Ризик та елементи теорії корисності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ризик та елементи теорії корисності

Концепція корисності. Пріоритети та їх числове відображення

Для задач прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику принцип оптимальності нерідко будується у вигляді функції корисності.

Корисність виражає ступінь задоволення, яке одержує суб'єкт від споживання товару чи виконання будь-якої дії.

Концепція функції корисності дає змогу здійснити співвимірність споживчих елементів різних товарів, взагалі кажучи, фізично неспіввимірних.

Корисність включає важливу психологічну компоненту, тому що люди досягають корисності, одержуючи речі, які приносять їм задоволення. В економічному аналізі корисність часто використовується для того, щоб описати пріоритети при ранжуванні наборів споживчих товарів та послуг.

Співвимірність цінних паперів, які також є товаром, на перший погляд, простіше здійснити, оскільки усі вони мають ціну. Але ризиковані цінні папери -- це документи, котрі засвідчують можливість одержання грошей у майбутньому, і тут співвимірність проблематична: не можна сказати, яка з випадкових величин, що відображає ефективність (норму доходу) кожного з цінних паперів, буде більшою чи меншою, а отже, не можна сказати, який з цінних паперів чи який портфель цінних паперів є пріоритетнішим.

Встановлення будь-якої міри ризику є спробою подолати цю проблему, характеризуючи випадкову величину одним показником (параметром). Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь-які варіанти оцінки випадкової економічної ситуації у вигляді сподіваного значення такої функції. Природно, що будь-які підходи такого роду є суб'єктивними, але без них не обійтися, якщо намагатися ввести певну єдину міру ризику.

У теорії корисності широке застосування має таке поняття, як пріоритет.

Позначимо співвідношення «пріоритетніше, ніж» «байдуже», «не гірше, ніж» відповідно символами , , .

Нестроге співвідношення пріоритетності «не гірше, ніж» є одним із основних найпростіших понять. Запис x y, де х та у є набором товарів чи послуг (точками простору Х), означає, що певний суб'єкт (споживач) вважає для себе набір х або пріоритетнішим, ніж набір у, або не робить між ними різниці, тобто х не гірше, ніж у. Можна визначити поняття байдужості та строгої пріоритетності: набори товарів х та у байдужі (еквівалентні) для споживача (х у) тоді і лише тоді , коли

х y та у x .

Коли споживач бажає обрати х, а не у, тобто х пріоритетніше, ніж у (записують х y), то це відбувається тоді, коли х не гірше за у, а у гірше за х. Тобто, х y тоді і лише тоді, коли х y і при цьому твердження, що у x, є несправедливим.

У [2,3,5] на базі введених аксіом щодо нестрогого співвідношення пріоритетності (аксіом щодо досконалої нестрогої впорядкованості та неперервності) доведене існування неперервної дійсної функції U(x), визначеної на елементах множини Х, яку називають функцією корисності і для якої U(x) > U(y), якщо х у.

Гранична корисність вимірює додаткове задоволення, що його одержує особа від споживання додаткової кількості товару.

Приклад, у якому висвітлюється процес побудови функції корисності на базі експертної інформації, наведено в [2, 3, 9].

корисність ризик крива

Корисність за Нейманом

Поняття лотереї

Для визначення корисності розглядається вибір особи в умовах ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.

Для цього необхідно з множини Х пред'явлених експертам значень певного економічного показника (об'єкта) виділити два значення х_* та х^* таких, що х х_* та х х^* для всіх х Х, тобто найменш пріоритетне, в певному сенсі, значення економічного показника (це буде «нуль» даної шкали інтервалів) і найбільш пріоритетне, в певному сенсі, значення показника (разом з «нулем» вони визначають масштаб даної шкали). Власне, так побудована функція корисності Дж. ф. Неймана і О.Моргенштерна. Експерту пропонують порівняти між собою дві альтернативи:

1) значення показника х;

2) лотерею: одержати х^* з імовірністю 1 - р чи х_* з імовірністю р. Величину імовірності р змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея L(х_*, p, x^*) не стануть еквівалентними, тобто x L(х_*, p, х^*).

Максимальному й мінімальному значенням х^* та х_* приписують довільні числові значення U^*= U(х^*) та U_* = U(x_*), але так, щоб U^* > U_*.

Під лотереєю L(x_*, p(x), x^*) розуміють ситуацію, у якій особа може отримати х_* з імовірністю р(х) або х^* з імовірністю

1 - р(х). (Часто використовують запис: L(x_*, p(x); x^*, q(x)), де q(х) = 1 - р(х)).

За Нейманом корисність варіанта х визначається ймовірністю U(х) = р(х), при якій особі байдуже, що обирати: х -- гарантовано, чи лотерею L(х_*, р(х), х^*), де х^*, х_* -- вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х.

Наприклад, у якості функції корисності можна брати функцію

бо для всіх x [x_*, x^*] значення q(х) [0; 1]. Оскільки при зростанні х від х_* до х^* значення q(х) будуть збільшуватися, то вибрана таким чином функція корисності буде зростаючою.

Якщо покласти

то в цьому випадку ми отримаємо спадаючу функцію корисності (p(x) = 1 - q(x); p(x) [0, 1] для x [x_*, х^*]).

У якості функції корисності (згідно з Нейманом) можна використати функції розподілу ймовірностей:

U(x) = F(x) = P(X < x).

Hаприклад:

Сподівана корисність

Нехай L -- лотерея, що приводить до виграшів (подій) x₁, х₂, ...., х_n з відповідними ймовірностями p₁, p₂, ..., p_n. Позначимо сподіваний виграш (математичне сподівання виграшу) через :

Справедлива основна формула теорії сподіваної корисності:

тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Детермінований еквівалент лотереї.

Страхова сума

Поняття детермінованого еквівалента лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику та їхнього взаємозв'язку з функціями корисності.

Детермінований еквівалент лотереї L -- це гарантована сума , отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто L. Отже, визначається з рівняння:

U() = M(U(Х)), або = U - ¹(M(U(Х))),

де U - ¹ () -- функція, обернена до функції U(x).

Сподіваний виграш та детермінований еквівалент, що їх визначено вище, стосуються лотереї із скінченним числом можливих виграшів. Якщо можливі виграші описуються щільністю розподілу f(x), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює:

а детермінований еквівалент можна знайти із співвідношень:

.

Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента, взяту з протилежним знаком:

CC(Х) = -.

Якщо особа, яка приймає рішення, стикається з несприятливою для неї лотереєю (тобто лотереєю, яка менш пріоритетна, ніж стан, у якому вона перебуває), то природно запитати, скільки б вона заплатила (в одиницях виміру критерію х) за те, щоб не брати участь у цій лотереї (уникнути її). Для визначення розмірів цього платежу вводиться до розгляду величина, яку називають премією за ризик.

Премія за ризик. Приклади

За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) (Х) -- це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб'єкт керування (особа, що приймає рішення) згоден знехтувати (уступити її) з середнього виграшу (тобто ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу), щоб уникнути ризику, пов'язаного з лотереєю.

Для зростаючих функцій корисності величину премії за ризик (Х) в лотереї L покладають рівною різниці між сподіваним виграшем та детермінованим еквівалентом, тобто

Приклад Нехай U(x) = a + bx, b > 0. Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю, що має щільність розподілу f(x). Необхідно відшукати сподіваний виграш, детермінований еквівалент та премію за ризик.

Розв'язання. Сподіваний виграш знаходимо за формулою :

Детермінований еквівалент знаходимо з рівняння:

U() = M(U(Х)).

Оскільки , , то .

Отже, для лінійної функції корисності премія за ризик (Х) = -

- = 0.

Приклад Нехай U(x) = а - be-^cx, де а > 0, b > 0, c > 0, x 0 (рис.4.1). Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю L(x₁, p; x₂, q), p + q = 1. Відшукати сподіваний виграш та детермінований еквівалент .

Розв'язання. Сподіваний виграш .

Детермінований еквівалент є розв'язком рівняння U() =

= M(U(Х)) або з рівнозначного рівняння:

Якщо покласти х₁ = 80, х₂ = 100, с = 2, р = 0,7, q = 0,3, то отримуємо:

Премія за ризик (Х) = 86 - 80,2 = 5,8.-

Рис. Графік функції корисності U(x) = a - be- ^cx

Приклад Нехай U(x) = a(x - c)² + b, a > 0, b 0, c 0. Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю L(x₁, p; x₂, q), p +q = 1.

Відшукати сподіваний виграш та детермінований еквівалент .

Розв'язання. Як і раніше, -- сподіваний виграш. Детермінований еквівалент є розв'язком рівняння:

Поклавши, як і в попередньому прикладі, х₁ = 80, х₂ = 100, c = 2, р = 0,7, q = 0,3, отримуємо:

Премія за ризик (Х) = 86 - 86,5 = - 0,5.-

Слід зауважити, що згідно з основним положенням теорії корисності, суб'єкт керування, що приймає рішення в умовах невизначеності та породженого нею ризику, повинен максимізувати сподіване значення корисності результатів.

Різне ставлення до ризику та корисність

Вигляд функції корисності може дати інформацію про ставлення до ризику особи, яка приймає рішення.

Особу, яка приймає рішення, називають несхильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є можливість одержати гарантовано сподіваний виграш у лотереї, аніж брати в ній участь.

З попереднього відомо, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів. Отже, умова несхильності до ризику записується як

U(M(X)) > M(U(X)).

Твердження 1. Особа, яка приймає рішення, не схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція корисності опукла вгору.

Особу, яка приймає рішення, називають схильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є участь у лотереї, ніж можливість одержати гарантовано сподіваний виграш.

Отже, умова схильності до ризику записується як

U(M(X)) < M(U(X)).

Твердження 2. Особа, яка приймає ріщення, схильна до ризику в тому i тільки в тому випадку, коли її функція корисності опукла вниз.

Рис. Функція корисності особи, несхильної до ризику

Графічне доведення справедливості тверджень 1 та 2 для лотереї L(x₁, p; x₂,q), p +q=1, наведене відповідно на рис.4.2 та рис.4.3 (там

Рис. Функція корисності особи, схильної до ризику

Функція схильності-несхильності до ризику

При різних рівнях доходу (багатства) ставлення людини до ризику може змінюватись. Досить реалістичною гіпотезою для широкого кола суб'єктів є схильність до ризику при невеликих сумах (відносно загального достатку) та несхильність при значних сумах. Графічно ця гіпотеза зображена на рис..

Рис. Функція схильності-несхильності до ризику (С-НСР)

Що стосується функцій, які описують висунуту гіпотезу, то їх будемо називати функціями схильності-несхильності до ризику (С-НСР).

Можна зробити висновок, що ставлення до ризику -- це локальна характеристика особи. Якщо людина більш заможна, то вона може дозволити собі ризикнути більшою сумою. Чим заможніша людина, тим більш праворуч на графіку її функції С-НСР розташована зона несхильності до ризику (точка а).

Аналітично функції корисності такого типу можна задати за допомогою зрізаних функцій розподілу ймовірностей, а саме:

Наприклад, виходячи з нормального закону розподілу, що має параметри m та , отримуємо:

Несхильність (або нейтральність) до ризику використовується страховими компаніями, які скуповують ризик. На схильності до ризику функціонує гральний бізнес.

Нейтральність до ризику

Проміжне значення між схильністю та несхильністю до ризику відіграє нейтральність (байдужість) до ризику. Вона визначається байдужістю особи у виборі між отриманням гарантованої суми, яка збігається з середньоочікуваним виграшем, та участю у лотереї.

Очевидно, що

а) функція корисності для особи, нейтральної до ризику, є лінійною, тобто

U(x) = ax + b;

б) умова байдужості до ризику:

U(M(Х)) = M(U(Х));

в) величина сподіваного виграшу збігається з детермінованим еквівалентом лотереї (), а тому премія за ризик (Х) = 0.

Твердження 3. При зростаючій функції корисності для всіх невироджених лотерей особа, яка приймає рішення, тоді і тільки тоді є:

а) несхильною до ризику, коли премія за ризик є додатною ( (Х) > 0);

б) схильною до ризику, коли премія за ризик є від'ємною ( (Х) < 0);

в) нейтральною до ризику, якщо премія (Х) = 0.

Приклади деяких функцій корисності наводились раніше (пункт 4.2.4).

Стратегічна еквівалентність

Під час вибору конкретних функцій корисності зручно користуватись поняттям стратегічної еквівалентності. Кажуть, що дві функції U₁(x) та U₂(x) є стратегічно еквівалентними (записується U₁(x) U₂(x)), якщо вони однаково впорядковують за ступенем привабливості будь-яку пару лотерей.

Твердження 4. Якщо U₁(x) U₂(x), то існують дві константи а і b (b > 0), при яких U₁(x) = a + bU₂(x).

З твердження 4 випливає, що:

U₁(x) = a + bx U₂(x) = x;

U₁(x) = a - be- ^cx U₂(x) = - e- ^cx.

Якщо функцією С-НСР є функція розподілу ймовірностей F(x), то, враховуючи, що функція f(x) = F(x) є функція щільності розподілу ймовірності, можна дати інтерпретацію лотереї з недискретним (неперервним) розподілом ймовірностей:

L(Х [x_*, x^*]; f(x)).

Продаж лотереї

Нехай суб'єкт (надалі -- продавець) вирішує питання щодо продажу лотереї (відмови від участі в ній). Оскільки цю лотерею він розглядає з точки зору свого розуміння корисності (з позицій своєї функції С-НСР U_пр(х) = F_пр(x)), то можна говорити, що продається лотерея

L_пр = L(Х [x_*, x^*]; f_пр(x)),

де f_пр(x) = F_пр(x) -- щільність розподілу ймовірності прибутків, отриманих продавцем від участі в різних лотереях. Позначимо через а = Мо(Х), тобто f_пр(a) = .

Тоді у випадку, коли інтервал [x_*, x^*] належить до зони несхильності суб'єкта до ризику, тобто а < x_*, він (швидше всього) буде вважати лотерею несприятливою (такою, що може завдати йому значних збитків) i відмовиться від участі в ній за умови, що величина винагороди х х_* (або за будь-яку суму, що є не меншою від величини затрат на придбання права на свою участь в лотереї).

Якщо [x_*, x^*] належить до зони схильності суб'єкта до ризику, тобто а > x^*, то він не уступить свого права на участь в цій лотереї. Але у випадку, коли а >> x^* (>> -- значно більше), то з погляду непрестижності суб'єкт може відмовитись від такої лотереї і швидше всього -- безплатно (ситуація меценатства, любові, альтруїзму).

Якщо ж точка а [x_*, x^*], то суб'єкт (інвестор) може відмовитись від участі в лотереї за суму х [a, x^*].

Розглянемо окремо випадок, коли інтервал [x_*, x^*] належить до зони нейтральності суб'єкта до ризику. Тоді на цьому інтервалі функція корисності має характер, близький до лінійного:

U(x) = kx + b f(x) = U(x) = k = const,

тобто функція щільності f(x) описує рівномірний розподіл (для суб'єкта) можливих значень прибутку від участі в лотереї, і суб'єкт може уступити своє право на участь в ній за суму х а.

Купівля лотереї

Нехай тепер суб'єктом (надалі -- покупцем) вирішується питання щодо купівлі лотереї L_пр (купівлі права на участь в ній). Оскільки він має свою функцію С-НСР U_пк(х) = F_пк(х), то його підхід до процесу купівлі може бути таким. Покладемо b = Мо(х), тобто f_пк(b) =

, де f_пк(х) = F_пк(х).

Якщо інтервал [x_*, x^*] належить до зони несхильності до ризику покупця (b < х_*), то про купівлю цієї лотереї не може бути й мови. Якщо [x_*, x^*] належить до зони схильності покупця до ризику (b > х^*), то він згодиться на придбання цієї лотереї за суму х < x^*.

Якщо ж b [x_*, x^*], то покупець згодиться придбати лотерею за суму x b. Якщо ж [x_*, x^*] належить до зони нейтральності до ризику, то за суму x b.

Тепер можна зробити такі висновки: акт купівлі-продажу лотереї відбудеться тоді, коли

C_* = max{x_*, a} < min{b, x^*} = C^*,

і сума х, на якій можуть зійтись продавець і покупець, буде належати інтервалу [C_*,C^*].

Більш глибокі дослідження щодо процесу купівлі-продажу лотереї можна отримати при введенні в розгляд таких характеристик випадкової величини, як медіана, модальна дисперсія, а також таку характеристику суб'єкта, як його поріг несхильності до ризику (поріг схильності).

Слід також мати на увазі, що у випадку симетричних функцій щільності розподілу ймовірностей f_пр(х) та f_пк(х) в процесі дослідження використовується величина сподіваного прибутку =

= M(X), оскільки тоді Мо(Х) = М(Х).

Розглянутій лотереї можна надати таку економічну інтерпретацію. У ролі покупця лотереї може виступати підприємець, який має свою функцію корисності. У ролі продавця -- статистичні дані щодо результатів в даному виді підприємницької діяльності, які подано у вигляді функції розподілу ймовірностей (чи функції щільності розподілу).

Приклад 4.4. Відомо, що в даному виді виробничої діяльності функція щільності відносних збитків задається формулою (відносні збитки вважаються від'ємними за значеннями):

Чи буде здійснено інвестування в даний вид економічної діяльності, якщо функція корисності цього інвестора щодо відносних збитків є такою:

Розв'язання. Інвестора в даній ситуації слід розглядати як покупця лотереї

L_пр = L(x (- , + 0); f_пр(x)),

де f_пр(х) = f(х).

Похідна від функції корисності інвестора

.

Для продавця (згідно з результатами теми 3):

а = Мо(Х) = - 30;

для покупця:

b = Мо(Х) = - 25.

Оскільки b > а, то приходимо до висновку, що інвестування в даний проект швидше всього відбудеться.-

Приклад Особа, функція корисності якої є зрізаним на проміжку

[300, 1200] нормальним законом розподілу (інтегральна функція) з параметрами

m = 600 та = 200, має кілька альтернативних варіантів щодо вибору місця роботи.

Перше місце роботи, пов'язане із стабільним доходом обсягом 650 гривень. Друге місце роботи, пов'язане з ризиком: або мати дохід 850 гривень з імовірністю р = 0,5, або дохід обсягом 450 гривень. Третє місце роботи також пов'язане з ризиком мати дохід 1050 гривень з імовірністю р = 0,5, або ж -- 250 гривень.

Яке місце роботи вигідніше обрати цій особі?

Розв'язання. Побудуємо функцію корисності:

Тобто

Для зручності (і це відповідає теорії) будемо користуватись функцією U₀(x) = 100 U(x). Схематичний графік функції U₀(x) зображено на рис.4.5.

Рис. Функція корисності, що відповідає різаному нормальному розподілу

Першому місцю роботи (особа має стабільний дохід обсягом 650 гривень) відповідає вироджена лотерея

L₁ = L(650;1);

корисність цієї лотереї

U(L₁) = 1 U (650) 57 (одиниць).

Другому місцю роботи відповідає лотерея

L₂ = L(450; 0,5; 850; 0,5),

сподіваний дохід якої становить

= 0,5 450 + 0,5 850 = 650 (гривень),

тобто він рівний доходові на першому місці. Корисність лотереї L₂

U(L₂) = 0,5 · U(450) + 0,5 · U(850) 52 (одиниці).

У разі обрання третього місця роботи сподіваний дохід становить, як і в перших двох випадках, 650 гривень:

.

Корисність, пов'язана з ризиком на третьому місці роботи, дорівнює корисності лотереї L₃= L(250; 0,5; 1050; 0,5), і вона становить:

U(L₃) = 0,5 · U(250) + 0,5 · U(1050) 50 (одиниць).

Отже, з трьох місць роботи слід обрати перше, де і корисність найбільша (57 одиниць), і дохід стабільний.-

Функція локальної несхильності до ризику

Міра локальної несхильності до ризику в точці визначається за допомогою функції несхильності (до ризику):

(якщо існують відповідні похідні).

Під час дослідження функцій корисності можна спиратись на такі твердження [10]:

1) дві функції корисності є стратегічно еквівалентними тоді і лише тоді, коли вони мають одну й ту саму функцію несхильності до ризику;

2) якщо r(x) > 0 для всіх x [x_*, x^*], то особа, яка приймає рішення, не схильна до ризику;

3) якщо r(x) = 0 для всіх x [x_*, x^*], то особа, яка приймає рішення, нейтральна до ризику;

4) якщо r(x) < 0 для всіх x [x_*, x^*], то особа, яка приймає рішення, є схильною до ризику;

5) якщо для двох суб'єктів, що мають функцію корисності U₁(x) та U₂(x), має місце нерівність r₁(x) > r₂(x), то перший суб'єкт є більшою мірою несхильним до ризику, ніж другий (для даної суми х).

Приклад 4.6. Розігрується лотерея L(x_*, p; x^*, q).

Порівняйте щодо несхильності до ризику суб'єкти (інвесторів), які мають функції корисності:

;

.

Розв'язання. Знайдемо функції несхильності до ризику для цих суб'єктів (інвесторів):

Враховуючи, що величина для всіх x [x_*, x^*], отримуємо, що r₁(x) r₂(x) < r₃(x) (для всіх x [x_*, x^*]), тобто найменш схильним до ризику є третій суб'єкт, найбільш схильним -- перший.

Насправді, поклавши = (x_* + x^*)/2, отримуємо, що

U₁() = q₁() = 0,56;

U₂() = q₂() = 0,71;

U₃() = q₃() = 0,84,

тобто перший суб'єкт не відмовиться від участі в лотереї (у ситуації, коли йому пропонують гарантовану суму = 0,5(x_* + x^*)), якщо ймовірність виграшу q 0,56, другий -- якщо q 0,71, третій -- якщо q 0,84.-

Криві байдужості

У теорії ризику цінних паперів широке застосування [15] мають функції корисності виду

де m -- величина сподіваного прибутку (ефективності тощо), -- величина ступеня ризику (середньоквадратичне відхилення або семіквадратичне відхилення тощо). Інтерпретація функції U(m, ) така: інвестор вважає за корисне для себе збільшення значення ефективності, але уникає відхилення цієї ефективності від сподіваного значення. Чим більше значення k, тим тенденція уникнення ризику, що породжується невизначеністю, проявляється більшою мірою. А тому величину k можна вважати числовою мірою тенденції інвестора щодо уникнення ризику (мірою несхильності до ризику). Значення величини k є індивідуальним для кожного інвестора, але в принципі його можна оцінити, спостерігаючи, наприклад, за тим, як інвестор ділить свій портфель цінних паперів на ризикову та безризикову частини.

Якщо тепер покласти

U(m, ) = m² - k² = U = const,

то, відкладаючи на осі абсцис значення сподіваної ефективності, а на осі ординат -- величину ступеня ризику і надаючи різні значення константі U, отримуємо сімейство кривих (рис.4.6):

m² - k² = U_i , i = 1,2,... .

Це сімейство кривих (в даному випадку гіпербол) в теорії функцій багатьох змінних називають лініями рівня, а в теорії корисності -- кривими байдужості. На рис. побудовано криві байдужості для певної особи (коефіцієнт k -- фіксований (k = const)).

Рис. Криві байдужості особи (різні рівні функції корисності)

Криві байдужості можна трактувати як різні значення рівнів функції корисності. Наприклад, крива, позначена буквою А, окреслює всі ті можливі величини норми прибутку і ризику, при яких рівень корисності даної особи становить 9 одиниць. Переміщення вздовж цієї кривої буде зберігати один і той самий рівень корисності, який становить 9 одиниць. Одна й та сама величина функції корисності може бути досягнута при великій нормі прибутку і відповідно до більшого ступеня ризику. Тобто, щоб збільшити норму прибутку і водночас залишитися при тій же самій величині корисності, треба обтяжувати себе більшим ступенем ризику.

Нерідко зміни значень норми прибутку і ризику призводять до зміни рівня корисності. Наприклад, зростання норми прибутку при незмінному ступені ризику (рис. 4.6) означає перехід на іншу, «правішу», криву байдужості, що відповідає більшому значенню величини функції корисності. На рис.4.6 цій ситуації відповідає перехід з точки А до точки В. Аналогічно зменшення ступеня ризику при незмінній нормі прибутку означає перехід на криву байдужості, що відповідає більшій величині функції корисності. На рис. 4.6 цій ситуації відповідає перехід з точки А до точки С.

На рис. 4.7 порівнюються криві байдужості виду U(m, ) трьох різних менеджерів (інвесторів) А, В, С у випадку, коли U(m, ) = 4 і відповідно k_а = 1/4, k_в = 1 та k_с = 4. Зауважимо, що серед цих менеджерів особа А характеризується найбільшою схильністю до ризику, а особа С -- найменшою (найбільшою несхильністю) до ризику.

Розглянемо точки А, В і С, що лежать на кривих байдужості, які відповідають величині корисності в 4 одиниці. Усім цим точкам відповідає також однакова величина ризику, яка становить 7%. Однак норми прибутку є для цих трьох осіб різними, для А -- 4%, для В -- 7,3%, для С -- 14,1%. Це означає, що при ступені ризику = 7 менеджер С мусить мати гарантовану (сподівану) норму доходу, яка становить 14,1% (при цьому його корисність становить 4 одиниці). З точки зору менеджера А достатньою є прибутковість, що становить 4%. Менеджер С є найменш схильним до ризику серед цих трьох осіб, бо вимагає більшої компенсації (премії, тобто норми прибутку) за обтяження таким самим ступенем ризику.

Чим більш схильною до ризику є певна особа, тим більший кут нахилу до осі абсцис мають асимптоти кривих байдужості цієї особи (тим більшим є коефіцієнт варіації).

Функція корисності з інтервальною нейтральністю до ризику

Функція корисності з інтервальною нейтральністю відображає ставлення до ризику особи, що приймає рішення, для якої характерна нейтральна позиція щодо ризику за умов, що результат (грошовий дохід, багатство) знаходиться в певних межах. У той же час при розгляді всього інтервалу зміни результату, корисність якого оцінюється, ставлення до ризику не буде нейтральним [5].

Один із типів функцій з інтервальною нейтральністю до ризику має такий вигляд:

Якщо а_і > 0, то U(x) -- зростаюча функція корисності, що характеризує несхильність до ризику, оскільки вона є опуклою вгору (рис. 4.8). Часто U(x) подають у такому вигляді:

де а₁ > а₂ >...> a_n, a b₁ > b₂ >...>b_n; x₁, x₂, ..., x_n-1 -- точки перетину графіків функцій a₁x + b₁ та a₂x + b₂, a₂x + b₂ та a₃x + b₃ і т.д. відповідно. Оскільки величина вільного члена функції корисності не змінює її стратегічну еквівалентність, то приймають, що b₁ = 0 (див. рис. 4.8).

На інтервалах [0, x₁], [x₁, x₂], ..., [x_n-₁, ) функція буде нейтральною до ризику.

Зростаюча функція з інтервальною нейтральністю, яка відображає глобальну схильність до ризику, має такий вигляд:

Рис. Інтервальна нейтральність (глобальна схильність) до ризику

Можливі конструкції інтервально-нейтральних функцій, які поєднують глобальну схильність та несхильність до ризику (рис.4.10) .

На інтервалах [0, x₁], [x₁, x₂], [x₂, ) функція нейтральна до ризику. На інтервалі [0, x₂] вона відображає схильність до ризику, а на [x₁, ) -- несхильність до ризику.

За допомогою функцій з інтервальною нейтральністю до ризику з будь-якою точністю можна апроксимувати нелінійні функції корисності. Точність апроксимації залежить від вибору точок та кількості інтервалів. Іноді для цього достатньо небагато інтервалів (див. рис. 4.8, де поряд з інтервально-нейтральною функцією зображено нелінійну функцію, що апроксимується).

Для зручності інтервали нейтральності до ризику класифікують. Наприклад, інтервал [0, x₁], зображений на рис.4.8, є інтервалом з високою граничною корисністю, [x₁, x₂ ] -- з середньою, [x₂, ) -- з низькою.

Приклад Побудуйте інтервально-нейтральну функцію корисності згідно з даними, наведеними в табл.4.1.

Таблиця

Значення змінної	0	10	20	30	40	50
Значення функції корисності	0	0,05	0,20	0,40	0,65	1

Розв'язання. Інтервально-нейтральну функцію корисності, що відповідає умові задачі, наведено на рис.

Рис. Приклад побудови інтервально-нейтральної функції корисності

Для її побудови скористаємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки А(х_а,U_a) та В(х_b,U_b) :

Тоді для відповідних інтервалів отримуємо:

[0, 10]: U(х) = 0,005x;

[10, 20]: U(х) = 0,015x - 0,1;

[20, 30]: U(х) = 0,02x - 0,2;

[30, 40]: U(х) = 0,025x - 0,35;

[40, 50]: U(х) = 0,035x - 0,75.

Графічні образи приведених прямих зображено на рис.4.11.-

Размещено на Allbest.ru