Размещено на http://www.allbest.ru/

Виды средних величин и способы их вычисления

1. Виды средних величин и способы их вычисления

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д.

Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различных значениях m):

(1)

где х -- среднее значение исследуемого явления;

т -- показатель степени средней;

х -- текущее значение (вариант) осредняемого признака;

n -- число признаков.

В зависимости от значения показателя степени т различают следующие виды степенных средних:

при m = -1 -- средняя гармоническая Хгар ,

при m = 0 -- средняя геометрическая Хг;

при m = 1 -- средняя арифметическая Хар ;

при m = 2 -- средняя квадратическая Хкв,

при m = 3 -- средняя кубическая Хкуб.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше m в формуле (1), тем больше значение средней величины:

(2)

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется в статистике правилом мажорантности средних.

Характер имеющихся данных определяет существование только одного истинного среднего значения показателя. Вид средней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также принципами суммирования и взвешивания.

Помимо степенных средних в статистической практике используются средние структурные, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.

Остановимся подробнее на степенных средних.

2. Средняя арифметическая и ее роль в экономической статистике

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующей признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего показателя. Так, например: общий фонд заработной платы -- это сумма заработных плат всех работников, валовый сбор урожая -- сумма произведенной продукции со всей посевной площади.

Чтобы исчислить среднюю арифметическую нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Исходной, определяющей формой служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака):

(3)

где х1, х2, ..., хn -- индивидуальные значения варьирующего признака (варианты); п -- число единиц совокупности.

Например, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений признака, шт.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле (3), шт.:

Хар =

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная -- средняя сгруппированных величин х1, х2, ..., хn -- вычисляется по формуле:

средний статистика интервал мода

(4)

где f1, f2, f3, … fn - веса (частоты повторения одинаковых признаков);

У xf -- сумма произведений величины признаков на их частоты;

У f -- общая численность единиц совокупности.

Технику вычисления средней арифметической взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в табл. 1.

Таблица 1

Распределение рабочих по выработке деталей

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт. х	Число рабочих (веса) f	xf
18	2	36
19	4	76
20	5	100
21	3	63
22	1	22
Итого	15	297

По формуле (4) средняя арифметическая взвешенная, шт.:

Хар =

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Тогда, формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

Хар = (5)

где d =

-- частость, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

(6)

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних.

Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны.

Средние из средних рассчитываются так же, как и средние из первоначальных значений признака.

При этом средние, которые служат для исчисления на их основе общей средней, принимаются в качестве вариантов.

Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних Хгр осуществляется по формуле:

Хар = (7)

где

f -- число единиц в каждой группе.

Результаты вычисления средней арифметической из групповых средних представлены в табл. 2.

Таблица 2

Распределение рабочих среднему стажу работы

Номер цеха	Средний стаж работы, лет Хтр	Число рабочих, чел. f
1-й	5	90
2-й	7	60
3-й	10	50
Итого	--	200

В этом примере вариантами являются не индивидуальные данные о стаже работы отдельных рабочих, а средние по каждому цеху Хгр. Весами/являются численности рабочих в цехах.

Отсюда средний стаж работы рабочих по всему предприятию составит, лет:

3. Расчет средней арифметической в рядах распределения

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов ("от -- до"), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Рассмотрим следующий пример (табл. 3).

Таблица 3

Распределение рабочих АО по уровню ежемесячной оплаты труда в 1996 г.

Группы работах по оплате труда, руб.	Число рабочих, чел. f	Середина интервала, руб. X	xf
До 500	5	450	2250
500-600	15	550	8250
600-700	20	650	13000
700-800	30	750	22500
800-900	16	850	13600
900 и более	14	950	13 300
Итого	100	. -	72 900

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы.

Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают также, как и в дискретном ряду, -- варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), руб.:

Итак, средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 729 руб. в месяц.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчета средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами. Приведем некоторые основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в iраз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k paз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в качестве i -- величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому такой метод вычисления средней называется "способом отсчета от условного нуля" или "способом моментов".

Допустим, что все варианты х сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в i раз. Получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов хi.

Тогда новые варианты будут выражаться:

а их новая средняя арифметическая m1 -- момент первого порядка -- формулой

и будет равна средней из первоначальных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в i раз, т.е.,

Для получения действительной средней надо момент первого порядка m^ умножить на i и прибавить А:

(8)

Данный способ вычисления средней арифметической из вариационного ряда называют "способом моментов".

Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.

Применение способа моментов настолько облегчает расчеты, что позволяет их выполнять без использования вычислительной техники даже при больших и многозначных числах, характеризующих индивидуальные значения осредняемых показателей.

4. Средняя гармоническая

При расчете средних показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних.

Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем (например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и то же время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой, не должен измениться фонд заработной платы).

Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.

Вид средней определяется характером взаимосвязи определяющего показателя с осредняемым.

Средняя арифметическая, как было показано выше, применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты f.

Когда статистическая информация не содержит частот / по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение xf, применяется формула средней гармонической взвешенной.

Чтобы исчислить среднюю, обозначим х * f = w, откуда f= w/x.

Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю.

В формулу средней арифметической взвешенной (4) вместо xf подставим w, вместо f -- отношение w/x и получим формулу средней гармонической взвешенной:

(9)

Из формулы (9) видно, что средняя гармоническая -- средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака.

Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей.

Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = xf, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины:

Например, по данным (табл. 4) требуется определить среднюю цену 1 т картофеля.

Таблица 4. Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам

Номер магазина	Цена картофеля, руб/т, х	Выручка от реализации, тыс. руб., w	Частота (количество реализованных единиц), т, f=w/х
1-й	800	24	30000
2-й	1000	15	15000
3-й	900	18	20000
Итого	--	57	65 000

Расчет средней цены выражается соотношением:

Определяющим показателем здесь является числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц -- неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Тогда средняя цена 1 т картофеля, руб., по трем коммерческим магазинам может быть исчислена по формуле (5.9) средней гармонической взвешенной:

Этот же результат получится и по средней арифметической взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рассчитать), руб.:

Полученная средняя цена 1 кг картофеля является реальной величиной, ее произведение на все количество проданного картофеля дает общий объем реализации, выступающий в качестве определяющего показателя (57 тыс. руб.).

Исчисление средней гармонической взвешенной по формуле (9) освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:

(10)

5. Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени п из произведений отдельных значений -- вариантов признакам:



где п -- число вариантов; П ~ знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).

6. Роль структурных средних

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода MQ -- значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду -- вариант, имеющий наибольшую частоту.

Например, в табл. 1 наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака,. т.е. выработка деталей за смену.

Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

(11)

где XM0 -- нижняя граница модального интервала; iM0 -- модальный интервал; fM0, fM0-1, fM0+1- частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

Медиана Ме -- это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части -- со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих, руб. в месяц:

630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.

Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле:

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

(12)

где Х_ме - нижняя граница медианного интервала;

і_ме - медианный интервал;

- половина от общего числа наблюдений;

- сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала; fMe -- число наблюдений в медианном интервале.

Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности вследствие особого свойства -- сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая.

Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части -- квартели, на пять равных частей -- квинтели, на десять частей -- децели, на сто частей -- перцентели.

Использование в анализе вариационных рядов распределения, рассмотренных выше характеристик, позволяет более глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.

Литература

1. Громыко Г.Л. Статистика. -- М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1981.

2. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебн. пособие для вузов. - М.: Аудит, ЮНИТИ, 2000.

3. Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики: Учеб. для вузов. -- М.: Финансы и статистика, 1991.

4. Общая теория статистики: Учеб. для вузов / В.С. Козлов, Я.М. Эрлих, Ф.Г. Долгушевский, П.И. Полушин. -- М.: Финансы и статистика, 1985.

5. Сироткива Т.С., Каманина А.М. Основы теории статистики: Учеб. пособие. -- М.: АО "Финстатинформ", 1995.

6. Статистика: Курс лекций для вузов / Под ред. В.Г. Ионина.- М.: ИНФРА-М, 1996.

7. Теория статистики: Учеб. для вузов / Под ред. Р.А. Шмойловой. -- М.: Финансы и статистика, 1996.

Размещено на Allbest.ru