Многофакторные модели на примере Фамы и Френча; арбитражной модели Росса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эссе по портфельному управлению

на тему: Многофакторные модели на примере Фамы и Френча; арбитражной модели Росса

Принципы построения многофакторной модели.

Появление многофакторных моделей связано с выделением множества макроэкономических факторов риска, оказывающих систематическое влияние на доходность. Существуют финансовые инструменты, которые по-разному реагируют на изменение макроэкономических показателей. Например, доходность акций компаний, выпускающих автомобили, более чувствительна к общему состоянию экономики, а акций ссудосберегательных учреждений - к уровню процентных ставок. Поэтому в ряде случаев более точным может оказаться прогноз доходности актива на основе многофакторной модели, включающей несколько переменных, от которых зависит доходность данного актива. Например, если инвестор полагает, что доходность акции зависит от двух составляющих - общего объема выпуска продукции и процентных ставок, то зависимость между ее доходностью и данными индексами примет вид:

ri= yi+вi*I1+вi2*I2+i,(1)

где ri-доходность i-й акции;

уi - ожидаемая доходность i-й акции при отсутствия влияния на нее рыночных факторов;

I1 - индекс выпуска продукции;

12 - индекс процентных ставок;

вi1, вi2 - коэффициенты, которые говорят о влиянии соответственно

индексов I1 и I2 на доходность акции;

i - случайная ошибка; она показывает, что доходность бумаги может изменяться в некоторых пределах в связи со случайными обстоятельствами, т. е. независимо от принятых индексов.

Для определения ожидаемой доходности акции модель (1) следует использовать в форме:

E(ri) = yl+вi1*E(I1)+вi2*E(I2) (2)

где E(ri) - ожидаемая доходность i-й акции;

E(I1), E(I2) - ожидаемые значения первого и второго индексов.

В модели, представленной формулой (1), между индексами I1 и I2 может наблюдаться некоторая корреляция. Данный факт не является помехой для использования ее в форме (2) при определении ожидаемой доходности акции. Однако может возникнуть необходимость получить модель (1) для случая не коррелируемости индексов. Это позволит, в частности, использовать более простой подход для нахождения эффективной границы портфелей, сократив число вычислений. Рассмотрим прием исключения коррелированности индексов в двухфакторной модели (1).

На основе прошлых данных статистики построим регрессию индекса I2 на I1:

I2=aI2+в21*I1+ I2(3)

где аI2 - ожидаемое значение индекса I2 при отсутствии влияния на него индекса I1;

в21 - коэффициент, который говорит о влиянии индекса I1 на I2;

I2 - случайная ошибка.

Выделим в уравнении (3) величину независимую от I1. Она представлена случайной переменной (аI2 + I2). Поэтому, если ее определить как второй индекс в уравнении (1), то он будет не коррелирован с индексом I1. Обозначим новый второй индекс как 1'2. Он равен:

1'2=aI2+I2=I2-в21*I1(4)

Из равенства (4) следует, что ожидаемое значение индекса 1`2 равно аI2. Если необходимо задать новый индекс с нулевым ожидаемым значением, то равенство (4) следует уменьшить на величину аI2:

l'02=I2 =I2-в21*I1-al2

или

l'02=I2-в21*I1-al2 (5)

где l'02- индекс 1'2 с нулевым ожидаемым значением.

Дальнейшее построение модели проведем для последнего случая, т.е. на основе равенства (5).

Выразим из равенства (5) 12:

I2= l'02+в21*I1+al2

Подставим его значение в (1):

ri=yi+вi2*I1+вi2*( l'02+ в21*I1+al2) + i

или

ri = (yi + вi2*aI2)+ (вi1 + вi2*в21)I1 + вi2*I`02 + i, (6)

В равенстве (6) обозначим (yi + вi2*aI2) как бi , (вi1 + вi2*в21) как bi1 и вi2 как bi2, и для единообразия модели 1`02 как I2. Тогда уравнение (6) примет вид:

ri=ai+bi1*I1+bi2*I2+ i, (7)

В модели (7) индекс I1 - это прежний индекс выпуска продукции, индекс I2 представляет собой индекс разности между фактическими процентными ставками и ожидаемыми процентными ставками при данном ожидаемом значении индекса выпуска продукции I1. Соответственно коэффициент bi2 показывает степень реакции доходности акции к данному индексу. Его также можно определить как степень чувствительности доходности акции к изменению процентных ставок при фиксированном значении индекса выпуска продукции. Уравнение (7) позволяет упростить процесс определения ковариаций активов. Поскольку индексы не коррелированы между собой, не коррелированы значения i и j как между собой, так и с индексами, то ковариация i-го и j -го активов равна:

covij = cov(бi + bi1*I1 + bi2*I2 +i; бj + bj1*I1 + bj2*I2 +j) = cov(bi1*I1;bj1*I1)+соv(bi2*I2; bj2*I2) = bi1*bj1*cov(I1;I1)+ bi1*bj2*cov(I2;I2)

cov ij=bi1*bj1*I1+bi2*bj2*I2

Соответственно риск актива как сумма независимых случайных величин составляет:

i=var(бi+bi1*I1+bi2*I2+i)=i1*I1+i2*I2+i

где I1,I2 - дисперсии значений первого и второго индексов;

i - дисперсия нерыночного риска актива.

Модель Фамы и Френча

Одной из распространённых многофакторных моделей САРМ является 3-х факторная модель Е. Фамы и К. Френча (1993 г.). Общий вид модели представлен в следующем виде:

Где: ri-доходность i-го актива;

rf -безрисковая ставка;

r-доходность рыночного портфеля;

rsmb- разность между доходностями средневзвешенных портфелей акций малой и большой апитализации;

rhml - разность между доходностями средневзвешенных портфелей акций с большими и малыми отношенияч балансовой стоимости к рыночной стоимости;

вi1, вi2, вi3 - коэфициенты, которые говорят о влиянии параметров ri , rm, rf на доходност i- го актива;

гi- ожидаемая доходность актива при отсутствия влияния на него 3-х факторов риска; е- ошибка.

Модель Фамы и Френча говорит о том , что для оценки ожидаемой доходности активов не достаточно учитывать только доходность рыночного портфеля а следует также учесть факторы rsmb и rhml .

Арбитражная модель Росса

Модель арбитражного ценообразования возникла в 70-х годах двадцатого века и используется для определения стоимости ценной бумаги. Эта модель была предложена С.Россом и является альтернативной моделью ценообразования на финансовых рынках. В отличие от модели оценки капитальных активов У.Шарпа (CAMP), где используется только один фактор (колебания доходности рыночного портфеля) для определения будущей доходности ценной бумаги, модель Росса использует множество факторов.

Общая формула модели арбитражного ценообразования следующая:

Где: r-ожидаемая доходность ценной бумаг;

r₀-доходность безрискового актива;

r₁…r₂- премия (доходность) за риск;

в₁…в_n - чувствительность ожидаемой доходности акции на изменение фактора риска.

Для того что бы рассчитать доходность ценной бумаги необходимо, сначала, выделить факторы риска, которые влияют на ожидаемую доходность ценной бумаги.

Как правило, факторы можно разделить на четыре группы:

1. Финансовые показатели компании, которые напрямую отражают стоимость активов. Чем лучше эти показатели, тем выше курсовая стоимость акции.

2. Макроэкономические показатели - экономические показатели страны, которые позволяют судить о страновых тенденциях. Повышение макроэкономических индикаторов повышает инвестиционную привлекательность страны и следовательно повышает стоимость многих компаний.

3. Глобальные показатели - мировые фондовые индексы. Современная экономика характеризуется глобализационными процессами: слияние и взаимовлияние национальных экономик. Поэтому в эту группу входят различные мировые фондовые индексы.

4. Котировки иностранных валют.

И так, мы разбили все факторы риска на четыре основные группы общее уравнение, связывающее их с ожидаемой доходностью следующее:

Где:

FP -вектор финансовых показателей фирмы;

МА- вектор макроэкономических показателей страны;

MFI- вектор показателей фондовых индексов;

V- вектор валютных котировок;

б,в,г,ф -векторы коэффициентов чувствительности;

о- вектор ошибки.

Определим, экспертным путем, основные факторы риска данной модели.

Финансовые показатели

Вектор финансовых показателей состоит из 12 параметров: Внеоборотные активы, Прибыль от продаж, Оборотные активы, Чистая нераспределенная прибыль, Долгосрочные обязательства, Убытки, Капитал и резервы, Чистая выручка, Себестоимость, Балансовая прибыль, Амортизация, Краткосрочные обязательства.

Макроэкономические показатели

Макроэкономические показатели отражают развитие всей страны в целом. Вектор макроэкономических показателей состоит из: безработица, инфляция, инвестиции государственные расходы, потребительские расходы, экспорт, импорт, ставка рефинансирования.

Глобальные показатели

Вектор глобальных показателей состоит из мировых промышленных индексов: S&P500, CAC, DJI, Nikkei и DAX.

Расчет коэффициентов чувствительности

Для каждого значения, выше указанных, векторов находим коэффициент детерминации (R²), который показывает, как сильно выбранный показатель описывает изменения доходности ценной бумаги. Полученный показатель будет характеризовать степень чувствительности доходности на изменения данного показателя. Можно указать пороговое значение для чувствительности, если чувствительность ниже определенного значения, то этот показатель отбрасывается.

Сложности построения модели арбитражного ценообразования

Основные сложности в построении модели арбитражного ценообразования заключаются в определении необходимого количества факторов, влияющих на доходность акции. Другая сложность заключается в том, что значение важности факторов со временем может меняться, что лишает модель прогностических свойств. Следующая проблема модели - это выбор ключевых факторов, использование для этих целей экспертных оценок, может привести к уменьшению описательных свойств модели. Так же в модели арбитражного ценообразования всегда существует риск не включения важного фактора риска.

Пример:

Портфель инвестора состоит из трех активов, которые восприимчивы к двум факторам риска. Ожидаемая доходность первого фактора риска 15%, второго - 12%, ставка без риска - 10%. Коэффициенты чувствительности к факторам риска для первого актива равны соответственно 2 и 1,5, второго актива - 1,25 и 0,6, третьего актива - 1,5 и 0,9. Ожидаемая доходность первого актива равна 18%, второго - 16%, третьего - 12%. Определить, можно ли получить арбитражную прибыль.

Решение.

Найдем уд. веса каждого актива в арбитражном портфеле, решив следующую систему уравнений:

2+1,25+1,5= 0 (1)

1,5+0,6+= 0

Определитель матрицы линейных уравнений (1) равен нулю:

=0

Поскольку матрица является однородной, то равенство ее определителя нулю говорит о том, что данная система имеет бесконечно многорешений. Ранг матрицы равен 2, а порядок 3. Для решения такой системы выбирают количество независимых переменных, которое равно разности между порядком матрицы и ее рангом. Остальные переменные являются зависимыми и находятся на основе произвольно задаваемых значений независимых переменных. В нашем примере независимой переменной выступает соответственно только одна переменная. Пусть это будет значение Д0,. Зададим его равным 0,2. Тогда получим одно из возможных решений системы (1): 0,2; 0,4; =-0,6

Определим ожидаемую доходность арбитражного портфеля:

0,2-18% + 0,4-16%-0,6-12% = 2,8%

Поскольку получен положительный результат, то данный портфель является арбитражным. Допустим, что общая стоимость портфеля инвестора составляет 10 млн. руб., в том числе первого актива - 1 млн. руб., второго - 2 млн. руб., третьего - 7 млн. руб. Для формирования арбитражного портфеля инвестору необходимо купить дополнительно первого актива на сумму:

10млн.руб. *0,2 = 2млн.руб.,

второго актива на сумму:

10млн.руб. * 0,4 = 4млн.руб.

и продать третий актив (об этом говорит знак минус) для финансирования данной стратегии на сумму:

10млн.руб. * (- 0,6) = -6млн.руб.

Доходность первоначального портфеля инвестора составляла:

0,1*18%+ 0,2*16%+ 0,7*12% = 13,4%

Доходность нового портфеля равна:

0,3* 18% + 0,6 *16%+ 0,1*12% = 16,2%,

т.е. на 2,8% больше, как и было определено выше.

Таким образом, если инвестор полагает, что нерыночный риск портфеля будет незначительным, то он может повысить ожидаемую доходность портфеля за счет определения арбитражных возможностей. В результате возникшего дополнительного спроса на первый и второй активы их цены должны вырасти и, следовательно, ожидаемые доходности упасть. Напротив, цена третьего актива снизится вследствие увеличения его предложения на рынке, и его ожидаемая доходность возрастет. Инвесторы будут стремиться воспользоваться арбитражными возможностями, поэтому вскоре цены и доходности финансовых активов установятся на равновесном уровне. Например, ожидаемая доходность первого актива согласно APT составит: ценообразование рыночный доходность арбитражный

10 + 2*(l5-10)+l,5*(l2-10) = 23%

В заключение решения данной задачи вернемся еще раз к системе уравнений (1). Она являлась квадратной, так как количество уравнений соответствовало количеству неизвестных. Арбитражная модель предполагает формирование широко диверсифицированного портфеля. Поэтому количество неизвестных, т.е. уд. весов бумаг в арбитражном портфеле, будет превышать количество уравнений, которое, определяется количеством факторов риска плюс еще одно уравнение. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Поэтому алгоритм ее решения следующий: определяется количество независимых переменных. Им задаются произвольные значения, и на их основе вычисляются значения зависимых переменных. Поскольку независимым переменным можно задавать любые веса, то, возможно бесчисленное множество решений. Так как задача состоит в максимизации ожидаемой доходности портфеля, то, согласно формальному подходу, следовало бы выбрать наибольшие положительные веса для активов с более высокой ожидаемой доходностью и наибольшие отрицательные веса для активов с наименьшей ожидаемой доходностью, чтобы за их счет приобрести первые активы. Например, если бы в нашей задаче инвестор полностью продал менее доходный третий актив, т.е. задал его уд. вес равным минус один, то первый актив следовало бы купить в уд. весе 0,33, а второй 0,67. Тогда ожидаемая доходность арбитражного портфеля составила бы 4,67%. Но такое решение не является оптимальным. По условиям модели портфель должен быть максимально диверсифицирован, чтобы исключить специфический риск. Если мы уменьшаем степень диверсификации, то увеличиваем нерыночные риски. В последнем случае мы исключили третью бумагу и добавили первую и вторую. В результате возросли связанные с ними диверсифицируемые риски. Поэтому при корректировке состава первоначального портфеля существуют ограниченные возможности варьирования уд. весами активов, чтобы портфель не стал обладать существенным специфическим риском.

В заключении можно сказать, что многофакторные модели устанавливают зависимость между ожидаемой доходностью актива и несколькими переменными, которые оказывают на нее влияние, и каждая модель имеет свои преимущества и недостатки.

Размещено на Allbest.ru