Анализ выборки данных и построение доверительного интервала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исходные данные

Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X , среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала - ±УДРд.

Цена деления прибора С, мм 0,010

Результаты измерений, мм

1	102,090	10	102,170	19	102,110	28	102,040	37	102,050	46	102,110
2	102,120	11	102,090	20	102,090	29	102,130	38	102,170	47	102,070
3	102,090	12	102,090	21	101,970	30	102,100	39	102,110	48	102,130
4	102,130	13	102,150	22	102,130	31	102,090	40	102,030	49	102,070
5	102,050	14	102,070	23	102,090	32	102,110	41	102,030	50	102,150
6	102,050	15	102,110	24	102,010	33	102,070	42	102,150	51	102,130
7	101,990	16	102,130	25	102,070	34	102,230	43	102,190	52	102,070
8	102,110	17	102,130	26	102,110	35	102,090	44	102,070
9	102,090	18	102,090	27	102,160	36	102,130	45	102,110

Доверительная вероятность Рд = 0,89 - показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.

Уровень значимости q = 0,05 - показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.

Сортируем значения по возрастанию:

1	101,97	11	102,07	21	102,09	31	102,11	41	102,11	51	102,21
2	101,99	12	102,07	22	102,09	32	102,11	42	102,13	52	102,23
3	102,01	13	102,07	23	102,09	33	102,11	43	102,13
4	102,03	14	102,07	24	102,09	34	102,11	44	102,15
5	102,03	15	102,07	25	102,09	35	102,12	45	102,15
6	102,04	16	102,07	26	102,1	36	102,13	46	102,15
7	102,05	17	102,09	27	102,11	37	102,13	47	102,16
8	102,05	18	102,09	28	102,11	38	102,13	48	102,17
9	102,05	19	102,09	29	102,11	39	102,13	49	102,17
10	102,07	20	102,09	30	102,11	40	102,13	50	102,19

1. Построение гистограммы

Определяем величину размаха R (поле рассеяния):

R = X_max - X_min=102,23-101,97=0,26

X_max = 102,23 - наибольшее из измеренных значений

X_min = 101,97 - наименьшее из измеренных значений

R = X_max - X_min = 0,26 (мм).

Определяем число интервалов разбиения n

Вв соответствии с рекомендациями(ближайшее нечетное число)

n ===7,2?7.

Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.

Принимаем n = 7.

Определяем ширину интервала h:

h ===0,037

Определяем границы интервалов X_min - X_max

1 интервал: X_min1 - X_max1

X_min1 = X_min=101,97 мм

X_max1 = X_min1 + h = 101,97+0,037=102,007 мм

2 интервал: X_min2 - X_max2

X_min2 = X_max1 = 102,007 (мм)

X_max2 = X_min2 + h = 102,007+0,037=102,044 (мм)

3 интервал: X_min3 - Х _max3

X_min3 = X_max2 = 102,044 (мм)

X_max3 = X_min3 + h = 102,044+0,037=102,081 (мм)

4 интервал: X_min4 - X_max4

X_min4 = X_max3 = 102,081 (мм)

X_max4 = X_min4 + h = 102,081+0,037=102,118 (мм)

5 интервал: X_min5 - X_max5

X_min5 = X_max4 = 102,118 (мм)

X_max5 = X_min5 + h = 102,118+0,037?102,155(мм)

6 интервал: X_min6 - X_max6

X_min6 = X_max5 = 102,155 (мм)

X_max6 = X_min6 + h = 102,155+0,037?102,192 (мм)

7 интервал: X_min7 - X_max7102,

X_min7 = X_max6 = 102,192 (мм)

X_max7 = X_min7 + h = 102,192+0,037=102,229?102,23 (мм)

Определяем середины интервалов X_oi

1 интервал:

X_o1 = X_min1 + =101,97 +=101,9885 (мм)

2 интервал:

X_o2 = X_min2 + = 102,007+=102,0255 (мм)

3 интервал:

X_o3 = X_min3 + = 102,044+= 102,0625 (мм)

4 интервал:

X_o4 = X_min4 + = 102,081+= 102,0995 (мм)

5 интервал:

X_o5 = X_min5 + = 102,118+=102,1365 (мм)

6 интервал:

X_o6 = X_min6 + = 102,155+= 102,1735 (мм)

7 интервал:

X_o7 = X_min7 + = 102,192+= 102,2105 (мм)

Определение количества размеров попадающих в каждый интервал m_i

Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси).

Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:

Номер интервала	Границы интервала	Середина интервала Xoi (ММ)	Число размеров в интервале, mi
	Xmin (мм)	Xmax (мм)
1	101,97	102,007	101,9885	3	0,057
2	102,007	102,044	102,0255	3	0,057
3	102,044	102,081	102,0625	10	0,192
4	102,081	102,118	102,0995	18	0,346
5	102,118	102,155	102,1365	12	0,230
6	102,155	102,192	102,1735	4	0,076
7	102,192	102,23	102,2105	2	0,038

Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:



2. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения

При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:

,

где N_oi - теоретическая частота попадания в интервал.

Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:

ц(z) - плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;

у_x - среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.

Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (у_x ? S_x) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:



В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:

После подстановки 102,1 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:

S_x=0,050152 ? 0,05 мм

Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал N_oi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.

Эту величину можно определить по формуле:

Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:



Для 1 интервала:

Z_o1 = -2,23 ,

что соответствует величине ц(z) = 0,033194

Для 2 интервала:

Z_o2 = -1,49

что соответствует величине ц(z) = 0,131468

Для 3 интервала:

Z_o3 = -0,75,

что соответствует величине ц(z) = 0,301137

Для 4 интервала:

Z_o4 = -0,0096 ? -0,01 ,

что соответствует величине ц(z) = 0,398922

Для 5 интервала:

Z_o5 = 0,7019?0,7 ,

что соответствует величине ц(z) = 0,305627

Для 6 интервала:

Z_o6 = 1,47,

что соответствует величине ц(z) = 0,135418

Для 7 интервала:

Z_o7 = 2,21,

что соответствует величине ц(z) = 0,034701

Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала N_oi.

Для 1 интервала:

N_o1 =1,277

Для 2 интервала:

N_o2 = 5,059

Для 3 интервала:

N_o3 =11,58

Для 4 интервала:

N_o4 =15,351

Для 5 интервала:

N_o5 = 11,76

Для 6 интервала:

N_o6 = 5,211

Для 7 интервала:

N_o7 = 1,33

На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:

№ интервала	Фактическая чистота mi/N	Теоретическая чистота Ni/N
1	0,057	0,025
2	0,057	0,097
3	0,192	0,222
4	0,346	0,295
5	0,230	0,226
6	0,076	0,100
7	0,038	0,025

Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра хи-квадрат:

№ интервала	Факт Чистота fф = mi/N	Теор. Чистота fm = Ni/N			(fф-fm)2/fm
1	0,057	0,025	0,025	0,00063	0,025
2	0,057	0,098	0,098	0,00960	0,098
3	0,192	0,22	0,227	0,05153	0,234
4	0,346	0,295	0,295	0,08703	0,295
5	0,230	0,226	0,217	0,04709	0,208
6	0,076	0,100	0,109	0,01188	0,118
7	0,038	0,025	0,031	0,00097	0,038

Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

где - теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания). Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:

- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут (q = 0,05)

- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.

Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами - СКО и МО (математическим ожиданием). Число степеней свободы определяется по формуле:

Таким образом, табличное значение .

3. Определение доверительного интервала рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения

В доверительном интервале, который предстоит найти с вероятностью Р_д, должно находится истинное значение измеряемой величины.

Доверительные границы случайной погрешности находятся по формуле:

где - оценка СКО среднего арифметического значения, которая определяется по формуле:

Если условие выполняется, то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического (нормального) распределения принимается (она не противоречит данным).

Так как по условию Рд = 0,89, то значение функции Лапласа:

F(Zp) = 0,89

Из таблицы определяем величину нормированного параметра Zp, которая соответствует данному значению функции Лапласа

Zp = 1,6

Таким образом, доверительный интервал случайной ошибки:

Перед определением суммарной погрешности определим ее постоянные неисключенные составляющие.

Постоянные неисключенные составляющие:

- погрешность снятия показаний со шкалы (принимается равной цене деления шкалы прибора):

мм,

где С = 0,010 мм - цена деления шкалы прибора;

- систематическая неисключенная погрешность округления результата:

- неисключенная погрешность прибора (условно принимается равной цене деления шкалы прибора:

Суммирование частных постоянных погрешностей измерения производится по двум формулам:

где k - поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых погрешностей и доверительной вероятности. В нашем случае k = 0,99

Тогда

Для дальнейшего расчета принимаем (выбирается наибольшее значение).

В качестве общей случайной погрешности принимаем величину доверительного интервала, полученную из экспериментов по замерам параметра:

Определение суммарной погрешности измерения:

В качестве окончательного результата принимаем большее значение.

Результат в общем виде: 102,1±0,025

Размещено на Allbest.ru