Выборочный метод анализа финансовых инвестиций в трудовые ресурсы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема. Выборочный метод анализа финансовых инвестиций в трудовые ресурсы

Имеются следующие выборочные данные по объему финансирования инвестиционных программ в отчетном году в РФ (выборка 50%-ная, механическая, бесповторная):

№ инвести-ционных программ	Инвестиции в развитие новых производств, млн.руб.	Вновь созданные рабочие места, ед.	№ инвести-ционных программ	Инвестиции в развитие новых производств, млн.руб.	Вновь созданные рабочие места, ед.
1	214	1070	16	231	1155
2	192	960	17	187	935
3	179	895	18	217	1085
4	212	1060	19	232	1160
5	184	920	20	190	950
6	194	970	21	178	890
7	196	980	22	231	1155
8	208	1040	23	240	1200
9	209	1045	24	205	1025
10	182	910	25	185	925
11	215	1075	26	150	750
12	201	1005	27	188	940
13	226	1130	28	229	1145
14	229	1145	29	176	880
15	180	900	30	140	700

Задание 1

По исходным данным:

Постройте статистический ряд распределения программ по признаку - инвестиции в развитие новых производств, образовав пять групп с равными интервалами.

1. Графическим методом и путём расчётов определите значения моды и медианы полученного ряда распределения.

2. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1, 2, 3 задания.

3. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Чтобы разбить программы на группы, определим сначала величину интервала по формуле:

h = (И^max - И^min)/5 , где

И^max , И^min - максимальное и минимальное значения величины инвестиций:

h = (240-140)/5 = 20 (млн.руб.)

Примем величину интервала, равной 40 млн.руб. Получим следующие размеры интервальных групп:

1 группа: 140 - 160 млн.руб.

2 группа: 160 - 180 млн.руб.

3 группа: 180 - 200 млн.руб.

4 группа: 200 - 220 млн.руб.

5 группа: 220 - 240 млн.руб.

Таблица распределения программ по интервалам (табл.2).

Таблица 2

Группировка программ по величине инвестиций

№№ групп	Интервалы, млн.руб.	Середины интервалов, млн.руб.	Число программ в в группе	Накопленная частота
I	140-160	150	2	2
II	160-180	170	4	6
III	180-200	190	9	15
IV	200-220	210	8	23
V	220-240	230	7	30
Всего	-	-	30	-

Полученный ряд распределения показывает, что самая многочисленная группа программ III (9 из 30) имеет значение величины инвестиций в интервале 180-200 млн.руб., а самая малочисленная группа I из двух программ - в интервале 140-160 млн.руб.

Построим график полученного ряда распределения - гистограмму, (рис.1).

Гистограмма строится для интервальных вариационных рядов, для ее построения по оси абсцисс откладывают варианты, а по оси ординат - частоты, затем на отрезках, соответствующих интервалам строят прямоугольники.

Рис.1. Гистограмма ряда распределения

Графическим характеристиками ряда распределения являются также полигон и кумулята.

Полигон строится для дискретных рядов, строятся точки, обозначающие середины интервалов и через них проводится ломаная, которая является полигоном (рис. 2).

Рис. 2 Полигон

Кумулята строится по накопленным частотам (последняя графа табл.2). Для интервального ряда она начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината - нулю. Абсциссы других точек соответствуют концам интервалов, а ординаты - накопленным частотам (рис. 3).

Рис. 3 Кумулята

По гистограмме графически определяем моду (вариант, имеющий наибольшую частоту). Она равна абсциссе точки пересечения отрезков, соединяющих левый и правый концы модального интервала с правым начальным и левым конечным углами прямоугольников послемодального и предмодального интервалов соответственно. Значение М_о приблизительно равно 196, оно показывает, что большинство программ имеет такую величину инвестиций. Значение медианы найдем по графику кумуляты - это абсцисса точки пересечения горизонтали У = 15 с кумулятой. Значение медианы равно 200. Она показывает, что примерно половина программ имеет величину инвестиций менее 200 млн.руб., а другая половина - не ниже этой величины.

Моду и медиану можно рассчитать по формулам. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем -- значение модальной величины признака по формуле:

где x₀ - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту), равна 180;

i - величина модального интервала, равна 20;

f_Mo - частота модального интервала, равна 9;

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному, равна 4;

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным, равна 8.

(млн.руб.)

Медиана -- это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем -- значение медианы по формуле:

где x₀ - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот), равна 200;

i - величина медианного интервала, равна 20;

S_Me-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному, равна 15;

f_Me - частота медианного интервала, равна 8.

(млн.руб.)

Как видим, расчетное значение моды совпадает с графическим, а медианы - нет. Скорее всего, это связано с характером распределения программ по интервалам.

2. Числовыми характеристиками ряда распределения являются: средняя арифметическая (взвешенная), дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана и коэффициент вариации.

Среднюю арифметическую найдем по формуле:

x_i, f_i - соответственно варианты и частоты признаков.

Дисперсию найдем по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии.

Коэффициент вариации равен:

Для удобства вычислений составим расчетную таблицу (табл.3).

Таблица 3

Расчетная таблица для определения параметров ряда распределения программ по величине инвестиций

Интервалы, млн.руб.	Середины интервалов, млн.руб.	Число программ в группе	x*f	(x - хср)	(x-xcр)2	(x-xcр)2*f
140-160	150	2	300	-49,3	2433,8	4867,6
160-180	170	4	680	-29,3	860,4	3441,8
180-200	190	9	1710	-9,3	87,1	784,0
200-220	210	8	1680	10,7	113,8	910,2
220-240	230	7	1610	30,7	940,4	6583,1
Итого:		30	5980			16586,7

Средняя арифметическая равна:



Дисперсия равна:

Среднее квадратическое отклонение равно:

(млн.руб.)

Коэффициент вариации равен:

Этот показатель используют для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с разной средней арифметической, а также как характеристику однородности данной совокупности, которая считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Средняя арифметическая по исходным данным равна сумме инвестиций всех программ, деленной на количество программ:

Имеется незначительное расхождение (около 0,5%) за счет разных формул: в первом случае получена средняя арифметическая взвешенная, а во втором случае - средняя арифметическая простая.

Выводы:

Полученное значение средней арифметической (взвешенной) показывает, что среди 30 инвестиционных программ средняя величина инвестиций составляет 199,3 млн.руб. Среднее квадратическое отклонение составляет 23,5 млн.руб., т.е. большинство программ имеют величину инвестиций в пределах от 176 до 223 млн.руб. Коэффициент вариации равен 11,8%, что говорит о высокой степени однородности изучаемой совокупности.

Задание 2

По исходным данным с использованием результатов выполнения задания 1:

Установите наличие и характер корреляционной связи между признаками инвестиции в развитие новых производств и вновь созданные рабочие места, используя метод аналитической группировки.

1. Оцените силу и тесноту корреляционной связи между названными признаками, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

2. Оцените статистическую значимость показателя силы связи.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

В качестве исходных данных используем табл.1 задания 1 (табл.4):

Таблица 4

Статистические данные для задания 2

№ инвести-ционных программ	Инвестиции в развитие новых производств, млн.руб.	Вновь созданные рабочие места, ед.	№ инвести-ционных программ	Инвестиции в развитие новых производств, млн.руб.	Вновь созданные рабочие места, ед.
1	214	1070	16	231	1155
2	192	960	17	187	935
3	179	895	18	217	1085
4	212	1060	19	232	1160
5	184	920	20	190	950
6	194	970	21	178	890
7	196	980	22	231	1155
8	208	1040	23	240	1200
9	209	1045	24	205	1025
10	182	910	25	185	925
11	215	1075	26	150	750
12	201	1005	27	188	940
13	226	1130	28	229	1145
14	229	1145	29	176	880
15	180	900	30	140	700

Примем величину инвестиций за факторный признак (х), по которому будем группировать программы, а количество вновь созданных рабочих мест (в дальнейшем - КРМ) будет результативным признаком (у).

Для определения наличия зависимости между факторным признаком - х, и результативным признаком - у, требуется аналитическая группировка по факторному признаку, которая уже сделана в задании 1.

По каждой группе и всей совокупности в целом определим: число программ, величину инвестиций - всего и в среднем на одну программу, КРМ - всего и в среднем на одну программу. Результаты оформим в рабочей (табл.5) и в аналитической (табл.6) таблицах.

Таблица 5

Рабочая таблица группировки программ по величине инвестиций

№№ групп	Величина интервалов, млн.руб.	№№ прогр.	Величина инвестиций, млн.руб.	КРМ, ед.
			всего	в ср.на 1 программу	всего	в ср.на 1 программу
1	2	3	4	5	6	7
		30	140,0		700,0
	140-160	26	150,0		750,0
Итого по I группе	2	290,0	145,0	1450,0	725,0
		29	176,0		880,0
II	160-180	21	178,0		890,0
		3	179,0		895,0
		15	180,0		900,0
Итого по II группе	4	713,0	178,3	3565,0	891,3
		10	182,0		910,0
		5	184,0		920,0
		25	185,0		925,0
III	180-200	17	187,0		935,0
		27	188,0		940,0
		20	190,0		950,0
		2	192,0		960,0
		6	194,0		970,0
		7	196,0		980,0
Итого по III группе	9	1698,0	188,7	8490,0	943,3
		12	201,0		1005,0
		24	205,0		1025,0
		8	208,0		1040,0
IV	200-220	9	209,0		1045,0
		4	212,0		1060,0
		1	214,0		1070,0
		11	215,0		1075,0
		18	217,0		1085,0
Итого по IV группе	8	1681,0	210,1	8405,0	1050,6
		13	226,0		1130,0
		14	229,0		1145,0
		28	229,0		1145,0
V	220-240	16	231,0		1155,0
		22	231,0		1155,0
		19	232,0		1160,0
		23	240,0		1200,0
Итого по V группе	7	1618,0	231,1	8090,0	1155,7
Всего	30	6000,0	200,0	30000,0	1000,0

Таблица 6

Аналитическая таблица группировки программ

№№ групп	Величина интервалов, млн.руб.	Число программ	Величина инвестиций, млн.руб.	КРМ, ед.
			всего	в ср.на 1 программу	всего	в ср.на 1 программу
I	140-160	2	290,0	145,0	1450,0	725,0
II	160-180	4	713,0	178,3	3565,0	891,3
III	180-200	9	1698,0	188,7	8490,0	943,3
IV	200-220	8	1681,0	210,1	8405,0	1050,6
V	220-240	7	1618,0	231,1	8090,0	1155,7
Итого		30	6000,0	200,0	30000,0	1000,0

Аналитическая группировка показала наличие прямой связи между величиной инвестиций и КРМ (в расчете на одну программу) - чем больше величина инвестиций, тем больше КРМ.

4. Для определения тесноты связи между величиной инвестиций и КРМ найдем эмпирическое корреляционное отношение по формуле:

где

_х² - межгрупповая дисперсия результативного признака Y (КРМ), характеризующая его вариацию за счет группировочного признака Х (величины инвестиций) и определяемая по данным таблицы 8 по формуле:

где

групповая средняя результативного признака Y;

общая средняя (по всем группам) результативного признака Y;

- число программ в группе;

_у² - общая дисперсия результативного признака Y, определяемая по формуле:

где

КРМ каждой программы, ед.;

n - общее число программ.

Для нахождения межгрупповой дисперсии составим расчетную таблицу (табл.8). Значения групповых средних и общей средней результативного признака «у» возьмем из таблицы 6.

медиана дисперсия межгрупповой статистический

Таблица 8

Расчетная таблица для нахождения межгрупповой дисперсии ²_х

Интервалы величины инвестиций, млн.руб.,	Число программ в группе, f	КРМ в 1 программе, ед., yi_cp	yi_cp - ycp	(yi_cp - ycp)2	(yi_cp - ycp)2*f
140-160	2	725,0	-275,00	75625,00	151250,00
160-180	4	891,3	-108,75	11826,56	47306,25
180-200	9	943,3	-56,67	3211,11	28900,00
200-220	8	1050,6	50,63	2562,89	20503,13
220-240	7	1155,7	155,71	24246,94	169728,57
	30	1000,0			190231,70

Расчет межгрупповой дисперсии результативного признака.



Для расчета общей дисперсии результативного признака составим расчетную таблицу 9.

Таблица 9

Расчет общей дисперсии результативного признака

№ программы	уi, ед.	y2
1	1070	1144900,00
2	960	921600,00
3	895	801025,00
4	1060	1123600,00
5	920	846400,00
6	970	940900,00
7	980	960400,00
8	1040	1081600,00
9	1045	1092025,00
10	910	828100,00
11	1075	1155625,00
12	1005	1010025,00
13	1130	1276900,00
14	1145	1311025,00
15	900	810000,00
16	1155	1334025,00
17	935	874225,00
18	1085	1177225,00
19	1160	1345600,00
20	950	902500,00
21	890	792100,00
22	1155	1334025,00
23	1200	1440000,00
24	1025	1050625,00
25	925	855625,00
26	750	562500,00
27	940	883600,00
28	1145	1311025,00
29	880	774400,00
30	700	490000,00
Итого	30000,0	30431600,0

Общая дисперсия результативного признака равна:

Находим коэффициент детерминации:

Найдем эмпирическое корреляционное соотношение:

№№ групп	Величина интервалов, млн.руб.	Число программ	Величина инвестиций, млн.руб.	КРМ, ед.
			всего	в ср.на 1 программу	всего	в ср.на 1 программу
I	140-160	2	290,0	145,0	1450,0	725,0
II	160-180	4	713,0	178,3	3565,0	891,3
III	180-200	9	1698,0	188,7	8490,0	943,3
IV	200-220	8	1681,0	210,1	8405,0	1050,6
V	220-240	7	1618,0	231,1	8090,0	1155,7
Итого		30	6000,0	200,0	30000,0	1000,0

Анализ показателей группировочной таблицы и выводы.

В результате разбивки программ по величине инвестиций на 5 групп с равными интервалами по 20 млн.руб. получены следующие данные:

малочисленная группа - одна (I), с интервалом 140-160 млн.руб. включает 2 программы, а самая большая группа (III) - с интервалом 180-200 млн.руб. включает 9 программ;

по таблице 6 видно, что чем больше величина инвестиций, тем больше и число рабочих мест (в среднем на одну программу): в 1-й группе эти показатели составили 145,0 млн.руб. и 725 новых рабочих мест, а в 5-й группе 231,1 млн.руб. и 1156 новых рабочих мест, соответственно;

величина эмпирического корреляционного отношения менее 0,7, что свидетельствует об умеренной корреляционной связи между группировочным и результативным признаками, т.е. между величиной инвестиций и число рабочих мест (в среднем на одну программу): связь считается умеренной при величине этого показателя в пределах 0,3..0,7, а он составил 0,664.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,997 определите:

1. Ошибку выборки среднего объема финансирования инвестиционных программ и границы, в которых будет находиться средний уровень объема финансирования для генеральной совокупности инвестиционных программ.

2. Ошибку выборки доли инвестиционных программ с объемом финансирования 220 и более млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Для случайного бесповторного отбора расчетные формулы ошибки выборки имеют вид:

· для выборочной средней:



· для доли:

где S² - выборочная дисперсия;

n - объем выборки;

w - заданная выборочная доля.

Предельные ошибки выборки, по которым находится доверительный интервал, вычисляют по формулам:

По условию выборка 50%, значит

t - коэффициент доверия, равный аргументу функции Лапласа для заданной вероятности (для = 0,997 t = 3,0).

Выборочная дисперсия определена в зад. 1: S² = 552,9.

Найдем ошибку выборки (для средней):

Предельная ошибка:



Доверительный интервал для генеральной средней:

199,3±9,1 = 190,2..208,4

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что генеральная средняя объема финансирования инвестиционных программ лежит в пределах = 190,2..208,4 млн.руб.

Чтобы найти ошибку выборочной доли, найдем ее, для чего определим число программ с объемом финансирования 220 и более млн. руб. Таких программ всего 7 (группа V). Их доля составляет 7/30=0,233.

Ошибка выборки:

Предельная ошибка выборки:

Доверительный интервал для генеральной доли:

w₀ = w_{в w} = 0,233 0,165 = 0,068..0,398

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что генеральная доля программ с объемом финансирования 220 и более млн. руб. лежит в пределах 0,068..0,398.

Задание 4

Для определения среднего числа вновь созданных рабочих мест в программах методом случайной бесповторной 50%-й выборки было отобрано 50 инвестиционных программ. В результате установили, что среднее число вновь созданных рабочих мест составляет 600, причем 150 из них - в электроэнергетике, при этом дисперсия составила 144. Определить с вероятностью 0,683 пределы, в которых находится среднее число вновь созданных рабочих мест и долю вновь созданных рабочих мест в электроэнергетике для генеральной совокупности инвестиционных программ.

Для случайного бесповторного отбора расчетные формулы ошибки выборки имеют вид:

· для выборочной средней:

· для доли:

где S² - выборочная дисперсия;

n - объем выборки;

w - заданная выборочная доля.

Предельные ошибки выборки, по которым находится доверительный интервал, вычисляют по формулам:



По условию выборка 50%, значит

t - коэффициент доверия, равный аргументу функции Лапласа для заданной вероятности (для = 0,683 t = 1,0).

Выборочная дисперсия задана: S² = 144.

Найдем ошибку выборки (для средней):

Предельная ошибка:

Доверительный интервал для генеральной средней:

600±1,2 = 598,8..601,2

Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что генеральная средняя вновь созданных рабочих мест лежит в пределах = 598,8..601,2 ед.

Чтобы найти ошибку выборочной доли, найдем ее, для чего число рабочих мест по электроэнергетике разделим на общее число созданных рабочих мест. Их доля составляет 150/600=0,25.

Ошибка выборки:

Предельная ошибка выборки:

Доверительный интервал для генеральной доли:

w₀ = w_{в w} = 0,25 0,054 = 0,196..0,304

Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что генеральная доля рабочих мест по электроэнергетике лежит в пределах 0,196..0,304.

Размещено на Allbest.ru