Линии на плоскости в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Университет экономики и управления

РЕФЕРАТ

по дисциплине "Математика для экономистов"

на тему: "Линии на плоскости в экономике"

Выполнили:

Молоканова Наталья (110 группа)

Савченко Анастасия (101)

Проверила:

Шнарёва Г.В.

2013 год

Содержание

1. Определение

2. Кривые безразличия и их свойства

3. Бюджетные линии

4. Кривая производственных возможностей

5. Кривая инвестиционного спроса

6. Кривая Филлипса

7. Кривая Лаффера

1. Определение

Линия на плоскости - множество точек плоскости, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. При чтении экономической литературы приходится иметь дело с большим количеством графиков. Укажем некоторые из них.

2. Кривые безразличия и их свойства

Предположим, что потребитель имеет набор благ, состоящий из X и Y. Все соотношения количеств этих благ для него равноценны, потребителю безразлично, какой набор выбрать. Следовательно, эти товары принадлежат к набору безразличия. Набор безразличия - набор вариантов потребительского выбора, каждый из которых обладает одинаковой полезностью и поэтому не имеет предпочтения перед другими.

Кривая безразличия является графическим отображением набора безразличия. Кривая безразличия - совокупность наборов благ, обеспечивающих потребителю равный объем удовлетворения потребностей, т. е. приносящих ему одинаковую полезность. Взяв другие возможные сочетания благ, соответствующие различным величинам совокупной полезности, можно составить карту безразличия. Карта безразличия - совокупность кривых безразличия, соответствующих различным уровням полезности для одного потребителя и одной пары благ. Вкусы и предпочтения потребителя представляются картой кривых безразличия. Каждая следующая кривая безразличия, проходящая дальше от начала координат, предполагает относительно большую величину полезности.

Рис.1.

Любая кривая безразличия представляет одинаковую совокупную полезность различных благ для потребителя. Кривая безразличия (U) состоит из точек, символизирующих наборы товаров Х и Y. Совокупные полезности всех наборов, представленные точками на этой кривой одинаковы, т. е. потребителю безразлично, какую именно комбинацию товаров Х и Y он приобретет. Переходя от точки А к точке В, потребитель сокращает потребление блага Y на ДY и наращивает потребление товара X на ДХ, но общий уровень удовлетворения потребителя (совокупная полезность) остается неизменным (рисунок ниже).

Рис. 2

Зона замещения (субституции) - участок кривой безразличия, на котором возможна эффективная замена одного блага другим.

Взаимная замена благ X и Y возможна только в пределах отрезка АВ (зоне замены). Количество блага Х₁представляет минимально необходимое количество потребления блага X, от которого потребитель не может отказаться, как бы много товара Y ни предлагалось взамен. Аналогично Y₁ - минимально необходимое количество потребления блага Y. Предельная норма замещения - норма, в соответствии с которой одно благо может быть заменено другим благом без выигрыша или потери полезности для потребителя. Предельная норма замещения - количество одного блага, от которого потребитель готов отказаться, чтобы получить дополнительную единицу другого блага. Предельная норма замещения рассчитывается следующим образом:

где MRS - предельная норма замещения;

Q_x - количество товара X;

Q_Y - количество товара Y.

Предельная норма замещения всегда отрицательная величина, так как прирост потребления одного блага происходит за счет сокращения потребления другого. Предельная норма замещения уменьшается при движении вдоль кривой безразличия - получая в свое распоряжение все большее количество данного блага и наращивая его потребление, покупатель в обмен готов отказаться от все меньшего количества другого блага, которое становится все более дефицитным. У потребителя, желающего остаться на той же кривой безразличия, прирост полезности от наращивания потребления блага X должен быть равен потере полезности от сокращения потребления товара Y. Таким образом, предельная норма замещения блага X благом Y может рассматриваться как отношение предельной полезности блага X к предельной полезности блага Y:

Рассмотрим некоторые свойства кривых безразличия:

* кривые безразличия имеют отрицательный наклон. Между количествами благ X и Y существует обратная связь. При уменьшении потребления одного блага, для компенсации потерь и сохранения прежнего уровня полезности, потребитель должен увеличить потребление другого блага. Любая кривая, выражающая обратную связь переменных, имеет отрицательный наклон;

* кривые безразличия выпуклы по отношению к началу координат. Выше отмечалось, что при увеличении потребления одного блага потребитель должен уменьшить потребление другого блага. Выпуклость кривой безразличия по отношению к началу координат является следствием падения предельной нормы замещения. Пологий спуск кривой безразличия вниз или подъем наверх свидетельствует об убывании темпов замещения одного блага другим по мере уменьшения доли данного блага в потребительской корзине;

* абсолютная величина наклона кривой безразличия равна предельной норме замещения. Угол наклона кривой безразличия в данной точке показывает норму, в соответствии с которой одно благо может быть заменено другим благом без выигрыша или потери полезности для потребителя. Данное соотношение характеризуется предельной нормой замещения;

* кривые безразличия не пересекаются. Один и тот же потребитель не может характеризовать один и тот же набор благ различными уровнями полезности. Следовательно, две кривые безразличия, представляющие различные уровни полезности, не могут пересечься;

* возможно построить кривую безразличия, проходящую через любой набор благ. Кривую безразличия можно построить для любой пары благ, приносящих определенный уровень полезности. Именно по этому принципу строится карта безразличия, дающая полную информацию о системе предпочтений потребителя.

3. Бюджетные линии

Объяснения потребительского равновесия используют бюджетные линии. При этом графический анализ проводится в три этапа.

На первом этапе исследуются предпочтения потребителя, которые он учитывает, выбирая для покупки те или иные товары. При этом не принимаются во внимание денежный доход потребителя и цены товаров, ограничивающие возможности его выбора. В данном случае для анализа используются кривые безразличия.

На втором этапе анализируются бюджетные ограничения, т. е. денежный доход потребителя, который он может использовать с целью покупки товаров, и их цены. При этом используются бюджетные линии.

На третьем этапе объединяют анализ потребительских предпочтений и бюджетных ограничений, кривых безразличия и бюджетных линий, и определяют рациональный потребительский выбор, обеспечивающий потребителю максимальную общую потребность.

Бюджетная линия потребителя

Наклон бюджетной линии равен 0,5, что является отношением цены товара x к цене товара y. Это означает, что при данных ценах и постоянном денежном доходе потребитель, продвигаясь вниз по бюджетной линии, для приобретения дополнительной единицы товара x должен отказываться от 0,5 единицы товара y.

Преобразуем уравнение бюджетной линии P_x · Q_x + P_y · Q_y = I:

P_y · Q_y = I - P_x · Q_x

Отношение P_x / P_y называют коэффициентом трансформации, или коэффициентом преобразования благ. Он показывает возможность взаимозаменяемости двух товаров при том же денежном доходе. Коэффициент трансформации характеризует крутизну, или наклон, бюджетной линии.

На третьем этапе проводится совместный анализ кривых безразличия и бюджетной линии, и определяется положение равновесия потребителя, при котором он получает максимальную общую полезность.

Рис. 3.

Положение потребительского равновесия

Потребитель не может выбрать комбинации двух товаров, расположенные правее бюджетной линии, так как не располагает соответствующим денежным доходом. Комбинации, которые находятся левее бюджетной линии могут быть приобретены покупателем, но при этом им используется не весь денежный доход. Поэтому комбинации максимального количества товаров xи y, которые могут быть куплены потребителем, расположены на бюджетной линии BF. Однако оптимальной будет комбинация, обеспечивающая максимальную общую полезность. Она расположена в точке D, где бюджетная линия касается наивысшей из кривых безразличия TU.

Следовательно, потребитель графически находится в положении равновесия в точке, где наклон бюджетной линии равен крутизне кривой безразличия. Последнюю отражает предельная норма замещения, или коэффициент субституции.

Таким образом, мы пришли к рассмотренному ранее условию потребительского равновесия, при котором потребитель получает максимальное удовлетворение потребностей, или максимальную общую полезность, от потребления товаров x и y.

Прежде мы исходили из фиксированных цен на товары x и y и постоянного денежного дохода. В дальнейшем проанализируем, как влияет изменение цены одного из товаров и денежного дохода на положение потребительского равновесия.

4. Кривая производственных возможностей

Выбор становится необходимым в условиях относительной ограниченности ресурсов. Выбор происходит между экономическими вариантами наилучшего использования ресурсов. Оптимальным будет тот вариант, который обеспечивает максимум результата при минимуме затрат.

Экономической науке удалось разработать модель, представляющую выбор как экономическую проблему. Модель называется график производственных возможностей (ПВ).

Ось ординат показывает возможные величины производства товара А при ограниченном объеме ресурсов, ось абсцисс - возможные величины производства товара В из того же объема ресурсов. Соединив точки максимумов, получим кривую производственных возможностей (ПВ).

Рис. 4. График производственных возможностей

Кривая ПВ обозначает границы максимально возможного одновременного производства товара А и В при полном использовании ограниченных ресурсов.

Выбор оптимального варианта ограничен числом вариантов, представленных совокупностью точек этой кривой.

Кривая ПВ характеризует отрицательную зависимость между парными величинами максимальных результатов производства. При наращивании производства товара А мы неизбежно теряем какое-то количество товара В, и наоборот. Теряемое количество одного товара при максимизации производства другого называется альтернативной ценой.

Точка Е есть результат неполного использования производственных ресурсов. В точке Е имеется резерв ресурсов для одновременного наращивания производства товара А и В. И опять возникает проблема выбора оптимального варианта.

Количество товаров, которые приходится терять при максимизации производства в условиях неполного использования ресурсов, называется альтернативными затратами.

Издержки одного блага, выраженные в другом благе, которым пришлось пренебречь, называются альтернативными (вмененными) издержками. Также иногда их называют издержками отвергнутых возможностей.

Оптимальным вариантом в точке Е будет такой, который обеспечивает максимальную эффективность использования ресурсов. Формула эффективности - это отношение максимума результата к минимуму затрат (или дохода к расходам).

5. Кривая инвестиционного спроса

Рассмотрим расходы фирм, их инвестиционный спрос (I). Инвестиционный спрос представляет собой намерения или планы фирм по увеличению своего капитала, а также товарных запасов.

Роль инвестиций в экономике нельзя переоценить, именно посредством инвестиций реализуются достижения научно-технического прогресса, от них зависят изменения структуры производства, темпы экономического роста, а следовательно, и возможности увеличения потребления и роста благосостояния.

В отличие от потребления инвестиционный спрос непосредственно не зависит (или зависит очень слабо) от текущего дохода. По отношению к текущему доходу инвестиции независимы, автономны. Доказательством отсутствия непосредственной связи между текущим ВНП и инвестициями могут служить данные о соотношении темпов роста ВНП и темпов роста инвестиций в США (в %):

Что же определяет величину инвестиционных расходов? Инвестиции делаются ради получения прибыли в будущем. Очевидно, что чем выше ожидаемая прибыль, тем больше спрос на инвестиции. Вместе с тем, при принятии решений о вложениях капитала инвестор учитывает альтернативные возможности вложения капитала. Располагая определенной суммой денег, он всегда решает для себя, что выгоднее: вложить деньги в приобретение, например, оборудования, или положить деньги в банк. Таким образом инвестиции зависят от двух факторов: ожидаемой нормы прибыли (N_p) - отношение предполагаемой прибыли к инвестициям - и ставки процента (i).

Например, имеются три инвестиционных проекта:

Предположим, что ставка банковского процента равна 7%, тогда все проекты выгодно реализовать и спрос на инвестиции составит 45 млрд. руб. (10+15+20), если же ставка процента будет равна 9%, то спрос на инвестиции составит 25 млрд. руб. (10+15); если ставка процента - 11%, то спрос будет равен 10 млрд. руб. и т.д.

Отложив на горизонтальной оси величину инвестиционного спроса, а на вертикальной ожидаемую норму прибыли и ставку процента, мы можем получить график спроса на инвестиции (рис. 5).

I

Рис. 5. График спроса на инвестиции

Спрос на инвестиции предъявляется, пока норма ожидаемой прибыли больше банковского процента.

Кривая спроса на инвестиции отлого опускается вниз и отражает обратную зависимость между ставкой процента и совокупной величиной планируемых инвестиций.

На инвестиционный спрос помимо ожидаемой нормы прибыли и ставки процента влияют:

* издержки на приобретение, эксплуатацию и обслуживание зданий, сооружений, оборудования и т.п.;

* налоги на предпринимателей;

* изменения в технологиях производства;

* ожидания производителей в отношении спроса на их товары и услуги, изменения цен и т.п.

На инвестиционный спрос оказывает влияние и общая социально-экономическая обстановка в стране, переживаемая фаза цикла, устойчивость правовых норм и др.

В условиях современной России изменение взаимоотношений предприятий и государства, приватизация, появление новых организационно-правовых форм предприятий, падение производства, инфляция, несовершенства налоговой системы и др. отрицательно сказываются на инвестиционном процессе в стране.

Россия переживает инвестиционный кризис. Именно сейчас, когда необходима структурная перестройка, обновление устаревших производственных мощностей, инвестиции в экономику сокращаются. Основные причины: нехватка у предприятий собственных средств для финансирования инвестиций, высокие процентные ставки за кредит, высокие цены на оборудование и материальные ресурсы, низкая в этих условиях прибыльность инвестиций.

Для того чтобы Россия вышла из инвестиционного кризиса необходимы: рост частных сбережений как источника финансирования реальных инвестиций, снижение уровня ссудного процента, введение налоговых льгот для предприятий, инвестирующих свою прибыль в производство, облегчение доступа к долгосрочным кредитам, привлечение иностранного капитала и др.

6. Кривая Филлипса

Кривая Филлипса отражает взаимосвязь между темпами инфляции и безработицы. Кейнсианская модель экономики показывает, что в экономике может возникнуть либо безработица (вызванная спадом производства, следовательно уменьшением спроса на рабочую силу), либо инфляция (если экономика функционирует в состоянии полной занятости).

Одновременно высокая инфляция и высокая безработица существовать не могут.

Рис. 6

Кривая Филипса была построена А.У. Филлипсом на основе данных заработной платы и безработицы в Великобритании за 1861-1957 годы.

Следуя кривой Филлипса, государство может выстроить свою экономическую политику. Государство с помощью стимулирования совокупного спроса может увеличить инфляцию и снизить безработицу и наоборот.

Кривая Филипса была полностью верна до середины 70х годов. В этот период случилась стагнация (одновременный рост инфляции и безработицы), которую кривая филипса не смогла объяснить.

Применение Кривой Филипса

Кривая Филипса применяется для построения кривой совокупность предложения. Совокупное предложение выражает зависимость реального объема выпуска от уровня цен. А объем производства напрямую зависит от числа занятых в экономике. Чем больше количество занятых в экономике, тем больше объем производства и соответственно предложение.

Отрицательный наклон кривой доказывает существование выбора между двумя пороками экономики - инфляцией и безработицей. Простейшая кейнсианская модель показывает, что в экономике может возникнуть либо безработица (вызванная спадом), либо инфляция (если экономика функционирует при полной занятости, т.е. в долгосрочном периоде). Одновременно высокая инфляция и безработица существовать не могут.

В терминах модели совокупного спроса и предложения простейший кейнсианский анализ предполагает, что кривая имеет вид "обратной " (т.е. нет среднего участка). По ходу горизонтального (кейнсианского) участка кривой совокупного предложения прирост спроса будет вызывать увеличение реального производства и занятости при постоянном уровне цен до тех пор, пока не будет достигнуто состояние полной занятости. Дальнейший рост совокупного спроса переместит экономику на вертикальный (классический) участок кривой совокупного спроса, где реальный выпуск остается неизменным, но появляется инфляция.

На осях первоначально откладывались темпы роста заработной платы и уровень безработицы.

Как следует из кривой Филипса, при проведении экономической политики приходится чем-то жертвовать. Если общество негативно относится к безработице, но терпимо к инфляции, то государство может стимулировать совокупный спрос, увеличивая инфляцию и снижая безработицу.

Кривая Филипса соответствовала эмпирическим фактам до середины 70-х гг. Период стагфляции (рост инфляции и безработицы одновременно) она не могла объяснить. Было высказано предположение, что в этом случае кривая Филипса смещается вправо, т.е. в менее желательное положение, где каждый данный уровень безработицы сопровождается более высоким уровнем инфляции.

Одним из важнейших применений кривой Филипса, кроме установления целей экономической политики, является построение кривой совокупного предложения. Как упоминалось ранее, совокупное предложение выражает зависимость реального объема выпуска от уровня цен. Объем производства напрямую зависит от числа занятых в экономике и, соответственно, обратным образом от числа безработных. Если вместо абсолютных величин взять относительные, то объем производства, обратно зависящий от уровня безработицы, прямым образом зависит от уровня инфляции.

7. Кривая Лаффера

Кривая Лаффера показывает зависимость между доходами государственного бюджета и динамикой налоговых ставок. Была разработана американским экономистом Артуром Лаффером.

Графическое изображение этой зависимости представлено на рисунке. Точки касания кривой Лаффера показывают, что если, например, уровень налогообложения равен нулю, то государство лишается доходов. Если же оно намерено отобрать все доходы (t = 100%), то экономический процесс останавливается и государственный бюджет останется без доходов. При ставке t_max общая сумма доходов государства достигнет максимума Т_max.

Рис. 7. Кривая Лаффера

Попытки повысить налоговую ставку, например до величины t₁, приведут к снижению доходов государства. Автор показывает, что повышение налоговых ставок до определенного уровня приводит к росту бюджетных доходов. Такое положительное воздействие возможно только до определенного предела, а за ним начинается так называемая "запретная зона" шкалы налогообложения. Налоги, взимаемые на основании высоких ставок, приводят к значительному сокращению бюджетных доходов. Это объясняется тем, что высокие налоги подавляют частную инициативу, подрывают стремление к новым инвестициям. А. Лаффер сделал вывод, что налоговые ставки достигли уровня, который сдерживает темпы экономического развития и предлагает снизить налоговые ставки, и прежде всего на прибыль. Найти оптимальную величину налоговой ставки теоретически невозможно, и многие экономисты пытаются вычислить ее эмпирическим путем. Но здесь существуют значительные различия: одни, в том числе и Лаффер, считают, что США уже в конце 70-х годов перешли рубеж t_max, другие не согласны и доказывают возможность повышения ставки налога. Безусловно, что реальный мир является очень несовершенной площадкой для проверки результатов столь гигантского эксперимента. Налоговая реформа вместе с другими мерами позволили США увеличить деловую активность, повысить темпы экономического роста (5,5% в 1999 году): "удлинить" деловой цикл и добиться бездефицитного бюджета.

кривая безразличие филлипс лаффер

Вывод

Из этого реферата мы извлекли, что линии на плоскости используются как в математике, так и в экономике. Рассмотрели примеры и задачи решения линий на плоскости; как важно для экономистов умение строить графики и разбираться в свойствах простейших кривых, каковыми являются прямые линии. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми. Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной системой неравенств.

Размещено на Allbest.ru