Случайные величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, которая принимает свои значения в зависимости от элементарного события. Примером случайной величины могут быть: число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, число граждан, которые имеют высшее образование среди взятых наугад n человек, число бракованных изделий в партии из N штук, время безотказной работы прибора и т.д.

1. 

1. Случайные величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой, ее конкретные значения - строчными буквами.

Случайной величиной называется функция, определенная на множестве элементарных событий,.

2. Классификация случайных величин

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.

Пусть дискретная случайная величина может принимать значений:. Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений.

3. Закон распределения случайной величины

случайный гипотеза величина статистический

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел (), где - возможные значения случайной величины, а - вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем.

В простейших случаях закон распределения случайной величины удобно задавать таблицей:

Таблица

Заметим, что таблицу значений дискретной случайной величины, если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями с вероятностями, равными нулю.

Случайные величины и называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

4. Функция распределения случайной величины и ее свойства

Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.

Пусть - случайная величина, определенная на множестве элементарных событий,, а - произвольное действительное число. В общем случае функция должна быть такова, чтобы для любых событие, состоящее в том, что случайная величина попадает в интервал, принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность.

Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем, равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины, соответствующее значению аргумента, т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величины представляет собой вероятность события, где - задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е..

Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины, принимающей значения.

Если, то, так как в этом случае событие является невозможным.

Если, то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие, поэтому.

Если, то событие равно сумме событий, и.

Аналогично, если, то.

Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна, где, и суммирование производится по тем, для которых.

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значению этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности.



Таблица

В точках функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.

Свойства функции распределения

Функция распределения принимает значения из промежутка:.

Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала, равна разности:.

Функция распределения - неубывающая функция, т.е. при.

.

Если, то.

Если, то.

5. Плотность распределения вероятностей

Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения: р(Х = а) = F(a) -- F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифферен-циальная функция).

Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

f (x) = F?(x), то есть является производной функции распределения.

График плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточе-ны на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b] f(x) ? 0.

6. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Вероятность попадания случайной величины X в интервал а<Х<b определяется по формуле P(a?X<b)=F(b)-F(a).

Замечание. Обычно для определённости левую границу включают в интервал, а правую нет. Вообще для непрерывных случайных величин верно, что

Р(а?Х<b)= Р(а <Х?b) =Р(а<Х < b)= Р(а?X?b).



7. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства

В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.

Математическое ожидание дискретной случайной величины - это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

,где.

Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.

Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины.

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания можно сформулировать в виде теорем. Доказательства этих теорем будут приведены для дискретных случайных величин, однако, соответствующие теоремы справедливы также и для непрерывных случайных величин.

Прежде, чем формулировать свойства математического ожидания необходимо выяснить смысл и дать определение арифметических операций,, и т.п., где и - дискретные случайные величины.

Например, под суммой понимается случайная величина, значениями которой являются все допустимые суммы, где и - все возможные значения соответственно случайных величин и; причем соответствующие вероятности равны:

.

Если какая-нибудь комбинация невозможна, то условно полагают; это не отразится на математическом ожидании суммы. Аналогично определяются и остальные операции.

Свойства математического ожидания

1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение с вероятностью. Поэтому.

2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин и равно разности их математических ожиданий:

.

Доказательство:

1) Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями (), а случайная величина принимает значения с вероятностями (). Тогда возможными значениями случайной величины будут суммы, вероятности которых равны:

.

Как уже отмечалось ранее, все комбинации () (,) можно считать допустимыми, причем, если сумма невозможна, то полагаем, что.

Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина принимает значения при условии, что случайная величина примет одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что принимает значение и поэтому.

Аналогично.

Тогда.

2) Для нескольких случайных величин, например для трех, и, имеем:

, и т.д.



Следствие. Если - постоянная величина, то:

3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения (,) () и (,) () - законы распределения случайных величин и. Так как и - независимы, то полный набор значений случайной величины состоит из всех произведений (,), причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Действительно, например, для трех взаимно независимых случайных величин, и:

, и т.д.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.. Если - постоянная величина и - любая случайная величина, то, учитывая, что и - независимы, получим:

.

Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин и равно разности их математических ожиданий:

Доказательство

.

Дисперсия случайной величины и ее свойства

На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Использовать в качестве такой характеристики отклонение случайной величины от ее математического ожидания не представляется возможным.

Теорема. Для любой случайной величины математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т.е.

.

Доказательство. Действительно, учитывая, что - постоянная величина, имеем:



Такой характеристикой степени рассеяния случайной величины является дисперсия.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

. величина распределение корреляция

Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т.е. является числовой характеристикой этой величины.

Если случайная величина имеет закон распределения, то.

Так же как и для математического ожидания, свойства дисперсии можно сформулировать в виде теорем.

Теорема. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство. Если - постоянная величина, то и, следовательно,. Этот результат очевиден, поскольку постоянная величина изображается точкой на числовой оси и не имеет рассеяния.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат.

Доказательство. Если - постоянный множитель, а - случайная величина, то - тоже случайная величина, математическое ожидание которой. Применяя к случайной величине определение дисперсии, получаем:

.



Теорема. Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания ее квадрата и квадрата математического ожидания самой величины:.

Доказательство. Используя основные теоремы о математическом ожидании можно записать:

Теорема. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Доказательство. Поскольку, следовательно:

,

где - так называемый корреляционный момент величин и. Если случайные величины и независимы, то случайные величины и, очевидно, также независимы, поэтому:



Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Если - постоянная величина, то.

Следствие 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е. если случайные величины и независимы, то.

Доказательство

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.

Среднеквадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением (или стандартом) случайной величины называется корень квадратный из дисперсии этой величины:.

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность совпадает с размерностью. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратичное отклонение, а не дисперсию.

8. Статистические гипотезы

Статистической гипотезой называется предположение о виде неизвестного распределения случайной величины или о параметрах известного распределения. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) Н_о формулируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернативная) Н₁, которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза.

Гипотезы разделяются на простые (содержащие только одно предположение) и сложные (содержащие более одного предположения).

При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: ошибкапервого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза, и ошибка второгорода, если принята неверная нулевая гипотеза.

Для проверки статистической гипотезы используется специально подобранная случайная величина К с известным законом распределения, называемая статистическим критерием. Множество ее возможных значений разбивается на два непересекающихся подмножества: одно из них (критическая область) содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, второе (область принятия гипотезы) - значения К, при которых она принимается. Значения К, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками k_р. Критическая область может быть правосторонней (если она задается неравенством ), левосторонней () или двусторонней (). Для ее нахождения нужно задать вероятность ошибки первого рода б, называемую уровнем значимости; тогда, например, правосторонняя критическая область задается условием .

Порядок проверки статистической гипотезы таков:

задается уровень значимости б, выбирается статистический критерийК и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение k_кр; определяется вид критической области;

по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия К_набл;

если К_набл попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается; при попадании К_набл в область принятия гипотезы нулевая гипотеза принимается.

Способы проверки некоторых статистических гипотез

Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Пусть имеются две выборки объемов п₁ и п₂, извлеченные из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y. Требуется по исправленным выборочным дисперсиям и проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий рассматриваемых генеральных совокупностей:

H_o: D (X) = D (Y).

Критерием служит случайная величина отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k₁ = n₁ - 1 и k₂ = n₂ - 1. Критическая область зависит от вида конкурирующей гипотезы: если H₁: D (X) >D (Y), то критическая область правосторонняя:

Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Если нулевая гипотеза принимается, в противном случае - отвергается.

2) При конкурирующей гипотезе H₁: D (X) ? D (Y) критическая область двусторонняя: При этом достаточно найти Тогда, если нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если нулевую гипотезу отвергают.

Сравнение двух средних генеральных совокупностей

1) Генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем известны их дисперсии. Из этих генеральных совокупностей извлечены выборки объемов соответственно т и п, для которых найдены выборочные средние и . При заданном уровне значимости б проверяется нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей: Н_о: М (Х) = М (Y).

Статистическим критерием для проверки этой гипотезы является нормированная нормально распределенная случайная величина

Наблюдаемое значение критерия . Вид критической области зависит от типа конкурирующей гипотезы:

а) Н₁: М (Х) ? М (Y) - критическая область двусторонняя, z_кр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область задается неравенством |Z| >z_кр.

б) Н₁: М (Х) >М (Y) - критическая область правосторонняя, z_кр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область определяется неравенством Z>z_кр.

в) Н₁: М (Х) <М (Y) - критическая область левосторонняя, заданная неравенством Z< -z_кр, где z_кр вычисляется так же, как в предыдущем случае.

2) Имеются две независимые выборки большого объема, извлеченные из генеральных совокупностей, законы распределения и дисперсии которых неизвестны. При этом для объема выборки, не меньшего 30, можно считать, что выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий (следовательно, считаем известными приближенные значения генеральных дисперсий). Тогда задача сводится к предыдущей, и статистический критерий имеет вид:

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

При этом выбор вида критической области и определение критических точек проводятся так же, как в пункте 1.

3) Генеральные совокупности распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны, а объем выборок т и п мал (следовательно, нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий). Если предположить, что генеральные дисперсии равны, то в качестве критерия для проверки нулевой гипотезы Н_о: М (Х) = М (Y) служит случайная величина



,

имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n + m- 2 степенями свободы. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

а) Н₁: М (Х) ? М (Y) - критическая область двусторонняя, задаваемая неравенством |T| >t_{двуст.кр.}, где t_{двуст.кр.}(б, k) находится из таблицы критических точек распределения Стьюдента.

б) Н₁: М (Х) >М (Y) - критическая область правосторонняя, определяемая условием T>t_{прав.кр.}. Критическая точка вновь находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.

в) Н₁: М (Х) <М (Y) - критическая область левосторонняя, T< - t_{прав.кр.}.

Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п₁ опытов, и событиеА появилось т₁ раз; во второй серии из п₂ опытов событие А появилось т₂ раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р₁, а во второй серии - через р₂. Требуется проверить при уровне значимости б нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Н_о: р₁ = р₂.

В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина

.

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

.

Построение критической области:

а) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ ? р₂u_кр определяется из равенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством |U| >u_кр.

б) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁>р₂u_кр для правосторонней критической области находится из условия , и вид критической области: U>u_кр.

в) при конкурирующей гипотезеН_о: р₁<р₂ левосторонняя критическая область имеет вид U< - u_кр, где u_кр находится по формуле из пункта б).

Критерий согласия Пирсона

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение:



Варианты xi	x1	x2	...	xs
Частоты ni	n1	n2	...	ns

С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормальном, показательном и др.) Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты , и в качестве критерия выбирается случайная величина

,

имеющая закон распределения ч² с числом степеней свободы k = s - 1 - r, где s - число частичных интервалов выборки, r - число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости б находится по таблице критических точек распределения ч².

Теоретические частоты вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно:

а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения = п• Р_i, где п - объем выборки, x_i и x_{i + 1} - левая и правая границы i-го интервала, - выборочное среднее, s - исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n - 3;

б) для проверки гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности в качестве оценки параметра л принимается . Тогда теоретические частоты = п• Р_i, . Показательное распределение определяется одним параметром, поэтому число степеней свободы k = n- 2;

в) для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности концы интервала, в котором наблюдались возможные

значения Х, оцениваются по формулам:

Тогда плотность вероятности

Число степеней свободы k = n- 3, так как равномерное распределение оценивается двумя параметрами.



Заключение

В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что подавляющее большинство природных и рукотворных явлений, а также явлений повседневной жизни содержат в себе элементы случайности. Окружающий нас мир насыщен случайными событиями: номера выигравших билетов в лотереях, результаты спортивных состязаний, состояние погоды, количество солнечных дней в течение года и так далее.

Знание закономерностей, которым подчиняются случайные явления, позволяет предвидеть, как эти явления будут протекать. Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет или не произойдет некоторое событие. Однако если данное событие многократно наблюдается (или повторяется), то оно подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, в теории вероятностей изучаются реально существующие независимо от нашего сознания законы случайных явлений. Теория вероятностей предлагает математический аппарат для описания этих законов.



Список литературы

1. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Вентцель Е.С. «Теория вероятностей»

3. Колемаев В.А. «Теория вероятностей в примерах и задачах»

4. Агапов Г.И. «Задачник по теории вероятностей»

5. Гмурман В.Е «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике»

Размещено на Allbest.ru