Межгрупповая дисперсия. Меры вариации для сгруппированных данных

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Задача № 1

Задача № 2

Задача № 3

Задача № 4

Задача № 1

По данным таблицы № 1 рассчитать:

1. меры вариации;

2. моду и медиану;

3. построить полигон и гистограмму распределения;

4. теоретический вопрос: указать различные методы расчета дисперсии; меры вариации для сгруппированных данных; дисперсию альтернативного признака.

Таблица 1

Урожайность ц/га	Кол-во хозяйств
До 38,25	7
38,25-38,75	10
38,75-39,25	12
39,25-39,75	11
39,75-40,25	45
40,25-40,75	2
Свыше 40,75	1
Итого:	88

Определим меры вариации:

1. Размах вариации:

.

2. Среднее абсолютное отклонение

 -простое

-взвешенное,

где f - частота повторений отдельных значений (вариантов) признаков.

В нашем случае значение признака в изучаемой совокупности повторяется, поэтому все расчеты ведем для среднего взвешенного отклонения.

Т.к. исходные данные в интервальной форме, то перейдем к дискретным величинам. Для этого усредним интервалы.

В случае закрытых интервалов:

38,25+38,75/2=38,5

38,75+39,25/2=39

39,25+39,75/2=39,5

39,75 +40,25/2=40

40,25+40,75/2=40,5

В случае открытых интервалов находится нижняя и верхняя граница интервалов. Причем, для первого интервала берется величина интервала по последующему интервалу, а для последнего - по предшествующему.

Вычислим меры вариации, используя вспомогательные расчеты, приведенные в таблице № 2.

Рассчитаем среднюю урожайность:

= 3475,5/88= 39,5 ц/га

Таблица 2

Урожайность ц/га,	x	Кол-во хозяйств, f	xf
До 38,25	38	7	266	-1	7	1	7
38,25-38,75	38,5	10	385	-0,5	5	0,25	2,5
38,75-39,25	39	12	468	0	0	0	0
39,25-39,75	39,5	11	434,5	0,5	5,5	0,25	2,75
39,75-40,25	40	45	1800	1	45	1	45
40,25-40,75	40,5	2	81	1,5	3	2,25	4,5
Свыше 40,75	41	1	41	2	2	4	4
Итого:		88	3475,5		67,5		65,75

ц/га.

3. Среднее квадратичное отклонение

- простая;

- взвешенная;

ц/га.

4. Дисперсия

- простая;

- взвешенная;

.

5. Коэффициент вариации

.

Определим моду и медиану

Мода - это есть варианта, у которой частота (вес) наибольшая.

,

дисперсия эмпирический данные

где - нижняя граница модального интервала;

i - разность между верхней и нижней границей модального интервала;

- частота интервала, предшествующая модальному интервалу;

- частота модального интервала;

- частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Определим: какой интервал является модальным. Это будет интервал, которому соответствует наибольшая частота. В нашем случае это интервал 38,75-39,25, т.к. ему соответствует частота 36.

= 38.75; i =39.25-38.75=0.5; =10; =12; = 11.

ц/га.

Медианой называется серединная варианта упорядоченного вариационного ряда, расположенного в возрастающем и убывающем порядке. Она является центральным членом и делит вариационный ряд пополам в тех случаях, если этот ряд нечетный. Поэтому для определения медианного интервала определим полусумму частот: 88/2 = 44

И по накопленным частотам смотрим, в какой интервал попадает 44 варианта.

Урожайность ц/га,	Кол-во хозяйств, f	Накопленные частоты
До 38,25	7	7
38,25-38,75	10	17
38,75-39,25	12	29
39,25-39,75	11	40
39,75-40,25	45	85
40,25-40,75	2	87
Свыше 40,75	1	88
Итого:	88

Это интервал 40,25-40,75

,

где - нижняя граница медианного интервала;

i - величина медианного интервала;

- сумма частот интервального ряда;

- сумма накопленных частот в интервалах предшествующих медианному;

- частота медианного интервала.

= 40,25; i =0.5;

=88;

=85;

=2.

ц/га.

Построение полигона и гистограммы распределения



Теоретический вопрос: указать различные методы расчета дисперсии.

Дисперсия - это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Методы расчета:

- невзвешенная;

- взвешенная;

- невзвешенная;

- взвешенная.

Теоретический вопрос: меры вариации для сгруппированных данных.

- общая дисперсия;

- внутригрупповая дисперсия;

- межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности, под влиянием всех факторов:

.

Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и подсчитывается по следующей формуле:

,

где - групповая средняя.

Средняя, из внутригрупповых дисперсий:

.

Межгрупповая дисперсия измеряет колеблемость групповых средних вокруг общей средней:

.

Закон, связывающий три вида дисперсии:

.

Общая дисперсия, возникающая под воздействием всех факторов, должна быть равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов и дисперсии, возникающий за счет фактора группировки.

Теоретический вопрос: Дисперсия альтернативного признака.

Вариация альтернативного признака выражается в том, что одни единицы обладают данным признаком, а другие нет (одни изделия являются годными, а другие нет). Наличие альтернативного признака у единицы совокупности обозначается 1, а отсутствие - 0.

Среднее значение альтернативного признака вычисляется по следующей формуле:

,

где - доля единиц совокупности, обладающих данным признаком.

,

где M - количество единиц совокупности, обладающих данным признаком, N - общее количество единиц в данной совокупности, g - доля единиц, не обладающих данным признаком.

.

Т.к. альтернативный признак принимает два значения, с весами, соответственно g и p, то дисперсия альтернативного признака:

.

Коэффициент вариации равен отношению именованного показателя вариации (кроме дисперсии) к средней арифметической или величине, заменяющей ее (чаще мода, медиана).

или .

Если вариации нет, то =0, с ростом вариации, увеличивается и .

Задача № 2

дисперсия тенденция эмпирический данные

По данным таблицы № 3 рассчитать:

1. показатели ряда динамики;

2. средние показатели ряда динамики;

3. выявить тенденцию развития ряда (тренд);

а) методом трехлетней скользящей средней;

б) при помощи аналитического выравнивания;

в) произвести прогноз на 2 года.

Таблица 3

Год	Консервы мясные (млн. усл. банок)
1991	700
1992	760
1993	670
1994	800
1995	870
1996	900
1997	960
1998	1200
1999	1260

Определяем показатели ряда динамики

Абсолютным приростом называется разность последующего и предыдущего уровня ряда динамики.

,

где - текущий уровень ряда динамики,

- предыдущий уровень,

- абсолютный прирост.

единицы измерения - млн. усл. банок.

За весь период вычисляется так:

,

где - первый уровень ряда динамики,

- последний уровень ряда динамики.

млн. усл. банок.

Темпом роста - называют соотношение последующего уровня к предыдущему.

Темп роста может быть выражен в виде коэффициента и в виде процентов.

- цепные.

.

Темп роста за весь период:

;

.

В процентном виде: 1,8 *100= 180 %. Аналогично переведем все темпы роста.

Темпом прироста называется отношения абсолютного прироста к базисному уровню.

;

.

Абсолютное значение 1 % прироста показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем 1% прироста.

.

единицы измерения - млн. усл. банок.

Определяем средние показатели ряда динамики

Средний уровень интервального ряда есть отношение суммы уровней этого ряда к числу переходов, к которым она относится.

-средняя арифметическая простая.

млн. усл. банок.

Средний абсолютный прирост есть средняя из абсолютных приростов за равные промежутки времени.

,

n-1 - число абсолютных приростов за период.

млн. усл. банок.

Средний темп роста вычисляется по формуле средней геометрической из темпов роста за составной период, промежутки времени.

;

.

Средний темп прироста определяем по формуле:

.

Определяем общую тенденцию развития ряда динамики

Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда с помощью скользящей средней.

Сущность этого приема состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяются расчетные (теоретические) уровни. При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются, и общая тенденция развития явлений выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни).

,

Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание.

Для выявления общей тенденции изучаемого явления изобразим ряд динамики в виде линейного графика.

Для выравнивания ряда динамики по прямой, используем уравнение:

,

где - сглаженные значения ряда динамики,

t - время.

где n - число членов ряда динамики,

; ,

; .

Таблица 4

t	у	у t	t 2	yt
-4	700	-2800	16	619,54
-3	760	-2280	9	690,21
-2	670	-1340	4	760,88
-1	800	-800	1	831,55
0	870	0	0	902,22
1	900	900	1	972,89
2	960	1920	4	1043,56
3	1200	3600	9	1114,23
4	1260	5040	16	1184,9
У t=0	У у=8120	У у t =4240	У t 2 =60	8120

а 1= 4240/ 60= 70,67.

Аналитическое уравнение: yt = 902,22+ 70,67*t .

Подставим эмпирические t в уравнение

yt =902,22+70,67*(-4) = 619,54

yt =902,22+70,67*(-3) = 690,21

yt =902,22+70,67*(-2) = 760,88

yt =902,22+70,67*(-1) = 831,55

yt =902,22+70,67*0 = 902,22

yt =902,22+70,67*1 = 972,89

yt =902,22+70,67*2 = 1043,56

yt =902,22+70,67*3 = 1114,23

yt =902,22+70,67*4 = 1184,9

Для того чтобы произвести прогноз на 2 года необходимо в уравнение

yt = 902,22+ 70,67*t подставить значения t=5 и t=6.

В 2000г. ожидается выпуск консервов мясных (млн. усл. банок):

yt =902,22+70,67*5 =1255,57.

В 2001г.:

yt =902,22+70,67*6 =1326,24.

Задача № 3

По данным таблицы № 5 рассчитать:

1. сводный индекс цен в форме средней гармонической при условии, что индивидуальные индексы цен составили: для моркови 102.3%, для свеклы 99.2%, для лука 104.1%.

Таблица № 5

Товар	Реализация в текущем периоде, руб. p1q1	ip	p1q1/ ip
Морковь	16000	1,023	15640
Свекла	1555	0.992	1567
Лук	17000	1,041	16330
Итого:	34555		33537

Определяем средний гармонический индекс

.

Для этого определим ip. в коэффициентном виде.

или 103%.

Таким образом, по данному ассортименту в отчетном периоде цены повысились в среднем на 3 %.

Задача № 4

1. Рассчитать параметры уравнения регрессии и коэффициент корреляции.

2. Оценить тесноту связи.

3. Построить поле корреляции и теоретическую линию регрессии.

В результате выборочного изучения связи между размерами потерь пшеницы и сроками ее уборки после достижения полной восковой спелости были получены следующие данные:

Таблица № 6

Сроки уборки, (дней)	-1	1	3	4	6
Потери, (ц/га)	5,5	4,8	-2,3	-1,2	0,3

Определяем параметры регрессионного уравнения и коэффициент корреляции

Корреляционный и регрессионный методы решают две основные задачи:

1. Определение с помощью уравнений регрессий аналитической формы связи между вариацией признаков X и Y.

2. Установление меры тесноты связи между признаками.

Предположим, что форма связи выбрана - линейная. Составим уравнение регрессии:

В случай выравнивания по прямой способ наименьших квадратов приводит к следующей системе нормальных уравнений:

,

где n - число пар значений x и y

Представим все необходимые значения для расчета в таблице 7:

Таблица 7

элементы	1	2	3	4	5	n=5
x	-1	1	3	4	6	13
y	5,5	4,8	-2,3	-1,2	0,3	7,1
x2	1	1	9	16	36	169
xy	-5,5	4,8	-6,9	-4,8	1,8	92,3
y2	30,25	23,04	5,29	1,44	0,09	50,41

Решая данную систему уравнений, получаем:

Подставив полученные неизвестные в уравнение регрессии, получаем

- уравнение регрессии.

Определяем коэффициент корреляции

Чтобы определить степень влияния x на вариацию признака y. Для этого используется коэффициент корреляции:

или

Подставив наши значения в формулу получаем:

Оценку тесноты связи производим по схеме:

Теснота связи	Величина R при наличии
	Прямой связи	Обратной связи
Слабая	0,1-0,3	(-0,1)-(-0,3)
Средняя	0,3-0,7	(-0,3)-(-0,7)
Сильная	0,7-1,0	(-0,7)-(-1,0)

По данной схеме получаем теснота связи - слабая.

Построение поля корреляции и теоретической линию регрессии



Размещено на Allbest.ru