Размещено на http://www.allbest.ru

Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет

Факультет экономики и менеджмента

Кафедра «Экономика и менеджмент в энергетике и природопользовании»

Курсовая работа

по дисциплине «Статистика»

на тему «Статистический анализ динамических рядов. Прогнозирование»

Выполнил

студент гр. 3073/2

Митина Елена

Пономарева О.А.

Санкт-Петербург

2014



Введение

Изменение социально-экономических явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов.

Ряд динамики - это ряд значений тех или иных показателей, которые представлены в определенной хронологической последовательности.

Каждый динамический ряд содержит две составляющие:

1) показатели периодов времени (годы, кварталы, месяцы, дни или даты);

2) показатели, характеризующие исследуемый объект за временные периоды или на соответствующие даты, которые называют уровнями ряда.

Различают интервальные и моментные ряды динамики. Динамический интервальный ряд содержит значения показателей за определенные периоды времени. В интервальном ряду уровни можно суммировать, получая объем явления за более длительный период, или так называемые накопленные итоги. Динамический моментный ряд отражает значения показателей на определенный момент времени (дату времени).

В данной курсовой работе будут рассмотрены объемы экспорта и импорта Дании с 1977 по 2006 год, и будет проведен прогноз на 2007 и 2008 года, так как значение объемов экспорта и импорта на данные года нам известны, и представляется возможным сопоставить теоретические прогнозные значения с фактическими.



1. Исходные данные

	Экспорт Дании	Импорт Дании
1977	10,0651	13,2651
1978	11,8834	14,8084
1979	14,696	18,4014
1980	16,749	19,3402
1981	16,0946	17,5798
1982	15,3967	16,6917
1983	16,0533	16,266
1984	15,9801	16,6126
1985	17,0902	18,2453
1986	21,2856	22,8784
1987	25,6754	25,4986
1988	28,5024	27,0329
1989	29,5643	27,8014
1990	37,0372	33,2482
1991	37,8862	34,0572
1992	41,6757	35,5211
1993	38,2065	31,3306
1994	43,12	36,5887
1995	51,4781	45,7281
1996	51,4799	45,0039
1997	49,1186	44,4063
1998	48,8392	46,3301
1999	50,3994	44,5193
2000	50,3802	44,356
2001	51,0677	44,1238
2002	56,3035	48,8865
2003	65,267	56,2165
2004	75,6199	66,8863
2005	83,5615	74,2589
2006	91,7126	85,0998
2007	102,857	98,7917
2008	121,6625	116,2686



Рис.1. Динамика объемов экспорта, импорта за период с 1977 по 2008 гг.

2. Расчет и анализ показателей изменения уровней динамического ряда

Анализ динамических рядов социально-экономических явлений обычно начинают с рассмотрения статистик, расчет которых не требует какой-либо предварительной обработки анализируемого динамического ряда. Речь идет о так называемых показателях динамического ряда, позволяющих пояснить характер, скорость, интенсивность и направление развития изучаемого явления за определенный временной период.

В результате того или иного сопоставления уровней динамического ряда формируется система абсолютных и относительных показателей динамики, к числу которых относятся абсолютные приросты (и их среднее значение), ускорение, коэффициенты роста (и их среднее значение), коэффициенты прироста (и их среднее значение), абсолютное значение одного процента прироста.

Сравниваемый уровень динамического ряда называется текущим, а уровень, с которым производится сравнение, базисным. В зависимости от того, что принимается за базу, сравнения будут получены различные показатели динамики. Приняв за базу сравнения некоторый постоянный уровень, например y₁ получим серию базисных показателей, которые характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда от первого периода (или момента времени) до текущего периода.

Если производится сравнение текущего уровня (y_t) с непосредственно предшествующим (y_t-1), то получаются цепные показатели динамики.

Абсолютным приростом называется разность между значениями уровней данного периода и предшествующего (либо базисного). Он показывает, насколько уровень текущего периода выше или ниже предшествующего и выражает абсолютную скорость роста или снижения уровней ряда:

_t -= y_t - y_t-1,

где y_t - уровень ряда динамики в момент времени t;

y_t-1 - уровень ряда динамики в момент времени t-1;

_t - абсолютный прирост.

Темп роста (коэффициент роста) - это отношение последующего уровня к предыдущему или какому-либо другому, принятому за базу сравнения. Темп роста оценивает, во сколько раз уровень текущего периода выше или ниже уровня базисного периода, или сколько процентов он составляет по отношению к базисному.

Темп роста вычисляется по формуле:

T_p = y_t /y_t-1 - цепной темп роста;

T_p = y_t /y_const - базисный темп роста,

где y_const - база сравнения ;

Величина темпа роста больше единицы показывает увеличение уровня текущего периода по сравнению с базисным. Величина темпа роста, равная единице, показывает, что уровень текущего периода по сравнению с базисным не изменился, меньше единицы - уменьшение уровня текущего периода. Темп роста всегда имеет положительный знак. Цепные темпы роста характеризуют интенсивность изменения уровней ряда.

Темп прироста - это отношение абсолютного прироста к базе сравнения. Этот показатель характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени:

T_np = _t / y_t-1,

где _t - абсолютный прирост данного уровня;

y_t-1 - базисный уровень (уровень предыдущего периода).

Темп прироста, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличился или уменьшился текущий уровень по сравнению с базисным, принятым за 100%, или, иначе, сколько процентов составляет абсолютный прирост данного уровня по отношению к базисному уровню. При темпах роста, меньше 100% или единицы (уменьшение уровней ряда), получаем отрицательные темпы прироста, т.е. темпы снижения.

	Экспорт Дании	Экспорт Дании_1	Цепной абс.прирост	Базисный абс.прирост	Цепной коэф.роста	Базисный коэф.роста	Базисный темп роста	Базисный темп прироста
1	123,18			0,00		1,00	100,00	0,00
2	145,85	123,18	22,67	22,67	1,18	1,18	118,40	18,40
3	186,36	145,85	40,52	63,18	1,28	1,51	151,29	51,29
4	225,57	186,36	39,20	102,39	1,21	1,83	183,12	83,12
5	238,72	225,57	13,15	115,54	1,06	1,94	193,79	93,79
6	216,44	238,72	-22,27	93,26	0,91	1,76	175,71	75,71
7	205,64	216,44	-10,80	82,46	0,95	1,67	166,94	66,94
8	223,98	205,64	18,34	100,80	1,09	1,82	181,83	81,83
9	218,82	223,98	-5,16	95,63	0,98	1,78	177,64	77,64
10	227,16	218,82	8,34	103,98	1,04	1,84	184,41	84,41
11	254,12	227,16	26,96	130,94	1,12	2,06	206,30	106,30
12	322,43	254,12	68,31	199,25	1,27	2,62	261,75	161,75
13	363,81	322,43	41,38	240,63	1,13	2,95	295,35	195,35
14	393,59	363,81	29,78	270,41	1,08	3,20	319,53	219,53
15	421,73	393,59	28,14	298,55	1,07	3,42	342,37	242,37
16	448,16	421,73	26,43	324,98	1,06	3,64	363,83	263,83
17	464,77	448,16	16,61	341,59	1,04	3,77	377,31	277,31
18	512,63	464,77	47,85	389,45	1,10	4,16	416,16	316,16
19	584,74	512,63	72,12	461,56	1,14	4,75	474,71	374,71
20	625,07	584,74	40,33	501,89	1,07	5,07	507,45	407,45
21	689,18	625,07	64,11	566,00	1,10	5,59	559,49	459,49
22	682,14	689,18	-7,04	558,96	0,99	5,54	553,77	453,77
23	695,80	682,14	13,66	572,62	1,02	5,65	564,86	464,86
24	781,92	695,80	86,12	658,74	1,12	6,35	634,78	534,78
25	729,10	781,92	-52,82	605,92	0,93	5,92	591,90	491,90
26	693,10	729,10	-36,00	569,92	0,95	5,63	562,67	462,67
27	724,77	693,10	31,67	601,59	1,05	5,88	588,38	488,38
28	818,52	724,77	93,75	695,34	1,13	6,64	664,49	564,49
29	907,16	818,52	88,64	783,98	1,11	7,36	736,45	636,45
30	1038,27	907,16	131,11	915,09	1,14	8,43	842,89	742,89
31	1162,98	1038,27	124,71	1039,80	1,12	9,44	944,13	844,13
32	1336,37	1162,98	173,39	1213,19	1,15	10,85	1084,89	984,89
33		1336,37

Рис.2. Рабочая область с рассчитанными показателями изменений уровней динамического ряда.

Рис.3.Динамика базисных коэффициентов роста импорта Дании с 1977 по 2006 гг.



Рис.4.Динамика базисных абсолютных приростов импорта Дании с 1977 по 2006 гг.

Рис.5.Динамика цепных коэффициентов роста экспорта Дании за период с 1977 по 2006 гг.

Рис.6.Динамика базисных коэффициентов роста экспорта Дании за период с 1977 по 2006 гг.



3. Периодизация рядов динамики

Периодизация ряда динамики - это разделение его на временные этапы, однородные с точки зрения основной тенденции развития явления. Это, своего рода, типологическая группировка во времени.

Динамические ряды отражают развитие какого-либо явления или процесса за длительные периоды времени. На анализируемом временном отрезке могут происходить существенные качественные изменения условий развития изучаемого объекта, что, в свою очередь, приводит к изменению основной тенденции изменения уровней ряда.

Выделение однородных временных отрезков необходимо: при расчете средних показателей динамики, поскольку средняя величина отражает типический уровень только тогда, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности; при построении моделей ряда; при осуществлении экстраполяции, предполагающей продление в будущее тенденции, сформировавшейся в прошлом.

Проведение периодизации должно основываться, прежде всего, на всестороннем анализе внутренних причин и внешних условий существования и развития объекта изучения. На смену тенденции развития социально-экономических явлений могут повлиять определенные исторические события, смена системы управления и регулирования экономики, изменение хозяйственного механизма, кардинальные изменения в технике и технологии производства и т. п. Таким образом, теоретический анализ - отправная точка в периодизации рядов динамики. Однако, основываясь только на этом подходе, сложно установить точные временные границы выделяемых периодов.

В отдельных случаях, когда есть данные о двух взаимосвязанных рядах, один из которых построен на основе признака-фактора, а другой - признака-результата, используется метод параллельной периодизации. Его применение возможно:

во-первых, если установлена тесная корреляционная зависимость между рядами;

во-вторых, достаточно четко определяются точки изменения основной тенденции развития в ряду, построенном на основе признака-фактора.

При наличии этих условий с большой степенью вероятности можно ожидать, что периоды смены закономерности изменения признака-результата будут соответствовать периодам, выделенным по ряду, отражающему изменение признака-фактора.

О необходимости периодизации говорит смена знака при показателях скорости изменения уровней ряда или многократное увеличение (уменьшение) значений характеристик интенсивности. Моменты времени, в которые наблюдаются эти изменения, можно считать границами выделяемых периодов.

Я выбрала период с 2001 года по 2008 год.

	экспорт	импорт
2001	51,0677	44,1238
2002	56,3035	48,8865
2003	65,267	56,2165
2004	75,6199	66,8863
2005	83,5615	74,2589
2006	91,7126	85,0998
2007	102,857	98,7917
2008	121,6625	116,2686

Рис.7.Данные по объемам экспорта, импорта за период с 2001 по 2008 гг.



Рис.8. Динамика объема экспорта, импорта за период с 1993 по 2006 гг.

4. Средние показатели динамики

Cредние показатели необходимы для получения обобщающих оценок изменения уровней временного ряда.

Анализируя временные ряды, можно рассчитать средний уровень ряда, средний абсолютный прирост и средний темп роста (средний темп прироста определяется на основании темпа роста).

Средний уровень ряда рассчитывается по-разному для моментных и интервальных рядов динамики. Средний уровень интервального ряда вычисляется по формуле средней арифметической простой:

Средний уровень моментного ряда определяется по формуле, получившей название средней хронологической:

Обобщающим показателем скорости изменения явления во времени служит средний абсолютный прирост - среднее значение цепных абсолютных приростов за равные промежутки времени.

Если абсолютные приросты обозначить через ₁, ₂, ₃, ..., то средний абсолютный прирост, обозначаемый через , может быть найден по формуле:

где п-1 - число цепных показателей абсолютного прироста за период.

Так как _t равна разности между последним и первым уровнями у_п_у₁, то средний абсолютный прирост можно найти по формуле:

.

При исчислении среднего темпа роста нужно учитывать, что интенсивность развития явлений идет по правилам сложных процентов, где накладывается прирост на прирост. Поэтому средний темп роста принято вычислять по формуле средней геометрической на основании цепных темпов роста.

Если через T_p1, T_p2, T_p3, ... , Т_р обозначить цепные темпы роста за равные промежутки, то средний темп роста выразится формулой:

,

где Т_р - средний темп роста;

n-1 - число темпов роста.

Поскольку цепной темп роста является отношением последующего уровня ряда к непосредственно предшествующему, так что ; ,..., в формуле средней геометрической подкоренное выражение преобразуется:

.

Следовательно, средний темп роста может быть представлен формулой:

где п - число уровней;

у_п - уровень последнего года (периода);

у₁ - уровень первого года (периода).

Формула средней геометрической взвешенной в общем виде будет иметь вид:

,

где t - интервал времени, в течение которого сохранялся данный темп роста;

t - сумма отрезков времени.

Для расчета средних темпов прироста пользуются уже известным соотношением: (в виде коэффициентов) и .

Descriptive Statistics (показатели экспорта in Kursovaya)
	Mean	Geometric
Экспорт Дании	43,33	35,21
цепной абс.прирост	3,60
цепной коэф.роста	1,09	1,08

Рис.9. Результаты расчета средних показателей динамики по экспорту.

Descriptive Statistics (показатели импорта in Kursovaya)
	Mean	Geometric
Импорт Дании	40,19	33,99
цепной абс.прирост	3,32
базисный коэф.роста	1,08	1,07

Рис.10. Результаты расчета средних показателей динамики по импорту.

5. Выявление и анализ основной тенденции временного ряда

Проверка динамического ряда на наличие тренда

Прежде чем приступать к решению задачи аналитического сглаживания динамических рядов (аналитического описания общей тенденции развития регрессионными моделями), необходимо проверить существенность трендовой составляющей динамического ряда.

В данном курсовом проекте проверка производится с помощью критерия Валлиса-Мура. Этот критерий позволяет отличить закономерные отклонения последовательности уровней ряда от чисто случайной последовательности. Если тренд отсутствует, то знаки разностей значений уровней образуют случайную последовательность.

С помощью критерия Валлиса-Мура проверяется гипотеза: последовательность знаков разностей имеет случайный характер. Альтернативной является гипотеза: последовательность знаков разностей значимо отличается от случайной. Последовательность одинаковых знаков называется «фазой».

При расчетах первая и последняя фаза опускаются. В предположении случайности ряда статистика z распределена нормально.

,

где h - число смен знаков (плюса на минус и наоборот);

n - число уровней ряда.

Проверим на наличие тренда второй период экспорта и импорта

Определение знаков изменения для экспорта

Год	Абсолютный прирост (цепной)	Знак изменения	№ фазы
2001	5,24	+	1
2002	8,96	+
2003	10,35	+
2004	7,94	+
2005	8,15	+
2006	11,14	+
2007	18,81	+
2008	-	-	-

h=1, z= 1,43

Если z 1,96, то можно утверждать что тренд есть. В нашем случае тренда нет.



Определение знаков изменения для импорта

Год	Абсолютный прирост (цепной)	Знак изменения	№ фазы
2001	4,76	+	1
2002	7,33	+
2003	10,67	+
2004	7,37	+
2005	10,84	+
2006	13,69	+
2007	17,48	+
2008	-	-	-

Для импорта z=1,43.

Таким образом, для экспорта и импорта по критерию Валлиса-Мура тенденций нет.

6. Выравнивание по скользящей средней

Один из наиболее простых приемов сглаживания заключается в расчете скользящих, или, как иногда их называют, подвижных средних. Применение последних, позволяет сгладить периодические и случайные колебания и тем самым выявить присутствующую в развитии тенденцию.

Пусть динамический ряд состоит из уровней y_t, t = 1, ..., n. Для каждых m последовательных уровней этого ряда (т < n) можно подсчитать среднюю величину. Вычислив значение средней для первых т уровней, переходят к расчету средней для уровней y₂, ..., y_т+i, затем y₃, ..., y_m+2 и т. д.

Таким образом, интервал сглаживания, т. е. интервал, для которого подсчитывается средняя, как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице.

Если т нечетное число, а предпочтительнее брать именно нечетное число уровней, поскольку в этом случае расчетное значение уровня окажется в центре интервала сглаживания и им легко заменить конкретное фактическое значение, то для определения скользящей средней можно записать следующую формулу:

,

где - значение скользящей средней для момента t,

y_i - фактическое значение уровня в момент i;

i - порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

m - интервал сглаживания (период скольжения).

Величина р легко определяется из продолжительности интервала сглаживания.

Поскольку т = 2р + 1 при нечетная, то

.

Расчет скользящей средней при большом числе уровней можно несколько упростить, применив ряд приемов. Так, последовательные значения скользящей средней можно определить рекурсивно:

или путем последовательного расчета накопленных сумм уровней. Обозначим кумулятивную сумму уровней от начала ряда до уровня j включительно как u_j; u₁=y₁; u₂=u₁+y₂; u₃=u₂+y₃ и т. д. Тогда числитель формулы (2.4) можно записать как u_t+p - u_t-p-1, соответственно:

Выбор периода скольжения имеет большое значение, особенно, если в изучаемом ряду имеются циклические колебания. В этом случае период скольжения должен быть равным, либо кратным периоду колеблемости. Если циклических колебаний не наблюдается, то рекомендуется выполнить несколько вариантов выравнивания: начать с расчета скользящей средней с минимальным периодом скольжения и постепенно увеличивать период сглаживания, пока основная тенденция не проявится достаточно отчетливо. Средние, рассчитанные по большому периоду, лучше сглаживают случайные колебание. Но использование многочленных скользящих средних может быть ограничено незначительной продолжительностью исходного ряда. Необходимо учитывать, что использование метода скользящих средних приводит к получению укороченного временного ряда.

Для выбора лучшего варианта выравнивания по скользящей средней может быть использован формальный критерий, основанный на сравнении сумм квадратов отклонений фактических уровней ряда от значений уровней выровненного ряда.

,

где значения уровней исходного ряда;

значения уровней выровненного ряда;

число выровненных уровней.

Очевидно, что если тенденция в результате сглаживания проявляется достаточно четко, то чем меньше , тем лучше выравнивание.



Рис.11.12. Динамический ряд, сглаженный по 3-х и 5тичленными сколь

Рис. 13. 14Динамический ряд, сглаженный по 3-х и 5-ти членными скользящими средними (импорт)

На представленных графиках видно, что выравнивание с периодом скольжения пять лет, дает лучшие результаты.

7. Построение трендовых моделей

Как уже говорилось, для выявления и анализа тренда динамического ряда используются два вида выравнивания: механическое и аналитическое.

В отличие от механического выравнивания аналитическое выравнивание позволяет сразу получить модель основной тенденции ряда, так как осуществляется с помощью математической функции, описывающей зависимость уровня от фактора времени. Данное уравнение при условии его статистической значимости может быть названо трендовой моделью.

Данная модель может быть представлена различными функциями, следовательно, возникает потребность определения уравнения тренда, который наилучшим образом описывает закономерность анализируемого ряда динамики. Построим уравнения тренда различного вида для ряда динамики экспорта и импорта Дании за 2001-2008 года.

Экспорт

Линейная модель

,

где - уровень ряда, полученный в результате выравнивания по прямой;

- начальный уровень тренда;

- средний абсолютный прирост; константа тренда.

Для линейной формы тренда характерно равенство так называемых первых разностей (абсолютных приростов) и нулевые вторые разности, т. е. ускорения.

Model is: v1=a0+a1*t (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : экспорт Level of confidence: 95.0% ( alpha=0.050)
	Estimate	Standard	t-value	p-level	Lo. Conf	Up. Conf
a0	37,38810	2,997050	12,47497	0,000016	30,05458	44,72161
a1	9,69297	0,593504	16,33176	0,000003	8,24072	11,14522

Рис.15. Параметры линейного уравнения тренда динамического ряда экспорта



Estimate - числовые значения параметров уравнения; Standard еrror - стандартная ошибка параметра; t-value - расчетное значение t-критерия; df - число степеней свободы (n-2); p-level - расчетный уровень значимости; Lo. Conf. Limit и Up. Conf. Limit - соответственно нижняя и верхняя граница доверительных интервалов для параметров уравнения с установленной вероятностью (указана как Level of Confidence в верхнем поле таблицы)

Таким образом, получаем линейное уравнение тренда:

y = 37,38 + 9,69 t

Основываясь на данном уравнении, можно сказать, что в год в среднем объемы экспорта увеличиваются на 15,98 млн. долларов.

Однако, для того, что делать прогнозы по данному уравнению, необходимо определить статистическую значимость параметров уравнения и самого уравнения в целом.

Для определения статистической значимости параметров уравнения используется t-статистика и p-level. Для параметра |t_факт| = 14,07 > t_табл = 2,365, а p-level = 0,00009 < 0,05. Таким образом, можно сделать вывод, что параметры данного уравнения статистически значимы.

Model is: v1=a0+a1*v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : экспорт
	1 Sum of Squares	2 DF	3 Mean squares	4 f-values	5 p-value
Regression	56442,43	2,000000	28221,21	1907,562	0,000000
Residual	88,77	6,000000	14,79
Total	56531,20	8,000000
Corrected Total	4034,82	7,000000
Regression vs.Corrected Total	56442,43	2,000000	28221,21	48,961	0,000077

Рис.16.Основные показатели линейной модели тренда дисперсионного анализа ряда экспорта.

Sum of Squares - сумма квадратов отклонений;

df - число степеней свободы;

Mean Squares - средний квадрат;

F-value - критерий Фишера;

Regression - квадраты теоретических (полученных по тренда) значений признака;

Residual - отклонения фактических значений от теоретических (полученных по уравнению тренда);

Total - отклонения фактических значений от их средней величины.

Regression / Sum of Squares - сумма квадратов прогнозных значений;

Residual / Sum of Squares - сумма квадратов отклонений теоретических и фактических значений (для расчета остаточной, необъясненной дисперсии);

Total / Sum of Squares - сумма первой и второй строчки (сумма квадратов фактических значений);

Corrected Total / Sum of Squares - сумма квадратов отклонений фактических значений от средней величины (для расчета общей дисперсии);

Regression vs. Corrected Total / Sum of Squares - повторение первой строчки;

Regression / Mean Squares - сумма квадратов прогнозных значений, деленная на число степеней свободы;

Residual / Mean Squares - остаточная, необъясненная дисперсия;

Regression vs. Corrected Total / Mean Squares - повторение первой строчки;

Regression / F-value - расчетное значение F-критерия

p-value - расчетный уровень значимости F-критерия.

Model is: v1=a0+a1*v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : экспорт
	Observed	Predicted	Residuals
2001	51,0677	47,0811	3,98663
2002	56,3035	56,7740	-0,47054
2003	65,2670	66,4670	-1,20001
2004	75,6199	76,1600	-0,54008
2005	83,5615	85,8529	-2,29145
2006	91,7126	95,5459	-3,83332
2007	102,8570	105,2389	-2,38189
2008	121,6625	114,9319	6,73064

Рис.17.Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда экспорта

Observed - наблюдаемые значения (то есть уровни исходного динамического ряда);

Predicted - прогнозные значения (полученные по уравнению тренда для данных моментов времени);

Residuals - остатки (разница между фактическими и прогнозными значениями).

Модель полином 2-ой степени.

Для данного типа кривой постоянными являются вторые разности (ускорение), а нулевыми - третьи разности. Параболическая форма тренда соответствует ускоренному или замедленному изменению уровней ряда с постоянным ускорением. Если < 0 и > 0, то квадратическая парабола имеет максимум, если > 0 и < 0 - минимум. Для отыскания экстремума первую производную параболы по t приравнивают 0 и решают уравнение относительно t.

Model is: v1=a0+(a1*v3)+(a2*v3^2) (Исходные данные in Workbook1_(Recovered)) Dep. Var. : Экспорт Дании Level of confidence: 95.0% ( alpha=0.050)
	Estimate	Standard	t-value	p-level	Lo. Conf	Up. Conf
a0	14,98054	4,147966	3,611540	0,001136	6,49700	23,46409
a1	-0,31576	0,579497	-0,544879	0,590003	-1,50096	0,86945
a2	0,09389	0,017037	5,510791	0,000006	0,05904	0,12873

Рисунок.19. Параметры параболического уравнения тренда динамического ряда экспорта Дании

Таким образом, получаем уравнение тренда полином 2-ой степени:

y = 14,98 - 0,31t + 0,09t²

Параметры не значимы, значит модель не применима.

Степенная модель.

Model is: v1=a0*a1^v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : экспорт Level of confidence: 95.0% ( alpha=0.050)
	Estimate	Standard	t-value	p-level	Lo. Conf	Up. Conf
a0	45,03771	1,099575	40,9592	0,000000	42,34715	47,72828
a1	1,12957	0,004540	248,8199	0,000000	1,11846	1,14068

Рисунок.27. Параметры степенного уравнения тренда динамического ряда экспорта Дании

Параметры значимы и получили уравнение

у= 45,03^t*1,12

Model is: v1=a0*a1^v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : экспорт
Regression	56507,26	2,000000	28253,63	7081,183	0,000000
Residual	23,94	6,000000	3,99
Total	56531,20	8,000000
Corrected Total	4034,82	7,000000
Regression vs.Corrected Total	56507,26	2,000000	28253,63	49,017	0,000076

Рисунок 2.8.Основные показатели степенной модели тренда дисперсионного анализа ряда экспорта

Model is: v1=a0*a1^v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : экспорт
	Observed	Predicted	Residuals
2001	51,0677	50,8733	0,19438
2002	56,3035	57,4650	-1,16155
2003	65,2670	64,9109	0,35612
2004	75,6199	73,3215	2,29842
2005	83,5615	82,8218	0,73965
2006	91,7126	93,5532	-1,84060
2007	102,8570	105,6750	-2,81803
2008	121,6625	119,3675	2,29500

Рисунок 2.9 . Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для степенной модели тренда.

Импорт

Линейная модель.

Model is: v2=a0+a1*v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : импорт Level of confidence: 95.0% ( alpha=0.050)
	Estimate	Standard	t-value	p-level	Lo. Conf	Up. Conf
a0	28,35783	3,603741	7,86900	0,000223	19,53979	37,17587
a1	10,10193	0,713647	14,15536	0,000008	8,35570	11,84816

Рисунок 31. Параметры линейного уравнения тренда динамического ряда импорта.

Параметры значимы, следовательно модель применима.

Получили линейное уравнение: у= 28,35+10,10t

Model is: v2=a0+a1*v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : импорт
	1	2	3	4	5
Regression	47877,08	2,000000	23938,54	1119,132	0,000000
Residual	128,34	6,000000	21,39
Total	48005,42	8,000000
Corrected Total	4414,40	7,000000
Regression vs.Corrected Total	47877,08	2,000000	23938,54	37,960	0,000175

Рисунок 32. Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда.

Model is: v2=a0+a1*v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : импорт
	Observed	Predicted	Residuals
2001	44,1238	38,4598	5,66404
2002	48,8865	48,5617	0,32481
2003	56,2165	58,6636	-2,44712
2004	66,8863	68,7655	-1,87925
2005	74,2589	78,8675	-4,60858
2006	85,0998	88,9694	-3,86961
2007	98,7917	99,0713	-0,27964
2008	116,2686	109,1733	7,09533

Рисунок 33.Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда

Полином 2-ой степени.

Model is: v2=a0+a1*v3+a2*v3^2 (Исходные данные in Workbook1_(Recovered)) Dep. Var. : Импорт Дании Level of confidence: 95.0% ( alpha=0.050)
	Estimate	Standard	t-value	p-level	Lo. Conf	Up. Conf
a0	20,62025	4,383470	4,70409	0,000058	11,65505	29,58546
a1	-1,13647	0,612399	-1,85576	0,073677	-2,38896	0,11603
a2	0,10719	0,018004	5,95368	0,000002	0,07037	0,14401

Рисунок 34.Результаты расчета параметров параболической модели тренда.

Таким образом, получаем уравнение тренда полином 2-ой степени:

y = 20,62 - 1,13t + 0,10t²

Параметры не значимы, значит модель не применима.

Степенная модель

Model is: v2=a0*a1^v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : импорт Level of confidence: 95.0% ( alpha=0.050)
	Estimate	Standard	t-value	p-level	Lo. Conf	Up. Conf
a0	37,16779	0,694441	53,5219	0,000000	35,46855	38,86702
a1	1,15134	0,003465	332,2525	0,000000	1,14286	1,15982

Рисунок.3.5.. Параметры степенного уравнения тренда динамического ряда экспорта Дании

У=37,16* t^1,15

Model is: v2=a0*a1^v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : импорт
	1	2	3	4	5
Regression	47994,66	2,000000	23997,33	13376,36	0,000000
Residual	10,76	6,000000	1,79
Total	48005,42	8,000000
Corrected Total	4414,40	7,000000
Regression vs.Corrected Total	47994,66	2,000000	23997,33	38,05	0,000173

Рисунок 3.6.Результаты дисперсионного анализа степенной модели тренда.

Model is: v2=a0*a1^v3 (c 2001-2008 in Kursovaya) Dep. Var. : импорт
	Observed	Predicted	Residuals
2001	44,1238	42,7926	1,33119
2002	48,8865	49,2687	-0,38217
2003	56,2165	56,7248	-0,50829
2004	66,8863	65,3093	1,57700
2005	74,2589	75,1929	-0,93404
2006	85,0998	86,5723	-1,47254
2007	98,7917	99,6738	-0,88214
2008	116,2686	114,7581	1,51052

Рисунок 3.7. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для степенной модели тренда.

Таким образом, получаем, что для прогнозирования подходят степенное, экспоненциальное и линейное уравнения тренда. Однако, прежде чем прогнозировать необходимо проверить остатки данного уравнение на наличие автокорреляции.

Для выбора наилучшей модели необходимо сравнить коэффициенты детерминации R² (доля объясненной дисперсии в общей дисперсии признака-результата).

Сведем полученные данные для всех моделей в таблицу.

Модели тренда экспорта и импорта Дании за 2001-2008 года

Модель	Уравнение
Линейная	y = 37,38 + 9,69t y=28,35+10,10t	0,977 + 0,970 +
Полином 2-ой степени	y = 14,98- 0,3t + 0,09t2 y=20,62-1,13t+0,10 t2	0,936 - 0,911 -
Cтепенная	y = 45,03* t1,12 y = 37,16* t1,15	0,994 + 0,997 +

8. Оценка автокорреляции в остатках экспорта и импорта

Остатком называется разность между фактическими значениями динамического ряда и значениями, рассчитанными на основании трендовой модели.

Автокорреляция - это зависимость остатка периода t от остатков предшествующих периодов.

Линейная модель



Степенна модель.

Таким образом, можно увидеть, что по проведенному анализу автокорреляции в остатках нам подходят степенная и линейная модели.

9. Оценка автокорреляции в рядах динамики и построение авторегрессионной модели

Еще одним подходом к описанию основной тенденции временного ряда и прогнозированию является авторегрессионная модель. Ее построению предшествует оценка наличия автокорреляции в изучаемом ряду.

Автокорреляция - это зависимость между последовательными значениями (уровнями) временного ряда. Автокорреляция первого порядка оценивает степень зависимости между соседними значениями временного ряда. Автокорреляция второго порядка оценивает тесноту связи между значениями, разделенными двумя временными интервалами, и т.д. Интервал времени, разделяющий зависимые уровни динамического ряда, называется лагом (lag).

Наличие автокорреляции проверяется на основе коэффициентов автокорреляции. При этом в качестве результативного признака принимается переменная, содержащая фактические значения уровней исходного ряда динамики, а в качестве факторного признака переменная, содержащая фактические уровни смещенного ряда. Величина временного лага определяет порядок коэффициента автокорреляции.

Математической статистикой разработаны циклический и нециклический коэффициент автокорреляции. На практике чаще используется нециклический коэффициент автокорреляции, который может быть рассчитан по формуле:

Если динамический ряд y(t) достаточно большой, а i = 1, то дисперсии рядов y(t), y(t-i), а также их средние уровни практически равны. Поэтому формулу можно записать следующим образом:

10. Корреляция рядов динамики

При изучении тенденции развития явления во времени часто возникает необходимость определить степень зависимости между динамическими рядами. динамический ряд динамика показатель

При изучении связи статистической оценке должен предшествовать теоретический анализ, чтобы избежать оценки ложной корреляции. Если анализируемые ряды имеют однонаправленную тенденцию, то коэффициент корреляции будет завышен, если разнонаправленную - то занижен.

При изучении связи между динамическими рядами возникает проблема использования классических методов корреляционного анализа, одним из условий применения которого является независимость наблюдений. При изучения временных рядов - это отсутствие связи между уровнями ряда, т.е. автокорреляции. Поэтому для получения адекватного результата, необходимо предварительно исключить тенденцию из анализируемых рядов.

Существует несколько способов исключения автокорреляции (тенденции):

- Переход от корреляции уровней ряда к корреляции остатков (при условии, что они не содержат автокорреляции),

- Коррелирование показателей являющихся константами трендов,

- Построение множественного уравнения регрессии путем прямого включения в него фактора времени.

Особое значение приобретает теоретический, содержательный анализ изучаемых явлений и их возможных взаимосвязей во избежание оценки «ложной корреляции». Если в двух рядах наблюдается однонаправленная тенденция изменения уровней, то между ними будет отмечаться положительная ковариация:

- смешанный корреляционный момент первой степени.

Если обозначить отклонение от тренда по ряду, содержащему результативный признак - , а по ряду, содержащему факторный признак - , то коэффициент корреляции можно рассчитать по следующей формуле:

CrossCorrelation Function (c 2001-2008 in Kursovaya.stw) First : ЭКСПОРТ Lagged: ИМПОРТ
	Cross	Std.Err.
-3	-0,001683	0,447214
-2	0,272179	0,408248
-1	0,595131	0,377964
0	0,998198	0,353553
1	0,585178	0,377964
2	0,225306	0,408248
3	-0,053462	0,447214

Рисунок 48. Таблица коэффициентов кросс-корреляции

Рисунок 49. Графическое изображение коэффициентов кросс-корреляции

На основании рассчитанных коэффициентов кросс-корреляции определяется лаг наиболее существенной взаимосвязи между динамическими рядами, то есть тот лаг, которому соответствует максимальный коэффициент кросс-корреляции (значимые коэффициенты помечается красным цветом в таблице; на графике столбцы, соответствующие значимым коэффициентам кросс-корреляции, выходят за границы доверительных интервалов). В нашем случае максимально значение достигается при и составляет r = 1,00.

Описанный выше прием непосредственного включения в уравнение связи фактора времени, позволяет не только оценить зависимость между рядами, но и получить модель для прогнозирования:

,

где i - лаг наибольшей взаимосвязи между рядами, в нашем случае .

Таким образом, прогнозировать с помощью данного метода не получиться.

11. Экстраполяция трендов и доверительные интервалы прогноза

Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Экстраполяция тенденций динамических рядов сравнительно широко применяется в практических исследованиях в силу ее простоты, возможности осуществления на основе относительно небольшого объема информации, наконец, ясности принимаемых допущений. Отсутствие иной информации помимо отдельно рассматриваемого динамического ряда часто оказывается решающим аргументом при выборе этого метода прогнозирования.

При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер признака, характеризующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить порознь их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени.

Экстраполяция базируется на следующих допущениях:

1) развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной (эволюторной) траекторией - трендом;

2) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.

Таким образом, экстраполяция дает описание некоторого общего будущего развития объекта прогнозирования. Причем если развитие в прошлом носило перманентно скачкообразный характер, то при достаточно продолжительном периоде наблюдений скачки оказываются «зафиксированными» в самом тренде, и последний опять-таки можно применить в прогнозировании.

Экспорт
	2009	2010
фактический	102,857	121,6625
расчетный	124,59	134,28
Импорт
	2009	2010
фактический	98,7917	116,2686
расчетный	119,25	129,35

Рисунок 50. Сравнительный анализ прогнозных и фактически полученных значений объемов экспорта и импорта Нидерландов.



Вывод

Исходя из фактических (реальных) данных и расчетных можно наблюдать различия.

По экспорту: в 2009 году значения превысили фактические на 2,35 млн. долларов, в 2010 году отставание прогнозных значений составило - 6,76 млн.долл.

По импорту: в 2009 году значения превысили фактические на 0,26 млн. долларов, в 2010 году отставание прогнозных значений составило - 7,11.



Заключение

Итак, данный курсовой проект позволил подробно рассмотреть теоретические вопросы статистического анализа динамических рядов, а также провести решение основных задач с помощью ППП STATICTICA.

В рамках решения данных задач затрагиваются вопросы изучения показателей изменения уровней динамического ряда, представленного показателями динамики экспорта и импорта Дании в период с 2001 по 2008 год, определения тенденции в динамических рядах, периодизации данных, аналитического выравнивания динамического ряда, корреляции динамических рядов и автокорреляции, экстраполяции трендов и прогнозирования различными методами.



Список используемой литературы

1. Н. В. Куприенко Статистика. Анализ рядов динамики : учеб. пособие. / Н. В. Куприенко, О. А. Пономарева, Д. В. Тихонов. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. - с.

2. Конспект лекций по статистике.

Размещено на Allbest.ru