Показатели распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЧОУ ВПО «Институт экономики, управления и права (г. Казань)»

Экономический факультет

Контрольная работа

по общей теории статистики

Загретдинова Анастасия Ильдаровна

I курс заочного отделения

экономического факультета

гр. 101-у

Казань - 2011

Имеются данные о деятельности 10% предприятий (механическая выборка) отрасли за период с 2000 по 2010 гг. (таблица 1). Провести группировку предприятий отрасли по объему товарооборота за 2000 г. в ценах текущего периода.

На основании проведенной группировки определить:

показатели центра распределения (среднюю арифметическую взвешенную, моду и медиану);

показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации).

На основании проведенной группировки построить графики: полигон, гистограмму и кумуляту. На графиках указать моду и медиану.

С вероятностью 0,950 определить предельные значения среднего товарооборота и доверительный интервал для среднего товарооборота в генеральной совокупности предприятий.

Для предприятий, входящих в 6-ю группу, определить:

средний товарооборот (в ценах текущего и базисного периода) за каждый год в периоде с 2000 по 2010 гг.;

по средним товарооборотам в ценах 2000 г. определить:

показатели динамики (базисные и цепные: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста);

по вычисленным средним показателям динамики провести точечный прогноз товарооборота на 2011 г.;

определить тренд методом скользящей средней;

методом аналитического выравнивания построить трендовую модель и произвести интервальный прогноз величины среднего товарооборота на 2011 г. для соответствующей группы с вероятностью 0,950.

По средним товарооборотам определить базисные индексы товарооборота, цен и физического объема.

Сделать выводы.

Решение

Определить оптимальное количество групп с равными интервалами можно по формуле Стерджесса:

n = 1 + 3,322lgN,

где N - численность единиц совокупности.

N = 30

Получаем следующее n:

n = 1 + 3,322lg30 = 5,906997 6

Определим длину интервала по формуле:

l = (х_max - x_min) /n,

где n - число выделенных интервалов.

n = 4

х_max = 7882,49

x_min = 3536,21

l = (7882,49 - 3536,21)/6 = 724,38

Группы:

1)	3536,21	-	4260,59
2)	4260,59	-	4984,97
3)	4984,97	-	5709,35
4)	5709,35	-	6433,73
5)	6433,73	-	7158,11
6)	7158,11	-	7882,49

Распределим предприятия по группам и разместим их в статистической таблице:

Статистическая таблица

№ группы	Группа предприятий по объему товарооборота в ценах 2000 г.	Предприятие	Товарооборот, млн. руб.	Количество предприятий в группе
1)	3536,21	-	4260,59	14	3536,21
				8	3703,81
				19	3705,95
				13	4010,72
				24	4169,09
				30	4222,26
				20	4259,77	7
2)	4260,59	-	4984,97	4	4490,1
				22	4554,43
				11	4948,83
				2	4961,13	4
3)	4984,97	-	5709,35	29	4988,92
				7	4993,12
				23	5139,5
				3	5179,03
				25	5198,08
				16	5217,44
				10	5290,44
				15	5618,59
				12	5708,48	9
4)	5709,35	-	6433,73	26	5731,47
				18	5834,85
				17	5995,33	3
5)	6433,73	-	7158,11	1	6588,24
				9	6607,36
				21	6629,68
				28	6487,12
6)	7158,11	-	7882,49	27	6809,78	4
				6	7708,45
				5	7882,49	2

Показатели центра распределения.

Средняя арифметическая взвешенная:

Для того чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем - среднюю для всего ряда.

Средняя арифметическая для каждого интервала определяется как полусумма верхней и нижней границ, т.е. по формуле средней арифметической простой.

Средняя для всего ряда вычисляется по формуле:

,

где - это средние интервалов, - частота соответствующих средних (в данном случае, количество предприятий в группе, n - количество групп.

№ группы	Группа предприятий	Средний товарооборот по группе, млн. руб.	Количество предприятий в группе	(Средний товарооборот) х (Количество предприятий в группе)
1)	3536,21	-	4260,59	3898,4	7	27288,8
2)	4260,59	-	4984,97	4622,78	4	18491,12
3)	4984,97	-	5709,35	5347,16	9	48124,44
4)	5709,35	-	6433,73	6071,54	3	18214,62
5)	6433,73	-	7158,11	6795,92	5	33979,6
6)	7158,11	-	7882,49	7520,3	2	15040,6
				Всего предприятий:	30
Средняя арифметическая взвешенная:	5371,306

Мода:

Мода - это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.

Величина моды определяется по формуле:

где х_Мо - начало модального интервала;

h - величина интервала;

f_Мо - частота, соответствующая модальному интервалу;

f_(-1) - предмодальная частота;

f₍₊₁₎ - послемодальная частота.

Сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой, в данном случае, с наибольшим количеством предприятий в группе. Это 3-я группа.

х_Мо = 4984,97

f_Мо = 9

f_(-1) = 4

f₍₊₁₎ = 3

h = 724,38

Медиана:

Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.

При нахождении медианы интервального вариационного ряда вначале определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), а затем - приближенное значение медианы по формуле:



где х_Ме - нижняя граница медианного интервала;

h - величина интервала;

S_(-1) - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме - частота медианного интервала;

- сумма частот или число членов ряда.

Медианный интервал в нашей задаче - 3-й, поскольку в этом интервале накопленная частота (накопленное количество предприятий в группе) равняется 20, что больше половины всего количества предприятий. Следовательно, в этой группе и находится медиана.

х_Ме = 4984,97

h = 724,38

S_(-1) = 7 + 4 = 11

f_Ме = 9

= 30

Показатели вариации.

Размах вариации:

Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями x из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:

R=x_max - x_min = 7882,49 - 3536,21 = 4346,28

Размах вариации показывает лишь то, насколько велик диапазон изменения значений в совокупности. В данном случае размах вариации показывает, что между минимальным товарооборотом и максимальным товарооборотом разница в 4346,28 млн. руб.

Среднее линейное отклонение:

Cреднее линейное отклонение - это средний модуль отклонений значений x от среднего арифметического значения.

Если исходные данные x сгруппированы, то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней арифметической взвешенной - получим среднее линейное отклонение взвешенное:

Составим вспомогательную таблицу:

№ группы	Интервал	Кол-во пр-й в группе (fi)	Середина интервала (xi)	ABS(xi-xср)	ABS(xi-xср)*fi
1)	3536,21	-	4260,59	7	3898,4	1472,91	10310,342
2)	4260,59	-	4984,97	4	4622,78	748,53	2994,104
3)	4984,97	-	5709,35	9	5347,16	24,15	217,314
4)	5709,35	-	6433,73	3	6071,54	700,23	2100,702
5)	6433,73	-	7158,11	5	6795,92	1424,61	7123,07
6)	7158,11	-	7882,49	2	7520,3	2148,99	4297,988
Всего предприятий	30		Сумма:	27043,52

Этот показатель показывает, насколько в среднем каждое значение отклоняется от среднего.

Дисперсия:

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и для сгруппированных данных вычисляется как



Для вычисления дисперсии составим вспомогательную таблицу:

№ группы	Интервал	fi	xi	xi-xср	(xi-xср)2	(xi-xср)2*fi
1)	3536,21	-	4260,59	7	3898,40	-1472,91	2169452,08	15186164,59
2)	4260,59	-	4984,97	4	4622,78	-748,53	560291,17	2241164,69
3)	4984,97	-	5709,35	9	5347,16	-24,15	583,03	5247,26
4)	5709,35	-	6433,73	3	6071,54	700,23	490327,65	1470982,96
5)	6433,73	-	7158,11	5	6795,92	1424,61	2029525,05	10147625,24
6)	7158,11	-	7882,49	2	7520,30	2148,99	4618175,21	9236350,42
Всего предприятий	30			Сумма:	38287535,18

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение () равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической. Для сгруппированных данных среднее квадратическое отклонение вычисляется как:

или корень квадратный из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности - чем меньше значение среднего квадратического отклонения (также как и дисперсии), тем однороднее совокупность.

Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации является критерием однородности совокупности (в случае нормального распределения) и вычисляется как

.

Вариация годовых товарооборотов различных предприятий в общей совокупности не превышает 21%, то есть не является значительной, следовательно, совокупность товарооборотов однородная.

Графики.



Предельные значения среднего товарооборота и доверительный интервал для среднего товарооборота в генеральной совокупности предприятий.

Как правило, в качестве предельной ошибки рассматривают произведение коэффициента доверия на среднюю ошибку.



где - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности (механическая выборка);

n - число наблюдений.

t - коэффициент доверия, определяется по таблицам в зависимости от вероятности.

Для вероятности 0,95 t = 1,96

Предельные значения среднего товарооборота:

Доверительный интервал:

Для предприятий, входящих в 6-ю группу, определить:

средний товарооборот (в ценах текущего и базисного периода) за каждый год в периоде с 2000 по 2010 гг.

Средний товарооборот по группе считается как простое среднее арифметическое. Поскольку в 6-й группе всего два предприятия, то средний товарооборот будет вычисляться, как полусумма товарооборотов обоих предприятий.

Рассчитанные данные приведены в таблице ниже:

		Товарооборот, млн. руб.	Средний товарооборот, млн. руб.
Годы	Период	Предприятия
		5	6
2000	в ценах текущего периода	7882,49	7708,45	7795,47
2001	в ценах текущего периода	8234,60	8101,48	8168,04
	в ценах 2000 года	7708,47	7520,43	7614,45
2002	в ценах текущего периода	8623,01	8169,66	8396,34
	в ценах 2000 года	7534,78	7069,79	7302,29
2003	в ценах текущего периода	9023,32	8408,32	8715,82
	в ценах 2000 года	7303,62	6788,76	7046,19
2004	в ценах текущего периода	9869,14	8661,64	9265,39
	в ценах 2000 года	7461,62	6469,34	6965,48
2005	в ценах текущего периода	10539,40	9124,03	9831,72
	в ценах 2000 года	7374,07	6328,39	6851,23
2006	в ценах текущего периода	11405,20	9932,28	10668,74
	в ценах 2000 года	7473,54	6414,79	6944,17
2007	в ценах текущего периода	11663,50	10329,50	10996,50
	в ценах 2000 года	7166,72	6225,98	6696,35
2008	в ценах текущего периода	11912,50	10382,10	11147,30
	в ценах 2000 года	6865,77	5843,33	6354,55
2009	в ценах текущего периода	12864,70	10465,10	11664,90
	в ценах 2000 года	6907,30	5473,25	6190,28
2010	в ценах текущего периода	13423,50	11190,80	12307,15
	в ценах 2000 года	6757,81	5414,81	6086,31

Показатели динамики по среднему товарообороту в ценах 2000 г. (базисные и цепные: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста):

Абсолютный прирост (А) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, насколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения:

Абсолютный прирост базовым методом:



и т.д.

Абсолютный прирост цепным методом:

и т.д.

Коэффициент роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень базисного периода.

Базовым методом:

K_i= y_i/ y₀

Цепным методом:

K_i= y_i/ y_i-1

Темп роста базовым методом рассчитывается в процентах как отношение текущего уровня к базовому уровню:



и т.д.

Темп роста цепным методом рассчитывается в процентах как отношение текущего уровня к предыдущему уровню:

и т.д.

Темп прироста вычисляется как для базового метода и для цепного метода.

Абсолютное значение одного процента прироста А_i рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста (в %) за тот же период времени.

Если преобразовать эту формулу, то получим следующее выражение:

А_i= 0,01 * y_i-1

Рассчитанные значения показателей динамики приведены в таблице ниже:

Годы	Средний товаро-оборот, млн. руб.	Абсолютный прирост	Коэффициент роста	Темп роста	Темп прироста	Абсолютное значение 1% прироста
		базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
2000	7795,47	-	-	-	-	-	-	-	-	-
2001	7614,45	-181,0	-181,0	0,98	0,98	98%	98%	-2%	-2%	77,95
2002	7302,29	-493,2	-312,2	0,94	0,96	94%	96%	-6%	-4%	76,14
2003	7046,19	-749,3	-256,1	0,90	0,96	90%	96%	-10%	-4%	73,02
2004	6965,48	-830,0	-80,7	0,89	0,99	89%	99%	-11%	-1%	70,46
2005	6851,23	-944,2	-114,3	0,88	0,98	88%	98%	-12%	-2%	69,65
2006	6944,17	-851,3	92,9	0,89	1,01	89%	101%	-11%	1%	68,51
2007	6696,35	-1099,1	-247,8	0,86	0,96	86%	96%	-14%	-4%	69,44
2008	6354,55	-1440,9	-341,8	0,82	0,95	82%	95%	-18%	-5%	66,96
2009	6190,28	-1605,2	-164,3	0,79	0,97	79%	97%	-21%	-3%	63,55
2010	6086,31	-1709,2	-104,0	0,78	0,98	78%	98%	-22%	-2%	61,90

Точечный прогноз товарооборота на 2011 г. по вычисленным средним показателям динамики

Вычислим линейную регрессию методом наименьших квадратов, чтобы построить точечный прогноз на 2011 г.

В случае линейной регрессии y(x) = ax + b можно сразу получить значения коэффициентов a и b по следующим формулам:

Составим вспомогательную таблицу для расчетов:

	Годы (xi)	Средний товарооборот, млн. руб. (yi)	xi2	xiyi
	2000	7795,47	4000000,00	15590940,00
	2001	7614,45	4004001,00	15236514,45
	2002	7302,29	4008004,00	14619174,57
	2003	7046,19	4012009,00	14113518,57
	2004	6965,48	4016016,00	13958821,92
	2005	6851,23	4020025,00	13736716,15
	2006	6944,17	4024036,00	13929994,99
	2007	6696,35	4028049,00	13439574,45
	2008	6354,55	4032064,00	12759936,40
	2009	6190,28	4036081,00	12436262,48
	2010	6086,31	4040100,00	12233483,10
Сумма	22055	75846,76	44220385,00	152054937,08

Таким образом, линейная функция, описывающая изменение среднего товарооборота со временем, будет выглядеть следующим образом:

y(x) = -161,88x + 331462,74

Подставим в это уравнение следующий год, чтобы получить точечный прогноз:

y(2011) = -161,882011 + 331462,74 = 5923,89

Тренд методом скользящей средней

Метод скользящей средней заключается в следующем: формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получается, сдвигом от начального уровня ряда на один уровень. По укрупненным интервалам определяется средняя из уровней, входящих в каждый интервал. Для более чёткого выражения тенденции дополнительно рассчитывается сглаженная центрированием (простое среднее арифметическое двух соседних значений скользящей средней) скользящая средняя.

Составим расчетную таблицу. Для расчетов выбираем 5 уровней, так как прослеживается тенденция убывания, поэтому период лучше брать не слишком короткий.

Расчетная таблица

Годы	Средний товарооборот, млн. руб.	Скользящая среднего товарооборота (интервал 5 лет)	Скользящая средняя из 5-ти уровней	Сглаженная центрированием скользящая средняя
2000	7795,47	7795,47 + 7614,45 + 7302,29 + +7046,19 + 6965,48 =	36723,88	36723,88 : 5 =	7344,775	7250,351
2001	7614,45	7614,45 + 7302,29 + 7046,19 + +6965,48 + 6851,23 =	35779,64	35779,64 : 5 =	7155,927	7088,899
2002	7302,285	7302,29 + 7046,19 + 6965,48 + +6851,23 + 6944,17 =	35109,35	35109,35 : 5 =	7021,87	6961,277
2003	7046,19	7046,19 + 6965,48 + 6851,23 + +6944,17 + 6696,35 =	34503,42	34503,42 : 5 =	6900,683	6831,519
2004	6965,48	6965,48 + 6851,23 + 6944,17 + +6696,35 + 6354,55 =	33811,78	33811,78 : 5 =	6762,355	6684,835
2005	6851,23	6851,23 + 6944,17 + 6696,35 + +6354,55 + 6190,28 =	33036,57	33036,57 : 5 =	6607,314	6530,822
2006	6944,165	6944,17 + 6696,35 + 6354,55 + +6190,28 + 6086,31 =	32271,65	32271,65 : 5 =	6454,33
2007	6696,35
2008	6354,55
2009	6190,275
2010	6086,31



Метод аналитического выравнивания

Построить трендовую модель и произвести интервальный прогноз величины среднего товарооборота на 2011 г. для соответствующей группы с вероятностью 0,950.

При исчислении этого метода фактические уровни ряда динамики заменяются теоретическими, вычисленными на основе уравнения определенной кривой, отражающей общую тенденцию развития явления.

Тенденцию развития обычно изображают кривой, параболой, гиперболой и прямой линией.

Рассмотрим в качестве линии тренда прямую.

Уравнение тренда имеет вид y = ax + b

Найдем уравнение тренда методом наименьших квадратов.

Годы	Средний товарооборот, млн. руб.	t	t2	yt	Годы	t	Yt= at+b	Скользящая средняя (3-х уровневая)
2000	7795,47	1	1	7795,47	2000	1	7704,555	7570,74
2001	7614,45	2	4	15228,90	2001	2	7542,676	7320,98
2002	7302,285	3	9	21906,86	2002	3	7380,797	7104,65
2003	7046,19	4	16	28184,76	2003	4	7218,918	6954,30
2004	6965,48	5	25	34827,40	2004	5	7057,039	6920,29
2005	6851,23	6	36	41107,38	2005	6	6895,16	6830,58
2006	6944,165	7	49	48609,16	2006	7	6733,28	6665,02
2007	6696,35	8	64	53570,80	2007	8	6571,401	6413,73
2008	6354,55	9	81	57190,95	2008	9	6409,522	6210,38
2009	6190,275	10	100	61902,75	2009	10	6247,643
2010	6086,31	11	121	66949,41	2010	11	6085,764
2011	75846,76	66,00	506,00	437273,83	2011	12	5923,885

a= -161,88

b= 7866,43

Уравнение прямой:

y = -161,88x +7866,43

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка около 1%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Среднеквадратическая ошибка тренда:

Границы доверительного интервала находятся как разность и сумма прогнозного значения Y_n+k и среднеквадратической ошибки тренда:



Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 12

Примем значение уровня значимости a=0,05 (доверительная вероятность 0,95). В этом случае критерий Стьюдента (при = n - 2 = 11-2 = 9) равен t_б,v = 1,8.

Нижняя граница интервала:

Базисные индексы товарооборота, цен и физического объема.

Индекс физического объема продукции:

i_q = q₁ / q₀,

где q₁, q₀ - количество произведенной продукции в отчетном и базисном периодах.

Индекс цен:

i_p = p₁ / p₀,

где p₁, p₂ - цена единицы продукции в отчетном и базисном периодах.

Индекс товарооборота

i_pq = p₁q₁/p₀q₀,

где q1, q0 - количество произведенной продукции в отчетном и базисном периодах, p1, p2 - цена единицы продукции в отчетном и базисном периодах.

Так как нам изначально дан товарооборот, то чтобы вычислить базисные индексы товарооборота, нужно разделить товарооборот отчетного года в ценах текущего периода на товарооборот 2000 г. в ценах текущего периода.

Чтобы вычислить индекс цен, нужно поделить товарооборот отчетного периода в текущих ценах на товарооборот отчетного периода в ценах 2000 г.

Чтобы вычислить индекс физического объема, необходимо поделить товарооборот отчетного периода в ценах 2000 г. на товарооборот базисного периода (2000 г.) в базисных ценах (2000 г.).

Рассчитанные данные приведены в таблице:

	Средний товарооборот, млн. руб.	Индекс товаро-оборота	Индекс физического объема	Индекс цен
Годы	в ценах текущего периода, piqi	в ценах 2000 года, p0qi
2000	7795,47	7795,47	1,000	p0q0/p0q0=q0/q0=	1,000	p0q0/p0q0=p0/p0=	1,000
2001	8168,04	7614,45	1,048	p0q1/p0q0=q1/q0=	0,977	p1q1/p0q1=p1/p0=	1,073
2002	8396,34	7302,29	1,077	p0q2/p0q0=q2/q0=	0,937	p2q2/p0q2=p2/p0=	1,150
2003	8715,82	7046,19	1,118	p0q3/p0q0=q3/q0=	0,904	p3q3/p0q3=p3/p0=	1,237
2004	9265,39	6965,48	1,189	p0q4/p0q0=q4/q0=	0,894	p4q4/p0q4=p4/p0=	1,330
2005	9831,72	6851,23	1,261	p0q5/p0q0=q5/q0=	0,879	p5q5/p0q5=p5/p0=	1,435
2006	10668,74	6944,17	1,369	p0q6/p0q0=q6/q0=	0,891	p6q6/p0q6=p6/p0=	1,536
2007	10996,50	6696,35	1,411	p0q7/p0q0=q7/q0=	0,859	p7q7/p0q7=p7/p0=	1,642
2008	11147,30	6354,55	1,430	p0q8/p0q0=q8/q0=	0,815	p8q8/p0q8=p8/p0=	1,754
2009	11664,90	6190,28	1,496	p0q9/p0q0=q9/q0=	0,794	p9q9/p0q9=p9/p0=	1,884
2010	12307,15	6086,31	1,579	p0q10/p0q0=q10/q0=	0,781	p10q10/p0q10=p10/p0=	2,022

Выводы

В данной выборке были выделены группы с равными интервалами, в сгруппированной совокупности были проведены исследования показателей распределения и вариации, построены полигон, гистограмма и кумулята распределения предприятий по группам по товарообороту.

Наибольшее число предприятий попало в третью группу, диапазон изменения товарооборота 4984,97 - 5709,35 млн. руб. В этой же группе оказались среднее арифметическое взвешенное, мода и медиана. Таким образом, можно сказать, что наиболее распространенные показатели товарооборота являются так же средними по выборке.

Среднее квадратическое отклонение по величине должно быть больше среднего линейного отклонения. Соотношение для нормального закона распределения должно равняться примерно 1:2. В данной выборке соотношение 0,8. Следовательно, резких выделяющихся отклонений не однородных с основной массой элементов не наблюдается.

Так как коэффициент вариации меньше 33%, совокупность можно считать однородной. В целом выборка достаточно полно характеризует генеральную совокупность, средняя и предельная ошибки не более 9,1%.

Исходя из проведенного анализа выборочной совокупности, можно сделать вывод, что товарооборот с каждым годом неуклонно снижается, компонентом, влияющим на снижение товарооборота, является объём выпускаемой продукции, так как очевидна тенденция к понижению. Различные методы прогноза и построения трендовых кривых подтверждаются и расчетами базисных индексов.

арифметический мода медиана прирост

Размещено на Allbest.ru