Построение вариационных рядов. Расчет числовых характеристик

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа № 1

Построение вариационных рядов. Расчет числовых характеристик

Цель работы: овладение способами построения рядов распределения и методами расчета числовых характеристик.

Выполнение лабораторной работы № 1 рассмотрим на примере следующей задачи. вариационный полигон эмпирический числовой

Задача. Имеются данные о числе рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад одного из районов страны:

Выполнение работы

Обозначим через Х число рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад одного из районов страны.

1.1. По данным выборки строим интервальный вариационный ряд.

а) Поскольку, как легко выяснить, xmax = 272, xmin = 248, то размах варьирования признака Х равен

R = xmax -xmin = 272 - 248 = 24.

б) Определяя число k интервалов (число столбцов в таблице) вариационного ряда, положим .

в) Длина h каждого частичного интервала равна

.

Так как исходные данные мало отличаются друг от друга и содержат целые числа, то величину h округляем до целого: .

г) Подсчитываем число вариант, попадающих в каждый интервал, по данным выборки. Значение , попадающее на границу интервала, относим к левому концу. За начало первого интервала берем величину

.

Конец последнего интервала находим по формуле

.

Сформированный интервальный вариационный ряд записываем в виде

Контроль: , и объем выборки .

1.2. Записываем дискретный вариационный ряд (табл. 2). В качестве вариант берем середины интервалов интервального вариационного ряда.

1.3. Изображаем интервальный и дискретный вариационные ряды графически, построив гистограмму и полигон частот в одной системе координат (рис. 1).

2. Строим график накопленных частот -- кумуляту (рис. 2). Предварительно составляем расчетную табл. 3.

Рис. 1 Гистограмма и полигон

3. Находим эмпирическую функцию распределения. Воспользуемся формулой (1):

Fв (x).

Если х 247,5, то Fв (x) = 0 -- по свойству эмпирической функции распределения.

Если 247,5< х 250,5, то Fв (x).

Если 250,5< х 253,5, то Fв (x).

Если 253,5< х 256,5, то Fв (x).

Если 256,5< х 259,5, то Fв (x).

Если 259,5< х 262,5, то Fв (x).

Если 262,5< х 265,5, то Fв (x).

Если 265,5< х 268,5, то Fв (x).

Если 268,5< х 271,5, то Fв (x).

Если , то Fв (x) = 1 -- по свойству эмпирической функции распределения.

Записываем полученную эмпирическую функцию в виде:

Fв (x)

График функции Fв (x) представлен на рис.3.

Соединив середины вертикальных частей ступенчатой кусочно-постоянной кривой, являющейся графиком функции Fв (x), получаем плавную кривую (на рис. 3 это штриховая линия). Абсциссами точек этой кривой служат значения чисел рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад одного из районов страны, а ординатами -- значения эмпирической функции распределения, характеризующей оценку вероятности события X , т.е. вероятности попадания возможных значений чисел рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад на промежуток .

Для нахождения числовых характеристик признака Х -- чисел рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад (несмещенных оценок для

,

а также , , , ) воспользуемся табл. 2.

4.1. Так как варианта в табл. 2 встречается с наибольшей частотой , то , т.е. это значение чисел рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад, встречающееся в данной выборке с наибольшей частотой.

Находим . Так как табл. 2 содержит нечетное число столбцов, то . Это значение чисел рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад, которое делит данные выборки признака Х на равные части.

Рис. 2 Кумулятивная кривая

4.2. Для нахождения остальных статистик, характеризующих обводненность нефти, воспользуемся методом произведений. Введем, согласно (9), условные варианты

; , .

Составим расчетную табл. 4.

Контроль вычислений проводим по формуле:

,

.

Следовательно, вычисления проведены верно.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3 Кумулята и эмпирическая функция распределения

4.3. Пользуясь результатами последней строки табл. 10, находим условные начальные моменты (11) -- (14):

,

,

,

.

4.4. Находим выборочную среднюю (15):

,

которая характеризует среднее число рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад, составляющую 261рабочий день.

4.5. Находим выборочную дисперсию (16):

4.6. Вычисляем выборочное среднее квадратичное отклонение (17):

.

4.7. Величина характеризует степень рассеяния значений числа рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад относительно среднего числа рабочих дней. Для определения колеблемости значений числа рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад в процентном отношении вычисляем коэффициент вариации (22):

.

Величина коэффициента вариации мала (составляет 1%), что означает тесную сгруппированность значений обводненности нефти около центра рассеяния, т.е. около средней обводненности нефти.

4.8. Для предварительной оценки отклонения значений числа рабочих дней без простоя от нормального распределения вычисляем асимметрию и эксцесс. Сначала находим центральные моменты третьего и четвертого порядков (20), (21):

.

.

4.9. Тогда в соответствии с (18), (19), находим:

,

.

Резюме. Значения и мало отличаются от нуля. Поэтому можно предположить близость данной выборки, характеризующей число рабочих дней без простоя, к нормальному распределению. Эта гипотеза будет проверяться в лабораторной работе № 2.

5. Произведем оценку генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения = S по выборочным статистикам и , используя теорию доверительных интервалов для нормального распределения. Доверительный интервал для истинного значения обводненности нефти с надежностью находим, согласно (23):

.

Согласно приложению 3, при и находим . Записываем доверительный интервал:

,

или .

Таким образом, среднее число рабочих дней без простоя (в количестве дней) по данным выборки должна находиться в промежутке .

Запишем доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения . При заданных и по таблице приложения 4 находим . Так как , то доверительный интервал записываем в виде (24):

,

или

,

или

;

следовательно, отклонения истинных значений число рабочих дней без простоя не должны выходить за пределы промежутка .

Размещено на Allbest.ru