Закон великих чисел та його використання у статистиці

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний університет водного господарства та природокористування

Навчально-науковий інститут економіки, менеджменту і права

Реферат

з дисципліни «Статистика»

на тему: «Закон великих чисел та його використання у статистиці»

Виконав:

Студент 3-го курсу 1 групи

Самолюк Максим

Перевірив:

Пивоварчук Л. В.

Рівне - 2014

План

1. Закон великих чисел

2. Використання закону великих чисел у статистиці

1. Закон великих чисел

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ - в теорії ймовірностей стверджує, що емпіричне середнє (Середнє арифметичне) кінцевої вибірки з фіксованого розподілу близько до теоретичного середнього (математичного очікування) цього розподілу.Посиленням Закон великих чисел - Закон великих чисел в теорії ймовірностей стверджує, що емпіричне середнє (середнє арифметичне) кінцевої вибірки з фіксованого розподілу близько до теоретичного середнього (математичного очікуванню) цього розподілу.

Таким чином, сутність його полягає в тому, що в числах, які утворюються в Внаслідок масового спостереження, виступають певні правильності, які не можуть бути виявлені в невеликому числі фактів.

Закон великих чисел висловлює діалектику випадкового і необхідного. В результаті взаімопогашенія випадкових відхилень середні величини, обчислені для величини одного і того ж виду, стають типовими, відбивають дії постійних і істотних фактів в даних умовах місця і часу.

Тенденції і закономірності, розкриті за допомогою закону великих чисел, мають силу лише як масові тенденції, але не як закони для кожного окремого випадку.

Принцип математичної статистики, згідно з яким спільне дію набору випадкових факторів може призвести до невипадкового (детерминированному) результату. Першим прикладом дії цього принципу може служити зближення частоти настання випадкової події з його ймовірністю при зростанні числа випробувань.

Найпростіший приклад - досвід з киданням монети. Теоретично випадання орла чи решки рівноймовірно. Це означає, що якщо підкинути монету 10 разів, то 5 разів повинен випасти орел і 5 разів - решка. Проте загальновідомо що вірогідність цього дуже мала. З тим же успіхом може випасти 9 до 1, 3 до 5 і т.д. Тим не менше, якщо збільшити число дослідів, скажімо, до 100, то ймовірність випадання орла чи решки наблизиться до 50%. У межі, якщо спрямувати число дослідів до нескінченності, то ймовірність випадання орла і решки буде асимптотично прагнути до 50%.

Те, який стороною впаде монета, залежить від безлічі випадкових чинників: як вона буде лежати на долоні у експериментатора, сили кидка, висоти падіння, швидкості і т. д. Проте при достатньо великому числі дослідів незалежно від дії цих факторів ми завжди можемо стверджувати, що емпірична (досвідчена) ймовірність буде близька до теоретичної.

Нерівність Чебишева

Нехай Х - випадкова величина з математичним сподіванням . Виберемо деяке число і розглянемо подію

Геометричний зміст цієї події полягає в тому, що значення випадкової величини Х попаде в область на числовій осі, що одержується виділенням з усієї осі інтервалу . Із збільшенням ця область зменшується, тобто ймовірність попадання в неї зменшується. Нерівність Чебишева якраз і встановлює для цієї ймовірності дуже просту оцінку.

Нерівність Чебишева. Ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання по абсолютній величині не менше довільного додатнього числа , обмежена зверху величиною :

.

Доведення. Доведення проведемо для дискретної випадкової величини Х з рядом розподілу

Тоді дисперсія величини є

.

Оскільки всі доданки невід'ємні, то відкинемо ті, у яких , тим самим одержимо:

,

де запис під знаком суми означає, що сумування поширюється лише на ті значення і , для яких відхиляється від на величину, не меншу, ніж . число нерівність похибка відхилення

Замінимо під знаком суми вирази , то від такої заміни сума лише зменшиться, тобто:

В свою чергу під знаком суми в маємо ймовірність того, що випадкова величина набирає значення , які відхиляються від математичного сподівання на величину, не меншу ніж . Значить,

або ,

що й потрібно було довести.

Зауваження. Нерівність Чебищева практично має обмежене значення, оскільки часто дає грубу оцінку. Наприклад,

, тоді .

Але й без оцінки відомо, що ймовірність . З іншої сторони, якщо, наприклад, , то

.

А це вже непогана оцінка ймовірності, тобто нерівність Чебишева корисна лише при відносно великих .

Теоретичне ж значення нерівності Чебишева дуже велике. Використаємо цю нерівність для доведення теореми Чебишева.

Теорема Чебишева

Означення. Послідовність випадкових величин Х1, Х2, ...Хn,... збігається по ймовірності до величини а, якщо для довільного

.

Теорема Чебишева. Якщо Х1, Х2, ...Хn, ... попарно незалежні випадкові величини, що мають рівномірно обмежені дисперсії , то для будь-якого малого числа , ймовірність нерівності

буде як завгодно близька до одиниці, якщо число випадкових величин достатньо велике, тобто

.

Отже, теорема Чебишева стверджує, що коли розглянути досить велике число незалежних випадкових величин, що мають обмежені дисперсії, то майже достовірною є подія, що відхилення середнього арифметичного випадкових величин від їх математичного сподівання буде по абсолютній величині як завгодно малим числом.

Доведення. Розглянемо випадкову величину

і знайдемо її числові характеристики:

(при умові ).

Застосуємо нерівність Чебишева до випадкової величини :

.

Яке б не було мале , то при , величина , тобто

.

Теорема Чебишева має практичне застосування в теорії похибок, коли за істинне значення деякої величини беруть середнє арифметичне даних, отриманих в експериментах, що проводяться в однакових умовах. В математичній статистиці по теоремі Чебишева побудований вибірковий метод, суть якого полягає в тому, що про поведінку всієї сукупності можна судити за даними невеликої випадкової вибірки.

Приклад 1. Ймовірність, що холодильник витримає гарантійний термін роботи, дорівнює 0.8 для всіх 100 холодильників, які обслуговує гарантійна майстерня. Оцінити ймовірність, що число холодильників, які витримають гарантійний термін роботи, буде в межах [75;85].

Рішення. Випадкова величина Х - число холодильників, що витримають гарантійний термін роботи, розподілена за біноміальним законом, тому

, , .

Використаємо нерівність Чебишева:

.

2. Використання закону великих чисел у статистиці

Закон великих чисел - це один із основних законів, який використовується статистикою для дослідження явищ суспільного життя. Він дає змогу зрозуміти, чому із великої кількості хаосу випадкових зв`язків, ми можемо встановити і встановлюємо закономірності у розвитку суспільних явищ. Наприклад, народжуваність дівчат або хлопчиків у кожній окремій родині носить випадковий характер: в якихось родинах народжуватимуться одні дівчата, в інших - одні хлопчики, в деяких - пропорційна їх кількість. Але якщо проаналізуємо народжуваність за якийсь значний період (наприклад, за місяць і більше), то обов`язково встановимо, що на 100 народжених дівчаток припадає 103 - 104 хлопчики, а іноді й більше (навпаки не може бути ніколи).

Наведений приклад підкреслює те, що кожне окреме явище суспільного життя завжди унікальне, тому що на нього впливає велика кількість випадкових чинників. Розпізнати між ними закономірність у кожному конкретному - випадку практично неможливо. Але якщо вивчати ці явища у значній кількості, то можна з`ясувати закономірності, оскільки випадкові відхилення, властиві кожному окремому явищу, в своїй сукупності нейтралізують одне одного. Наприклад, окремий чоловік може прожити довше, ніж окрема жінка, але статистичні дані свідчать про те, що середня тривалість життя чоловіків на 5 - 6 років менша, ніж у жінок, а коефіцієнт смертності чоловіків у 2 - 3 рази вищий, ніж у жінок тієї ж самої вікової групи.

Закономірність - це повторюваність, послідовність та порядок у розвитку соціальних явищ. Вона може проявлятися по-різному. В філософії розрізняють два види закономірностей: динамічну та статистичну.

Динамічна закономірність - це така, яка виявляється в кожному окремому випадку і не залежить від кількості одиниць, які ми спостерігаємо. Вона притаманна природним явищам. Наприклад, закон Архімеда можна виявити і на одному об`єкті, який занурюють в рідину, і на тисячі об`єктів. Аналогічним чином можна виявити закон земного тяжіння та інші фізичні, хімічні та математичні закони.

Статистична закономірність - це така, яка виявляється лише в достатній кількості однорідних одиничних елементів, котрі й утворюють сукупність. Тобто кожний окремий елемент може не підтверджувати існування тієї чи іншої закономірності, тому що існування її в кожному елементі носить імовірний характер. Інакше кажучи, статистична закономірність властива лише сукупності одиниць, яка має назву статистичної сукупності.

Статистична сукупність - це певна множина елементів, поєднаних однаковими умовами існування та розвитку. Об`єктивною основою існування статистичної сукупності є складне перетинання причин та умов, які формують той чи інший масовий процес, наприклад, зміни в тенденцій в розвитку злочинності залежно від зміни соціально-економічної та політичної ситуації в країні.

Кожний окремий елемент, який складає статистичну сукупність, має назву одиниці сукупності. Кожна окрема одиниця сукупності є носієм явища, що вивчається, і відрізняється від іншої одиниці сукупності розміром ознаки. Завжди має місце коливання (варіювання) значень ознаки у кожної одиниці статистичної сукупності.

Явищам хімії, фізики, математики та інших природничих наук властиві лише динамічні закономірності.

Явища суспільного життя, які вивчаються статистикою, відносяться до статистичних закономірностей. Окремі елементи статистичної сукупності характеризуються значною кількістю різних ознак, але відповідно до мети дослідження вони мають загальні властивості, що і робить їх статистичною сукупністю. Математично вивчати статистичну закономірність дає змогу використання закону великих чисел.

Відповідно до цього закону при достатньо великій кількості досліджуваних одиниць сукупності можна виявити закономірність, яка не залежить від випадку. В разі підсумовування значної кількості одиничних явищ зникають випадкові відхилення і проявляється та чи інша закономірність, яку неможливо було виявити при дослідженні незначної кількості одиниць сукупності.

Закон великих чисел - це математично обґрунтована теорія, відповідно до якої, спираючись на знання теорії імовірності, можна стверджувати, що спільна дія значної кількості випадкових фактів призводить до наслідків, які не залежать від випадку. В разі підсумовування значної кількості одиничних явищ обов`язково проявляється порядок і закономірність їх руху і розвитку, які не можна встановити при дослідженні малої кількості одиниць сукупності. Інакше кажучи, закон великих чисел дає змогу встановити закономірність там, де на перший погляд проявляється лише випадковість.

З точки зору діалектичного підходу випадковість і необхідність нерозривно пов`язані між собою і завжди переходять одна в іншу, особливо в разі достатньої кількості досліджуваних одиниць сукупності.

Проте закон великих чисел не може визначити ні рівень, ні динаміку розвитку суспільного явища. Він лише обумовлює взаємопогашення випадкових відхилень, які властиві окремим одиницям статистичної сукупності, дозволяє виявити в ній дію об`єктивних законів розвитку суспільних явищ.

Размещено на Allbest.ru