Принципы построения моделей в экономике

Одним из направлений совершенствования анализа хозяйственной деятельности является внедрение экономико-математических методов и современных ЭВМ. Их применение повышает эффективность экономического анализа за счет расширения изучаемых факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства.

Математические методы опираются на методологию экономико-математического моделирования и научно обоснованную классификацию задач анализа хозяйственной деятельности. В зависимости от целей экономического анализа различают следующие экономико-математические модели: в детерминированных моделях - логарифмирование, долевое участие, дифференцирование; в стохастических моделях - корреляционно-регрессивный метод, линейное программирование, теорию массового обслуживания, теорию графов и др.

Стохастический анализ - это метод решения широкого класса задач статистического оценивания. Он предполагает изучение массовых эмпирических данных путем построения моделей изменения показателей за счет факторов, не находящихся в прямых связях, в прямой взаимозависимости и взаимообусловленности. Стохастическая связь существует между случайными величинами и проявляется в том, что при изменении одной из них меняется закон распределения другой Савицкая Г. В. Теория анализа хозяйственной деятельности. - М.: Инфра-М, 2007..

В экономическом анализе выделяются следующие наиболее типичные задачи стохастического анализа:

- изучение наличия и тесноты связи между функцией и факторами, а также между факторами;

- ранжирование и классификация факторов экономических явлений;

- выявление аналитической формы связи между изучаемыми явлениями;

- сглаживание динамики изменения уровня показателей;

- изучение размерности (сложности, многогранности) экономических явлений;

- количественное изменение информативных показателей;

- количественное изменение влияния факторов на изменение анализируемых показателей (экономическая интерпретация полученных уравнений).

Стохастическое моделирование и анализ связей между изученными показателями начинаются с корреляционного анализа. Корреляция состоит в том, что средняя величина одного из признаков изменяется в зависимости от значения другого. Признак, от которого зависит другой признак, принято называть факторным. Зависимый признак именуют результативным. В каждом конкретном случае для установления факторного и результативного признаков в неодинаковых совокупностях необходим анализ природы связи. Так, при анализе различных признаков в одной совокупности заработная плата рабочих в связи с их производственным стажем выступает как результативный признак, а в связи с показателями жизненного уровня или культурными потребностями - как факторный. Часто зависимости рассматривают не от одного факторного признака, а от нескольких. Для этого применяется совокупность методов и приемов выявления и количественной оценки взаимосвязей и взаимозависимостей между признаками Савицкая Г. В. Экономический анализ: Учеб. - 10-е изд., испр. - М.: Новое знание, 2004. - 640 с..

При исследовании массовых общественно-экономических явлений между факторными признаками проявляется корреляционная связь, при которой на величину результативного признака влияет, помимо факторного, множество других признаков, действующих в разных направлениях одновременно или последовательно. Часто корреляционную связь называют неполной статистической или частичной в отличие от функциональной, которая выражается в том, что при определенном значении переменной (независимая переменная - аргумент) другая (зависимая переменная - функция) принимает строгое значение Скамай Л. Г., Трубочкина М. И. Экономический анализ деятельности предприятия. - М.: Инфра-М, 2007.. Корреляционную связь можно выявить только в виде общей тенденции при массовом сопоставлении фактов. Каждому значению факторного признака будет соответствовать не одно значение результативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значение результативного признака для каждого значения факторного. Если зависимость прямолинейная:

.

Значения коэффициентов а и b находится из системы уравнений, полученных по способу наименьших квадратов по формуле:

, n - число наблюдений.

В случае прямолинейной формы связи между изучаемыми показателями коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, то получим коэффициент детерминации.

Дисконтирование - это процесс пересчета будущей стоимости капитала, денежных потоков или чистого дохода в настоящую. Ставка, по которой производится дисконтирование, называется ставкой дисконтирования (ставкой дисконта). Основная посылка, лежащая в основе понятия дисконтированного потока реальных денег, состоит в том, что деньги имеют временную цену, то есть сумма денег, имеющаяся в наличии в настоящее время, обладает большей ценностью, чем такая же сумма в будущем. Эта разница может быть выражена как процентная ставка, характеризующая относительные изменения за определенный период (обычно равный году).

Многие задачи, с которыми приходится сталкиваться экономисту в повседневной практике при анализе хозяйственной деятельности предприятий, многовариантны. Так как не все варианты одинаково хороши, среди множества возможных приходится отыскивать оптимальный. Значительная часть подобных задач на протяжении долгого времени решалась исходя из здравого смысла и опыта. При этом не было никакой уверенности, что найденный вариант является наилучшим Савицкая Г. В. Теория анализа хозяйственной деятельности. - М.: Инфра-М, 2007..

В современных условиях даже незначительные ошибки могут привести к огромным потерям. В связи с этим возникла необходимость привлечения к анализу и синтезу экономических систем оптимизационных экономико-математических методов и ЭВМ, что создает основу для принятия научно обоснованных решений. Такие методы объединяются в одну группу под общим названием "оптимизационные методы принятия решений в экономике". Чтобы решить экономическую задачу математическими методами, прежде всего, необходимо построить адекватную ей математическую модель, то есть формализовать цель и условия задачи в виде математических функций, уравнений и (или) неравенств.

В общем случае математическая модель оптимизационной задачи имеет вид:

max (min): Z = Z(x),

при ограничениях

f_i(x) Rb_i, i = ,

где R - отношения равенства, меньше или больше.

Если целевая функция и функции, входящие в систему ограничений, линейны относительно входящих в задачу неизвестных, такая задача называется задачей линейного программирования. Если же целевая функция или система ограничений не линейна, такая задача называется задачей нелинейного программирования.

В основном, на практике, задачи нелинейного программирования путем линеаризации сводятся к задаче линейного программирования. Особый практический интерес среди задач нелинейного программирования представляют задачи динамического программирования, которые из-за своей многоэтапности нельзя линеаризовать. Поэтому мы рассмотрим только эти два вида оптимизационных моделей, для которых в настоящее время имеется хорошее математическое и программное обеспечение Анализ хозяйственной деятельности предприятия: Учеб. пособие/ Под общ. ред. Л. Л. Ермолович. - Мн.: Интерпрессервис; Экоперспектива, 2001. - 576 с..

Метод динамического программирования представляет собой особый математический прием оптимизации нелинейных задач математического программирования, который специально приспособлен к многошаговым процессам. Многошаговым обычно считают процесс, развивающийся во времени и распадающийся на ряд "шагов", или "этапов". Однако метод динамического программирования используется и для решения задач, в которых время не фигурирует. Некоторые процессы распадаются на шаги естественным образом (например, процесс планирования хозяйственной деятельности предприятия на отрезок времени, состоящий из нескольких лет). Многие процессы можно расчленить на этапы искусственно Савицкая Г. В. Экономический анализ: Учеб. - 10-е изд., испр. - М.: Новое знание, 2004. - 640 с..

Суть метода динамического программирования состоит в том, что вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи предпочитают находить оптимальные решения для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые расчленяется исходная задача.

Метод динамического программирования также характеризуется тем, что выбор оптимального решения на каждом шаге должен производиться с учетом последствий в будущем. Это означает, что, оптимизируя процесс на каждом отдельном шаге, ни в коем случае нельзя забывать обо всех последующих шагах. Таким образом, динамическое программирование - это дальновидное планирование с учетом перспективы.

Принцип выбора решения в динамическом программировании является определяющим и носит название принципа оптимальности Беллмана. Сформулируем его следующим образом: оптимальная стратегия обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение, принятое в начальный момент, последующие решения должны вести к улучшению ситуации относительно состояния, являющегося результатом первоначального решения.

Таким образом, при решении оптимизационной задачи методом динамического программирования необходимо на каждом шаге учитывать последствия, к которым приведет в будущем решение, принимаемое в данный момент. Исключением является последний шаг, которым заканчивается процесс. Здесь можно принимать такое решение, чтобы обеспечить максимальный эффект. Спланировав оптимальным образом последний шаг, можно "пристраивать" к нему предпоследний так, чтобы результат этих двух шагов был оптимальным, и т.д. Именно таким образом - от конца к началу - можно развернуть процедуру принятия решений. Оптимальное решение, найденное при условии, что предыдущий шаг закончился определенным образом, называют условно-оптимальным решением.

Статистическая теория игр является составной частью общей теории игр, которая представляет собой раздел современной прикладной математики, изучающий методы обоснования оптимальных решений в конфликтных ситуациях. В теории статистических игр различают такие понятия, как исходная стратегическая игра и собственно статистическая игра. В этой теории первого игрока называют "природой", под которой понимают совокупность обстоятельств, в условиях которой приходится принимать решения второму игроку - "статистику". В стратегической игре оба игрока действуют активно, предполагая, что противник - "разумный" игрок. Для стратегической игры характерна полная неопределенность в выборе стратегии каждым игроком, то есть игроки ничего не знают о стратегиях друг друга. В стратегической игре оба игрока действуют на основе детерминированной информации, определенной матрицей потерь.

В собственно статистической игре природа не является активно действующим игроком в том смысле, что она "не разумна" и не пытается противодействовать максимальному выигрышу второго игрока. Статистик (второй игрок) в статистической игре стремится выиграть игру у воображаемого противника - природы. Если в стратегической игре игроки действуют в условиях полной неопределенности, то для статистической игры характерна частичная неопределенность. Дело в том, что природа развивается и "действует" в соответствии со своими объективно существующими законами. У статистика есть возможность постепенно изучать эти законы, например, на основе статистического эксперимента Скамай Л. Г., Трубочкина М. И. Экономический анализ деятельности предприятия. - М.: Инфра-М, 2007..

Теория массового обслуживания - прикладная область теории случайных процессов. Предметом ее исследования являются вероятностные модели реальных систем обслуживания, где в случайные (или не в случайные) моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства (каналы) выполнения заявок. Теория массового обслуживания исследует математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания, качества функционирования систем, где случайными могут быть как моменты появления требований (заявок), так и затраты времени на их исполнение.

Система массового обслуживания находит применение в решении следующих задач: например, тогда, когда в массовом порядке поступают заявки (требования) на обслуживание с последующим их удовлетворением. На практике это могут быть поступление сырья, материалов, полуфабрикатов, изделий на склад и их выдача со склада; обработка широкой номенклатуры деталей на одном и том же технологическом оборудовании; организация наладки и ремонта оборудования; транспортные операции; планирование резервных и страховых запасов ресурсов; определение оптимальной численности отделов и служб предприятия; обработка плановой и отчетной документации и др.

Балансовая модель - это система уравнений, характеризующих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном или денежном выражении и направления их использования.

При этом наличие ресурсов (продуктов) и потребность в них количественно совпадают. В основу решения таких моделей положены методы линейной векторно-матричной алгебры. Поэтому балансовые методы и модели называют матричными методами анализа. Наглядность изображений различных экономических процессов в матричных моделях и элементарные способы разрешения систем уравнений позволяют применять их в различных производственно-хозяйственных ситуациях.

Математическая теория нечетких множеств, разработанная в 60-е годы XX столетия, сегодня все шире применяется в финансовом анализе деятельности предприятия, включающем анализ и прогноз финансового положения предприятия, анализ изменений оборотного фонда, потоков свободных денежных средств, экономического риска, оценки влияния затрат на прибыль, расчета стоимости капитала. В основе данной теории лежат понятия "нечеткое множество" и "функции принадлежности".

В общем случае решение задач такого типа довольно громоздко, так как имеет место большой объем информации. Практическое использование теории нечетких множеств позволяет развивать традиционные методы финансово-хозяйственной деятельности, адаптировать их к новым потребностям учета неопределенности в будущем основных показателей деятельности предприятий Савицкая Г. В. Экономический анализ: Учеб. - 10-е изд., испр. - М.: Новое знание, 2004. - 640 с..

Матричные ЭММ. Модель межотраслевого баланса

Матричные экономико-математические модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях -- от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом.

Положительными и ценными качествами данной модели являются общность расчетов, которые опираются на знание коэффициентов прямых и полных материальных затрат. Основу баланса составляет совокупность всех отраслей материального производства; их число равно п. Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и как потребляющая.

Отрасли как производителю продукции соответствует определенная строка, а отрасли как потребителю продукции -- определенный столбец.

Если номер любой производящей отрасли обозначить через i, а номер любой потребляющей отрасли -- через j, то находящиеся на пересечении отраслей (т. е. соответственно строк и столбцов) величины хij нужно понимать как стоимость средств производства, произведенных в i-й отрасли и потребленных в качестве материальных затрат в j-и отрасли. хij - технологический коэффициент.

Таблица. Матричная модель межотраслевого баланса

В столбцах межотраслевого баланса отражается структура материальных затрат и чистой продукции каждой отрасли. Допустим, 1-я отрасль--это производство электроэнергии, 2-я -- угольная промышленность. Тогда величина х₁₁ показывает стоимость электроэнергии, израсходованной внутри 1-й отрасли для собственных производственных нужд. Величина x₁₂ отражает затраты угля в производстве электроэнергии. В целом же столбец х₁₁, x₂₁, х₃₁, ..., х_n1 характеризует структуру материальных затрат 1-й отрасли за отчетный год в разрезе отраслей-поставщиков.

В балансе отражены не только материальные затраты, но и чистая продукция отраслей. Так, чистая продукция 1-й отрасли характеризуется суммой оплаты труда v₁ и чистого дохода (прибыли) m₁. Итог материальных

затрат и чистой продукции равен, очевидно, валовой продукции отрасли (например, для 1-й отрасли--величине Х₁). Таким образом, можно записать:

Х1=х₁₁+х₂₁+х₃₁+.+х_n1+v₁+m₁ = (1)

То же соотношение для любой отрасли имеет следующий вид :

X (2)

Если рассматривать модель по строкам межотраслевого баланса, то здесь представлено распределение годового объема продукции каждой отрасли материального производства

Х₁ = х₁₁+х₁₂+х₁₃+ . +х_1т+y₁ =

тогда для любой производящей отрасли

Х_i= (3)

Если сравнить правую и левую части уравнений (2) и (3), то можно отметить, что у них присутствует общий член х_ij .Тогда можно записать выражение:

(4)

Выражение (4) показывает, что в межотраслевом балансе собдюдается важнейший принцип - это единство материального баланса, представленного выражением, как единства вещественного и стоимостного состава национального дохода Савицкая Г. В. Экономический анализ: Учеб. - 10-е изд., испр. - М.: Новое знание, 2004. - 640 с..

Квадрант I - промежуточная продукция, показывает распределение материальных затрат по всем производящим отраслям. Квадрант II - конечная продукция, которая вышла из сферы производства и попала в сферу сбыта. В развернутом виде ее можно представить как продукцию, идущую на личное потребление, на общественные нужды, а также на восполнение ресурсов и экспорт. Квадрант III - характеризует национальный доход со стороны его стоимостного состава как сумму оплаты труда и чистого дохода всех отраслей материального производства. Данные этого квадранта необходимы для глубокого экономического анализа. Квадрант IV - отражение конечного распределения и использования национального дохода.

Он находится на пересечении столбцов конечной продукции и строк национального дохода.

В целом модель отражает балансы отраслей материального производства, баланс всего общественного продукта, балансы национального дохода, финансовый баланс, баланс доходов и расходов населения. В балансе отражено единство материально-вещественного и стоимостного состава национального дохода Скамай Л. Г., Трубочкина М. И. Экономический анализ деятельности предприятия. - М.: Инфра-М, 2007.

.

Заключение