Проведение основных статистических расчетов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант 2

Задача 1

Составьте анкету опроса студентов в целях выяснения их возрастного и полового состава, семейного положения, успеваемости, научных интересов.

Анкета

1	Фамилия, имя, отчество
2	Дата рождения
3	Пол
4	Адрес фактического проживания (укажите, где именно: в общежитии, у родственников, снимаете ли комнату или квартиру)
5	Ваша семья многодетная, неполная и т.д.?
6	Семейное положение
7	Имеет ли Вы детей?
8	Имеет ли академические задолженности за сессию? Укажите какие.
9	Принимаете ли Вы участие в студенческих научно-практических конференциях? Укажите теме ваших докладов.
10	Принимаете ли Вы участия в научно-исследовательской работе института?

Задача 2

Постройте ряд распределения 50 рабочих по тарифным разрядам. Определите частость и накопленную частость. Изобразите ряд графически с помощью полигона распределения.

4	6	3	2	2	6	4	5	3	6
4	2	2	3	4	3	4	2	2	5
5	5	4	5	6	5	3	6	2	3
4	6	3	3	4	5	6	5	3	2
2	6	3	4	5	2	4	4	2	4

Решение

Так как признак (тарифный разряд) представлен целым числом, то построим дискретный ряд распределения (табл.1).

Таблица 1

Распределение рабочих по уровню квалификации

Группы рабочих по тарифному разряду	Число рабочих	Удельный вес рабочих, в % к итогу (частость)	Накопленная частость
2	11	22	22
3	10	20	42
4	12	24	66
5	9	18	84
6	8	16	100
Итого	50	100	-

Рис. 1. Распределение рабочих по уровню квалификации

Задача 3

По данным выборочного обследования бюджетов домохозяйств получено следующее распределение населения Москвы по уровню среднемесячного душевого дохода в 2000 г.

Среднемесячный душевой доход, долл.	Численность населения, в % к итогу
До 50	17,5
50 - 100	29,8
100 - 150	11,8
150 - 250	9,7
Свыше 250	31,2
Всего	100,0

По данным распределения определить:

а) средний душевой доход;

б) моду по формулам и графически;

в) медиану по формулам;

г) среднее квадратическое отклонение;

д) коэффициент вариации.

Решение

Для упрощения расчетов воспользуемся вспомогательной таблицей

Таблица 2

Вспомогательная таблица для расчета показателей центра распределения и вариации

Средне-месячный душевой доход, долл., x	Численность населения, в % к итогу, f	Центр интервала, (долл.), ()		Накоп-ленная частота, S
До 50	17,5	25	437,5	17,5	-129,48	2265,900	293388,732
50 - 100	29,8	75	2235,0	47,3	-79,48	2368,504	188248,698
100 - 150	11,8	125	1475,0	59,1	-29,48	347,864	10255,031
150 - 250	9,7	200	1940,0	68,8	45,52	441,544	20099,083
Свыше 250	31,2	300	9360,0	100,0	145,52	4540,224	660693,400
Всего	100,0	-	15447,5	-	-	9964,036	1172648,944

1) средний душевой доход рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

долл.

Значит в 2000 г. средний душевой доход населения Москвы составлял 154,48 долл.

2) мода для интервального ряда распределения рассчитывается по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Модальным в данном распределении является интервал свыше 250 долл., так как наибольшая численность населения (f = 31,2) находится в этом интервале. Тогда значение моды составит:

долл.

Графически определить значение моды можно с помощью гистограммы (рис.2).



Рис.2. Гистограмма распределения населения г. Москвы по уровню среднемесячного душевого дохода в 2000 г.

Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют прямой с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяют с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения. долл. Следовательно, большинство населения г. Москвы имеет среднемесячный душевой доход в размере 290,8 долл.

3) для нахождения медианы вначале необходимо определить место медианы по формуле:

Значит медианным является интервал 100 -- 150 долл. , так как в этом интервале население г. Москвы превышает 50%.

Для интервальных рядов распределения медиана рассчитывается по формуле:

.

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- сумма кумулятивных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала.

Отсюда

долл.

Таким образом, половина населения имеет среднемесячный душевой доход до 113,56 долл., а вторая половина - больше данной суммы.

4) среднеквадратическое отклонение определяется по формуле:

долл.

Значит среднемесячный душевой доход населения отклоняется от средневзвешенного дохода в среднем на 108,29 долл.

5) коэффициент вариации исчисляется по формуле:

Рассчитанная величина коэффициента вариации свидетельствует о значительном относительном уровне колеблемости среднемесячного душевого дохода населения г.Москвы. так как значение коэффициента превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку неоднородна.

Задача 4

На основе следующих данных по двум с/х предприятиям необходимо определить, в каком из них и на сколько процентов выше средняя урожайность зерновых культур:

Культура	Предприятие 1	Предприятие 2
	Валовой сбор, ц	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га
Пшеница	32 500	25	1 540	20
Рожь	1 620	18	120	19
Ячмень	13 640	22	460	18
Просо	1 650	15	80	13

Решение

Средняя урожайность по каждому предприятию рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная. По первому предприятию она составит:

На втором предприятия средняя урожайность равна:

Следовательно, на первом предприятии средняя урожайность больше, чем на втором на 4,34 ц/га (23,61 - 19,27).

Задача 5

На городской телефонной станции в порядке собственно случайной выборки проведено 100 наблюдений и установлено, что средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 10 мин. при среднем квадратическом отклонении 5 мин.

Определить с вероятностью 0,997 доверительные интервалы для генеральной средней.

Решение

Доверительные интервалы для генеральной средней находятся по формуле:

,

где - генеральная средняя;

- выборочная средняя;

- предельная ошибка выборки, которая при собственно случайной выборке определяется по формуле:

,

где - дисперсия выборочной совокупности;

п - численность выборочной совокупности;

t - коэффициент доверия, который определяется по таблице значений интегральной функции Лапласа при заданной вероятности (Р). При вероятности Р = 0,997 t = 2,97.

Тогда предельная ошибка выборки будет равна:

 мин.

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средняя продолжительность одного телефонного разговора находится в пределах:

Задача 6

Из совокупности 10 000 изделий отобрано случайным бесповторным отбором 1 000 изделий. Средний вес изделий оказался 50 грамм. Дисперсия - 64.

Определить с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки и пределы, в которых находится генеральная средняя.

Решение

Доверительные интервалы для генеральной средней находятся по формуле:

,

где - генеральная средняя;

- выборочная средняя;

- предельная ошибка выборки, которая при бесповторном случайном отборе определяется по формуле:

,

где - дисперсия выборочной совокупности;

п - численность выборочной совокупности;

t - коэффициент доверия, который определяется по таблице значений интегральной функции Лапласа при заданной вероятности (Р). При вероятности Р = 0,954 t = 2.

Тогда предельная ошибка выборки будет равна:

грамм.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес изделий колеблется в пределах от 49,52 грамм до 50,48 грамм ()

Задача 7

Пусть по 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные о выпуске продукции (х) в тысячах единиц и о расходе условного топлива (у) в тоннах. Определить уравнение зависимости расхода топлива от выпуска продукции и измерить тесноту зависимость между ними.

х	5	6	8	8	10	10	14	20	20	24
у	4	4	6	5	7	8	8	10	12	16

Решение

Для определения направления связи построим график (рис.3)



Рис. 3. Зависимость расхода условного топлива от выпуска продукции

Эмпирическая линия связи приближается к прямой линии. Следовательно, можно считать наличие прямолинейной корреляции. В связи с этим для построения уравнения зависимости воспользуемся линейной функцией.

Уравнение прямой имеет следующий вид:

,

где - теоретическое значение результативного признака (расход условного топлива);

- индивидуальные значения факторного признака (выпуск продукции);

- параметры уравнения прямой, которые определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений:

Для облегчения расчетом воспользуемся вспомогательной таблицей (табл.3)

Таблица 3

Расчет данных для вычисления параметров уравнения прямой и показателей тесноты связи

№		у	ху	х2	у2
1	5	4	20	52	16	3,897	0,010609	16,834609	16
2	6	4	24	36	16	4,444	0,197136	12,645136	16
3	8	6	48	64	36	5,538	0,213444	6,061444	4
4	8	5	40	64	25	5,538	0,289444	6,061444	9
5	10	7	70	100	49	6,632	0,135424	1,871424	1
6	10	8	80	100	64	6,632	1,871424	1,871424	0
7	14	8	112	196	64	8,820	0,672400	0,672400	0
8	20	10	200	400	100	12,102	4,418404	16,826404	4
9	20	12	240	400	144	12,102	0,010404	16,826404	15
10	24	16	384	576	256	14,290	2,924100	39,564100	64
Итого	125	80	1218	1961	770	79,995	10,724789	119,23789	130
В среднем	12,5	8	-	-	-	-	-	-	-

Подставим в систему нормальных уравнений фактические данные из вспомогательной таблицы и получим следующие равенства:

Систему нормальных уравнений решаем в такой последовательности (по методу множителей): умножим каждый член первого уравнения на число, равное 12,5. Получим :

Затем вычтем из второго уравнения первое:

Подставим полученное значение в первое уравнение и найдем значение а0 :

Таким образом, уравнение зависимости расхода топлива от выпуска продукции будет выглядеть следующим образом:

Значит, с увеличением выпуска продукции на одну тысячу единиц расход условного топлива возрастет на 0,547 тонн.

Измерим тесноту корреляционной связи между выпуском продукции и расходом топлива линейным коэффициентом корреляции, теоретическим корреляционным отношением, индексом корреляции.

Линейный коэффициент корреляции может быть рассчитан по формуле:



Теоретическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:

Коэффициент детерминации равен 0,841.

Индекс корреляции определяется по формуле:

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают тесную связь между выпуском продукции и расходом условного топлива. Коэффициент детерминации 0,841 означает, что вариация расхода топлива на 84,1% объясняется вариацией выпуска продукции и на 15,9% (100% - 84,1%) - прочими факторами.

Задача 8

Имеются следующие данные о производстве картофеля в хозяйства населения РФ за 1991 - 1996 гг.

Год	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Произведено картофеля, млн.т	24,8	29,9	31,1	29,8	35,9	34,9

Определить:

1) абсолютные приросты производства картофеля по годам (цепные);

2) цепные и базисные коэффициенты роста;

3) среднегодовой уровень производства картофеля за 1991 - 1996 гг.;

4) среднегодовой коэффициент роста производства картофеля в хозяйства населения за 1992 - 1996 гг.

5) уравнение тренда.

Решение

1) цепные абсолютные приросты рассчитываются по формуле: ,

где - уровень периода, предшествующего отчетному периоду;

- уровень отчетного периода.

1992 г. - млн.т

1993 г. - млн.т

1994 г. - млн.т

1995 г. - млн.т

1996 г. - млн.т

2) цепные коэффициенты роста рассчитываются по формуле: .

1992 г. - или 120,6%

1993 г. - или 104%

1994 г. - или 95,8%

1995 г. - или 120,5%

1996 г. - или 97,2%.

Базисные коэффициенты роста рассчитываются по формуле: ,

где - уровень базисного периода.

1992 г. - или 120,6%

1993 г. - или 125,4%

1994 г. - или 120,2%

1995 г. - или 144,8%

1996 г. - или 140,7%

3) среднегодовой уровень производства картофеля за 1991 - 1996 гг. рассчитывается как среднеарифметическая простая:

млн.т

4) среднегодовой коэффициент производства картофеля в хозяйствах населения исчисляется как среднегеометрическая:

или 107,07%

Таким образом, в среднем в хозяйствах населения РФ за 1991 - 1996 гг. каждый год производилось 31,07 млн.т. В год в среднем производство картофеля увеличивалось на 7,07% (107,07% - 100%).

6) так как имеется равномерное развитие исследуемого явления, то основная тенденция развития отображается линейным уравнением:

распределение вариация квадратический отклонение

,

где и -- параметры прямой;

t -- показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.).

Для нахождения параметров и необходимо решить систему нормальных уравнений:

где у -- фактические уровни ряда динамики;

п -- число уровней.

Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало его отсчета приходилось на середину рассматриваемого периода (табл.4 , гр. 2).

Таблица 4

Расчетные данные для определения параметров системы нормальных уравнений и выравненных теоретических значений

Год	Производство картофеля, млн.т, у	t
А	1	2	3	4	5
1991	24,8	-5	25	-124,0	26,27
199 2	29,9	-3	9	-89,7	28,19
1993	31,1	-1	1	-31,1	30,11
1994	29,8	1	1	29,8	32,03
1995	35,9	3	9	107,7	33,95
199 6	34,9	5	25	174,5	35,87
Итого	186,4	0	70	67,2	186,42

Так как У t = 0, то система нормальных уравнений примет вид:

Отсюда

млн.т

млн.т

Уравнение прямой будет иметь вид:

Подставив в это уравнение значение t (табл.4, гр. 2), получим выравненные теоретические значения yt (табл. , гр. 5).

Таким образом, в результате аналитического выравнивания по прямой выявилась тенденция к росту производства картофеля в хозяйствах населения РФ за 1991 - 1996 гг.

Задача 9

Имеются следующие данные о производстве и себестоимости продукта А по двум фабрикам за два периода:

Фабрика	Произведено тыс. ед.	Себестоимость единицы продукта, руб.
	В базисном периоде, q0	В отчетном периоде, q1	В базисном периоде, с0	В отчетном периоде, с1
№ 1	50	80	150	135
№ 2	60	40	250	230
Итого	110	120	-	-

Определить:

1) изменение себестоимости продукта А по каждой фабрике:

2) изменение себестоимости в целом по обеим фабрикам с помощью индексов переменного и фиксированного составов;

3) индекс структурных сдвигов.

Решение

Изменение себестоимости продукта А по каждой фабрике определяется с помощью индивидуального индекса себестоимости:

.

Фабрика № 1 : или 90%.

Фабрика № 2 : или 92%.

Т.е. себестоимость продукта А в отчетном периоде по сравнению с базисным снизилась на фабрике № 1 на 10% (90% - 100%), а на фабрике № 2 - на 8% (92% - 100%).

Изменение себестоимости продукта А в целом по обеим фабрикам определяется с помощью индекса переменного состава:

или 81,5%

Следовательно, в целом по обеим фабрикам себестоимость продукта А снизилась на 18,5% (81,5% - 100%).

Абсолютное изменение себестоимости в целом по обеим фабрикам составило:

тыс. руб.

Себестоимость продукта А в целом по обеим фабрикам изменилась за счет двух факторов:

1) изменения уровня себестоимости по каждой фабрике;

2) изменения удельного веса фабрик в общем объеме выпуска продукции.

Для выявления влияния первого фактора определяется индекс фиксированного состава:

или 90,9%.

Значит, за счет снижения себестоимости продукта А на каждой фабрике в целом по обеим фабрикам себестоимость уменьшилась на 9,1% (90,9% - 100%), что в абсолютном выражении составило:

тыс. руб.

Для выявления влияния второго фактора определяется индекс структурных сдвигов в объеме продукции:

или 89,6%.

Таким образом, за счет изменений в распределении продукции по фабрикам себестоимость продукта А в целом по обеим фабрикам снизилась на 10,4% (89,6% - 100%), что в абсолютном размере составило:

тыс. руб.

Совместное влияние двух факторов обеспечило следующее изменение себестоимости в целом по обеим фабрикам:

 или 81,5%,

что соответствует ранее полученной величине.

Абсолютное изменение себестоимости по обеим фабрикам за счет двух факторов:

тыс. руб.

Задача 10

Имеется информация по сельскохозяйственным предприятиям региона

Номер предприятия	Урожайность пшеницы, ц/га	Доза минеральных удобрений на 1 га, ц/дв	Качество почв, баллы	Количество осадков на период вегетации, мм
1	22	3,1	70	120
2	32	4,5	79	170
3	35	3,8	91	168
4	36	3,9	95	240
5	24	2,1	73	180
6	34	4,0	82	174
7	38	4,1	95	227
8	16	1,8	45	220
9	23	1,7	62	278
10	37	3,0	98	270
11	19	2,3	50	255
12	18	2,1	57	223
13	29	2,9	75	276
14	38	3,0	90	322
15	18	1,8	56	248
16	20	1,5	55	390
17	30	3,1	68	223
18	37	3,2	84	178
19	26	2,1	64	288
20	33	3,0	71	238

Произвести комбинированную группировку, выявляющую зависимость урожайности пшеницы от качества почвы и дозы внесения удобрений, разделив всю совокупность предприятий на две группы по урожайности, качеству почв и две группы по дозе внесения минеральных удобрений. Оформите расчеты в виде комбинационной таблицы и сформулируйте выводы.

Решение

Определим интервалы групп по каждому признаку по формуле:

,

где - максимальное и минимальное значение признака;

т - число групп.

По урожайности пшеницы величина интервала составит: ц/га

Т.е. 1 группа: от 16 до 27 ц/га, 2 группа: от 28 до 39 ц/га.

По дозе минеральных удобрений на 1 га величина интервала будет равна: ц/дв. Значит, по данному признаку выделим следующие группы: 1 группа - от 1,5 до 3 ц/дв, 2 группа - от 3,1 до 4,6 ц/дв.

По качеству почвы интервалы групп составят: баллов. Тогда группа будет иметь интервалы от 45 до 71,5 баллов, а 2 группа - от 71,6 до 98,1 баллов.

Для упрощения группировки воспользуемся вспомогательной таблицей (табл.5).

Таблица 5

Вспомогательная таблица

Группы предприятий по уровню урожайности	От 16 до 27 ц/га	От 28 до 39 ц/га
Подгруппы предприятий по дозе минеральных удобрений на 1 га	От 1,5 до 3 ц/дв	От 3,1 до 4,6 ц/дв	От 1,5 до 3 ц/дв	От 3,1 до 4,6 ц/дв
Подгруппы предприятий по качеству почвы, баллы	От 45 до 71,5	от71,6 до 98,1	От 45 до 71,5	от71,6 до 98,1	От 45 до 71,5	от71,6 до 98,1	От 45 до 71,5	от71,6 до 98,1
Номер предприятия	8,9,11, 12,15,16, 19	5	1	-	20	10,13,14	17	2,3,1,6, 7,18
Доза минеральных удобрений на 1 га, ц/дв	1,8 1,7 2,3 2,1 1,8 1,5 2,1	2,1	3,1	-	3	3 2,9 3	3,1	4,5 3,8 3,9 4 4,1 3,2
Качество почвы, баллы	45 62 50 57 56 55 64	73	70	-	71	98 75 90	68	79 91 95 82 95 84

На основе вспомогательной таблицы по каждой подгруппе определим численность и итоги признаков, результаты оформим в виде комбинационной таблицы (табл.6).

Таблица 6

Зависимость урожайности пшеницы от дозы минеральных удобрений на 1 га и качества почвы

Группы предприятий по уровню урожайности, ц/га	Подгруппы предприятий по дозе минеральных удобрений на 1 га, ц/дв	Подгруппы предприятий по качеству почвы, баллы	Число пред- приятий	Доза минеральных удобрений на 1 га, ц/дв	Качество почвы, баллы
				всего	в среднем	всего	в среднем
16 - 27	1,5 - 3	45 - 71,5	7	13,3	1,9	389	55,6
		71,6 - 98,1	1	2,1	2,1	73	73
	Итого по подгруппе	8	15,6	1,95	462	57,8
	3,1 - 4,6	45 - 71,5	1	3,1	3,1	70	70
		71,6 - 98,1	-	-	-	-	-
	Итого по подгруппе	1	3,1	3,1	70	70
Итого по группе	9	18,7	2,1	532	59,1
28 - 39	1,5 - 3	45 - 71,5	1	3	3	71	71
		71,6 - 98,1	3	8,9	2,97	263	87,7
	Итого по подгруппе	4	11,9	2,975	334	83,5
	3,1 - 4,6	45 - 71,5	1	3,1	3,1	68	68
		71,6 - 98,1	6	23,5	3,9	526	87,7
	Итого по подгруппе	7	26,6	3,8	594	84,9
Итого по группе	11	38,5	3,5	928	84,4

Из данных табл. 6 следует, что с ростом дозы минеральных удобрений на 1 га и качества почвы увеличивается урожайность пшеницы.

Размещено на Allbest.ru