Уравнение линейной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Руководитель: Орлова И.В.

Москва, 2009 г.

Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

	36	28	43	52	51	54	25	37	51	29
	85	60	99	117	118	125	56	86	115	68

Решение задачи

1) Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Составим линейную модель:

= a + b • x

Для проведения регрессионного анализа используем инструмент Регрессия:

- Выберем команду Данные -> Анализ данных.

- В диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент Регрессия, затем нажмем кнопку ОК.

- В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введем адрес диапазона ячеек, которые представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введем адрес диапазона ячеек, которые содержат значения независимых переменных (рис. 1).

регрессия дисперсия стьюдент



Рис. 1 Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению анализа данных

- Установим флажок Метки в первой строке.

- Выберем параметры вывода (Новый рабочий лист).

- В поле Остатки поставим флажок.

- Нажмем кнопку ОК.

После перечисленных действий будет получен протокол выполнения регрессионого анализа (рис.2).



Рис. 2 Протокол выполнения регрессионого анализа

В таблице, следующей за таблицей «Дисперсионный анализ» (см. рис.2), во втором столбце содержатся коэффициенты уравнения регрессии. Уравнение регрессии зависимости объма выпуска продукции от объема капиталовложений можно записать в следующем виде:

Коэффициент регрессии b показывает, что с ростом объема капиталовложений (x) на 1 млн. руб. выпуск продукции (y) вырастает на 2,314 млн. руб.

2) Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Возьмем остатки из «Протокола выполнения регрессионого анализа».



Рис. 3 Остатки

Найдем остаточную сумму квадратов:

Дисперсия остатков рассчитывается по следующей формуле:

Среднеквадратическая величина остатков:

График остатков:

- Выберем команду Данные -> Анализ данных.

- В диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент Регрессия, затем нажмем кнопку ОК.

- В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введем адрес диапазона ячеек, которые представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введем адрес диапазона ячеек, которые содержат значения независимых переменных.

- Установим флажок Метки в первой строке.

- Выберем параметры вывода (Новый рабочий лист).

- В поле График остатков поставим флажок.

- Нажмем кнопку ОК.

Рис. 4 Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению анализа данных



Рис. 5 График остатков

Проверка предпосылок МНК.

Условия, необходимые для получения несмещенных, состоятельных и эффективных оценок, представляют собой предпосылки МНК. Выполнение этих предпосылок проверяется на основе анализа остатков. Выполнение условия равенства нулю математического ожидания остатков обеспечивается всегда при использовании МНК для линейных моделей.

а) случайность уровней ряда проверим по критерию поворотных точек p:

;

;

;

;

Р> 2; т.е. 7>2. Следовательно, условие выполняется.

Итак, случайная составляющая (еi) или зависимая переменная (yi) есть величина случайная.

б) Проверка условия гомоскедастичности случайной составляющей. Нарушение условия гомоскедастичности, или равноизменчивости, возмущений означает, что дисперсия возмущения зависит от значений факторов. Такие регрессионные модели называются моделями с гетероскедастичностью возмущений. При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться тест Голдфельда-Квандта.

1) упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной X;

2) разделим совокупность на 2 группы и определим по каждой из групп уравнение регрессии:

X1	Y1
25	56
28	60
29	68
36	85
37	86

Рис. 6 Протокол выполнения регрессионого анализа

X2	Y2
43	99
51	118
51	115
52	117
54	125

Рис. 7 Протокол выполнения регрессионого анализа

3)определим остаточную сумму квадратов для первой и второй регрессии Та 3

x	y		E=y -
25	56	55,2	0,8	0,64
28	60	63,1	-3,1	9,61
29	68	65,7	2,3	5,29
36	85	84,1	0,9	0,81
37	86	86,8	-0,8	0,64
		16,99

x	y		E=y -
43	99	98,6	0,4	0,16
51	118	116,6	1,4	1,96
51	115	116,6	-1,6	2,56
52	117	118,8	-1,8	3,24
54	125	123,3	1,7	2,89
		10,81

4) Затем большую сумму поделим на меньшую, таким образом найдём Fрасч

Полученное отношение имеет F-распределение со степенями свободы

где k- число оцениваемых параметров в уравнении регрессии; -число наблюдений в первой группе

Рис. 8 Определение табличного значения F-критерия

.

Значение F-расчетного меньше F-табличного, что свидетельствует о том, что гетероскедастичность не обнаружена и, следовательно, выполняются свойства гомоскедастичности остатков.

в) Независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда проверим с помощью dw-критерия Дарбина-Уотсона:

dw=

Составим таблицу на основе остатков уровней ряда:

Рабочая таблица

№ п/п	x	y
1	25	56	56,807	-0,807	0,651
2	28	60	63,748	-3,748	14,045	-2,941	8,650
3	29	68	66,061	1,939	3,758	5,686	32,334
4	36	85	82,257	2,743	7,524	0,804	0,647
5	37	86	84,571	1,429	2,043	-1,314	1,726
6	43	99	98,453	0,547	0,299	-0,882	0,778
7	51	115	116,962	-1,962	3,850	-2,509	6,297
8	51	118	116,962	1,038	1,077	3,000	9,000
9	52	117	119,276	-2,276	5,180	-3,314	10,980
10	54	125	123,903	1,097	1,203	3,373	11,375
Итого:					39,630		81,787

Таким образом, dw ==2,064. Т.к. dw >2, то используем dw'=4-dw, тогда dw'=4-2,064=1,936.

Табличные значения, при уровне значимости б =0,05, соответственно равны .

Так как 1,36<1,936<2, то автокорреляция отсутствует, т.е. выполняется свойство независимости остатков.

в) Соответствие нормальному закону распределения (НЗР) проверим по RS-критерию:

Т.к. R/S = 2,89 находится в интервале [RSmin; RSmax], (RSmin=2,67; RSmax=3,69 - таблицы), то гипотеза о НЗР уровней ряда подтверждается, что позволяет сделать прогноз.

Все предпосылки МНК выполнены. Построенная модель является адекватной реальному процессу, её можно использовать для построения прогнозных оценок.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Для оценки статистической значимости параметров полученной модели используем t-критерий. Расчетное значение t-статистики определяется по формулам;

Расчетные значения t-критерия можно найти в протоколе Excel после применения инструмента Регрессия (рисунок 10):

Рис. 9 Результат применения инструмента Регрессия

Табличное значение t-критерия (0,05;8)=2,306.

Т.к. , то с вероятностью 95% параметр a данного уравнения регрессии не значим.

А т.к. , то с вероятностью 95% параметр b данного уравнения регрессии значим.

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Рис. 10 Результат применения инструмента Регрессия

Это означает, что 99,33% вариации объёма выпуска продукции (у) находится под воздействием фактора х - объёма капиталовложений.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Проверку значимости проведем на основе вычисления F-критерия Фишера:

1191,3

Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице «дисперсионный анализ протокола Excel (см.рис.11).

Рис. 11 Результат применения инструмента Регрессия

Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 7%, поэтому модель точна и по ней можно прогнозировать с достаточно высокой вероятностью.

Дадим оценку качества модели:

Случайность уровней ряда	свойство выполняется
независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда	свойство выполняется
соответствие нормальному закону распределения (НЗР)	соответствует
обнаружение гетероскедастичности (тест Голдфельда-Квандта)	гетероскедастичность не обнаружена
оценим значимость параметров уравнения регрессии	параметры уравнения значимы
коэффициент детерминации:	высокий
значимость уравнения регрессии	значимо
средняя ошибка аппроксимации:	модель точная

Вывод: модель качественная.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Пусть прогнозное значение x составляет 80 % относительно максимального значения ():

Границы доверительного интервала прогноза:

Произведём необходимые расчёты (таблица 12):

Рабочая таблица

№ п/п	x	y
1	25	56	243,36
2	28	60	158,76
3	29	68	134,56
4	36	85	21,16
5	37	86	12,96
6	43	99	5,76
7	51	115	108,16
8	51	118	108,16
9	52	117	129,96
10	54	125	179,56
Итого:	406	929	1102,4
среднее	40,6	92,9

Интервальный прогноз:

Нижняя граница прогноза

Верхняя граница прогноза

94,58

Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Строим график «Фактические и модельные значения У»: скопируем в лист с вычислениями прогнозируемых значений график подбора с листа «Регрессия Y». Соединим точки графика отрезками (активировать курсором точки - тип данных - отрезки).

Переименовываем график подбора в «Фактические значения У». К существующим данным добавляем новые (Исходные данные - Ряд - Добавить): для точечного прогноза, нижней и верхней границ прогноза, указывая соответствующие данные (рисунок 13):



Рис. 13 Фактические и модельные значения Y

Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Гиперболическая модель не является стандартной.

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (рис. 14).



Рис. 14

С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

Таким образом, ; , следовательно, уравнение гиперболической модели .

С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические значения для каждого уровня исходных данных .

Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных , ряд теоретических значений .



Степенная модель является стандартной. Для ее построения используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на диаграмму уравнение модели.

Таким образом, уравнение степенной модели .

Показательная модель тоже стандартная (экспоненциальная).

Построим ее с помощью Мастера диаграмм.



Можно вычислить (функция EXP), тогда уравнение показательной модели .

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Заполним для каждой модели расчетную таблицу, в которую занесем теоретические значения , найденные по соответствующему уравнению для каждого уровня исходных данных ; ошибки модели и относительные погрешности

.

Среднюю относительную погрешность найдем по столбцу с помощью функции СРЗНАЧ.

Индекс детерминации вычислим по формуле

,

для чего подготовим числитель дроби - функция СУММКВ для столбца ошибок и знаменатель - функция КВАДРОТКЛ для столбца Y.

Составим сводную таблицу характеристик качества построенных моделей:

Столбец средних относительных погрешностей показывает, что наиболее точной является степенная модель, ее погрешность - наименьшая. Также точность степенной модели высокая - 2,11% < 5%.

По величине индекса детерминации лучшая модель - степенная (индекс детерминации наибольший). , таким образом, вариация объема выпуска продукции на 99% объясняется по уравнению линейной модели вариацией объема капиталовложений.

Для линейной модели:

При изменении объема капиталовложений на 1% объем выпуска продукции уменьшится на 0,45%.

Для показательной модели:

При изменении объема капиталовложений на 1% объем выпуска продукции изменится на 1,096%.

Для степенной модели:

При изменении объема капиталовложений на 1% объем выпуска продукции изменится на 1,0258%.

Для гиперболической модели:

При изменении объема капиталовложений на 1% объем выпуска продукции изменится на 0,8%.

Литература

1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика, 2002.

2. Практикум по эконометрике: Учеб. Пособие / Под ред. И.И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика, 2002.

3. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие.- - М.: Вузовский учебник,2007.

4. Эконометрика. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на ПЭВМ. - М.: Вузовский учебник, 2005.

Размещено на Allbest.ru