Анализ динамических рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Курсовая работа

По дисциплине: «Статистика»

Выполнила:

студент гр. 2ПМ 203

Мингазова Г.Р.

Проверила:

Абдуханова Н.Г.

Казань 2013



Раздел 1. Корреляционный анализ

Дано: Y 2: 132,123,152,163,157,198,115,178,160,100,207 (Себестоимость строительно-монтажных работ, тыс. руб.) Х 2: 292,243,260,256,295,254,248,256,280,276,285 (Потери рабочего времени, чел-часов) коэффициент значимости равен 0,05

1.1 Построение рядов распределения по факторному и результативному признакам

Дискретный ряд распределения;

Интервальный ряд распределения;

Для корреляционного анализа зависимости результативного признака yот факторного признака x необходима статистическая обработка данных. Первоначально систематизация статистического материала производится по величине изучаемого признака в порядке убывания или возрастания, то есть необходимо произвести ранжирование рядов распределения.

При построении интервального ряда распределения определяется величина интервала i, вычисляемая по формуле:

, (1)

где R_max и R_min - максимальное и минимальное значение переменной;

n - число интервалов.

Ориентировочно число интервалов определяется по формуле:

(2)



где N - число наблюдений.

Для выполнения корреляционных расчетов интервальные ряды распределения необходимо представить в дискретной форме.

В связи с этим вместо размерности интервалов принимаем их центральные значения, которые рассчитываются как средние арифметические величины начала и конца интервалов.

Построим интервальные ряды распределения по себестоимости СМР и накладным расходам. Возьмем число интервалов n = 5.

тыс. руб.

тыс. руб.

Начальная граница первого интервального ряда равна

Для себестоимости СМР , тогда

Нижняя граница I интервала 100-11=89тыс. руб.

Верхняя граница I интервала 89+22=111 тыс. руб.

Для потерь рабочего времени , тогда

Нижняя граница I интервала 243-5,5=237,5тыс. руб.

Верхняя граница I интервала 237,5+11=248,5 тыс. руб.

Интервальный ряд по функциональному признаку (себестоимость СМР): дискретный регрессия детерминация

89-100; 100-122; 122-144; 144-166; 166-188; 188-210.

Интервальный ряд по факторному признаку (потери рабочего времени):

237,5-248,5; 248,5-259,5; 259,5-270,5; 270,5-281,5; 281,5-291,5; 292,5-303,5.



Таблица 1. Дискретный ряд распределения по себестоимости СМР

Таблица 2. Дискретный ряд распределения потерь рабочего времени

Плотность распределения определяется по формуле:

₌ относительные частоты

1.2 Построение поля корреляции



1.3 Строим корреляционную таблицу

Таблица 3. Корреляционная таблица для зависимости У от Х

x
Y	237,5-248,5	248,5-259,5	259,5-270,5	270,5-281,5	281,5-292,5	Итого
Себестоимость СМР , тыс.руб.	188-210		1		1		2
	166-188		1				1
	144-166	1	1		1	1	4
	122-144		1		1		2
	100-122	1					1
	89-100					1	1
	Итого	2	4	0	3	2	n=11

Результаты расчетов, выполненные в таблице 3 позволяют сделать вывод о том, что при переходе слева направо в сторону больших значений факторного признака Х соответствующие ряды распределения функционального признака У смещаются сверху вниз, т.е. в сторону меньших значений функций. Следовательно, себестоимость СМР находится в корреляционной зависимости от потерь рабочего времени.

1.4 Расчет и построение эмпирической линии регрессии

Рассчитываются средние величины для каждого ряда распределения по формуле средней взвешенной арифметической величины:

, (4)

где: y - средневзвешенное значение функции;

y - центральные значения интервалов по функции;

m - абсолютные частоты вариантов y.

Для сокращения вычислений при определении средней арифметической можно использовать метод отсчета от условного нуля.

Расчетная формула имеет вид

, (5)

при этом

, (6)

где: - упрoщенные варианты y;

y - фактические варианты y;

с_y- новое начало отсчета по оси y (условный нуль);

i_y - интервал группировки по y

Новое начало отсчета выбирается таким, образом, чтобы число наблюдений распределялось примерно поровну между положительным и отрицательным направлениями оси ординат.

Примем условный нуль в пятом интервале по оси Оу, тогда С_у = 155 тыс. руб., а i_y = 22 тыс. руб.

Упрощенные варианты умножаются на частоты соответствующих клеток корреляционной таблицы и записываются в верхних правых углах каждой клетки.

Первая итоговая строка и итоговый столбец таблицы 4 выражают абсолютные частоты интервальных рядов распределения по функциональному и факторному признакам.

Вторая итоговая строка характеризует сумму произведений, записанных в верхних углах клеток. Третья итоговая строка рассчитывается делением показателей второй строки на первую. В четвертой итоговой строке показаны искомые средние, полученные по формуле (5).

Показатели четвертой итоговой строки являются основой для графического изображения выполненных расчетов на поле корреляции.

Соединив между собой средние значения в каждом интервале отрезками прямых линий, получаем эмпирическую линию регрессии y по x, которая показывает как в среднем изменяется y в связи с изменением x.

В нашем примере расчет эмпирической линии регрессии вновь подтвердил наличие корреляционной зависимости между потерями времяни и себестоимость СМР.

1.5 Расчет и построение теоретической линии регрессии

Теоретическая линия регрессии представляет собой такую математически правильную кривую (либо прямую) линию, которая проходит наиболее близко к точкам эмпирической линии регрессии выражает общую закономерность средних изменений признака в связи со средними изменениями фактора. Характер размещения точек на корреляционном поле делает весьма вероятной гипотезу о линейной связи у от х,

y = a₀ + a₁x.

Параметры уравнения найдем из системы:

(7)



Примем условный нуль в пятом интервале по оси Ох, тогда С_х = 276 тыс. руб., а i_х = 11 тыс. руб.

В систему уравнений (7) подставим результаты, полученные их исходных данных.

, (8)

В качестве метода решения системы (8) принимаем метод Гаусса, который позволяет находить решения последовательно, исключая неизвестные.

Для этого 1-ое уравнение системы (8) делим на 12, а 2-ое уравнение -на 36:

(9)

Сложим уравнения системы (9):

0,5866=-0,193,

откуда =-0,3291

Затем в 1-ое уравнение системы (9) подставляем значение и находим величину:

0,9166*(-0,3291)-=-0,166

=-0,13565

Все расчеты проведем в таблице (5)

Параметры и необходимо преобразовать исходя из фактических значений x и y. Формулы перевода из упрощенных в реальные координаты:



(10)

, (11)

где - интервал группировки по функции;

- интервал группировки по аргументу;

- новое начало отсчета по функции;

- новое начало отсчета по аргументу.

По формулам (10), (11) находим:

Уравнение теоретической линии регрессии в реальных коэффициентах имеет вид y=72,881+0,2713x.

В уравнении регрессии первое слагаемое носит название свободного члена, второе слагаемое называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько натуральных единиц изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на единицу.

В нашем примере из уравнения теоретической линии регрессии видно, что потери времени понижается на 0,3% при увеличении себестоимости СМР на 1%.

Себестоимость СМР, не зависящий от рассматриваемых факторов, равен 72,881тыс.руб.

Для графического изображения линии регрессии, рассчитанной по линейной гипотезе, достаточно определить двум трем точкам, через которые можно провести прямую. В нашем примере Х1= 243, У1= 138,8; Х2= 276, У2= 147,7.

Графическое изображение теоретической линии регрессии в виде уравнения прямой еще раз доказывает наличие корреляционной связи между изучаемыми признаками

1.6 Измерение тесноты связи

Коэффициент корреляции является одним из наиболее совершенных методов измерения тесноты связи. Коэффициент корреляции отвечает на вопрос, в какой мере соблюдается строгая пропорциональность в изменениях функционального и факториального признаков.

Коэффициент корреляции может принимать как положительные, так и отрицательные значения, т.е.

.

При выполнении корреляционных расчетов, когда связь между признаками x и y выражается прямой линией, соблюдается условие, при котором знак при коэффициенте корреляции должен совпадать со знаком при коэффициенте регрессии а₁.

Для расчета коэффициента корреляции существует формула, представленная в упрощенных координатах признаков x и y.

. (12)

В нашем примере исходную информацию для нахождения принимаем .

Выполненные расчеты показывают, что между Себестоимостью СМР и потерями рабочего времени существует отрицательная корреляция, которая говорит о том, что с увеличением факторного признака Y функциональный признак X уменьшается.

Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком регрессии a₁, что свидетельствует о правильности произведенных вычислений. Случайные факторы оказывают большое влияние на функцию, так как r=-0,0508, следовательно имеем по соотношению Чэддока заметную связь между изучаемыми явлениями. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0,1< r_xy 0,3-слабая; 0,3 < r_xy 0,5-умеренная; 0,5 <r_xy < 0,7- заметная; 0,7 <r_xy < 0,9- высокая; 0,9 < r_xy < 1-весьма высокая; В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и прямая.



Раздел 2. Средние величины и показатели вариации

2.1 Построить интервальный ряд распределения признака и его график

Вариант 4

Дано: IQ тест Айзенка 95, 115, 111, 97, 105, 98, 109, 120, 122, 92, 110, 102.

Для построения интервального ряда из дискретного используется формула Стерджесса, с помощью которой определяется оптимальное количество интервалов (n):

n = 1 +3,322 lg N, (14)

где N - число величин в дискретном ряде.

В нашей задаче n = 1 + 3,322lg20 = 1 + 3,322*1,302 = 5,33. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 6. После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле:

h = H / n, (15)

где H - размах вариации, определяемый по формуле

H = Х_мах -Х_min, (16)

Где X_мax и X_min -- максимальное и минимальное значения в совокупности. В нашей задаче h = (122-92)/6 = 5

Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.



2.2 Рассчитать модальное, медианное и среднее значение, установить его типичность с помощью коэффициентов вариации

Мода ()- это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле:

,(17)

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалом соответственно.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. В нашей задаче чаще всего повторяется (3 раз) первый интервал возраста (97-102), значит, это и есть модальный интервал. Используя формулу (17), определяем точное значение модального возраста:

М_о=97+5*(3-0)/(2*3-4-0)= 89,5(iq).

Медиана - варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Делит ряд на две равные (по числу единиц) части - со значениями признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.

(18)



где - нижняя граница медианного интервала;

- медианный интервал;

- половина от общего числа наблюдений;

- сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f_Me - число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.

В нашей задаче второй интервал количества дней (от 102 до 107) является медианным, так как на него приходится середина ряда распределения количества дней.. Определяем точное значение дней:

Ме = 102 + 5*(10-6)/2 = 122(iq).

Средняя величина - это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (не сгруппированном) порядке, по общей формуле.

=; (19)

Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы.

=, (20)

Где X_i - значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов.

m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин. Выбор вида формулы средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности средних величин), то есть < < < < . Так, если , то , а если , то .

В нашей задаче, применяя формулу средней арифметической взвешенной и подставляя вместо середины интервалов значение iq Х_И, определяем среднее значение IQ теста : = 1276/12 = 106,33(дней). Теперь осталось определить типичность или не типичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.

2.3 Определение показателей вариации

По данным задания 1 выделить три группы по результативному признаку и вычислить:

групповую дисперсию;

среднюю из групповых;

межгрупповую дисперсию;

общую дисперсию;

среднее квадратическое отклонение;

показатели вариации;

эмпирический коэффицент детерминации;

эмпирическое корреляционное отношение.

Рассчитаем групповые средние по формуле:

, (21)

= 127,5 тыс. руб.

=157,33 тыс. руб.

=159,66 тыс. руб.

Определяем общую среднюю

= 153,2 тыс. руб. (22)

1.Определяем групповые дисперсии по формуле:

(23)

2. Определим среднюю из групповых дисперсий



(24)

3. Определим межгрупповую дисперсию

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий.

(25)

4. Определим общую дисперсию

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсии.

а) по формуле сложения дисперсий

= 882,04487+65,3889=947,43377 (26)

б) по общей формуле

(27)



5. Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.

(28)

6. Коэффициент вариации

Коэффициент вариации - наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Со вокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному. Коэффициент вариации применяется для сравнения колеблемости разнородных признаков. Коэффициент вариации часто используется для сравнения размеров вариации в совокупностях, отличающихся друг от друга величиной средней (в совокупностях с разными уровнями):

•100% = 20,09165% (29)

Т. к. V < 30%, рабочие предприятий однородны по уровню выработки в год.

7. Эмпирический коэффициент детерминации

Эмпирический коэффициент детерминации характеризует долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Принимает значения -1 до 1 и показывает, насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором группировки.

= 0,0691 (30)

8. Эмпирическое корреляционное отношение

Теснота корреляционной связи, как и любой другой, может быть измерена эмпирическим корреляционным отношением зэ , когда д2 (межгрупповая дисперсия) характеризует отклонения групповых средних результативного признака от общей средней. Оно показывает тесноту связи между группировочными и результативными признаками. Эмпирическое корреляционное отношение, как и, может принимать значения от 0 до 1.

(31)

Для проверки существенности связи используем F- критерий Фишера

= 0,276067 (32)

По таблице при уровне значимости = 0,05 и числах степеней свободы v₁ = m - 1 = 2 и v₂ = n - m = 8 по таблице находим F_кр = 4,46.



Раздел 3. Анализ динамических рядов

Дано:

Год	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Поголовье крупного рогатого скота, млн голов на конец года	23,5	25,8	25	23,5	32,1	31,1

Так как данные представлены за год, то ряд динамики является интервальным. В интервальных динамических рядах нет элементов повторного счета, поэтому их можно суммировать между собой.

Средний уровень ряда рассчитаем по формуле средней арифметической простой:

, (32)

где ? Yi- сумма индивидуальных значений признака

n- количество признаков

= 26,83млн.

То есть за период 2006-2011г. Среднее число поголовья крупного скота увеличилось на 26,833 млн

Любое изменение уровней ряда динамики определяется базисным (сравнение с первым уровнем) и цепным (сравнение с предыдущим уровнем) способами. Оно может быть абсолютным (разность уровней ряда) и относительным (соотношение уровней).

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда.

(33)



Цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда.

(34)

По знаку абсолютного изменения делается вывод о характере развития явления: при > 0 -- рост, при < 0 -- спад, при = 0 -- стабильность.

Эти изменения определены в 3-м и 4-м столбцах таблицы7. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: =-2,4 и =-2,4. Базисное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда.

(35)

Цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда .

(36)

Относительные изменения уровней -- это по существу индексы динамики, критериальным значением которых служит 1. Если они больше ее, имеет место рост явления, меньше ее -- спад, а при равенстве единице наблюдается стабильность явления.

В нашей задаче эти изменения определены в 5-м и 6-м столбцах таблицы7.

Вычитая единицу из относительных изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном -- спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления. В нашей задаче темпы изменения определены в 7-м и 9-м столбцах таблицы 7, а в 8-м и 10-м сделан вывод о характере развития изучаемого явления. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому произведение цепных относительных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: =0,898 и =0,898

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели - среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

Базисное среднее абсолютное изменение - это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней.

^Б= (37)

Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда - это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений.

^Ц= (38)

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными. В нашей задаче по формуле получаем:

=

Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное. Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле.

^Б== (39)

Цепное среднее относительное изменение

^Ц= (40)

Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. В нашей задаче = = 0,9787 то есть ежегодно среднее число рогатого скота увеличивается.

Вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашей задаче =0,9787- 1 = - 0,0213 , то есть ежегодно среднее число голов рогатого скота снижается на 0,0213.

Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда (тенденции развития ряда) возможна несколькими способами (метод средних, Фостера и Стюарта, Валлиса и Мура и пр.), но наиболее простым является графическая модель, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат - уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. Тренд может представлять собой прямую линию, параболу, гиперболу и т.п. В итоге приходим к трендовой модели вида:

, (41)

где - математическая функция развития;

- случайное или циклическое отклонение от функции;

t - время в виде номера периода (уровня ряда).

Цель такого метода - выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

- прямая линия;

- гипербола;

- парабола; - степенная;

- ряд Фурье.

Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y(t)

Из данного графика видно, что есть все основания принять уравнение тренда в виде линейной функции.

Расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, При четноме числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают -1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

(42)

где n - количество уровней ряда;

t - порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени;

y - уровни эмпирического ряда.

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле (31) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблицы

Из таблицы получаем, что = 161 /6 = 26,83 и = 33,9/28 = 1,22 . Отсюда искомое уравнение тренда =26,831,22)t. В 6-м столбце таблицы приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней.

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т (приложение 1). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:



,(43)

где k - число параметров (членов) выбранного уравнения тренда;

Д_А - аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (45);

Д_о - остаточная дисперсия (46), определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф (44) и аналитической дисперсии:

= 72,5934 6 = 12,0989 (44)

=41,6752 6 =6,95 (45)

=12,0989-6,95= 5,1489 (46)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле , для чего в 7-м столбце таблицы 6 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце - числитель аналитической дисперсии. Можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F_Р = (6, 95*6)/ (5,1489*1) = 8,098> F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т= 5,99 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [= k - 1 = 1] и 8-й строке [= n - k = 6]).

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (47):

, (47)

где - точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда;

- коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n-1 (приложение 2);

- ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (48):

, (48)

где и - соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики;

n - число уровней ряда;

k - число параметров (членов) в уравнении тренда.

Определим доверительный интервал в нашей задаче на 2012 год с уровнем значимости = (1-0,95) = 0,05. Для этого найдем ошибку аппроксимации по формуле (48): == 5,2491 Коэффициент доверия по распределению Стьюдента = 4,032 при = 6- 1=5.

Прогноз на 2012год с вероятностью 95% осуществим по формуле:

Y₂₀₁₂₌(26,83+ 1,22*6)4,032 * 5,2491 или 12,95 <Y₂₀₁₂<55,32(поголовья рогатого скота млн).



Список использованной литературы

1.Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу «Статистика» для студентов специальностей 060811,060815.сост.:Харисова Г.М., Казань:КГАСУ,2004-23с.

2.Т.В. Чернова «Экономическая статистика».Учебное пособие.Таганрог,изд-во ТРТУ,1999

3.Зярянова О.Т., Уварова И.А., Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу « статистика»- Курган, КГУ,2000.

4.Гусаров В.М., Статистика: Учебное пособие:-М.: ЮНИР-Дана.2001.

5.Шмойлова Р.А. Теория статистики, М.,2005.

Размещено на Allbest.ru