Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Часть I «Статистические методы управления процессами»

1. Место статистических методов в управлении качеством

2. Контрольные карты Шухарта по количественному признаку

2.1 Выбор объема, частоты отбора и числа подгрупп

3. Виды контрольных карт

4. Индексы воспроизводимости процесса

5. Контрольные карты по альтернативному признаку

6. Карты обнаружения малых смещений процесса

6.1 Карты кумулятивных сумм

6.2 Карта экспоненциально взвешенных скользящих средних

7. Многомерный статистический контроль технологического процесса

Часть II «Составление контрольной карты»

Заключение

Библиографический список

Введение

Качество продукции (работ, услуг) является определяющим в общественной оценке результатов деятельности каждого трудового коллектива. Выпуск эффективной и высококачественной продукции позволяет предприятию получить дополнительную прибыль, обеспечивать самофинансирование производственного и социального развития.

Качество - понятие многоплановое, обеспечение его требует объединения творческого потенциала и практического опыта многих специалистов. Проблема повышения качества может быть решена только при совместных усилиях государства, федеральных органов управления, руководителей и членов трудовых коллективов предприятий. Важную роль в решении этой проблемы играют потребители, диктующие свои требования и запросы производителям товаров и услуг.

Роль и значение качества постоянно возрастает под влиянием развития технологий производства и потребностей человека.

На предприятиях в рамках действующих комплексных систем управления качеством продукции создаются группы качества. Основные их задачи: изучение причин возникновения дефектов и подготовка предложений по их устранению, дальнейшему повышению надёжности и долговечности продукции, росту производительности труда и объёмов производства изделий высшего качества, возрастанию ритмичности производства, сокращению расходов, связанных с браком, устранение дефектов, рекламациями, а также по рациональному и экономическому расходованию всех видов ресурсов. Практика работы предприятий показывает, что там, где эффективно работают такие группы, повышается качество труда и продукции, улучшается культура производства, растёт удельный вес изделий высшего качества в общем объёме продукции.

Статистические методы контроля качества в настоящее время приобретают всё большее признание и распространение в промышленности.

Научные методы статистического контроля качества используются в следующих отраслях: индекс карта контроль технологический

1. в машиностроении;

2. в лёгкой промышленности;

3. в области коммунальных услуг.

Основной задачей статистических методов контроля является обеспечение производства пригодной к употреблению продукции и оказание полезных услуг с наименьшими затратами. С этой целью проводят анализ новых операций или другие исследования, направленные на обеспечение производства пригодной к употреблению продукцией.

Статистические методы контроля качества продукции были внедрены в нескольких ведущих отраслях производства и правительственных учреждениях; они дали значительные результаты по следующим показателям:

1. повышение качества закупаемого сырья;

2. экономия сырья и рабочей силы;

3. повышение качества производимой продукции;

4. снижение количества брака;

5. снижение затрат на проведение контроля;

6. улучшение взаимосвязи между производством и потребителем;

7. облегчение перехода производства с одного вида продукции на другой.

Главная задача - не просто увеличить количество продукции, а увеличить количество такой продукции, которая была бы пригодной к употреблению. Одним из основных принципов контроля качества при помощи статистических методов является стремление повысить качество продукции, осуществляя контроль на различных этапах производственного процесса.

Качество конечного продукта производства изменить уже нельзя.

Контроль качества при помощи статистических методов нужно с успехом осуществлять в различных областях производства. Такой контроль используется в управлении таким процессом, при котором одни и те же детали изготавливаются серийно в течении длительного периода времени или когда нужно поддерживать определённый уровень качества изделий, поскольку даже небольшое отклонение приводит к большой потере средств.

Статистические методы используются также и в контроле при единичном и мелкосерийном производстве.

Современные методы контроля качества

1. дифференциальный метод.

2. метод комплексной оценки уровня качества продукции.

• метод параметрических регрессионных зависимостей.

• метод определения коэффициента весомости по стоимостным

• регрессионным зависимостям.

• метод предельных и номинальных значений.

• метод эквивалентных соотношений.

3. смешанный метод оценки уровня качества продукции.

4. метод интегральной оценки уровня качества.

5. экономическая оценка уровня качества продукции.

6. метод оценки уровня качества разнородной продукции.

Часть I «Статистические методы управления процессами»

1. Место статистических методов в управлении качеством

Под качеством объекта (продукции, процесса, услуги) понимают совокупность его характеристик, обеспечивающих необходимую степень удовлетворения предполагаемых потребностей пользователя этого объекта. Например, качество автомобиля характеризуется количеством пассажиров, скоростью (эго показатели назначения), сроком службы (один из показателей надежности), расходом бензина (показатель экономичности), внешним видом (показатель эстетичности) и др.

Качество объекта закладывается и формируется практически на всех этапах его жизненного цикла: в процессе анализа рынка при выявлении спроса и требований потребителя, при проектировании и разработке продукции, при материально-техническом снабжении, при разработке технологических процессов и производстве продукции и т.д.

На результат выполнения каждого из этих этапов влияет множество различных факторов, и это приводит к вариабельности (изменчивости) свойств объекта. Например, для этапа производства изделия характерны вариации (колебания) свойств материала, нестабильность работы оборудования, различная квалификация и индивидуальные особенности работника, изменения окружающей среды (температура, влажность, вибрации и т.п.) и другие факторы.

Теория вариабельности исходит из того, что все виды продукции и услуг, а также все процессы, в которых они создаются или преобразуются, подвержены вариациям -- отклонениям от заданных значений.

Концепция управления качеством предполагает рассмотрение каждого этапа жизненного цикла изделия с позиций обеспечения и поддержания требуемого уровня качества. Вариабельность свойств объекта на различных этапах оказывает существенное влияние на его качество. Статистические методы позволяют проводить измерение и анализ вариаций с целью их сокращения, и таким путем обеспечивают снижение дефектности продукции до приемлемого уровня.

Стандарт ИСО утверждает, что правильное применение статистических методов имеет важное значение для проведения управляющих воздействий при анализе рынка, проектировании продукции, прогнозировании долговечности и срока службы, изучении средств регулирования процессов, определении уровней качества в планах выборочного контроля, оценке эксплуатационных характеристик, улучшении качества процессов, оценке безопасности и анализе рисков.

Используя статистические методы, можно своевременно выявлять проблемы, связанные с качеством: обнаружить нарушение процесса до того, как произошел выпуск дефектных изделий. В значительной мере статистические методы позволяют установить и причины нарушений.

Причины вариаций любых процессов могут быть разделены на две группы. Первая -- это общие причины, связанные с производственной системой (оборудование, здания, сырье, персонал); соответствующую вариабельность нельзя изменить без изменения системы. Любые действия рядовых сотрудников -- исполнителей в этой ситуации скорее всего только ухудшат положение. Вмешательство в систему почти всегда требует действий со стороны руководства - высшего менеджмента.

Вторая группа -- специальные причины, связанные с ошибками оператора, сбоями настройки, нарушением режима. Ликвидацией этих причин занимается персонал, непосредственно участвующий в процессе. Это неслучайные причины -- износ инструмента, ослабление креплений, изменение температуры охлаждающей жидкости, нарушение технологического режима. Такие причины должны быть изучены и могут быть устранены при настройке процесса, что и обеспечит его стабильность.

По правилу 85:15, предложенному Д. Джураном в развитие известного принципа Парето 80:20, примерно в 15% всех возникающих в процессе проблем необходимо именно вмешательство инейного персонала, гораздо чаще -- в 85% требуются действия высшего менеджмента.

Управленческое решение принимается на основе мониторинга процесса и диагностики ситуации: сбор, обработка и анализ соответствующей информации проводится статистическими методами.

Системный подход к процедуре принятия решения -- надо или не надо вмешиваться в процесс, а если надо, то на каком уровне (высший менеджмент или сотрудники -- исполнители), основанный на теории вариабельности, называют статистическим мышлением1. При этом речь идет не только о производственном процессе, но и о принятии решений на всех уровнях организации, как оперативных или тактических, так и стратегических.

В соответствии с формулировкой Американского общества качества статистическое мышление - это философия обучения и действий, основанная на следующих фундаментальных принципах:

· любая работа осуществляется в системе взаимосвязанных процессов;

· во всех процессах есть вариации;

· понимание и снижение вариаций -- ключ к успеху.

Необходимо иметь в виду, что применение статистических

методов в задачах управления качеством позволяет выявить проблемы и их причины, решение же этих проблем -- задача специалистов в конкретной области: металлургии, автомобилестроении, химической или пищевой промышленности. Тем более важным является формирование статистического мышления и у таких специалистов.

2. Контрольные карты Шухарта по количественному признаку

Контрольные карты для количественного признака применяют в тех случаях, когда при регистрации данных фиксируют измеренные значения характеристик процесса. Примерами таких данных могут быть диаметр подшипника, усилие при закрывании двери. Для управления процессами наиболее часто применяют карты средних арифметических (далее - средних) и карты размахов (- и R-карты).

Контрольные карты для количественному признаку предпочтительны по следующим причинам:

1. численное значение (например, диаметр равен 16,45 мм) содержит больше информации, чем регистрация альтернативных событий «да-нет» (например, диаметр внутри поля допуска или вне поля допуска);

2. общие затраты на измерения в некоторых случаях оказываются ниже, хотя получение одного отдельного измерения дороже, чем получение единицы данных в виде «да-нет», так как для получения достаточной информации о процессе зачастую требуется измерить меньшее число единиц продукции, чем при контроле по альтернативному признаку;

3. происходит сокращение времени между изготовлением деталей и корректирующими действиями благодаря меньшему числу единиц, необходимых для проверки при принятии решения;

4. улучшение процесса может быть оценено количественно, даже если все индивидуальные значения лежат внутри установленного допуска. Это важно при проведении анализа и дальнейшего непрерывного совершенствования процесса.

С помощью контрольных карт по количественному признаку можно объяснить поведение процесса как по разбросу (изменение от единицы к единице), так и по расположению уровня процесса (среднему процесса). Благодаря этому контрольные карты по количественному признаку можно анализировать попарно: одна карта для среднего процесса, другая - для разброса.

Наиболее часто применяют пары - и R-карты , и s-карты; Ме- и R-карты , Х- и MR-карты. Общее руководство и введение, а также классификация контрольных карт приведена в ГОСТ Р 50779.40.

До применения карт для количественных данных должны быть выполнены следующие действия:

1. создана благоприятная окружающая среда. Руководство должно обеспечить:

• условия для выполнения действий по улучшению качества,

• ресурсы и среду для объективной оценки процессов;

2. определен процесс. Процесс должен быть понят, установлены его взаимосвязи со всеми операциями, пользователями и конкретными элементами процесса (люди, оборудование, материал, методы и окружающая среда), которые влияют на каждую стадию. Такие методы как причинно-следственная диаграмма и карта технологического процесса помогут выявить взаимосвязи, для чего рекомендуется объединить опыт специалистов, отвечающих за разные аспекты процесса, используя межфункциональный подход;

3. определены характеристики, которые должны быть нанесены на карты. Проводят изучение тех характеристик, которые наиболее перспективны для совершенствования процесса (принцип Парето). Рекомендуется учитывать следующие моменты:

А. потребности потребителей. Учитывают требования и взаимосвязи как конечного потребителя, так и последующего процесса производства продукции или услуги. С целью непрерывного совершенствования рекомендуется работать над проблемой в команде;

Б. области текущих и потенциальных проблем. Рассматривают установленные факты потерь или низкой эффективности (например, брак, переделки, затраты времени, потеря цели) и области риска (например,, увеличение числа изменений в продукции, в услуге или в процессе);

В. корреляцию между характеристиками. Для эффективного и результативного изучения работы процесса используют преимущества взаимосвязи характеристик. Например, если рассматриваемую характеристику трудно измерить (объем), следует измерить связанную с ней характеристику (массу). Если несколько отдельных характеристик изделия имеют тенденцию изменяться взаимозависимо, то достаточно наносить на карту только одну из них.

4. определена измерительная система. Характеристика должна быть измерена в процессе работы. Информация должна быть доведена до всех заинтересованных лиц. Следует указать, какая информация должна быть собрана, где, когда и при каких условиях. Измерительное оборудование должно отвечать требованиям точности и воспроизводимости результатов изменений и периодически проходить калибровку и поверку. Выбор характеристики определит тип контрольной карты;

5. минимизирована изменчивость. Необходимо снизить воздействие неслучайных внешних источников изменчивости во избежание проблем, которые могут и должны быть решены без контрольных карт. Во всех случаях необходимо фиксировать все существенные изменения, такие как смена инструмента, исходного материала и т.д., что помогает в последующем анализе процесса.

2.1 Выбор объема, частоты отбора и числа подгрупп

Для построения контрольной карты необходимо разработать план сбора данных: определить объем подгрупп, частоту отбора и число анализируемых подгрупп:

Выбор объема подгрупп. Первый шаг при подготовке карт по количественному признаку - определение рациональных подгрупп.

Подгруппы должны быть сформированы так, чтобы вариации внутри подгруппы представляли собой только изменчивость от изделия к изделию за короткий период времени. В этом случае любое необычное изменение между подгруппами будет отражать изменение в процессе, которое должно быть исследовано для принятия соответствующих действий.

При первоначальном обследовании процесса, как правило, подгруппы должны состоять из четырех-пяти последовательно изготовленных изделий, произведенных при одинаковых производственных условиях за короткий промежуток времени. При этом изменчивость внутри подгрупп будет отражать обычные причины. Когда эти условия не выполнены, по контрольной карте нельзя эффективно выявить особые причины изменчивости или необычный ход процесса. Объем выборок должен быть постоянным для всех подгрупп.

Определение частоты отбора подгрупп. Подгруппы рекомендуется отбирать достаточно часто, чтобы они могли отразить потенциальные причины изменений процесса во времени. Изменения могут возникнуть из-за различия между сменами, замены партий материала, изменения температурного режима и т.д.

При первоначальном обследовании процесса отбирают подгруппы последовательно через короткие интервалы времени, чтобы выявить возможные изменения процесса за такие короткие периоды. Когда процесс стабилен (или проводят усовершенствование процесса), интервал времени между формированием подгрупп может быть увеличен.

Определение числа подгрупп. Должно быть собрано достаточное число подгрупп, чтобы все основные причины изменчивости могли проявиться. Обычно 25 или более подгрупп, содержащие 100 или более индивидуальных значений, дают хороший результат при проверке на стабильность и если она есть, хорошую оценку настройки и разброса процесса.

При четком определении критериев формирования подгрупп в некоторых случаях могут быть использованы существующие данные, которые получены недавно. Рекомендации по формированию подгрупп - по ГОСТ Р 50779.42.

Примеры заполнения контрольных карт по количественному признаку приведены в приложении А.

3. Виды контрольных карт

Существуют три основных вида контрольных карт (включая контрольные карты кумулятивных сумм):

а) КК Шухарта, включая ряд непосредственно относящихся к ней разновидностей;

б) приемочная КК;

в) адаптивная КК.

С помощью КК Шухарта, как правило, оценивают только, находится ли процесс в статистически управляемом состоянии. Однако во многих случаях эти КК используют в качестве средства приемки процесса, несмотря на то, что они не разработаны специально как критерии или границы допуска для процесса.

Приемочная КК предназначена специально для определения критерия приемки процесса.

С помощью адаптивной КК регулируют процесс посредством планирования его тренда и проведения упреждающей корректировки на основании прогнозов.

4. Индекс воспроизводимости

Индекс воспроизводимости Cp характеризует соответствие изменчивости статистически устойчивого процесса ширине поля допуска:

,

где Д = ВГД - НГД ширина поля допуска, ВГД и НГД - верхняя и нижняя границы поля допуска, у - среднеквадратичное отклонение исследуемого параметра в генеральной совокупности испытаний, S - оценка среднеквадратичного отклонения.

Индекс воспроизводимости позволяет оценить потенциальную способность процесса выполнять требования к качеству продукции. Он тесно связан с характеристикой "Индекс работоспособности", которая позволяет оценить настройку процесса. Если индекс воспроизводимости показывает нам, можно ли вообще настроить процесс (Cp должен быть больше единицы), то индекс работоспособности показывает насколько правильно мы это сделали (Cpk также должен быть больше единицы).

Индекс работоспособности не может быть больше индекса воспроизводимости.Удобство использования индекса воспроизводимости заключается в том, что эта безразмерная величина во многих случаях универсальна и легко понятна для количественной характеристики процесса. Следует отметить, что при исследовании принимается гипотеза о нормальности исследуемого распределения.

Общепринятые оценки процессов по индексу воспроизводимости
Cp < 1	Cp = 1	Cp > 1
Более 0.27 % несоответствий	0.27% несоответствий	Менее 0.27 % несоответствий
Cp < 1	1 ? Cp < 1.33	Cp ? 1.33
неудовлетворительно	удовлетворительно	хорошо

Еще одна характеристика, связанная с индексом воспроизводимости - DPMO - число дефектов на миллион возможностей, отражающее выход процесса.

Характеристика опасности процесса в зависимости от величины индекса воспроизводимости
Граница спецификации	±1•у	±2•у	±3•у	±4•у	±5•у	±6•у
Индекс воспроизводимости	0.33	0.67	1.00	1.33	1.67	2.00
Количество несоответствующей продукции при производстве в 1 млн. тонн	317 тыс. т	45.5 тыс. т	2.7 тыс. т	63 т	570 кг	2 кг

5. Контрольные карты Шухарта по альтернативному признаку

Альтернативные данные не связаны с результатами измерений, представленными в виде числовых значений. Альтернативные данные представляют собой бинарный код, в котором, например, единице сопоставлено состояние годности контролируемого изделия, а нулю - состояние брака. Такое кодирование позволяет описывать ситуации, когда контроль производится по качественным признакам без применения измерительных приборов и вывод о состоянии изделия ограничивается выводом типа годное-брак. К альтернативному контролю приходим и при контроле изделий, имеющих несколько измеряемых разнотипных параметров качества, когда в конечном счете нас интересует годны ли все измеренные параметры или хотя бы один из них не укладывается в допуск по техническим условиям и поэтому все изделие следует считать бракованным. И наконец еще один вариант контроля, когда он производится с использованием калибров, что характерно в особенности для механообрабатывающего производства.

Наиболее распространенной картой контроля по альтернативному признаку является P- карта Шухарта. Алгоритм действия этой карты (ГОСТ Р 50.1.018-98) состоит в следующем. Определяется минимальное число контролируемых объектов в выборках n (в качестве объекта может выступать отдельное изделие или совокупность изделий, которым в результате контроля сопоставляется вывод годное-брак). По каждой выборке (подгруппе) находится относительная доля брака p=m/n, где m - число бракованных объектов, зарегистрированных в выборке. Эти относительные доли наносятся на КК и сравниваются с имеющимися на карте контрольными границами. Выход очередной точки за верхнюю контрольную границу означает разладку процесса, выход за нижнюю границу КК сигнализирует об улучшении технологического процесса и возможности зафиксировать процесс в этом новом состоянии.

Минимально необходимое число объектов в выборке n находится из условия, что ожидаемое среднее количество бракованных объектов в выборках (подгруппах) должно быть не меньше пяти (ГОСТ Р 50.1.018-98). Отсюда следует

Отметим, что выполнение этого условия может привести к необходимости использования весьма значительных объемов выборок, для построения контрольной карты. Так, при ожидаемой вероятности брака процесса p=0,01 требуемый объем выборки n=500.

Рассмотрим расчет границ P-карты Шухарта. Предположим, что вероятность брака анализируемых объектов известна (известна точность оборудования, параметров комплектующих и материалов, имеется обширная статистика о случаях брака). Предположим также, что объемы выборок одинаковы. В этом случае центральная линия КК

Для нахождения верхней и нижней границ КК положим, что число наблюдаемых случаев брака m укладывается в схему независимых испытаний и подчиняется биномиальному закону распределения

Здесь обозначает вероятность брака объекта контроля. В соответствии с биномиальным законом распределения среднее значение числа бракованных единиц продукции вычисляется по формуле

,

дисперсия - по формуле

,

С учетом трех последних соотношений найдем среднее значение и дисперсию статистики m/n, используемой в КК. Очевидно, что

,

,

,

Отсюда следуют соотношения для расчета границ КК

,

.

При неизвестной вероятности брака объектов контроля в выражениях для контрольных границ . Следует заменить точные значения вероятностей брака на их оценки , полученные в результате анализа процесса на заведомо стабильном интервале работы. В остальном вид указанных соотношений остается без изменений. В результате формулы для расчета контрольных границ принимают вид

,

,

.

При выводе соотношений для расчета границ КК предполагалось, что объемы анализируемых выборок (подгрупп) одинаковы. В реальных условиях это не всегда достижимо. В связи с этим в ГОСТ 50779.42-99 приведен алгоритм P - карты, учитывающий, что объемы выборок в подгруппах могут быть разными. В этом случае правила формирования границ КК остаются прежними, но эти границы не остаются постоянными для всей КК, а вычисляются отдельно для каждой выборки (подгруппы). Если объем подгрупп меняется несущественно, то ограничиваются одним набором границ, основанном на среднем объеме подгруппы. Для практических целей достаточно, если объемы подгрупп находятся в пределах от целевого объема подгруппы. Альтернативный вариант для ситуаций, в которых объем группы меняется существенно, - использование нормированных переменных. Например, вместо значений P на карту наносят нормированные значения

, или

.

Очевидно, что для этих новых координат центральная линия и контрольные границы остаются постоянными и равными соответственно

,

,

.

На рисунке рисунке 1 приведен пример выполнения P карты для некоторого процесса, находящегося в статистически устойчивом состоянии.

Рисунок 1 P- карта Шухарта для альтернативных данных

6. Карты обнаружения малых смещений процесса

6.1 Карты кумулятивных сумм

Помимо КК Шухарта в ВЛК также регламентированы КК кумулятивных сумм (КУСУМ). В данных картах используются не случайные переменные, а накопленные (кумулятивные) суммы этих переменных. Основная цель КУСУМ-карт - обнаружение отклонений характеристики процесса от некоторого опорного (целевого) значения. Одним из документов, в котором регламентированы КУСУМ-карты, является ГОСТ Р 50779.45 .

Основным индикатором состояния процесса является наклон графика КУСУМ. Для обнаружения недопустимого наклона используются различные методы. Основным в является метод так называемых V-масок. В этом методе сумма накапливается непрерывно на всем протяжении построения КК. Не будем останавливаться здесь на этом методе, поскольку в ВЛК используются другой - с постоянными контрольными пределами. Коротко суть его заключается в следующем. КУСУМ накапливается не всегда, а только когда накапливаемая переменная выходит за некоторый порог. Кроме того, КУСУМ прерывается, когда её график пересекает нулевую линию (процесс в стабильном состоянии), либо когда её график пересекает соответствующий контрольный предел (стабильность процесса подвергается сомнению). В ВЛК в качестве накапливаемой переменной используется отклонение измеренного значения Xизм от аттестованного значения Xат образца для контроля (ОК), которое, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Соответственно возникает два набора прерывающихся графиков КУСУМ: положительные суммы и отрицательные суммы .

Рис 2 Пример КУСУМ-карты

КУСУМ-карты в ВЛК являются индикатором систематических погрешностей. Действительно, результат i-го измерения составляет:

Xизм,i = Xист + ?Xсл,i + ?Xсист,

где Xист - истинное измеряемое значение, принимаемое равным Xат, ?Xсл,i - случайная i-я погрешность, ?Xсист - постоянная систематическая погрешность. Тогда для КУСУМ по n точкам имеем:

Очевидно, что первый член Qсл,n, связанный со случайным разбросом, при возрастании n будет стремиться к нулю примерно как , тогда как второй член, связанный с систематической ошибкой, пропорционален n. И, значит, если бы график КУСУМ не прерывался, то рано или он пересёк бы один из контрольных пределов.

В связи с этим следует сказать о следующей неприятной особенности. Поскольку в качестве Xистиспользуется Xат, которое само имеет систематическую погрешность (Xат = Xист + ?Xат), то нетрудно понять, что на наклон графика (накопление) будет влиять не только систематическая погрешность методики выполнения измерений (МВИ), но и «паразитная» для контроля МВИ погрешность ?Xат. Таким образом, при не очень точном ОК не исключена возможность «контролирования» с помощью КУСУМ-карты не МВИ, а погрешности аттестованного значения. В РМГ76 для оперативного контроля предписано использовать ОК с ?Xат не более 1/3 контролируемого показателя погрешности. Возможно, для КУСУМ условие должно быть ещё более жёстким.

6.2 Карта экспоненциально взвешенных скользящих средних

Как и карты кумулятивных сумм, контрольные карты экспоненциально взвешенных скользящих средних используются для обнаружения малых постоянных смещений процесса. При контроле среднего значения для t-й подгруппы рассчитывается статистика

Где Е0 принимается равным номинальному (целевому) значению

µ0 оцениваемого показателя качества; кЕ - параметр экспоненциального сглаживания; 0< кЕ < 1(при кЕ = 1 получим обычную карту Шухарта); Хt- выборочное среднее.

Процесс считается статистически управляемым, если найденное по формуле значение лежит внутри контрольных границ

где НЕ -- параметр, определяющий положение границ карты; иногда по аналогии с формулой принимают НЕ= (при использовании правила «трех сигм» НЕ = 3); - среднеквадратичное отклонение величин Et, определяемое из формулы

здесь п -- объем подгруппы (мгновенной выборки), 2 -- внутригрупповая дисперсия.

7. Многомерный статистический контроль технологического процесса

Качество изделия часто характеризуется несколькими показателями. Если контролируемые показатели оказываются зависимыми, использование независимого контроля отдельных показателей может привести к значительным погрешностям, связанным с двумя обстоятельствами.

Во-первых, различны доверительные области: при независимом контроле это прямоугольный параллелепипед, стороны которого определяются границами регулирования карт Шухар- III. С учетом корреляционных связей в действительности доверительная область при многомерном нормальном распределении показателей представляет собой эллипсоид (будет показано ниже), главные оси которого повернуты относительно осей параллелепипеда: опытные точки, оказывающиеся внутри парал- нелепипеда, но вне эллипсоида, свидетельствуют о нормальном ходе процесса, хотя на самом деле он статистически неуправляем и требует вмешательства.

Во-вторых, определение совместного уровня значимости (вероятности ложной тревоги) невозможно при контроле по отдельным показателям, коррелированным между собой. Проиллюстрируем это на примере двух показателей. Пусть А1 - событие, состоящее в попадании показателя X, в доверительную область, А2- аналогичное событие для показателя Х2; при независимых событиях вероятность Р попадания обоих показателей в доверительную область равна

Р(А1 А2) = Р(А1)Р(А2).

В случае зависимых показателей по известной формуле теории вероятностей

Р(A1А 2) = Р(А1)Р(А2/А1).

Определение условной вероятности Р(А2/А1) попадания показателя Х2 в заданную область в предположении, что Х1 уже находится в ней, практически нереально даже для двух показателей качества процесса.

Предположим, что в технологическом процессе контролируются р показателей качества X = (X1 Х2 ... Хр), имеющих совместное нормальное распределение. Плотность распределения определяется по формуле

f(x) = (2р)-Р/2 -1/2 exp [-(X -µT ?-1(Х-µ/2],

где µ -- вектор средних значений; -- ковариационная матрица, элементы которой -- дисперсии случайных величин -коэффициент корреляции между величинами Xi и Xj) -- ковариации между Хi и Xj:

В частном случае двумерного нормального распределения определитель ковариационной матрицы

p2 ),

элементы обратной матрицы

,

,

тогда плотность распределения

f(x1,x2)=.

Для проверки гипотезы H0: µ = µ 0 в одномерном случае при известной дисперсии генеральной совокупности 2 по выборке объема п используется статистика

Z=

или статистика Стьюдента

t=

при неизвестной дисперсии, оцениваемой по s.

Аналогом этих величин для проверки гипотезы Н0: µ = µ 0 в многомерном варианте является обобщенная статистика Хотел- линга Т2:

Т2 = n(- µ0 )TS-1 (µ0),

гдс S -- выборочная оценка ковариационной матрицы .

Применение контрольной карты Хотеллинга предполагает расчет для каждой t-й мгновенной выборки (t -- 1, ..., m) статистики

Т2 = n(t - µ 0)т S-1 ( - µ 0),

Где п -- объем мгновенной выборки,

-- вектор средних в мгновенных выборках,

Xt = (хt1 ...1р)T,

-- среднее значение в t-й мгновенной выборке по j-му показателю (j = 1,..., р);

µ 0 -- вектор целевых средних,

µ 0 = (µ1 - µp )Т, где

µ j= .

Оценки компонент ковариационной матрицы размерности p x p определяющие рассеивание показателей качества и степень тесноты их связи, вычисляются по формуле

Sjk = 1/m(n-1)

Иногда применение мгновенных выборок для контроля невозможно или экономически нецелесообразно. В этом случае используются результаты индивидуальных наблюдений (п = 1). Для получения несмещенных оценок компонент ковариационной матрицы могут быть использованы, как и в одномерной ситуации, скользящие размахи

Rjt = xj,t+1 - xjt,;t= 1, ..., m - 1;

sjk = .

При нормальном ходе процесса должно выполняться условие

< Tкр2 ,

где Tкр2 - граница критической области.

Многомерная контрольная карта Хотеллинга, по существу, - та же карта Шухарта, в которой в качестве контролируемой величины используется обобщенная статистика Хотеллинга. Обратим внимание на то, что эта карта имеет только верхнюю контрольную границу.

Если ковариационная матрица Е известна, статистика Хотеллинга имеет х2-распределение; в этом случае положение контрольной границы на заданном уровне значимости б определяется по таблицам квантилей этого распределения

Tкр2= х21-б (p).

При неизвестной ковариационной матрице статистика

F=n-p/p(n-1)T2,

имеет нецентральное F-распределение Фишера с р и (n-p) степенями свободы и параметром нецентральное

.

При этом статистика Т2 имеет распределение Хотеллинга. В одномерном случае р= 1 и распределение Хотеллинга совпадает с распределением Стьюдента.

При оценивании компонент ковариационной матрицы с использованием текущих мгновенных выборок (п > 1) граница критической области определяется по формуле

А для текущих индивидуальных наблюдений по формуле

Где - квантиль F-распределения Фишера с числами степеней свободы в числителе k1 в знаменателе -- к2.

Еcли же для оценивания компонент ковариационной матрицы использована специальная (обучающая) выборка, взятая ми начала контроля (на стадии отлаженного технологического Процесса), то при использовании мгновенных выборок справедливо соотношение

Которое для индивидуальных наблюдений имеет вид

При интерпретации карты Хотеллинга решаются две задачи. Ни первых, при нарушении процесса часто представляет интерес выявить, по какому показателю качества произошло нарушение. Во-вторых, кроме рассмотренной критической ситуации выхода статистики Хотеллинга за контрольную границу, возможны и пруте варианты расположения точек на карте, при которых целесообразно принять решение об остановке процесса, -- это так называемые неслучайные структуры -- тренды, серии и т.п.

Пусть при некотором t = t0 оказалось, что , т.е. на карте зафиксировано нарушение технологического процесса, Карта Хотеллинга не показывает, с каким непосредственно из показателей качества (или совместным влиянием показателей) связано нарушение процесса. В связи с этим встает вопрос об интерпретации результатов контроля.

Для проверки гипотезы о том, что ответственность за нарушение процесса лежит на j-м показателе, может быть использован частный критерий Хотеллинга . Гипотеза верна, если

,

где сj -- вектор-столбец, состоящий из нулей во всех строках, кроме j-й, и единицы в j-й строке.

Если все р гипотез отвергаются, то это означает, что нарушение процесса вызвано совместным воздействием нескольких показателей. Таким образом, используя частный критерий Хотеллинга, можно выявить показатель, по которому произошло нарушение технологического процесса.

При небольших корреляциях, когда показатели качества практически некоррелированные, выявление показателя, по которому произошло нарушение, возможно с использованием карт Шухарта.

Еще один подход, который также иногда приводит к нужному результату, -- это поочередное удаление данных по одному из показателей, и построение карты Хотеллинга не по р, а по (р -- 1) показателю качества технологического процесса.

Размещено на Allbest.ru