Парная и множественная корреляция и регрессия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Поволжский государственный технологический университет

Кафедра информационных систем в экономике

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Эконометрика»

на тему

«Парная и множественная корреляция и регрессия»

вариант №1

Выполнил:

студент группы ЭКО-21

направления 080100.62 «Экономика»

Проверил: доц. каф. ИС

Йошкар-Ола

2012



Задача №1

парная регрессия корреляция тренд

Существует связь между начисленной заработной платой и денежными доходами, направленными на прирост сбережений и покупку валюты населения.

По территориям Центрального района известны данные за X год.

Исходные данные

Район	Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %	Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс.р.
Брянская обл.	6,9	289
Владимирская обл.	8,7	334
Ивановская обл.	6,4	300
Калужская обл.	8,4	343
Костромская обл.	6,1	356
Орловская обл.	9,4	289
Рязанская обл.	11,0	341
Смоленская обл.	6,4	327
Тверская обл.	9,3	357
Тульская обл.	8,2	352
Ярославская обл.	8,6	381

Требуется:

1. Построить уравнение парной регрессии y от x.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции.

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии, его параметров.

4. Объяснить экономический смысл полученного уравнения.

Решение

1. В исходной экономической системе из 11 регионов Центрального района определим независимый факторный признак Х и результативный признак У. За независимый признак Х примем начисленную заработную плату в тыс. р., а за результативный - денежные доходы населения, направленные на прирост сбережений и покупку валюты (в % от тыс.р.).

Выдвинем гипотезу Н₀ о том, что между вышеуказанными признаками существует линейная зависимость. Чтобы проверить выдвинутую гипотезу на истинность, воспользуемся статистической функцией ЛИНЕЙН в прикладной программе Microsoft Excel.

Таблица 1

Линейн а сущ.	Линейн а=0
1,001407172	5,002444287	0,024268703	0
0,002065044	0,691294057	0,001395693	#Н/Д
0,048996439	0,195129986	0,967984869	1,549600884
0,463686964	9	302,3523045	10
0,017655211	0,342681403	726,027371	24,01262899

Рис.1. Графики линии тренда зависимости между факторным и результативным признаком.

В результате графического решения (см. прил. 1), получим два линейных уравнения (с наличием свободного члена и с её отсутствием):

y = 4,4949x + 0,01089

y = 0,0243x.

(см. табл. 1 и рис.1). Первое уравнение объясняет исходную статистику на 4,5%, а при втором индекс детерминации R² имеет отрицательное значение, равное -3,42. Это означает, что выдвигаемая нами гипотеза Н₀ не верна, и для анализа факторов необходимо взять функцию, обратную ей, т.е. нелинейную функцию.

Типичным представителем нелинейной функции является статистическая функция ЛГРФПРИБЛ в Microsoft Excel. Используя её при решении нашей задачи, получим уравнение

y = 5*1,001407^x,

которое объясняет исходную статистику на 4,9%. (см. табл. 2)

Таблица 2

Лгрфприбл
1,001407172	5,002444287
0,002065044	0,691294057
0,048996439	0,195129986
0,463686964	9
0,017655211	0,342681403

2. Так как полученная функция не является линейной, то найти линейный коэффициент парной корреляции r_xy не представляется возможным. Для нелинейной регрессии эту задачу выполняет индекс корреляции p_xy, равный арифметическому квадратному корню из индекса детерминации. Итак, получим:

p_{xy = = =} 0,22

3. Теперь оценим статистическую значимость уравнения регрессии

y = 5*1,001407^x

и значения его параметров.

а = 5,002444287 член уравнения, характеризующий начальный уровень изменения функции, т.е. денежные доходы населения, направленные на прирост сбережений и покупку валюты в размере примерно 5% от среднемесячной заработной платы не зависит от уровня этой заработной платы.

1,001407 - параметр b, характеризующий темп изменения функции под влиянием аргумента, т.е. такими темпами должна возрастать доля денежных средств, направленных на сбережения и покупку валюты при росте начисленной заработной платы на 1 тыс.р.

4. Коэффициент детерминации R², равный 0,048996, показывает, что примерно 4,9% изменения функции объясняется изменениями аргумента Х. Это означает, что между факторами существует слабая связь, и существуют другие, более весомые факторы, влияющие на результативный признак У. Этот же самый вывод можно сделать, проанализировав корреляционно-регрессионный анализ для линейной функции

y = 4,4949x + 0,01089,

результаты которого представлены в таблицах 3 и 4.



Таблица 3

Регрессионная статистика
Множественный R	0,212448221
R-квадрат	0,045134246
Нормированный R-квадрат	-0,060961948
Стандартная ошибка	1,577722927
Наблюдения	11

Таблица 4

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1,058931	1,058931	0,425409	0,530553771
Остаток	9	22,40289	2,48921
Итого	10	23,46182

Проанализировав таблицы 3 и 4, можно сделать вывод, что индекс детерминации R² объясняет исходную статистику для линейной функции на 4,5%, что не сильно отличается от подобного показателя для функции ЛГРФПРИБЛ. Значимость по критерию Фишера не приемлема, т.к. Fзнач. = 0,531>0,05, следовательно, качество уравнения регрессии не отвечает предъявленным требованиям.

Рис. 2. График остатков для независимого факторного признака

На полученном графике остатков расстояния между наибольшими и наименьшими значениями функции до линии «0» не равны, а это значит, что метод наименьших квадратов не выполняется. Причиной этого могут быть малое количество наблюдений (необходимо как минимум 14 вместо 11-ти), а также имеет место быть множественная регрессия, о чём выше и шла речь.

Задача №2

Имеются поквартальные данные о составе и численности рынка труда Республики Марий Эл за 2000-2011 гг.

Исходные данные

Периоды времени	Численность всего населения	Число занятых	Численность безработных	Численность экономически активного населения	Число вакантных мест, шт.	Численность пенсионеров по старости и инвалидности
1 кв. 2000г.	741,5	331,6	50,2	381,8	2975	138,22
2 кв. 2000г.	741,2	324,6	48,3	372,9	2950	138,16
3 кв. 2000г.	739,8	319,1	45,9	365	2945	137,90
1 кв. 2001г.	739,5	325,5	39,6	365,1	2930	137,84
2 кв. 2001г.	739,1	330,8	34,1	364,9	2900	137,77
3 кв. 2001г.	735,6	326,3	34,2	360,5	2965	137,12
1 кв. 2002г.	735,2	324,4	40,1	364,5	2985	137,04
2 кв. 2002г.	733,1	321,5	50,6	372,1	3000	136,65
3 кв. 2002г.	732,8	320	47,7	367,7	3100	136,59
1кв. 2003г.	729,8	321,4	44	365,4	3150	136,03
2 кв. 2003г.	726,7	319,1	43,5	362,6	3200	135,46
3 кв. 2003г.	723,5	324,4	41,2	365,6	3200	134,86
1 кв. 2004г.	721,9	338,6	37,1	375,7	3150	134,56
2 кв. 2004г.	720	346,4	34,7	381,1	3100	134,21
3 кв. 2004г.	717,7	345,2	35,8	381	3000	133,78
1 кв. 2005г.	717,3	344,7	36,8	381,5	2900	133,70
2 кв. 2005г.	716,9	343,3	37,6	380,9	2800	133,63
3 кв. 2005г.	713,9	339,4	37,3	376,7	2900	133,07
1 кв. 2006г.	711,6	331,1	37	368,1	3100	132,64
2 кв. 2006г.	711,5	325,0	36,9	361,9	3200	132,62
3 кв. 2006г.	708,1	325,4	36,2	361,6	3300	131,99
1 кв. 2007г.	707,4	335	35,5	370,5	3950	131,86
2 кв. 2007г.	706,7	346,6	34,2	380,8	4025	131,73
3 кв. 2007г.	702,2	342,2	37,1	379,3	3865	130,89
1 кв. 2008г.	703,2	341,7	36,2	377,9	2500	131,08
2 кв. 2008г.	701,6	341,7	34,4	376,1	2334	130,78
3 кв. 2008г.	701	339,3	36,4	375,7	2225	130,67
1 кв. 2009г.	700,4	327,6	39,7	367,3	1883	130,55
2 кв. 2009г.	700,1	323,7	42,5	366,2	1695	130,50
3 кв. 2009г.	700,2	326,8	41,8	368,6	1846	130,52
1 кв. 2010г.	699,6	334,1	41,2	375,3	1976	130,41
2 кв. 2010г.	698,8	337,2	39,7	376,9	2460	130,26
3 кв. 2010г.	697,2	337,2	38,2	375,4	2467	129,96
1 кв. 2011г.	696,4	337	37,5	374,5	3276	129,81
2 кв. 2011г.	695,5	337,1	37,3	374,4	3498	129,64
3 кв. 2011г.	696	338,6	36,9	375,5	3537	129,73

Требуется:

1. Построить гипотезу о влиянии факторов на результативный признак.

2. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции, на их основе отобрать информативные факторы в модель.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; с помощью F-критерия оценить статистическую надежность уравнения регрессии, пояснить их экономический смысл.

4. Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10%.

Решение:

1. За результативный признак У примем численность экономически активного населения на территории Республики Марий Эл, а за независимые факторные признаки - относительные показатели рынка труда:

а) Уровень вакантности (Х1);

б) Коэффициент напряженности на рынке труда (Х2);

в) Коэффициент занятости (Х3);

г) Коэффициент экономической нагрузки на 1 чел. экономически активного населения (Х4);

д) Уровень экономической активности населения (Х5);

е) Коэффициент пенсионной нагрузки (Х6);

ж) Коэффициент безработицы (Х7).

Выдвинем гипотезу о наличии линейной связи между факторными и результативным признаками.

2. Далее рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции, используя инструмент анализа данные Корреляция, результаты вычислений которого представлены в табл. 5.

Таблица 5

	У	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
У	1
Х1	0,064228	1
Х2	-0,09322	0,867839	1
Х3	0,287948	-0,01843	-0,50702	1
Х4	-0,77689	-0,38238	-0,09273	-0,48542	1
Х5	-0,28225	0,013542	0,502654	-0,99991	0,484661	1
Х6	-0,77689	-0,38238	-0,09273	-0,48542	1	0,484661	1
Х7	-0,28795	0,01843	0,507021	-1	0,485424	0,999909	0,485424	1

Рассмотрим факторы Х₁-Х₇. Коэффициент парной корреляции независимых признаков Х₁ и Х₂ и результативного признака У равен 0,064 и -0,093 соответственно, из чего можно сделать вывод о слабой связи между ними. В то же время корреляционная связь между факторами Х₁ и Х₂ весьма значимая (0,867), что говорит о невозможности одновременного рассмотрения уровня вакантности и коэффициента напряжённости на рынке труда в модели. Исключаем эти признаки из перечня факторов.

Далее с помощью матрицы значений линейных коэффициентов и инструмента обработки данных Регрессия, последовательно исключаем факторы Х₄, Х₅, Х₆ и Х₇. В результате, вместо уравнения множественной регрессии получим линейное уравнение парной регрессии.

3. Чтобы получить искомую модель и оценить значимость ее параметров, воспользуемся инструментом анализа данных Регрессия, результаты вычислений которой представлены в таблицах 6-8.

Таблица 6

Регрессионная статистика
Множественный R	0,287947507
R-квадрат	0,082913767
Нормированный R-квадрат	0,05333034
Стандартная ошибка	6,722346287
Наблюдения	33

Коэффициент парной корреляции примерно равен 0,29, по которой можно судить о наличии связи между фактором Х₃ и У. Индекс детерминации объясняет исходную статистику на 8%, иными словами, 8% статистики (связи между факторным и результативным признаком) объясняется линейным уравнением.

Для проверки значимости показателя R² представим результаты дисперсионного анализа (см. табл. 7).

Таблица 7

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	126,6542967	126,6542967	2,80271	0,104167049
Остаток	31	1400,888128	45,1899396
Итого	32	1527,542424

Значение уровня значимости F-критерия Фишера, соответствующее расчетному значению, равно 0,10416 < 2,8, следовательно, качество уравнения регрессии отвечает предъявленным требованиям.

В таблице 10 представим результаты регрессионного анализа для оценки статистической значимости параметров регрессионной модели.



Таблица 8

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пер-е	236,33441	80,87481236	2,92222509	0,006434	71,38913	401,2797
Коэф-т занятости, Х3	1,5151932	0,905063244	1,67412963	0,104167	-0,330695	3,361082

Исходя из таблицы, коэффициента детерминации, равной 8%, а также из невозможности выполнения метода наименьших квадратов (рис. 1), сделаем вывод, что выдвигаемая нами гипотеза о существовании линейной связи между факторным и результативным признаками не верна, т.е. между факторами Х и У существует нелинейная связь. В итоге, уравнение будет выглядеть:

у = 236,334 + 1,51519^х

Иными словами, ежеквартальный темп роста коэффициента занятости в среднем равен значению 1,51519.

Рис. 3. График остатков фактора Х₃, коэффициента занятости за 2000-2011гг.

t - статистика, являющаяся отношением коэффициентов к их стандартным ошибкам, в обоих случаях больше 1:

t₁ = = 2,92 > 1;

t₂ = = 1,67 > 1.

Следовательно коэффициенты значимы и принимаются в регрессионную модель.

Таким образом, можно сделать вывод, что из относительных показателей, описывающих рынок труда в Республике Марий Эл, численность экономически активного населения лучше всего характеризует коэффициент занятости, т.к. он имеет наибольшую корреляционную связь с результативным признаком, и, соответственно, наиболее чувствителен к различным изменениям в статистике.

Коэффициент занятости определяется как отношение числа занятых к числу экономически активного населения. Этот показатель напрямую влияет социальную стабильность в нашем обществе. Несмотря на тенденцию к уменьшению этого индекса в последние годы, необходимы дополнительные инструменты её минимизации, т.к. это обеспечит социальную стабильность Марий Эл. Это вопрос о создании рабочих мест или условий дополнительного заработка.

Задача №3

Импорт продукции страны за 1966-1986 гг. характеризуется данными, представленными в таблице 9.

Таблица 9

Год	Импорт страны, млн. у.е.
1966	337
1967	351
1968	400
1969	474
1970	533
1971	581
1972	633
1973	811
1974	1109
1975	1061
1976	1261
1977	1499
1978	1570
1979	1866
1980	2125
1981	2537
1982	2694
1983	2864
1984	3277
1985	3379
1986	3187

Требуется:

1. Построить графики ряда динамики и трендов.

2. Провести расчет параметров линейного и экспоненциального трендов.

3. Выбрать наилучший вид тренда на основании графического изображения и значения коэффициента детерминации.

Решение:

Примем за независимый факторный признак Х рассматриваемый период времени - год, а за результативный признак У - импорт продукции страны в млн. у.е.

В прикладной программе Microsoft Excel построим график динамики результативного признака в течение рассматриваемого периода.



Рис. 4. Динамика импорта продукции страны за 1966-1986 гг.

Полученный график позволяет сделать вывод о существовании тенденции в исходном временном ряде и необходимости определения тренда.

Далее, учитывая выборку в количестве 21 года, рассчитаем количество лагов (временных промежутков) для вычисления коэффициентов автокорреляции. Количество лагов

ф = 21/4 = 5.

Результаты расчетов представим в таблице 10.

Таблица 10

Год	Импорт страны, млн. у.е.	ф=1	ф=2	ф=3	ф=4	ф=5	Коэффициент автокорреляции	Лаг
1966	337						0,989986089	ф=1
1967	351	337					0,98129679	ф=2
1968	400	351	337				0,982064594	ф=3
1969	474	400	351	337			0,969786309	ф=4
1970	533	474	400	351	337		0,957451801	ф=5
1971	581	533	474	400	351	337
1972	633	581	533	474	400	351
1973	811	633	581	533	474	400
1974	1109	811	633	581	533	474
1975	1061	1109	811	633	581	533
1976	1261	1061	1109	811	633	581
1977	1499	1261	1061	1109	811	633
1978	1570	1499	1261	1061	1109	811
1979	1866	1570	1499	1261	1061	1109
1980	2125	1866	1570	1499	1261	1061
1981	2537	2125	1866	1570	1499	1261
1982	2694	2537	2125	1866	1570	1499
1983	2864	2694	2537	2125	1866	1570
1984	3277	2864	2694	2537	2125	1866
1985	3379	3277	2864	2694	2537	2125
1986	3187	3379	3277	2864	2694	2537
		3187	3379	3277	2864	2694
			3187	3379	3277	2864
				3187	3379	3277
					3187	3379
						3187

Из таблицы видно, что наивысшее значение коэффициентов корреляции получено для первого порядка. Это означает, что для исследуемого временного ряда следует прогнозировать только тенденцию. Этот факт можно рассмотреть также и на графике коэффициентов автокорреляции (см. рис. 5)

Рис. 5. График коэффициентов автокоррелции

Для определения параметров линейного тренда по методу наименьших квадратов воспользуемся функцией ЛИНЕЙН, а для определения экспоненциального тренда - функцией ЛГРФПРИБЛ (см. табл. 11)

Таблица 11

ЛИНЕЙН	ЛГРФПРИБЛ
167,1909	-328819	1,135346	1,4E-106
9,032087	17847,49	0,003725	7,36058
0,947463	250,6302	0,983902	0,103364
342,6487	19	1161,274	19
21523656	1193495	12,40714	0,202997

В результате получим 2 уравнения:

у = -328819 + 167,19t

- ежегодно импорт продукции страны в среднем увеличивается на сумму 167,19 млн. у.е.

у = (1,4Е-106) + 1,135^t

- ежегодно импорт продукции страны в среднем увеличивается на сумму 1,135 млн. у.е.

Сравнивая коэффициент детерминации, видим, что лучше исходную статистику объясняет нелинейная функция (R² = 98,39%). Чтобы убедиться в не выполнении метода наименьших квадратов (наименьшая и наибольшая величина остатков не симметричны относительно линии «0») и для отвержения линейной функции, построим график остатков исходной статистики (см. рис. 6).



Рис. 6. График остатков

Теперь построим график функции полинома.

Рис. 7. График функции полинома

Получим, что лучше всего связь между факторами Х (годы) и У (импорт страны в млн. у.е.) объясняет нелинейная функция ЛГРФПРИБЛ, а линейная не применима ввиду невыполнения метода наименьших квадратов. А для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение. К примеру, полином 3-ей степени, коэффициент детерминации при котором равен 98,91%.

Размещено на Allbest.ru