых подшипников за смену:

Среднее арифметическое простое (используется для массивов исходных и массивов ранжированных данных):

Задача 5.2. Имеется информация о стаже работы 50-ти сотрудников ОАО КБ «Севергазбанк»:

Стаж работы, лет xj	1	2	3	4	5
Количество сотрудников, чел. nj	2	15	23	6	4

Задание:

1. Расчёт среднего стажа 50-ти обследованных работников банка:

Среднее арифметическое взвешенное:

Средний стаж 50-ти обследованных работников банка равен примерно 3 года.

Это ДВР - дискретный вариационный ряд распределения. Он построен по количественному признаку, имеет дискретные значения, числа целые. Этот ряд имеет групповое значение признака x_j (стаж работы) и количество объектов, попавших в определённую группу, то есть частоту n_j (количество сотрудников). Для вычисления средней величины в ДВР применяется формула среднего арифметического взвешенного.

2. Расчёт дисперсии и среднеквадратического отклонения стажа всех сотрудников от общего среднего стажа:

Дисперсия для ДВР:

СКО - среднее квадратическое отклонение для ДВР:



Задача 5.3. Тремя филиалами компании организуется дополнительная эмиссия акций. Информация о номинальной стоимости и количестве эмитированных ценных бумаг тремя филиалами и компанией в целом приведена в таблице:

Номинальная стоимость акции, тыс. $	Количество акций, выпущенных	Итого
	филиалом №1	филиалом №2	филиалом №3
10	30	25	35	90
30	45	30	15	90
50	20	15	25	60
Итого	95	70	75	240

Задание:

1. Расчёт среднего номинала акций, выпущенных компанией:

Среднее арифметическое взвешенное:

2. Расчёт среднего номинала акций, выпущенных каждым филиалом.

Среднее арифметическое взвешенное:

Средний номинал акций, выпущенных филиалом №1:



Средний номинал акций, выпущенных филиалом №2:

Средний номинал акций, выпущенных филиалом №3:

3. Свойство средних величин: общая средняя величина равна средней арифметической взвешенной из групповых средних величин.

Задача 5.4. Имеются данные о среднемесячных темпах роста (спада) количества обслуженных клиентов кассирами-операционистами ОАО КБ «Банк Москвы»:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Темп роста (спада) обслуженных клиентов (ОВд - относительная величина динамики), % Трj	76,6	115,5	101,1	104,5	102,0	101,1	98,2	94,1	110,1	101,1	103,1	115,4
Темп роста (спада) обслуженных клиентов, в разах	0,766	1,155	1,011	1,045	1,020	1,011	0,982	0,941	1,101	1,011	1,031	1,154

Расчёт среднегодового темпа роста (спада) количества обслуженных клиентов.

Среднее геометрическое:

Эта величина предназначена для расчёта среднего коэффициента роста в ряду динамики.

За каждый месяц в среднем количество обслуживаемых клиентов увеличивалось на 101,5%.

Задача 5.5. По трём предприятиям, вырабатывающим один и тот же вид продукции, известны следующие данные за отчётный месяц:



Предприятие	Численность рабочих, чел.	Производство продукции на одного рабочего, шт.	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
1	2	3	4
1	16	500	3,0
2	20	800	2,5
3	44	650	2,0
ВСЕГО	80	1 950	-

Расчёт:

а) Среднее число рабочих на одно предприятие:

Среднее арифметическое простое:

б) Среднее производство продукции (выработка) на одного рабочего:

Среднее арифметическое взвешенное:

в) Средняя себестоимость единицы продукции:

Среднее арифметическое простое:

(тыс. руб.)



Были применены следующие виды величин:

1) среднее арифметическое простое (для расчёта среднего числа рабочих на одно предприятие и средней себестоимости продукции);

2) среднее арифметическое взвешенное (для расчёта среднего производства (выработки) продукции на одного рабочего).

Задача 5.6. Имеются следующие данные об урожайности, посевных площадях и валовом сборе пшеницы (озимой и яровой) в РФ в базисном и текущем периоде:

Культура	Базисный период	Текущий период
	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, млн. га.	Урожайность, ц/га	Валовой сбор, млн. ц
Пшеница озимая	22,3	7,9	29,1	244
Пшеница яровая	12,3	15,3	15,7	226

Расчёт средней урожайности пшеницы:

а) В базисном периоде:

Среднее арифметическое взвешенное:

б) В отчётном периоде:

Среднее гармоническое:

Эта величина используется когда в ДВР вместо информации о групповых значениях признака x_j и их частотах n_j приводятся данные об x_j и маржиноне:



Формула для расчёта:

Были применены следующие виды величин:

1) среднее арифметическое взвешенное (для расчёта средней урожайности пшеницы в базисном периоде);

2) среднее гармоническое (для расчёта средней урожайности пшеницы в отчётном (текущем) периоде).

Задача 5.7. Имеются данные о размере должностного оклада сотрудников ООО «Феникс»:

№ группы	Размер должностного оклада, руб. xj	Численность рабочих, чел. nj
1	до 4 000 (от -2000)	16
2	4 000 - 10 000 (hj = 6000)	20
3	10 000 - 18 000 (hj = 8000)	44
4	18 000 - 30 000 (hj = 12000)	74
5	30 000 - 40 000 (hj = 10000)	37
6	40 000 и более (до 50000)	9
	ВСЕГО	200

Задание:

1. Расчёт среднего размера должностного оклада сотрудников ООО «Феникс»:

Среднее арифметическое взвешенное через середину интервала:

где - середина интервала:

Это ИВР - интервальный вариационный ряд. ИВР строятся по количественному признаку, дискретному, с большим количеством значений или непрерывному. Для определения средних величин в ИВР используется среднее арифметическое взвешенное через середину интервала.

Данный ИВР является неравноинтервальным, причём имеет два открытых интервала - первый и последний (шестой), так как в первом интервале отсутствует нижняя граница, а во втором - верхняя. Ширина таких интервалов (h_j) определяется по соседнему интервалу.



Расчёт:

2. Расчёт показателей вариации (для ИВР).

1) Среднее значение признака (среднее арифметическое взвешенное через середину интервала):

2) Размах вариации:



Размах вариации показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.

3) Среднее линейное отклонение (СЛО):

СЛО показывает на сколько в среднем отличается каждое индивидуальное значение признака (x_i), групповое значение признака (x_j) или серединногрупповое значение признака () от общего среднего значения () в большую или меньшую стороны.

СЛО - это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.

4) Дисперсия:



Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

5) СКО - среднее квадратическое отклонение:

6) Коэффициент осцилляции:

7) Линейный коэффициент вариации:

8) Коэффициент вариации:

Среднее значение признака равно 21240 (руб.). СЛО равно 9272 (руб.) - это значит, что на 9272 в среднем отличается каждое серединногрупповое значение признака от общего среднего значения в большую или меньшую сторону. Дисперсия равна 127832400 (руб ².), а СКО равно 11306,3 (руб.).

Коэффициент вариации > 33%. Это означает, что совокупность неоднородна, среднее не достоверно.

Задача 5.8. За истёкший год в Российской Федерации имелось следующее распределение безработных по полу и возрастным группам:

Возрастная группа, лет	Численность безработных, % к итогу
	мужчины	женщины
До 19 (от 15)	8,5	8,6
20-24 (hj = 4)	17,6	17,8
25-29(hj = 4)	13,2	11,5
30-34(hj = 4)	12,0	11,9
35-39(hj = 4)	12,5	13,6
40-44(hj = 4)	13,7	13,9
45-49(hj = 4)	10,9	10,5
50-54(hj = 4)	6,2	7,3
55-59(hj = 4)	3,0	2,0
60-72(hj = 12)	2,4	2,9
ВСЕГО	100	100

Задание:

1. ИВР (неравноинтервальный).

Расчёты:

а) Средний возраст безработных:

Средний возраст безработных мужчин (среднее арифметическое взвешенное через середину интервала):Размещено на http://www.allbest.ru

Средний возраст безработных мужчин примерно равен 34,7 года.

Средний возраст безработных женщин (среднее арифметическое взвешенное через середину интервала):

Размещено на http://www.allbest.ru

Средний возраст безработных женщин примерно равен 34,9 года.Средний возраст безработных и мужчин, и женщин почти одинаков. Он составляет примерно 35 лет.

б) Модальный возраст (мода):

Мода - значение признака, которое чаще всего встречается в ряду распределения.

Модальный возраст (мода) мужчин:

Наибольшая частота (Размещено на http://www.allbest.ru

n_j) равна 17,6. Значит, модальный интервал: 20-24 (лет).

Внутри модального интервала рассчитывается мода по формуле:

Модальный возраст (мода) женщин:

Наибольшая частота (Размещено на http://www.allbest.ru

n_j) равна 17,8. Значит, модальный интервал: 20-24 (лет).

Внутри модального интервала рассчитывается мода по формуле:

в) Медианный возраст (медиана):

Медиана - значение признака у единицы, стоящей в середине ряда.

Медианный возраст (медиана) мужчин:

Номер медианы:

Размещено на http://www.allbest.ru

Таблица с накопленными частотами (N_j):

Возрастная группа, лет	Численность безработных мужчин, % к итогу	Накопленные частоты (Nj)
До 19 (от 15)	8,5	8,5
20-24 (hj = 4)	17,6	26,1
25-29(hj = 4)	13,2	39,3
30-34(hj = 4)	12,0	51,3
35-39(hj = 4)	12,5	63,8
40-44(hj = 4)	13,7	77,5
45-49(hj = 4)	10,9	88,4
50-54(hj = 4)	6,2	94,6
55-59(hj = 4)	3,0	97,6
60-72(hj = 12)	2,4	100
ВСЕГО	100	-

Значит, медианный интервал: 30-34 (лет).

Внутри медианного интервала рассчитывается медиана по формуле:

Медианный возраст (медиана) женщин:

Размещено на http://www.allbest.ru

Номер медианы:



Таблица с накопленными частотами (N_j):

Возрастная группа, лет	Численность безработных женщин, % к итогу	Накопленные частоты (Nj)
До 19 (от 15)	8,6	8,6
20-24 (hj = 4)	17,8	26,4
25-29(hj = 4)	11,5	37,9
30-34(hj = 4)	11,9	49,8
35-39(hj = 4)	13,6	63,4
40-44(hj = 4)	13,9	77,3
45-49(hj = 4)	10,5	87,8
50-54(hj = 4)	7,3	95,1
55-59(hj = 4)	2,0	97,1
60-72(hj = 12)	2,9	100
ВСЕГО	100	-

Значит, медианный интервал: 35-39 (лет).

Внутри медианного интервала рассчитывается медиана по формуле:

2. Построение гистограмм и кумулят распределения безработных мужчин и женщин по возрасту.

Рисунок 5.1. Гистограмма распределения безработных мужчин по возрасту

Рисунок 5.2. Гистограмма распределения безработных женщин по возрасту



Рисунок 5.3. Гистограммы распределения безработных женщин и мужчин по возрасту

Рисунок 5.4. Кумулята распределения безработных мужчин по возрасту (по накопленным частотам)

Рисунок 5.5. Кумулята распределения безработных женщин по возрасту (по накопленным частотам)

Рисунок 5.6. Кумуляты распределения безработных мужчин и женщин по возрасту

Задача 5.9. (выполняется на основе данных задач 2.2 и 3.1)

1. Расчёты средней и показателей по несгруппированным ранжированным данным (совокупности, ранжированной по признаку-результату):

а) Среднее значение признака как средняя арифметическая простая.

Таблица 2.9

Ранжированный массив 38 банков по стоимости чистых активов
(без экстремальных значений)

№ банка	Форма собственности банка	Стоимость собственных оборотных средств, млрд. руб.	Стоимость чистых активов, млрд. руб.
1	2	3	4
63	Федеральная	62,0	50,0
97	Частная	63,5	50,0
43	Частная	104,9	59,0
101	Федеральная	88,4	59,0
45	Смешанная	94,7	59,5
89	Частная	91,2	59,5
33	Частная	52,3	61,5
47	Частная	101,5	66,0
51	Федеральная	105,1	71,0
67	Частная	105,1	71,0
91	Федеральная	117,1	75,0
65	Смешанная	116,9	76,0
79	Частная	119,3	76,0
87	Смешанная	118,1	76,0
93	Смешанная	118,3	76,0
49	Федеральная	116,9	78,5
25	Муниципальная	94,9	79,0
29	Частная	107,9	81,0
53	Смешанная	127,2	82,5
55	Частная	116,3	82,5
75	Частная	116,5	82,5
19	Смешанная	118,1	83,5
59	Федеральная	163,1	83,5
57	Смешанная	127,6	85,0
69	Федеральная	127,2	85,0
21	Федеральная	128,1	89,0
77	Частная	137,6	89,5
81	Частная	138,6	89,5
35	Смешанная	108,3	92,0
99	Федеральная	146,3	95,0
71	Частная	146,3	95,5
83	Федеральная	163,0	101,5
95	Частная	163,2	101,5
61	Федеральная	163,0	106,0
85	Федеральная	173,0	110,0
37	Федеральная	184,2	119,5
17	Частная	119,3	126,5
23	Частная	163,2	126,5

Примем данные ранжированного массива банков по стоимости чистых активов (табл. 2.9, столбец 4). На их основе рассчитаем средний размер активов по формуле средней арифметической простой, т.е. сложим все значения активов по совокупности банков и разделим на их количество - тридцать восемь:

г) Показатели вариации:

Размах вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Разница между крайними значениями размера активов в совокупности 38 банков оставляет 76,5 млрд. руб.

Среднее линейное отклонение:Размещено на http://www.allbest.ru

Среднее линейное отклонение показывает, что в среднем стоимость чистых активов каждого из 38 банков отклоняется от среднего значения (83 млрд. руб.) на 14,2 млрд. руб. в большую и меньшую сторону.

Дисперсия признака:

Размещено на http://www.allbest.ru

Среднее квадратическое отклонение:

Размещено на http://www.allbest.ru

Среднее квадратическое отклонение () показывает, что в среднем размер активов каждого из 38 банков отклоняется от среднего значения (83 млрд. руб.) на 18,7 млрд. руб. в большую и меньшую сторону.

Коэффициент осцилляции:

Размещено на http://www.allbest.ru

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Коэффициент осцилляции свидетельствует о том, что размер отклонения крайних значений признака () на 7,8% меньше среднего значения признака, что свидетельствует об умеренной вариации стоимости активов в выборочной совокупности 38 банков.

Линейный коэффициент вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Размер отклонений индивидуальных значений стоимости чистых активов банков от среднего значения, выраженный в процентах, составляет 17,1%;

Коэффициент вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Поскольку коэффициент вариации составляет 22,5% (это >20%), то, можно судить, что совокупность заметно не однородна по изучаемому признаку.

2. Расчёты средних величин (среднего значения, моды медианы, квартилей и децилей) и показателей вариации в дискретном вариационном ряду (на основании ДВР распределения банков по признаку-результату):

а) Среднее значение признака как средняя арифметическая взвешенная.

Таблица 3.1

Дискретный вариационный ряд 38 банков России
по стоимости чистых активов

№ группы	Стоимость чистых активов банка, млрд. руб.	№ банка, попавшего в группу	Количество банков в группе (частота)
1	2	3	4
1	50,0	63, 97	2
2	59,0	43, 101	2
3	59,5	45, 89	2
4	61,5	33	1
5	66,0	47	1
6	71,0	51, 67	2
7	75,0	91	1
8	76,0	65, 79, 87, 93	4
9	78,5	49	1
10	79,0	25	1
11	81,0	29	1
12	82,5	53, 55, 75	3
13	83,5	19, 59	2
14	85,0	57, 69	2
15	89,0	21	1
16	89,5	77, 81	2
17	92,0	35	1
18	95,0	99	1
19	95,5	71	1
20	101,5	83, 95	2
21	106,0	61	1
22	110,0	85	1
23	119,5	37	1
24	126,5	17, 23	2
	Всего	-	38

На основании данных дискретного вариационного ряда (табл. 3.1) определим среднее значение стоимости чистых активов по формуле средней арифметической взвешенной:

б) Мода:

В дискретном вариационном ряду банков по размеру чистых активов наиболее часто (4 раза) встречаются значения стоимости активов 76 млрд. руб.

Значит, мода Мо = 76 млрд. руб.

в) Определение медианы включает 2 шага.

1 шаг. Определение местоположения (номера медианы №_Ме) медианы в ряду:

2 шаг. Определим численное значение медианы.

Поскольку номер медианы - нецелое число (), медиану можно рассчитать как среднюю арифметическую простую из значений активов 19 и 20 по порядку банков.

На 19 месте в ранжированном массиве банков (табл. 2.9) находится банк №53. Размер его чистых активов составляет 82,5 млрд. руб., на 20 месте - банк №55, его активы равны 82,5 млрд. руб.

Значит, медиана Me равна:

Квартили рассчитываются аналогично медиане. Однако следует учитывать, что медиана - это квантиль порядка , а квартили - квантили порядка , т.е. медиана делит совокупность на две равные части, а квартили - на четыре равные части. Первый квартиль отсекает 1/4 часть совокупности, второй - 2/4 части совокупности и третий - 3/4 части совокупности. Зная это, рассчитаем квартили в два шага:

1 шаг. Определим местоположение (номер квартилей №_Q) квартилей в ряду:

9,75 - нецелое число. Следовательно, сам квартиль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 9 и 10 по порядку банков.



19,5 - нецелое число. Таким образом, второй квартиль (медиана) будет определяться как среднее арифметическое простое из значений стоимости активов 19 и 20 по порядку банков.

29,25 - нецелое число. Следовательно, третий квартиль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений стоимости активов 29 и 30 по порядку банков.

2 шаг. Определение численных значений квартилей:

Зная, что децили - это квантили порядка , рассчитаем их:

Рассчитаем децили в два шага.

1 шаг. Определим местоположение (номер децилей №_D) децилей в ряду:

3,9 - нецелое число. Следовательно, сам дециль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 3 и 4 по порядку банков.



7,8 - нецелое число. Следовательно, сам дециль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 7 и 8 по порядку банков.

11,7 - нецелое число. Следовательно, сам дециль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 11 и 12 по порядку банков.

15,6 - нецелое число. Следовательно, сам дециль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 15 и 16 по порядку банков.

19,5 - нецелое число. Следовательно, сам дециль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 19 и 20 по порядку банков.



23,4 - нецелое число. Следовательно, сам дециль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 23 и 24 по порядку банков.

27,3 - нецелое число. Следовательно, сам дециль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 27 и 28 по порядку банков.

31,2 - нецелое число. Следовательно, сам дециль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 31 и 32 по порядку банков.

35,1 - нецелое число. Следовательно, сам дециль будет определяться как среднее арифметическое простое из значений активов 35 и 36 по порядку банков.

2 шаг. Определение численных значений децилей:

Квартильный коэффициент дифференциации:

Квартильный коэффициент характеризует соотношение между верхним и нижним квартилями и показывает во сколько раз минимальное значение признака в последней четверти единиц совокупности выше максимального значения признака в первой четверти единиц совокупности. Значит, примерно в 1,3 раза минимальное значение признака в последней четверти единиц совокупности выше максимального значения признака в первой четверти единиц совокупности.

Децильный коэффициент дифференциации:

Децильный коэффициент характеризует соотношение между верхним и нижним децилями.

г) Показатели вариации.

Размах вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Среднее линейное отклонение:

Размещено на http://www.allbest.ru

Дисперсия признака:

Размещено на http://www.allbest.ru



Среднее квадратическое отклонение:

Размещено на http://www.allbest.ru

Коэффициент осцилляции:

Размещено на http://www.allbest.ru

Линейный коэффициент вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Коэффициент вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Вывод: показатели вариации, рассчитанные по несгруппированным данным и дискретному вариационному ряду, полностью совпадают.

3. Расчёты средних величин и показателей вариации в интервальных вариационных рядах:

3.1. Равноинтервальный вариационный ряд распределения.

а) По данным равноинтервального вариационного ряда распределения банков по стоимости чистых активов (табл. 3.3) определим средний размер активов по формуле средней арифметической взвешенной через середины интервалов:

Таким образом, среднее значение стоимости чистых активов сорока банков России составляет 82,6 млрд. руб.

Таблица 3.3

Равноинтервальный вариационный ряд 38 банков по стоимости чистых активов (число интервалов m = 5)

Номер группы	Группы банков по размеру активов, млрд. руб.	Ширина интервала, млрд. руб.	Середина интервала, млрд. руб.	Кол-во банков в группе (частота)	В % к итогу (частость)
j	(границы интервалов yjн - yjв)	hj= yjв - yjн
1	2	3	4	5	6
1	50 - 65,3	15,3	57,65	7	18,4
2	65,3 - 80,6	15,3	72,95	10	26,3
3	80,6 - 95,9	15,3	88,25	14	36,8
4	95,9 - 111,2	15,3	103,55	4	10,5
5	111,2 - 126,5	15,3	118,85	3	7,8
	ВСЕГО	-	-	n = 38	100



б) Мода в интервальном ряду распределения рассчитывается по наибольшей частоте или частости.

Сначала определим модальный интервал - интервал с наибольшим числом банков (частотой). В данном случае это третий интервал, поскольку его частота составляет наибольшее значение - 14 банков.

Теперь рассчитаем моду Mo:

Наиболее часто в интервальном ряду распределения встречаются банки с размером активов 85 млрд. руб.

в) Медиана в интервальном ряду распределения рассчитывается по накопленной частоте или частости.

Перед расчётом медианы добавим в таблицу 3.3 дополнительные столбцы 7, 8, в которых рассчитаем накопленные частоты и частости. Столбец 3 таблицы 3.3 можно опустить. Таким образом получаем таблицу 5.1.



Таблица 5.1

Равноинтервальный вариационный ряд 38 банков по стоимости чистых активов (число интервалов m = 5)

Номер группы	Группы банков по размеру активов, млрд. руб.	Середина интервала, млрд. руб.	Кол-во банков в группе (частота)	В % к итогу (частость)	Накопленные частоты	Накопленные частости
j	(границы интервалов yjн - yjв)				Nj	Dj
1	2	4	5	6	7	8
1	50 - 65,3	57,65	7	18,42	7	18,42
2	65,3 - 80,6	72,95	10	26,32	17	44,74
3	80,6 - 95,9	88,25	14	36,84	31	81,58
4	95,9 - 111,2	103,55	4	10,53	35	92,11
5	111,2 - 126,5	118,85	3	7,89	38	100
	ВСЕГО	-	n = 38	100	-	-

Медиану вычислим в три шага:

1 шаг. Местоположение медианы в ряду рассчитано:

2 шаг. Определение медианного интервала.

Из данных таблицы 5.1, столбец 7, видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает 19,5 - это 3 интервал (80,6 - 95,9 млрд. руб.), накопленная частота которого N₃ = 31 банк.

3 шаг. Вычислим численное значение медианы:



Это значит, что половина банков имеет размер активов меньше 82,8 млрд. руб., а половина - больше.

Аналогично алгоритму поиска медианы рассчитаем и квартили:

1 шаг. Местоположение квартилей в ряду определено:

2 шаг. Выбор квартильных интервалов:

Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер первого квартиля () - это 2 интервал (65,3 - 80,6 млрд. руб.), накопленная частота которого N₂ = 17 банков.

Интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер второго квартиля () - это 3 интервал (80,6 - 95,9 млрд. руб.) с накопленной частотой N₃ = 31 банк.

Интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер третьего квартиля () - это 3 интервал (80,6 - 95,9 млрд. руб.), накопленная частота которого N₃ = 31 банк.

Заметим, что не всегда квартили располагаются в разных интервалах. Бывают ситуации, когда два или все три квартиля находятся в одном интервале. Однако такие ряды нельзя признать соответствующими закону нормального распределения.

3 шаг. Рассчитаем численные значения квартилей:

Зная, что децили - это квантили порядка , рассчитаем их:

Рассчитаем децили в два шага.

1 шаг. Определим местоположение (номер децилей №_D) децилей в ряду:

Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер первого дециля () - это 1 интервал (50 - 65,3 млрд. руб.), накопленная частота которого N₁ = 7 банков.



Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер второго дециля () - это 2 интервал (65,3 - 80,6 млрд. руб.), накопленная частота которого N₂ = 17 банков.

Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер третьего дециля () - это 2 интервал (65,3 - 80,6 млрд. руб.), накопленная частота которого N₂ = 17 банков.

Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер четвёртого дециля () - это 2 интервал (65,3 - 80,6 млрд. руб.), накопленная частота которого N₂ = 17 банков.

Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер пятого дециля

() - это 3 интервал (80,6 - 95,9 млрд. руб.), накопленная частота которого N₃ = 31 банк.

Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер шестого дециля

() - это 3 интервал (80,6 - 95,9 млрд. руб.), накопленная частота которого N₃ = 31 банк.

Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер седьмого дециля

() - это 3 интервал (80,6 - 95,9 млрд. руб.), накопленная частота которого N₃ = 31 банк.

Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер восьмого дециля

() - это 4 интервал (95,9 - 111,2 млрд. руб.), накопленная частота которого N₄ = 35 банков.

Из данных столбца 7 таблицы 5.1 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер девятого дециля

() - это 5 интервал (111,2 - 126,5 млрд. руб.), накопленная частота которого N₅ = 38 банков.

2 шаг. Определение численных значений децилей:



Квартильный коэффициент дифференциации:

Децильный коэффициент дифференциации:

Сравнительная таблица значений средних величин, полученных при их расчёте в дискретном (ДВР) и интервальном (ИВР) вариационных рядах:



Показатель	Единица измерения	Значения при расчёте средних величин в ДВР	Значения при расчёте средних величин в ИВР (равноинтервальном)	Отклонение значений в ИВР от значений в ДВР
1	2	3	4	5 = 4-3
Медиана Me	млрд. руб.	82,5	82,8	0,3
Первый квартиль Q1	млрд. руб.	71,0	69,1	-1,9
Второй квартиль Q2	млрд. руб.	82,5	82,8	0,3
Третий квартиль Q3	млрд. руб.	93,5	93,2	-0,3
Первый дециль D1	млрд. руб.	59,0	58,3	-0,7
Второй дециль D2	млрд. руб.	63,8	66,2	2,4
Третий дециль D3	млрд. руб.	75,5	72,0	-3,5
Четвёртый дециль D4	млрд. руб.	77,3	77,8	0,5
Пятый дециль D5	млрд. руб.	82,5	82,8	0,3
Шестой дециль D6	млрд. руб.	84,3	86,9	2,6
Седьмой дециль D7	млрд. руб.	89,5	91,1	1,6
Восьмой дециль D8	млрд. руб.	98,5	95,2	-3,3
Девятый дециль D9	млрд. руб.	114,8	107,1	-7,7
Квартильный коэффициент KQ	раз	1,3	1,3	0
Децильный коэффициент KD	раз	1,9	1,8	-0,1

Значения медианы, квартилей, децилей, квартильных и децильных коэффициентов, полученные при их расчёте в ДВР и равноинтервальном ИВР, оказались примерно равными. Самое большое расхождение в значениях составило 7,7. Значения медианы, второго квартиля и пятого дециля совпадают.

Вывод: средние величины, рассчитанные в ДВР и равноинтервальном ИВР, совпадают не полностью, а являются лишь примерно равными.

г) Показатели вариации для интервальных данных рассчитываются через середины интервалов :

Размах вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Среднее линейное отклонение:

Размещено на http://www.allbest.ru

Дисперсия признака:

Размещено на http://www.allbest.ru

Среднее квадратическое отклонение:

Размещено на http://www.allbest.ru

Коэффициент осцилляции:

Размещено на http://www.allbest.ru

Линейный коэффициент вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Коэффициент вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

.

Таким образом, вывод о том, что совокупность тридцати восьми банков заметно неоднородна подтверждается: коэффициент вариации и по сгруппированным данным составил величину больше 20%.

3.2. Равнонаполненный вариационный ряд распределения.

а) Рассчитаем средний размер стоимости активов банков по равнонаполненному ряду распределения (табл. 2.11) по формуле средней арифметической взвешенной через середины интервалов. Для их расчёта составим новую таблицу 5.2.

Таблица 2.11

Структурная равнонаполненная группировка 38 банков России по стоимости чистых активов

Номер группы	Группы банков по размеру чистых активов, млрд. руб.	Кол-во банков в группе (частота)	В % к итогу (частость)	Ширина интервала, млрд. руб.	Абсолютная плотность распределения, шт./млрд. руб.	Относительная плотность распределения, % /млрд. руб.
	(границы интервалов yjн - yjв)	nj		hj= yjв - yjн
1	2	3	4	5	6	7
1	50,0 - 61,5	6	15,8	11,5	0,522	1,374
2	61,5 - 76,0	5	13,2	14,5	0,345	0,91
3	76,0 - 81,0	6	15,8	5	1,2	3,16
4	81,0 - 85,0	6	15,8	4	1,5	3,95
5	85,0 - 95,0	6	15,8	10	0,6	1,58
6	95,0 - 126,5	9	23,6	31,5	0,286	0,749
ВСЕГО	n=38	100	-	-	-

Таблица 5.2

Равнонаполненный ряд распределения банков по размеру чистых активов

№ гр.	Группы банков по размеру чистых активов, млрд. руб.	Кол-во банков в группе (частота)	В % к итогу (частость)	Ширина интервала, млрд. руб.	Абсолютная плотность распределения, шт./млрд. руб.	Относительная плотность распределения, %/млрд. руб.	Середина интервала, млрд. руб.	Накопленная частота	Накопленная частость
	(границы интервалов yjн - yjв)	nj		hj= yjв - yjн				Nj	Dj
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	50,0 - 61,5	6	15,8	11,5	0,522	1,374	55,75	6	15,8
2	61,5 - 76,0	5	13,2	14,5	0,345	0,91	68,75	11	29
3	76,0 - 81,0	6	15,8	5	1,2	3,16	78,5	17	44,8
4	81,0 - 85,0	6	15,8	4	1,5	3,95	83	23	60,6
5	85,0 - 95,0	6	15,8	10	0,6	1,58	90	29	76,4
6	95,0 - 126,5	9	23,6	31,5	0,286	0,749	110,75	38	100
ВСЕГО	n=38	100	-	-	-	-	-	-

Вывод: средние значения размера активов, рассчитанные по массиву несгруппированных данных и дискретному вариационному ряду (п. 1а, 2а) (82,9 млрд. руб.), а также по интервальным рядам распределения (82,9 млрд. руб. и 83,8 млрд. руб.), построенным по одной и той же совокупности, различаются. Это объясняется тем, что расчёт средней по интервальным рядам распределения зависит от середин интервалов, на которые оказывают влияние границы интервалов (верхняя и нижняя границы). А границы интервалов зависят от способа группировки данных и расчётной ширины интервала (h_j), которая, к тому же, подвергалась округлению. Таким образом, средняя в интервальных вариационных рядах распределения зависит от способа первичной группировки данных.

б) Мода в равнонаполненном вариационном ряду распределения не определяется, поскольку частоты всех интервалов равны (или примерно равны).

Вывод: в дискретном ряду мода составляла 76 млрд. руб., а в равноинтервальном ряду распределения (табл. 5.1) - 85 млрд. руб. Расхождения в рассчитанных значениях объясняются тем, что при расчёте моды в интервальном ряду распределения, как и при расчёте средней, учитываются границы модального интервала (нижняя граница), которые при проведении группировки нередко округляются, что и приводит к погрешности в расчётах. Кроме того, признак внутри групп интервального ряда распределяется неравномерно, а мы при расчёте моды подразумеваем его равномерное распределение внутри каждой группы, поэтому рассчитанное значение моды по интервальному ряду можно считать лишь примерными. Таким образом, расчётное значение моды сильно зависит от способа группировки первичных данных и вычисляется примерно. Точное значение моды можно определить только по дискретному вариационному ряду.

в) Расчёт медианы по накопленной частоте в три шага.

1 шаг. Местоположение медианы в ряду определено:

2 шаг. Определение медианного интервала.

Медианный интервал - четвёртый (81 - 85 млрд. руб.), т. к. в нём накопленная частота равна или впервые больше номера медианы N₄ = 19,5 (табл. 5.2, столбец 9).

3 шаг. Определение численного значения медианы:

Значит, половина банков имеет размер активов меньше 82,3 млрд. руб., а половина - больше.

Вывод: по данным дискретного вариационного ряда, медиана составляет 82,5 млрд. руб. Она делит совокупность на две равные части: 19 первых банков имеют размер активов до 82,5 млрд. руб. (не включая данное значение), 19 последних банков - более 80,5 млрд. руб. (не включая данное значение). По равноинтервальному вариационному ряду медиана составила 82,8 млрд. руб., по равнонаполненному - 82,3 млрд. руб. (включая эти значения).

Расхождения в рассчитанных значениях медианы объясняются тем, что в расчётах медианы по интервальным рядам учитывается нижняя граница медианного интервала. Это означает, что значение медианы зависит от способа группировки данных и вычисляется примерно.

Аналогично алгоритму поиска медианы рассчитаем и квартили:

1 шаг. Местоположение квартилей в ряду определено:



2 шаг. Выбор квартильных интервалов:

Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер первого квартиля () - это 2 интервал (61,5 - 76 млрд. руб.), накопленная частота которого N₂ = 11 банков.

Интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер второго квартиля () - это 4 интервал (81 - 85 млрд. руб.) с накопленной частотой N₄ = 23 банка.

Интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер третьего квартиля () - это 6 интервал (95 - 126,5 млрд. руб.), накопленная частота которого N₆ = 38 банков.

3 шаг. Рассчитаем численные значения квартилей:

Зная, что децили - это квантили порядка , рассчитаем их:

Рассчитаем децили в два шага.

1 шаг. Определим местоположение (номер децилей №_D) децилей в ряду:



Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер первого дециля () - это 1 интервал (50 - 61,5 млрд. руб.), накопленная частота которого N₁ = 6 банков.

Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер второго дециля () - это 2 интервал (61,5 - 76 млрд. руб.), накопленная частота которого N₂ = 11 банков.

Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер третьего дециля () - это 3 интервал (76 - 81 млрд. руб.), накопленная частота которого N₃ = 17 банков.

Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер четвёртого дециля

() - это 3 интервал (76 - 81 млрд. руб.), накопленная частота которого N₃ = 17 банков.

Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер пятого дециля

() - это 4 интервал (81 - 85 млрд. руб.), накопленная частота которого N₄ = 23 банка.

Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер шестого дециля

() - это 5 интервал (85 - 95 млрд. руб.), накопленная частота которого N₅ = 29 банков.

Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер седьмого дециля

() - это 5 интервал (85 - 95 млрд. руб.), накопленная частота которого N₅ = 29 банков.

Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер восьмого дециля

() - это 6 интервал (95 - 126,5 млрд. руб.), накопленная частота которого N₆ = 38 банков.

Из данных столбца 9 таблицы 5.2 видно, что интервал, кумулятивная частота которого равна или впервые превышает номер девятого дециля

() - это 6 интервал (95 - 126,5 млрд. руб.), накопленная частота которого N₆ = 38 банков.

2 шаг. Определение численных значений децилей:

Квартильный коэффициент дифференциации:

Децильный коэффициент дифференциации:

Сравнительная таблица значений средних величин, полученных при их расчёте в дискретном (ДВР) и интервальном (ИВР) вариационных рядах:

Показатель	Единица измерения	Значения при расчёте средних величин в ДВР	Значения при расчёте средних величин в ИВР (равнонаполненном)	Отклонение значений в ИВР от значений в ДВР
1	2	3	4	5 = 4-3
Медиана Me	млрд. руб.	82,5	82,3	-0,2
Первый квартиль Q1	млрд. руб.	71,0	71,7	0,7
Второй квартиль Q2	млрд. руб.	82,5	82,3	-0,2
Третий квартиль Q3	млрд. руб.	93,5	93,2	-0,3
Первый дециль D1	млрд. руб.	59,0	57,3	-1,7
Второй дециль D2	млрд. руб.	63,8	66,1	2,3
Третий дециль D3	млрд. руб.	75,5	76,3	0,8
Четвёртый дециль D4	млрд. руб.	77,3	79,5	2,2
Пятый дециль D5	млрд. руб.	82,5	82,3	-0,2
Шестой дециль D6	млрд. руб.	84,3	84,7	0,4
Седьмой дециль D7	млрд. руб.	89,5	91,0	1,5
Восьмой дециль D8	млрд. руб.	98,5	99,9	1,4
Девятый дециль D9	млрд. руб.	114,8	113,2	-1,6
Квартильный коэффициент KQ	раз	1,3	1,3	0
Децильный коэффициент KD	раз	1,9	2,0	0,1

Значения медианы, квартилей, децилей, квартильных и децильных коэффициентов, полученные при их расчёте в ДВР и равноинтервальном ИВР, оказались примерно равными. Самое большое расхождение в значениях составило 2,3. Значения медианы, второго квартиля и пятого дециля совпадают.

Вывод: средние величины, рассчитанные в ДВР и равнонаполненном ИВР, совпадают не полностью, а являются лишь примерно равными. Причём, в данном случае значения показателей, рассчитанные в равнонаполненном ряду, оказались точнее, чем те же показатели, рассчитанные в равноинтервальном ряду.

г) Показатели вариации для интервальных данных рассчитываются через середины интервалов :

Размах вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Среднее линейное отклонение:

Размещено на http://www.allbest.ru

Дисперсия признака:

Размещено на http://www.allbest.ru

Среднее квадратическое отклонение:

Размещено на http://www.allbest.ru

Коэффициент осцилляции:

Размещено на http://www.allbest.ru

Линейный коэффициент вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

Коэффициент вариации:

Размещено на http://www.allbest.ru

.

Таким образом, вывод о том, что совокупность тридцати восьми банков заметно неоднородна подтверждается: коэффициент вариации и по сгруппированным данным составил величину больше 20%.

Сравнительная таблица значений показателей вариации, полученных при их расчёте в массиве ранжированных данных, дискретном (ДВР) и интервальных (ИВР) вариационных рядах:

Показатель вариации	Единица измерения	Значения при расчёте по несгруппиро-ванным ранжированным данным	Значения при расчёте в ДВР	Значения при расчёте в ИВР (равноинтер-вальном)	Значения при расчёте в ИВР (равнонапол-ненном)
1	2	3	4	5	6
Размах вариации R	млрд. руб.	76,5	76,5	61,2	55,0
Среднее линейное отклонение	млрд. руб.	14,2	14,2	14,3	14,7
Дисперсия	млрд. руб.2	351,2	351,2	300,9	336,7
Среднее квадратическое отклонение	млрд. руб.	18,7	18,7	17,3	18,3
Коэффициент осцилляции	%	92,2	92,2	74,1	65,6
Линейный коэффициент вариации	%	17,1	17,1	17,3	17,5
Коэффициент вариации	%	22,5	22,5	20,9	21,8

Значения показателей вариации, полученные при расчётах в несгруппированных ранжированных данных и в ДВР, полностью совпадают. В ИВР (равноинтервальном и равнонаполненном) значения отличаются друг от друга, причём они отличаются и от значений в ДВР и в несгруппированных ранжированных данных.

Вывод: при вычислении показателей вариации по ДВР, их значения оказываются точными, истинными. Если же делать расчёты по ИВР, то значения показателей будут несколько отличаться от истинных, примерными.

4. Сведение результатов вычислений в итоговую таблицу.



Таблица 5.3

Результаты расчёта средних величин и показателей вариации для разных типов исходных данных

Показатель	Условное обозначение	Единица измерения	Значение показателя при разных типах исходных данных
			Массив несгруппированных данных	ДВР (дискретный вариационный ряд)	ИВР (интервальный вариационный ряд)
					равноинтервальный ряд	равнонаполненный ряд
Средние величины
1. Средний размер стоимости активов		млрд. руб.	82,9	82,9	82,6	83,8
2. Мода		млрд. руб.		76	85
3. Медиана		млрд. руб.		82,5	82,8	82,3
4. Квартили	Q1 Q2 Q3	млрд. руб.		71 82,5 93,5	69,1 82,8 93,2	71,7 82,3 93,2
5. Децили	D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9	млрд. руб.		59 63,8 75,5 77,3 82,5 84,3 89,5 98,5 114,8	58,3 66,2 72 77,8 82,8 86,9 91,1 95,2 107,1	57,3 66,1 76,3 79,5 82,3 84,7 91 99,9 113,2
Абсолютные и средние показатели вариации
6. Размах вариации		млрд. руб.	76,5	76,5	61,2	55
7. Среднее линейное отклонение		млрд. руб.	14,2	14,2	14,3	14,7
8. Дисперсия общая			351,2	351,2	300,9	336,7
8. Среднее квадратическое отклонение		млрд. руб.	18,7	18,7	17,3	18,3
Относительные показатели вариации
9. Коэффициент осцилляции		%	92,2	92,2	74,1	65,6
10. Линейный коэффициент вариации		%	17,1	17,1	17,3	17,5
11. Коэффициент вариации		%	22,5	22,5	20,9	21,8



ОБЩИЙ ВЫВОД

Точность расчёта средних величин и показателей вариации зависит от исходных данных о совокупности объектов. Если берётся массив несгруппированных ранжированных данных или расчёт делается по данным дискретного вариационного ряда, то показатели будут точными. Если же брать для расчёта дынные из интервальных вариационных рядов (равноинтервального и равнонаполненного), то значения показателей вариации и средних величин будут отклоняться от истинных значений, будут неточными, примерными.

Например, средняя в интервальных вариационных рядах распределения зависит от способа первичной группировки данных (от середин интервалов - верхней и нижней).

При расчёте моды в интервальных рядах распределения, как и при расчёте средней, учитываются границы модального интервала (нижняя граница), которые при проведении группировки нередко округляются, что и приводит к погрешности в расчётах. К тому же, признак внутри групп интервального ряда распределяется неравномерно, поэтому рассчитанное значение моды по интервальному ряду можно считать лишь примерными. Следовательно, расчётное значение моды сильно зависит от способа группировки первичных данных и вычисляется примерно. Точное значение моды можно определить только по дискретному вариационному ряду.

Расхождения в рассчитанных значениях медианы объясняются тем, что в расчётах медианы по интервальным рядам учитывается нижняя граница медианного интервала. Это означает, что значение медианы также зависит от способа группировки данных и вычисляется примерно.