Производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

РЕФЕРАТ

Производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов

эластичность ресурс производственный

Содержание

Введение

1. Понятие производственной функции выпуска продукции

2. Эластичность функции и ее геометрический смысл

3. Эластичность замещения ресурсов. Производственная функция CES

Заключение

Список литературы

Введение

Математические методы позволяют осуществить комплексный анализ составляющих многих важных частей экономики. Одним из таких методов является применение в экономическом анализе функций зависимости детерминант производства и введение понятия эластичности.

Производственная функция может быть использована для описания различных взаимосвязей между факторами производства. Например между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом (точнее хозяйственная система региона или страны) - это макроэкономический уровень и макроэкономическая производственная функция (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования), которые очень важны в экономическом значении.

Эластичность замещения одного ресурса другим характеризует необходимое изменение величины одного ресурса при изменении количества другого ресурса с тем, чтобы выпуск при этом не изменился. Но степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной. Это ставит задачу оценки и анализа общих формул производственных функций, таких, как производственные функции выпуска продукции с постоянной эластичностью замещения ресурсов. Коэффициент эластичности для такой функции показывает производителю степень взаимозаменяемости факторов, что позволяет делать правильные выводы.

Для анализа производственных функций выпуска продукции с постоянной эластичностью замещения ресурсов нужно изучить свойства производственных функций, знать смысл, значение и свойства эластичности.

1. Понятие производственной функции выпуска продукции

Производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции

y = f(x) (l)

В формуле (1) x (х ? 0) и у (у ? 0) - числовые величины, т.е. у = f(x) есть функция одной переменной х. В связи с этим производственная функция (ПФ) f называется одноресурсной или однофакторной ПФ, ее область определения - множество неотрицательных действительных чисел (т.е. х ? 0). Запись у = f (x) означает, что если ресурс затрачивается или используется в количестве х единиц, то продукция выпускается в количестве у = f(x) единиц. Символ f - знак функции - является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. Символ f связывает между собой независимую переменную х с зависимой переменной у. В микроэкономической теории принято считать, что у - это максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве х единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно, при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ - это статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной является символика у = f(х,a), где a - вектор параметров ПФ.

Пример 1.1. Возьмем ПФ f в виде f(x) = ахb, где х - величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(х) - объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины а и Ь - параметры ПФ f. Здесь a и b -положительные числа и число Ь < 1, вектор параметров есть двумерный вектор (а, Ь).

График производственной функции у =axb изображен на рис.1. На графике видно, что с ростом величины затрачиваемого ресурса x объем выпуска у растет, однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема у выпускаемой продукции.

Рис. 1 График функции у =axb

Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории (хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности. ПФ у = ахb является типичным представителем широкого класса однофакторных ПФ.

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты - выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у = ахb, рассмотренная выше, может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течение года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) - имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

Точное толкование понятий затрачиваемого (или используемого) ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных. На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объем человеко-часов - натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (ее величина - стоимостный показатель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и т.п.) или в виде своей стоимости.

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т.е. суммарные величины произведений объемов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Производственная функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные x1, …, xn которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число ременных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

Y = f(x) =f(x1, …, xn) (2)

В формуле (2) у (y ? 0) - скалярная, а х - векторная величина, x1, …, xn - координаты вектора х, т.е f(x1, …, xn)есть числовая функция нескольких (многих) переменных x1, …, xn. В связи с этим ПФ f(x1, …, xn) называют многоресурсной или многофакторной ПФ. Более правильной является такая символика f(x1, …, xn, a)где a - вектор параметров ПФ.

По экономическому смыслу x1 ? 0,…, xn ? 0, следовательно, областью определения многофакторной ПФ f(x1,…,xn) является множество n-мерных векторов х, все координаты которых неотрицательные числа. Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный поодукт, ПФ f(x1,…,xn) может связывать объем выпуска (в натуральном или стоимостном выражении) с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала (измеренных обычно в натуральных единицах). ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

ПФ у =f(x1, x2) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временных рядов: x1(0), x1(1), …x1(T); x2(0), x2(1), …x2(T); y(0),y(1),…, y(T); y(t)= f(x1(t),x2(t)). Здесь t - номер года, t = 0, 1, ... , Т; t = 0 - базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1, 2, ... Т.

Пример 1.2. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида у =a0x1bx2c, где a, b, c - параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто b и c таковы, что b + c = 1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г. ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу так называемых мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х1 = К равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), х2= L - затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

Y = a0KbLc.

ПФ называется динамической, если:

1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

2) параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t. Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным временных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью T0 лет (т.е. базовый промежуток для оценки параметров имеет продолжительность T0 лет), то экстраполяционные расчеты по такой ПФ следует проводить не более чем на -T0/3 лет вперед (т.е. промежуток экстраполяции должен иметь продолжительность не более чем T0/3 лет).

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП еpt где параметр (число) р (р > 0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

y(t) = eptf(x1(t),x2(t))(t=0,1,…, Т).

Эта ПФ - простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов, технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t) = f(A(t)L(t}, K(t)) или Y(t) = f(A(t) K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Пример 1.3. Приведем вариант ПФКД с учетом НТП y(t) = aeptx1(t)bx2(t)c.

Выделение существенных видов ресурсов (факторов производства) и выбор аналитической формы функции f(x1, x2) называется спецификацией ПФ у = .f(х1, х2).

Преобразование реальных и экспертных данных в модельную информацию, т.е. расчет численных значений параметров ПФ y = f(x1, х2) на базе статистических данных с помощью регрессионного и корреляционного анализа, называется параметризацией ПФ у = f(x1, х2).

Проверка истинности (адекватности) ПФ называется ее верификацией. Выбор аналитической формы ПФ у = f(x1, х2) (т.е. спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или даже неявно) учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами (в случае микроэкономического уровня) или экономических закономерностей (в случае макроэкономического уровня), особенности реальных или экспертный данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации ПФ.

2. Эластичность функции и ее геометрический смысл

Важнейшим направлением применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности. Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.

Пусть величина y зависит от х, и эта зависимость описывается функцией y = f(x). Изменение независимой переменной х (Дх) приводит в силу функциональной зависимости к изменению переменной у (Ду). Встает вопрос, как измерить чувствительность зависимой переменной у к изменению х. Одним из показателей реагирования одной переменной на изменение другой служит производная, характеризующая скорость изменения функции с изменением аргумента х. Однако в экономике этот показатель неудобен тем, что он зависит от выбора единиц измерения.

Например, если мы рассмотрим функцию спроса на сахар (Q) от его цены (Р), то увидим, что значение производной при каждой цене Р (измеряемой в рублях) зависит от того, измеряется ли спрос на сахар в килограммах или в центнерах. В первом случае производная измеряется в кг/руб., во втором - в ц/руб., соответственно ее значение при одном и том же значении цены будет различным в зависимости от единиц измерения величины спроса. Поэтому для измерения чувствительности изменения функции к изменению аргумента в экономике изучают связь не абсолютных изменений переменных х и у (Дх и Д.у), а их относительных или процентных изменений.

Эластичностью функции y = f{x) называется предел отношения относительных изменений переменных у и х. Если эластичность изменения переменной у при изменении переменной х обозначить Еx(у), то, используя определение производной, получаем

где Mf - маржинальное значение функции f в точке х, Af - среднее значение функции в точке х. Эту эластичность называют также предельной или точечной эластичностью.

Т.е. эластичность может быть выражена в виде отношения предельной (Mf) и средней (Af) величин. Так как dlnу = dy/y, а dlnх = dx/x, то эластичность можно представить в форме "логарифмической производной" Ex(y) =dlny/dlnx. Подобно производной, эластичность имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим убывающую вогнутую функцию у = f(x) (рис. 2)

Рис. 2 Убывающая вогнутая функция y=f(x)

Рис. 3 График выпуклой ф-и. Рис.4. График вогнутой возраст-й ф-и

Найдем эластичность этой функции в произвольной точке С с координатами (х,у). Для этого проведем касательную АВ к функции у= f(х) в точке С.

Из ДACX AX = CX/tgб

Т.к. производная функции у =f(х) в точке С равна tg(180 - б), тo tgб = -f'(x). Следовательно, AX = -f(x)/f'(x).

Из подобия треугольников СВY и САХ следует, что

CB/CA = CY/AX = OX/AX = -f'(x)x/f(x) = -Ex(y)

Таким образом,

Ex(y) = -CB/CA

т.е. геометрически эластичность убывающей функции равна отношению расстояний по касательной от точки С с координатами (х,f(х)) до ее пересечения с осями Y и X, взятому, соответственно, со знаком "-".

В случае выпуклой и вогнутой возрастающих функций (рис. 3 и рис. 4) эластичность по абсолютной величине также будет равна

ОтношениюCB/CA, а знак эластичности будет определяться направлением отрезков СВ и СА. Если точки А и В лежат по одну сторону от точки С на касательной, как на рисунках 3, 4, то в формуле надо выбрать знак "+". Если А и В лежат по разные стороны, от т. С, как на первом рисунке, то в формуле надо выбрать знак "-". Отметим также, что эластичность функции, изображенной на рис. 4, больше единицы (так как CB < CA).

В экономике существуют следующие виды эластичностей:

- Эластичность спроса по цене (прямая)

показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию. Если ценовая эластичность

спроса по абсолютной величине больше единицы, то спрос называют эластичным (совершенно эластичным при бесконечно большой величине эластичности спроса). Если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине меньше единицы, то спрос называют неэластичным (совершенно неэластичным при нулевой эластичности спроса).

И, наконец, если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине равна единице, то говорят о спросе с единичной эластичностью.

- Эластичность спроса по доходу

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителей этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует нормальные (качественные) товары, а отрицательная величина - малоценные (некачественные) товары.

Так, высокий положительный коэффициент спроса по доходу в отрасли указывает, что ее вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли по доходу имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то ее может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

- Перекрестная эластичность спроса по цене

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на одно благо при изменении цены на другое благо (замещающее или дополняющее его в потреблении) на один процент. Положительный знак перекрестной эластичности спроса по цене свидетельствует о замещаемости благ, а отрицательный - о дополняемости.

- Ценовая эластичность ресурсов

характеризующая относительное измененение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработав платы) на один процент.

- Эластичность замещения одного ресурса другим

характеризующая необходимое измeнeниe (в процентах) величины одного ресурса (например, капитала) при изменении количества другого ресурса (например, труда) на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не изменился.

3. Эластичность замещения ресурсов. Производственная функция CES

Обобщение ПФ Кобба-Дугласа может вестись в различных направлениях. Наиболее известным обобщением является функция CES, или ПЭЗ, - функция с постоянной эластичностью замещения (constant elasticity of substitution). Эластичность замещения у - это мера "кривизны" изоквант (линий уровня) ПФ. Точнее, "кривизну" измеряет величина 1/у. Эластичность замещения труда капиталом

уLK = dln(K/L)/dln(Y'L/Y'K)

показывает, на сколько процентов изменится капиталовооруженность (K/L) при изменении предельной нормы замены труда капиталом

(MRSKL = -dK/dL = Y'L/Y'K)

на 1%. Если изобразить одну из изоквант (линий уровня, т.е. Y= const) ПФ на плоскости KL (см. рис. 6), обозначив ее цифрой 1, то предельная норма замены в точке А - это тангенс угла наклона этой изокванты (то есть tgб). При перемещении из точки А в точку В по изокванте наклон касательной меняется, меняется и соотношение (K/L).

Рис. 6 Изображение одной из изоквант

Это соотношение постоянно вдоль каждой прямой, проходящей через начало координат (например, прямых 2 и 3). Величина 1/у - показывает относительное изменение тангенса угла наклона линии уровня в расчете на единицу изменения отношения (K/L) . Очевидно, чем сильнее меняется наклон линии уровня при переходе, скажем из точки А в точку В (с прямой 2 на прямую 3), тем больше "кривизна" линии уровня. На рисунках 7-10 изображены линии уровня, соответственно, ПФ Y= aK+ bL + с (линейной), ПФ Кобба-Дугласа, ПФ с бесконечной эластичностью замещения Y = min (aK, bL) (функция Леонтьева) и производственной функции CES (функции с постоянной эластичностью замещения, вопросы оценки и анализа которой мы рассмотрим ниже).

Линейная ПФ имеет нулевую "кривизну" и, соответственно, бесконечную эластичность замещения у. Функция Кобба-Дугласа имеет эластичность замещения, равную единице. Функция Леонтьева имеет нулевую эластичность замещения: ресурсы в ней должны использоваться в заданной пропорции и не могут замещать друг друга. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, соответственно различной (а не только нулевой, бесконечной или единичной) может быть и эластичность замещения. Это ставит задачу оценки более общих формул ПФ, в частности ПФ с постоянной, но произвольной эластичностью замещения. Такая функция (функция CES) описывается формулой

Рис. 7 Линия уровня Y= aK+ bL+ с. Рис.8. Линия уровня ПФ Кобба-Дугласа

Рис. 9 ПФ Y = min (aK, bL) (функция Леонтьева). Рис.10. ПФ CES

Здесь р ? -1; n>0 - степень однородности; А>0; 0<и<1. Эластичность замещения для такой функции равна 1/(p+1). Если р=-1, то получаем функцию с линейными изоквантами (в частности, линейную), при р >0 в пределе получаем ПФ Кобба-Дугласа с у=1, при р >? - ПФ Леонтьева.

В качестве примера оценки ПФ CES приведем полученные различными авторами результаты для экономики СССР. Такие оценки делались за различные периоды времени в промежутке 1950-1985 гг. Э.Б. Ершовым, Ю.В. Яременко и А.С. Смышляевым, М. Вейтцманом, А.Г. Гранбергом, Н.Б. Баркаловым и другими. Исходные спецификации различаются предпосылками о степени однородности п (в большинстве случаев изначально считалось, что п = 1, но были и оценки с произвольным п) и наличием множителя eлt, характеризующего нейтральный технический прогресс (такой множитель может добавляться не только к ПФ Кобба-Дугласа, но и к CES или какой-либо другой функции). Например, А.Г. Гранберг приводит следующие оценки за 1960-1985 гг.:

(линейно-однородная функция CES без учета технического прогресса),

(линейно-однородная функция CES с учетом технического прогресса).

С точки зрения статистик R2 и DW, обе зависимости получились значимыми. В то же время оценки показателя эластичности замещения у = 1/(1+p) в них различны: в первом случае это 0,55, во втором - 0,25. Другими авторами оценки эластичности замещения у для экономики СССР также получены меньшими единицы: 0,2 (Ю.В. Яременко и др.), 0,4 (М. Вейтцман), 0,37-0,43 за разные периоды (Н.Б. Баркалов). В целом можно сказать, что оценка эластичности замещения очень зависела от конкретной спецификации, но в большинстве случаев составляла около 0,4. Во всяком случае, она заведомо была для экономики СССР меньше единицы, что говорит, о невысокой степени взаимозаменяемости труда и капитала. Эта взаимозаменяемость была гораздо ниже, чем это предполагается в функции Кобба-Дугласа, в которой эластичность замещения у априори считается равной единице. Ошибочность исходной гипотезы о степени взаимозаменяемости факторов может служить причиной недостаточной статистической значимости оценок ПФ Кобба-Дугласа.

Заключение

При построении ПФ необходима проверка ее истинности (адекватности), которая называется ее верификацией. Выбор аналитической формы ПФ у = f(x1, х2) (т.е. спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или даже неявно) учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами (в случае микроэкономического уровня) или экономических закономерностей (в случае макроэкономического уровня), особенности реальных или экспертный данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации ПФ.

Функция CES (или функция с постоянной эластичностью замещения) является обобщением ПФ Кобба - Дугласа. Коэффициент эластичности в функции CES свидетельствует о степени взаимозаменяемости факторов. Для производителя этот коэффициент играет немаловажную роль.

При анализе производственных функций выпуска продукции с постоянной эластичностью замещения ресурсов точное толкование затрачиваемого (или используемого) ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с помощью производственных функций) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных.

Для более общего анализа производственных функций выпуска продукции наряду со связями объемных показателей выпуска и затрат ресурсов можно рассмотреть связи между темпами прироста этих показателей.

Список литературы

1. Замков О.О. Математические методы в экономике. - М., 1997. - С. 368.

2. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. - М., 1998. С. 160.

3. Вебер М. Коммерческие расчеты от А до Я. - М., 1999. С. 384.

4. Абчук В.А. Экономико - математические методы. - СПб., 1999. С. 320.

5. Исследование операций в экономике. - М., 1997. С. 407.

Размещено на Allbest.ru