Основы эконометрики
Экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя. Оценка линейных уравнений регрессии методом наименьших квадратов. Ежемесячный объем продаж автомагазина. Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.07.2013 |
| Размер файла | 206,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Задание
Задача 1
В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах. Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности двигателя Х2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.
Таблица 1
|
Номер автомобиля i |
Цена (тыс.у.е.) Уi |
Возраст (лет) Х1 |
Мощность двигателя (л.с.) Х2 |
|
|
1 |
10 |
3 |
122 |
|
|
2 |
5,2 |
5 |
61 |
|
|
3 |
5,9 |
4 |
63 |
|
|
4 |
5,3 |
6 |
111 |
|
|
5 |
9,2 |
3 |
108 |
|
|
6 |
6,1 |
5 |
94 |
|
|
7 |
6,4 |
4 |
69 |
|
|
8 |
3,1 |
6 |
63 |
|
|
9 |
4 |
7 |
107 |
|
|
10 |
9,5 |
3 |
114 |
|
|
11 |
6,9 |
5 |
96 |
|
|
12 |
8,8 |
4 |
123 |
|
|
13 |
6,1 |
6 |
127 |
|
|
14 |
5,1 |
7 |
130 |
|
|
15 |
5,9 |
7 |
121 |
|
|
16 |
3,1 |
7 |
77 |
1. Парные зависимости.
1.1. Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X1 а также для цены У и мощности двигателя Х2. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от Х1 и Y от Х2 и записать их математически.
1.2. Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии: , .
1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.
1.4. Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.
1.5. Построить доверительные полосы надежности для среднего значения цены, автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.
1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цепы поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.
2. Множественная зависимость.
2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели: .
2.2. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,95.
2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.
3. Экономическая интерпретация.
На основе полученных.в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.
Задача 2
Временной ряд
Таблица 2
|
Месяц, i |
Объем продаж (тыс.у.е.) Zt |
|
|
1 |
737 |
|
|
2 |
941 |
|
|
3 |
851 |
|
|
4 |
968 |
|
|
5 |
1129 |
|
|
б |
1071 |
|
|
7 |
1253 |
|
|
8 |
1401 |
|
|
9 |
1254 |
|
|
10 |
1319 |
|
|
11 |
1353 |
|
|
12 |
1588 |
В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продаж автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 2.
1. Представить графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объема продаж от времени и записать её математически.
2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейно го тренда
3. Для линии тренда построить доверительную полосу надежности 0,975. Нарисовать ее на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.
4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надежности 0,975) среднего объема продаж для t=15.
Задача 3
Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность.
1. Для регрессионных моделей:
,
с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости б=0,05.
2. Для регрессионной модели проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:
а)парный коэффициент корреляции (приближенно);
б)критерий "хи-квадрат" на уровне значимости б=0,05.
2. Решение
Задача 1
1. Парные зависимости
1.1. На основе анализа поля рассеяния представляющего набор точек с координатами (y;x1) (рис.1) выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цена авто (у) от возраста авто (х1) описывается линейной моделью вида:
=a0+a1x1+u,
где a0 и a1 -неизвестные постоянные коэффициенты, а u - отклонение, вызванное влиянием неучтенных факторов и погрешностей измерений.
Предположим, что для исследуемых экономических переменных х1 и у имеется n пар выборочных наблюдений (х11; у1),…,(хi1;уi),…,(хn1;yn). Предположим также, что имеется некоторая прямая соответствующая искомому уравнению =a0+a1x1. Отклонение точек поля рассеяния от прямой характеризуются суммой где -значение уравнения регрессии в точке xi. Метод наименьших квадратов заключается в выборе таких значений a0 и a1 для которых сумма становится минимальной. Таким образом получаем экстремальную задачу для нахождения оценок неизвестных параметров a0 и a1:
Записав необходимые условия минимума функции F(a0,a1), а именно:
,
и вычислив ее частные производные
получим после элементарных преобразований систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a0 и a1:
решив которую получим формулы для оценок a0 и a1:
, (1)
Поле рассеяния с точками (y; x2) аналогично позволяет предположить, что связь между y и x2 описывается моделью:
=b0+b1x2+w
для оценок b0 и b1 таким же образом получим:
, (2)
1.2 Для удобства вычисления составим таблицу.
Табл.1
|
i |
Xi1 |
Xi2 |
Yi |
Xi1Yi |
Xi2Yi |
Xi1Xi2 |
Xi12 |
Xi22 |
Yi2 |
|
|
1 |
3 |
122 |
10 |
30 |
1220 |
366 |
9 |
14884 |
100 |
|
|
2 |
5 |
61 |
5,2 |
26 |
317,2 |
305 |
25 |
3721 |
27,04 |
|
|
3 |
4 |
63 |
5,9 |
23,6 |
371,7 |
252 |
16 |
3969 |
34,81 |
|
|
4 |
6 |
111 |
5,3 |
31,8 |
588,3 |
666 |
36 |
12321 |
28,09 |
|
|
5 |
3 |
108 |
9,2 |
27,6 |
993,6 |
324 |
9 |
11664 |
84,64 |
|
|
6 |
5 |
94 |
6,1 |
30,5 |
573,4 |
470 |
25 |
8836 |
37,21 |
|
|
7 |
4 |
69 |
6,4 |
25,6 |
441,6 |
276 |
16 |
4761 |
40,96 |
|
|
8 |
6 |
63 |
3,1 |
18,6 |
195,3 |
378 |
36 |
3969 |
9,61 |
|
|
9 |
7 |
107 |
4 |
28 |
428 |
749 |
49 |
11449 |
16 |
|
|
10 |
3 |
114 |
9,5 |
28,5 |
1083 |
342 |
9 |
12996 |
90,25 |
|
|
11 |
5 |
96 |
6,9 |
34,5 |
662,4 |
480 |
25 |
9216 |
47,61 |
|
|
12 |
4 |
123 |
8,8 |
35,2 |
1082,4 |
492 |
16 |
15129 |
77,44 |
|
|
13 |
6 |
127 |
6,1 |
36,6 |
774,7 |
762 |
36 |
16129 |
37,21 |
|
|
14 |
7 |
130 |
5,1 |
35,7 |
663 |
910 |
49 |
16900 |
26,01 |
|
|
15 |
7 |
121 |
5,9 |
41,3 |
713,9 |
847 |
49 |
14641 |
34,81 |
|
|
16 |
7 |
77 |
3,1 |
21,7 |
238,7 |
539 |
49 |
5929 |
9,61 |
|
|
сумма |
82 |
1586 |
100,6 |
475,2 |
10347,2 |
8158 |
454 |
166514 |
701,3 |
Далее подставим в формулы (1) соответствующие числа:
|
а1= |
16х475,2-82х100,6 |
=-1,196 |
|
|
16х454-822 |
|||
|
а0= |
100,6 + 1,196x82 |
=12,417 |
|
|
16 |
таким образом получаем уравнение линейной регрессии:
12,417 -1,196
рис.1
аналогично найдем оценки коэффициентов b0 и b1:
|
b1= |
16х10347,2-1586х100,6 |
=0,04 |
|
|
16х166514-15862 |
|||
|
b0= |
100,6 - 0,04х1586 |
=2,323 |
|
|
16 |
таким образом:
2,323 + 0,04
рис.2
1.3 Коэффициент парной корреляции двух наборов данных xi и yi находится по формуле
(3)
подставляя значения сумм из табл.1, подсчитаем значения требуемых коэффициентов корреляции.
|
16x475,2-82х100,6 |
=-0,838 |
||
|
((16x454-6724)х(16x701,3-10120,36)) |
|||
|
16x10347,2-1586х100,6 |
=0,469 |
||
|
((16x166514-2515396)х(16x701,3-10120,36)) |
|||
|
16x8158-82х1586 |
=0,053 |
||
|
((16x454-6724)х(16x166514-2515396))0,5 |
Проверка существенности отличия от нуля (значимости) проводится по схеме путем сравнения величины с величиной если то гипотеза H0: rx,y?0
о существенном отличии от нуля принимается, иначе отвергается.
.
Коэффициент детерминации R2=r2 его величина отражает точность модели регрессии. Для пары x1,y
|
-0,838x |
=5,746>1,761 |
||
|
(1-0,702)0,5 |
следовательно коэффициент корреляции сильно отличается от нуля и связь между x1и y очень сильная обратная. R2=0,702.
Для пары x2,y
|
0,469x |
=1,987>1,761 |
||
|
(1-0,22)0,5 |
следовательно коэффициент корреляции сильно отличается от нуля и связь между x2 и y средняя прямая. R2=0,22.
1.4 Найдем оценки для ошибки параметров выбранной модели и проверим их значимость при надежности 0,9.
Выдвигаем гипотезы H0: о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a0=а1=0.
Найдем случайные ошибки параметров линейной регрессии :
((20,477х454)/(14х540))0,5=1,1089
(20,477/(14х33,75))0,5=0,2082
Тогда:
12,417/1,1089=11,198>1,761
-1,196/0,2082=5,744>1,761
Для a1: т.к. выборочное значение t-статистики больше табличного, то гипотеза Н0 не подтвердилась и коэффициент значимо отличается от нуля.
Для a0: т.к. выборочное значение t-статистики больше табличного, то гипотеза Н0 не подтвердилась и коэффициент значимо отличается от нуля.
Выдвигаем гипотезы H0: о статистически незначимом отличии показателей от нуля: b0=b1=0.
Найдем случайные ошибки параметров линейной регрессии :
((53,642х166514)/(14х148828))0,5=2,0705
(53,642/(14х9301,75))0,5=0,0203
Тогда:
2,323/2,0705=1,122<1,761
0,04/0,0203=1,97>1,761
Для b1: т.к. выборочное значение t-статистики меньше табличного, то гипотеза Н0 подтвердилась и коэффициент не значимо отличается от нуля.
Для b0: т.к. выборочное значение t-статистики больше табличного, то гипотеза Н0 не подтвердилась и коэффициент значимо отличается от нуля.
Проверим значимость уравнений регрессии с помощью F-статистики Фишера
0,702x14/(1-0,702)=33>3,102 уравнение регрессии значимо.
0,22x14/(1-0,22)=3,9>3,102 уравнение регрессии значимо.
1.5 Доверительные интервалы среднего потребления дизельного топлива для уравнения парной линейной регрессии =a0+a1x1 находятся по формуле
где -соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала, - значение независимой переменной х1, для которой определяется доверительный интервал, - квантиль распределения Стъюдента, (1-б) -доверительная вероятность, (n-2) - число степеней свободы;
,
(4)
, .
Рассмотрим уравнение 12,417 -1,196. Пусть (1-б)=0.9, тогда ;
Табл.2
|
x1 |
y |
y(x1) |
e2=(y-y(x1))2 |
|
|
3 |
10 |
8,829 |
1,371241 |
|
|
5 |
5,2 |
6,437 |
1,530169 |
|
|
4 |
5,9 |
7,633 |
3,003289 |
|
|
6 |
5,3 |
5,241 |
0,003481 |
|
|
3 |
9,2 |
8,829 |
0,137641 |
|
|
5 |
6,1 |
6,437 |
0,113569 |
|
|
4 |
6,4 |
7,633 |
1,520289 |
|
|
6 |
3,1 |
5,241 |
4,583881 |
|
|
7 |
4 |
4,045 |
0,002025 |
|
|
3 |
9,5 |
8,829 |
0,450241 |
|
|
5 |
6,9 |
6,437 |
0,214369 |
|
|
4 |
8,8 |
7,633 |
1,361889 |
|
|
6 |
6,1 |
5,241 |
0,737881 |
|
|
7 |
5,1 |
4,045 |
1,113025 |
|
|
7 |
5,9 |
4,045 |
3,441025 |
|
|
7 |
3,1 |
4,045 |
0,893025 |
|
|
Сумма |
100,6 |
100,6 |
20,47704 |
Подставим найденные значения суммы в формулу (4) для S, получим: S=(20,47704/14)0,5=1,209398906 далее найдем все необходимые значения для .Занесем все необходимые величины в таблицу.
Табл.3
|
К |
х1к |
у(х1к) |
Sy |
yн |
ув |
|
|
1 |
3 |
8,829 |
0,535828 |
7,8854 |
9,7726 |
|
|
2 |
5,125 |
6,2875 |
0,30235 |
5,7551 |
6,8199 |
|
|
3 |
7 |
4,045 |
0,493735 |
3,1755 |
4,9145 |
Область между верхней и нижней границами полосы и есть доверительная полоса.
рис.3
Область между верхней и нижней границами полосы и есть доверительная полоса.
Аналогично найдем доверительные интервалы для уравнения
2,323 + 0,04
Табл. 4
|
x2 |
y |
y(x2) |
e2=(y-y(x2))2 |
|
|
122 |
10 |
7,203 |
7,823209 |
|
|
61 |
5,2 |
4,763 |
0,190969 |
|
|
63 |
5,9 |
4,843 |
1,117249 |
|
|
111 |
5,3 |
6,763 |
2,140369 |
|
|
108 |
9,2 |
6,643 |
6,538249 |
|
|
94 |
6,1 |
6,083 |
0,000289 |
|
|
69 |
6,4 |
5,083 |
1,734489 |
|
|
63 |
3,1 |
4,843 |
3,038049 |
|
|
107 |
4 |
6,603 |
6,775609 |
|
|
114 |
9,5 |
6,883 |
6,848689 |
|
|
96 |
6,9 |
6,163 |
0,543169 |
|
|
123 |
8,8 |
7,243 |
2,424249 |
|
|
127 |
6,1 |
7,403 |
1,697809 |
|
|
130 |
5,1 |
7,523 |
5,870929 |
|
|
121 |
5,9 |
7,163 |
1,595169 |
|
|
77 |
3,1 |
5,403 |
5,303809 |
|
|
Сумма |
100,6 |
100,608 |
53,642304 |
Подставим найденные значения суммы в формулу (4) для S
S=(53,642304/14)0,5=1,957445566
Табл. 5
|
К |
х2к |
у(х2к) |
Sy |
yн |
ув |
|
|
1 |
61 |
4,763 |
0,915538 |
3,1507 |
6,3753 |
|
|
2 |
99,125 |
6,288 |
0,489361 |
5,4262 |
7,1498 |
|
|
3 |
130 |
7,523 |
0,795076 |
6,1229 |
8,9231 |
Область между верхней и нижней границами полосы и есть доверительная полоса.
рис. 4
1.6 Подставим значение 3 в первое уравнение регрессии:
12,417 -1,196х3=8,829
найдем стандартную ошибку
0,536
получим доверительный интервал для цены авто возраста 3 лет
8,829±1,761х0,536=7,9;9,8тыс. у.е.
Подставим значение 165 во второе уравнение регрессии:
2,323 + 0,04х165=8,923
найдем стандартную ошибку
1,424
получим доверительный интервал для цены авто с мощностью двигателя 165 л.с.
8,923±1,761х1,424=6,4;11,4 тыс. у.е.
2. Множественная зависимость
2.1 Рассмотрим линейную регрессионную модель:
.
где a0,a1,a2 - неизвестные параметры, u - случайное отклонение.
Нахождение оценок неизвестных параметров в модели с тремя переменными х1,х2,у также как и в модели с двумя переменными, основывается на применении метода наименьших квадратов, используя который получаем систему нормальных уравнений
(5)
Обозначим A=(a0,a1,a2)
, , ,
,
Следовательно система (5) примет вид и ее можно решить например по правилу Крамера:
, (6)
где-определитель матрицы XTX -определитель матрицы полученной из XTX заменой i - го столбца на столбец свободных членов XTY.
|
16 |
82 |
1586 |
|||
|
Д= |
82 |
454 |
8158 |
= |
|
|
1586 |
8158 |
166514 |
|
= |
16 |
x |
454 |
x |
166514 |
+ |
82 |
x |
8158 |
x |
1586 |
+ |
||
|
82 |
x |
8158 |
x |
1586 |
- |
1586 |
x |
454 |
x |
1586 |
- |
|||
|
8158 |
x |
8158 |
x |
16 |
- |
82 |
x |
82 |
x |
166514 |
= |
5008784 |
|
100,6 |
82 |
1586 |
|||
|
Дa0= |
475,2 |
454 |
8158 |
= |
|
|
10347,2 |
8158 |
166514 |
|
= |
100,6 |
x |
454 |
x |
166514 |
+ |
475,2 |
x |
8158 |
x |
1586 |
+ |
||
|
82 |
x |
8158 |
x |
10347,2 |
- |
10347,2 |
x |
454 |
x |
1586 |
- |
|||
|
8158 |
x |
8158 |
x |
100,6 |
- |
475,2 |
x |
82 |
x |
166514 |
= |
41213969,6 |
|
16 |
100,6 |
1586 |
|||
|
Дa1= |
82 |
475,2 |
8158 |
= |
|
|
1586 |
10347,2 |
166514 |
|
= |
16 |
x |
475,2 |
x |
166514 |
+ |
82 |
x |
10347,2 |
x |
1586 |
+ |
||
|
100,6 |
x |
8158 |
x |
1586 |
- |
1586 |
x |
475,2 |
x |
1586 |
- |
|||
|
10347,2 |
x |
8158 |
x |
16 |
- |
82 |
x |
100,6 |
x |
166514 |
= |
-6187537,6 |
Таблица
|
16 |
82 |
100,6 |
|||
|
Дa2= |
82 |
454 |
475,2 |
= |
|
|
1586 |
8158 |
10347,2 |
|
= |
16 |
x |
454 |
x |
10347,2 |
+ |
82 |
x |
8158 |
x |
100,6 |
+ |
||
|
82 |
x |
475,2 |
x |
1586 |
- |
1586 |
x |
454 |
x |
100,6 |
- |
|||
|
8158 |
x |
475,2 |
x |
16 |
- |
82 |
x |
82 |
x |
10347,2 |
= |
221840 |
Подставив найденные значения в формулы (6) получим вектор оценок A:
|
8,23 |
||
|
А= |
-1,24 |
|
|
0,04 |
Таким образом 8,23 -1,24 + 0,04
Проверим адекватность модели.
Гипотеза Н0:R2=0 (т.е. уравнение не значимо)
Коэффициент R2 множественной детерминации определяется по формуле:
(7)
где - выборочное среднее, значения у найденные по полученному уравнению регрессии.
Найдем необходимые значения разностей и занесем их в таблицу:
Табл.7
|
y |
y(x1,x2) |
e2=(y-y(x1,х2))2 |
(y-M(y))2 |
(ei-ei-1)2 |
|
|
10 |
9,39 |
0,3721 |
13,782656 |
||
|
5,2 |
4,47 |
0,5329 |
1,182656 |
0,0144 |
|
|
5,9 |
5,79 |
0,0121 |
0,150156 |
0,3844 |
|
|
5,3 |
5,23 |
0,0049 |
0,975156 |
0,0016 |
|
|
9,2 |
8,83 |
0,1369 |
8,482656 |
0,09 |
|
|
6,1 |
5,79 |
0,0961 |
0,035156 |
0,0036 |
|
|
6,4 |
6,03 |
0,1369 |
0,012656 |
0,0036 |
|
|
3,1 |
3,31 |
0,0441 |
10,160156 |
0,3364 |
|
|
4 |
3,83 |
0,0289 |
5,232656 |
0,1444 |
|
|
9,5 |
9,07 |
0,1849 |
10,320156 |
0,0676 |
|
|
6,9 |
5,87 |
1,0609 |
0,375156 |
0,36 |
|
|
8,8 |
8,19 |
0,3721 |
6,312656 |
0,1764 |
|
|
6,1 |
5,87 |
0,0529 |
0,035156 |
0,1444 |
|
|
5,1 |
4,75 |
0,1225 |
1,410156 |
0,0144 |
|
|
5,9 |
4,39 |
2,2801 |
0,150156 |
1,3456 |
|
|
3,1 |
2,63 |
0,2209 |
10,160156 |
1,0816 |
|
|
Сумма |
93,44 |
5,6592 |
68,777496 |
4,1684 |
Для данного уравнения имеем
5,6592
68,777496
(5,6592/13)0,5=0,6598
1-5,6592/68,777496=0,918
Рассчитаем F-статистику Фишера:
|
0,918х13 |
=72,76829268>2,763= |
||
|
0,082х2 |
Следовательно уравнение регрессии статистически значимо
Коэффициент множественной детерминации R2 равен квадрату коэффициента множественной корреляции. Этот показатель характеризует долю дисперсии, "объясненной" с помощью регрессии в общей дисперсии зависимой переменной.
Проверим статистическую значимость параметров уравнения регрессии. Т.е. проверим гипотезы Н0: a0=0; Н0: a1=0; Н0: a2=0.
Стандартная ошибка коэффициентов множественной регрессии определяется по формуле:
Где Zii - диагональные элементы матрицы
|
1,805706 |
-0,142861 |
-0,0102 |
||
|
(XТX)(-1)= |
-0,142861 |
0,029713 |
-0,000095 |
|
|
-0,0102 |
-0,000095 |
0,000108 |
Стандартные ошибки:
|
CО а0 |
CО а1 |
CО а2 |
|
|
0,8866 |
0,1137 |
0,0069 |
t-статистики находим так же как и ранее:
|
t а0 |
t а1 |
t а2 |
|
|
9,283 |
10,906 |
5,797 |
Сравнение с табличным значением t=1,761 позволяет принять альтернативную Н0 гипотезу и значит коэффициенты статистически значимы.
2.3. Точечный прогноз это значение 8,23 -1,24 + 0,04, где - вектор независимых переменных, для которых определяется прогноз. В нашем случае х1р=3; х2р= 165.
Доверительный интервал среднего значения цены для уравнения множественной регрессии, находится по формуле:
где -соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала, - вектор независимых переменных, для которого определяется интервал, - квантиль распределения Стъюдента, (1-б) -доверительная вероятность, (n-3) - число степеней свободы.
, ,
где - матрица обратная к она находится по формуле ,
- присоединенная матрица, алгебраическое дополнение, -минор элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы. Определитель 5008784
|
1,805706 |
-0,142861 |
-0,0102 |
1 |
|||||||
|
=1 |
3 |
165 |
x |
-0,142861 |
0,029713 |
-0,000095 |
x |
3 |
=0,6904 |
|
|
-0,0102 |
-0,000095 |
0,000108 |
165 |
S=0,6598.
Пусть (1-б)=0,95, тогда , 11,11±0,5482
Результаты оформим в виде таблицы:
Табл.8
|
Xp |
Точечный прогноз |
Интервальный прогноз |
|||
|
ун |
ув |
||||
|
(1;3;165) |
11,11 |
0,5482 |
10,139 |
12,081 |
3. Экономическая интерпретация
Так как =-0,838 и проверка значимости этого коэффициента показала его существенное отличие от нуля, то есть основания утверждать, что между переменными у и х1существует достаточно сильная обратная линейная зависимость.
Эта зависимость может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии
12,417 -1,196.
Коэффициент a0=12,417 в данном случае имеет экономический смысл, он формально определяет цену нового авто.
Коэффициент a1=-1,196 показывает, что при увеличении возраста авто на 1 год, следует ожидать падения цены на 1,196 тыс. у.е.
Так как =0,469 и проверка значимости этого коэффициента показала его существенное отличие от нуля, то есть основания утверждать, что между переменными у и х2 существует достаточно сильная прямая линейная зависимость. Эта зависимость может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии
2,323 + 0,04.
Коэффициент b0=2,323 в данном случае не имеет экономического смысла, хотя формально определяет цену авто с нулевой мощностью двигателя.
Коэффициент b1=0,04 показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. цена авто возрастет на 0,04 тыс.у.е.
В результате исследования получено уравнение парной регрессии 8,23 -1,24 + 0,04 отражающей зависимость у от х1 и х2.
Содержательный смысл найденных коэффициентов уравнения состоит в следующем.
Коэффициент а1=-1,24 показывает, что при росте возраста авто на 1 год и неизменной мощности двигателя цена авто будет уменьшаться на 1,24 тыс. у.е.
Коэффициент а2=0,04 показывает, что при росте мощности двигателя на 1 л.с. и фиксированном возрасте цена авто возрастет на 0,04 тыс. у.е.
Найденный интервальный прогноз показывает, что при выполнении сделанных предположений относительно мощности двигателя 165 л.с. и возраста авто 3, цена авто будет составлять в среднем 11,11 тыс. у.е., с 95% вероятностью цена будет лежать в интервале [10,139; 12,081] тыс. у.е.
Задача 2
Временной ряд
Таблица 2
|
Месяц |
Объем продаж (тыс.у.е.) Zt |
|
|
1 |
737 |
|
|
2 |
941 |
|
|
3 |
851 |
|
|
4 |
968 |
|
|
5 |
1129 |
|
|
6 |
1071 |
|
|
7 |
1253 |
|
|
8 |
1401 |
|
|
9 |
1254 |
|
|
10 |
1319 |
|
|
11 |
1353 |
|
|
12 |
1588 |
2.1 На основе визуального наблюдения ломанной кривой (рис. 5), отражающей характер изменения по месяцам объема продаж, выдвигаем гипотезу о линейном тренде.
рис.5
Следовательно, трендовая модель, отражающая изменение потребления дизельного топлива, запишется в виде:
где a0 и a1 -неизвестные постоянные коэффициенты, а u - случайное отклонение.
2.2 Коэффициенты регрессионного уравнения тренда находятся по методу наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:
Следовательно
,
табл.9
|
t |
Yt |
t2 |
Ytt |
Y(t)=a0+a1t |
et=(Y(t)-Y) |
et2=(Y(t)-Y)2 |
(et-et-1)2 |
||
|
1 |
737 |
1 |
737 |
794,4 |
57,4 |
3294,76 |
|||
|
2 |
941 |
4 |
1882 |
860,04 |
-80,96 |
6554,5216 |
19143,49 |
||
|
3 |
851 |
9 |
2553 |
925,68 |
74,68 |
5577,1024 |
24223,81 |
||
|
4 |
968 |
16 |
3872 |
991,32 |
23,32 |
543,8224 |
2637,85 |
||
|
5 |
1129 |
25 |
5645 |
1056,96 |
-72,04 |
5189,7616 |
9093,53 |
||
|
6 |
1071 |
36 |
6426 |
1122,6 |
51,6 |
2662,56 |
15286,85 |
||
|
7 |
1253 |
49 |
8771 |
1188,24 |
-64,76 |
4193,8576 |
13539,65 |
||
|
8 |
1401 |
64 |
11208 |
1253,88 |
-147,12 |
21644,2944 |
6783,17 |
||
|
9 |
1254 |
81 |
11286 |
1319,52 |
65,52 |
4292,8704 |
45215,77 |
||
|
10 |
1319 |
100 |
13190 |
1385,16 |
66,16 |
4377,1456 |
0,4096 |
||
|
11 |
1353 |
121 |
14883 |
1450,8 |
97,8 |
9564,84 |
1001,09 |
||
|
12 |
1588 |
144 |
19056 |
1516,44 |
-71,56 |
5120,8336 |
28682,81 |
||
|
сумма |
78 |
13865 |
650 |
99509 |
13865,04 |
0,04 |
73016,3696 |
165608,4 |
|
а1= |
12х99509-78х13865 |
=65,64 |
|
|
12x650-782 |
|||
|
а0= |
13865 - 65,64х78 |
=728,76 |
|
|
12 |
Следовательно, уравнение регрессии будет иметь вид:
y(t)=65,64t + 728,76
2.3. Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле:
,
- квантиль распределения Стъюдента, (1-б) -доверительная вероятность, (n-2) - число степеней свободы, tk -номер года, для которого определяется доверительный интервал, - выборочное среднее.
n=12, , 2,634
Представим расчеты в таблице.
Табл.10
|
t |
Точечный прогноз |
Интервальный прогноз |
||||
|
y(t) |
Sy |
yн |
yв |
|||
|
1 |
794,4 |
44,7317 |
676,6 |
912,2 |
||
|
2 |
860 |
38,6047 |
758,3 |
961,7 |
||
|
3 |
925,7 |
32,8914 |
839,1 |
1012,3 |
||
|
4 |
991,3 |
27,8474 |
917,9 |
1064,7 |
||
|
5 |
1057 |
23,9006 |
994 |
1120 |
||
|
6 |
1122,6 |
21,6591 |
1065,5 |
1179,7 |
||
|
7 |
1188,2 |
21,6591 |
1131,1 |
1245,3 |
||
|
8 |
1253,9 |
23,9006 |
1190,9 |
1316,9 |
||
|
9 |
1319,5 |
27,8474 |
1246,1 |
1392,9 |
||
|
10 |
1385,2 |
32,8914 |
1298,6 |
1471,8 |
||
|
11 |
1450,8 |
38,6047 |
1349,1 |
1552,5 |
||
|
12 |
1516,4 |
44,7317 |
1398,6 |
1634,2 |
||
|
сумма |
78 |
13865 |
379,2698 |
12865,8 |
14864,2 |
рис. 6
На рисунке 6 изображены график тренда y(t)=65,64t + 728,76 , доверительные интервалы [yн, yв] для t =1..12 и доверительная полоса (область между верхней и нижней границами). Найдем точечный прогноз по линейному тренду на конец первого квартала текущего года т.е. t=15. Используя приведенные выше формулы найдем значения и оформим их
табл.11
|
t |
Точечный прогноз |
Интервальный прогноз |
|||
|
y(t) |
Sy |
yн |
yв |
||
|
15 |
1713,36 |
64,385 |
1543,8 |
1883 |
экономический цена продажа автокорреляция
Задача 3
Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность.
3.1. Наличие или отсутствие автокорреляции проверяется с помощью критерия Дарбина-Уотсона по формуле:
(8)
где - отклонение от линии регрессии.
Схема проверки такова. Расчетное значение d сравнивается с нижним - de и верхним - du, значениями d- статистики. При этом:
если du <d<4- du, то делается вывод об отсутствии автокорреляции;
если de <d<du или 4-du<d<4- de, то в данном случае ничего нельзя сказать о наличии или отсутствии автокорреляции;
если d<de, то наличествует положительная автокорреляция;
если d>4-de, то наличествует отрицательная автокорреляция.
При уровне значимости б=0,05, числе наблюдений n=16
И числе объясняющих переменных m=1
de=0,844;du=1,086
И числе объясняющих переменных m=2
de=0,737;du=1,232
Табл.12
|
Для y(x1,x2) |
Для y(t) |
||
|
5,6592 |
165608,4256 |
||
|
4,1684 |
73016,3696 |
Подставим числа из таблицы 12 в формулу (8) и получим значения d для соответствующих уравнений:
|
1,358 |
2,268 |
Сравним по правилам 1-4 значения d и получим, что для уравнения автокорреляция отсутствует т.к.1,232<1,358<2,768, для автокорреляция отсутствует т.к.1,086<2,268<2,914.
2.Для регрессионной модели проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:
а)парный коэффициент корреляции (приближенно), рассчитанный в пункте 1.3. найдем t-статистику
|
0,053x |
=0,199<2,145 |
||
|
(1-0,003)0,5 |
следовательно коэффициент корреляции статистически не значимо отличается от нуля и связь между x1и y не подтвердилась. R2=0,003
б) критерий "хи-квадрат" на уровне значимости а=0,05, рассчитаем значение критерия по формуле
,
где 1-0,0028=0,9972 .
(0,9972)=0,038<3,841
следовательно делаем вывод об отсутствии мультиколлинеарности.
Список литературы
1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой -М.: Финансы и статистика, 2004.
2. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика, 2004.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Изучение понятий общей эконометрики. Сущность классической и обобщенной моделей линейной регрессии. Анализ методов наименьших квадратов, временных рядов и системы одновременных уравнений. Многомерная регрессия: мультиколлинеарность, фиктивные переменные.
книга [26,6 M], добавлен 19.05.2010Сущность и применение метода наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии. Нахождение коэффициента эластичности для указанной модели в заданной точке X и его экономический анализ. Прогноз убыточности на основании линейной регрессии.
контрольная работа [47,3 K], добавлен 15.06.2009Характеристика двухшагового метода наименьших квадратов для решения систем эконометрических уравнений. Способы оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Знакомство с особенностями системы эконометрических уравнений.
курсовая работа [593,8 K], добавлен 04.06.2015Основы линейного регрессионного анализа. Особенности использования функции Кобба-Дугласа. Применение множественной линейной регрессии. Сущность метода наименьших квадратов. Пути избегания ложной корреляции. Проверка значимости коэффициентов регрессии.
реферат [101,8 K], добавлен 31.10.2009Порядок проведения проверки статистических гипотез. Проверка однородности результатов эксперимента в целях исключения грубых ошибок. Расчет теоретических частот для нормального распределения. Уравнение линейной регрессии и метод наименьших квадратов.
курсовая работа [349,5 K], добавлен 09.01.2011Методика оценки вероятности банкротства в модели Альтмана. Расчет индекса кредитоспособности применительно к российским условиям. Параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Оценка адекватности финансовых политик состояниям экономики.
курсовая работа [74,6 K], добавлен 08.01.2010Расчет параметров уравнения линейной регрессии, экономическая интерпретация регрессии. Определение остаточной суммы квадратов. Выполнение предпосылок МНК. Расчет коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.
контрольная работа [317,0 K], добавлен 11.05.2009Виды и формы связей социально-экономических явлений. Корреляционно-регрессионный анализ. Уравнение парной регрессии: экономическая интерпретация и оценка значимости. Качество однофакторных линейных моделей. Прогнозирование экономических показателей.
реферат [154,7 K], добавлен 19.12.2010Исследование типа регрессии между случайными переменными. Построение эмпирического уравнения регрессии. Расчет выборочных средних, дисперсий и среднеквадратического отклонения. Определение показателя тесноты связи как линейного коэффициента корреляции.
контрольная работа [513,5 K], добавлен 02.05.2015Временной ряд и его основные элементы. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление структуры. Моделирование тенденции временного ряда. Метод наименьших квадратов. Приведение уравнения тренда к линейному виду. Оценка параметров уравнения регрессии.
контрольная работа [95,7 K], добавлен 25.02.2010
