Производственная функция и ее свойства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В области экономико-математических методов существует множество различных моделей, позволяющих проанализировать и оптимизировать работу предприятий. Одним из таких направлений является теория производственных функций. В настоящее время она идёт по пути совершенствования и модификации уже существующих моделей - очень мало добавляется в неё нового. Одновременно с этим, аппарат производственных функций недооценён и в большей степени используется в математической экономике и эконометрике лишь в качестве некой модели, дающей какую-либо информацию для дальнейших исследований. Разработке новых моделей, существенно отличающихся от имеющихся и привносящих что-то новое в теорию производственных функций, уделяется очень мало внимания.

1. Определение производственной функции и её свойства. Маргинальные продукты

В общей теории производства под производственной функцией (ПФ) понимают функцию, выражающую количественную зависимость выпуска (t) продукции от затрат. Необходимость изучения ПФ как на микроуровне, так и на макроуровне исходит из потребностей анализа эффективности используемых ресурсов на результаты производственной деятельности. Как правило, предполагается, что фирма выпускает один вид продукции и использует для её производства m производственных факторов. Обозначим через x_i количество затрат i-го фактора, . Пространство факторов X в общем случае отождествляется с неотрицательным ортантом m-мерного евклидова пространства: что, вообще говоря, не всегда оправдано из-за ограниченности ресурсов. Поэтому более реальным является множество , где g(x)=(g₁(x),…, g_k(x)) - k-мерная функция ограничений на факторы. Факторы измеряются либо в натуральных, либо в денежных единицах.

Математически производственной функцией называют неотрицательную функцию Q=f(x), ставящую каждой точке x пространства факторов X объём выпуска Q и удовлетворяющую следующим свойствам:

1) f(0)=0;

2) существует подмножество пространства затрат, называемое экономической областью, в которой для любых x, y из этой области из неравенства x?y следует f(x)? f(y);

3) существует выпуклое подмножество экономической области, называемое особой областью, в которой f(x) вогнута по каждому аргументу.

Первое свойство экономисты характеризуют как отсутствие «рога изобилия»: из ничего нельзя что-то произвести. Второе свойство означает, что увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска продукции.

Пусть ?xi - приращение затрат i-го фактора, ?f(x)=f (x+ei ? xi)?ѓ{f(x) - приращение выпуска продукции. Тогда отношение ?f(x)/?x_i показывает прирост выпуска продукции на единицу затрат i-го фактора и называется производительностью i-го фактора. Если существует производная ?f(x)/?xi, то эту величину называют предельной производительностью i-го фактора или предельным (маргинальным) продуктом (marginal product) по i-му фактору и обозначают Mfi(x).

Для дифференцируемых производственных функций из второго свойства следует ?f(x)/?x?0, т.е. все предельные продукты неотрицательны. В предположении, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и строго вогнута, второе условие означает, что для маргинальных продуктов в экономической области имеют место неравенства Mfi(x)=?f(x)/?xi>0, i=, а матрица вторых производных ?²f(x)/?x² отрицательно определена в особой области.

2. Показатели ПФ и их геометрическая интерпретация

Каждая из ПФ характеризуется несколькими показателями. В первую очередь это - эластичность производства (elasticity of production).

Предположим, что с целью расширения производства фирма увеличила все виды затрат в б раз (б>0). В этом случае говорят о расширении масштаба производства. Тогда представляет относительный прирост каждого вида затрат, а (f(бx)?ѓ{f(x))/f(x) - относительный прирост продукции (или дохода, если f(x) представляет доход). Величину

(1)

являющуюся пределом отношения относительного (процентного) прироста выпуска продукции к относительному (процентному) увеличению каждого вида затрат при их пропорциональном изменении, называют эластичностью производства в точке xX. Величина (1) является локальным показателем увеличения выпуска продукции при расширении масштаба производства. Если функция f(x) непрерывно дифференцируема, то из (1) следует:

(2)

Отсюда видно, что . Ясно, что если е(x)>1, то, исходя из определения эластичности производства (1), это означает, что при расширении масштаба производства выпуск продукции возрастает в большей степени чем затраты, и, наоборот, если 0<е(x)<1, выпуск возрастает в меньшей степени, чем затраты. В первом случае говорят, что имеет место возрастающая, во втором - убывающая отдача от расширения масштаба производства. Наконец, если е(x)=1, то говорят, что имеет место постоянная отдача от расширения масштаба производства, т.е. f(бx)=бf(x) или какой масштаб производства, во столько же раз возрастает и выпуск продукции. Иногда, вместо определения (1), используют другие, эквивалентные, определения:

(3)

Определим эластичность выпуска по отношению к затратам i-го фактора как

 (4)

Эластичность выпуска по отношению к затратам i-го фактора можно интерпретировать по-другому. Для этого введем некоторые понятия. Величину f(x)/xi естественно назвать средней производительностью i-го фактора (иногда говорят, норматив затрат). Величина, обратная производительности, xi/f(x), очевидно, определяет средние затраты i-го фактора на единицу продукции (иногда говорят, фондоёмкость продукции по отношению к i-му фактору). Если xi=L - трудоемкость, если xi=K - фондоемкость, если xi ѓ{ энергия, - энергоемкость, если xi - какой-либо материал, - материалоемкость, и т.д.

Таким образом, из (4) и введенных понятий следует, что эластичность выпуска по отношению к затратам i-го фактора равна произведению маргинального продукта на средние затраты.

Из равенств (2), (4) следует

(5)

т.е. эластичность производства равна сумме эластичностей выпуска по отношению к затратам всех видов факторов.

Величина е(x) является локальной. Поэтому в одних точках ПФ может характеризоваться постоянным доходом от расширения масштаба производства, в других - возрастающим (или убывающим). Однако для большинства ПФ е(x)=е=const для всех точек x из пространства факторов X.

В частном случае, когда f(x) является однородной функцией степени г эластичность производства равна г. В самом деле, из свойства однородных функций имеем:

 (6)

Из (2) и (6) и следует утверждение.

Построенная ПФ является кусочно-линейной, т.е. однородной первой степени. Таким образом, для ПФ ЗАПСД имеем е=1, т.е. при расширении масштаба производства построенная ПФ характеризуется постоянным доходом.

Вторым показателем производственной функции является эластичность замещения. В реальных процессах существенную роль играет замещение одних факторов другими. Необходимость в этом особенно возникает в случае наличия дефицитных факторов и приходится заменять дефицитный фактор другим, более доступным.

Предположим, что затраты i-го фактора уменьшились на величину ?xi. Возникает вопрос, каким образом компенсировать сокращение затрат i-го фактора, чтобы объём выпуска продукции не изменился. Другими словами, на какую величину ?xj следует увеличить затраты j-го фактора, чтобы f()=f(x), где в векторе затрат затраты xi, xj изменяются на величины ?xi, ?xj при неизменных затратах остальных факторов.

Величину ?x_j/?x_i назовём нормой замещения i-го фактора j-м фактором.

(7)

Таким образом, норма замещения показывает, какое количество j-го фактора требуется для замещения одной единицы i-го фактора (при неизменном выпуске продукции), причём, поскольку Mfi?0, Mfj?0, то знак минус в равенстве (7) означает, что при уменьшении затрат одного фактора необходимо увеличить затраты другого фактора.

В общем случае производственной функции f(x) равенство (7) приближённое. Точное равенство получаем при переходе к пределу, т.е. дифференцируя тождество f(x)=const: df=(?f/?xi) dxi+(?f/?xj) dxj=0, откуда будем иметь:

(8)

Величину hij(x)=dxi/dxj называют предельной нормой замещения j-го фактора i-м фактором.

Очевидно, hij(x)=1/hji(x), причём hij(x)? 0.

Локальным измерением замещения между двумя факторами является эластичность замещения. Эта величина используется для количественной характеристики скорости изменения предельной нормы замещения при движении вдоль кривой постоянного выпуска, точнее, вдоль проекции на плоскость 0xixj пересечения поверхности постоянного выпуска f(x)?f() и гиперплоскостей xs= , s=, s?i, j. Эластичность замещения факторов определяется следующим образом:

(9)

Нетрудно убедиться, что выполняются соотношения: уij(x)?0, уij(x)=уji(x), "i, j. Величина уij показывает, на сколько процентов должно измениться соотношение затрат i-го вида к затратам j-го вида, чтобы при этом предельная норма замещения изменилась на 1% при неизменном выпуске. Эту величину вводят для удобства характеристики ПФ, так как, как правило, для большинства ПФ уij(x)?у=const "i, j, x. Величина у характеризует взаимозаменяемость факторов. В тех случаях, когда предельная норма замещения не зависит от отношения факторов, будем иметь dh_ij/d(x_i/x_j)=0, и как следует из равенства (9), уij=+?. В этом случае факторы считаются взаимно замещаемыми. Если уij=0, факторы не замещаемы.

Рисунок 1

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию показателей ПФ. Введём в рассмотрение понятие изокванты, под которой понимается множество затрат, необходимых для производства одного и того же количества продукции: I_Q={xX: f(x)=Q}. Предельная норма замещения (а, значит, и эластичность замещения) характеризует кривизну изокванты. Величина hij(x)=?Mf_i(x)/Mf_j(x) характеризует наклон изокванты. На рис. 1 изображены изокванты для случая n=3, m=2, x?0, z?0, и различных уровней выпуска Q1<Q2<Q3. Очевидно, в областях A0B и B0C предельные нормы замещения различны. А за пределами области A0C факторы вообще не замещаемы.

Как отмечено при определении ПФ, область пространства затрат, в которой увеличение затрат любого фактора не ведёт к уменьшению выпуска, называют экономической областью. В нашем случае экономическая область совпадает с пространством затрат X. Подмножество экономической области, в которой увеличение затрат любого вида факторов ведёт к увеличению выпуска продукции, называют особой областью. В общем случае ПФ особая область характеризуется строгой вогнутостью ПФ, а в случае дважды непрерывно дифференцируемых функций - отрицательной определённостью матрицы ?²f/?x². В нашем случае особой областью является область A0C, не включая границы. Таким образом, за пределами особой области, факторы не замещаемы.

Особая область ограничена двумя лучами 0A и 0C, которые называют разделяющими линиями. Разделяющая линия 1 (0A) характеризуется тем, что вдоль неё ?f/?e₁=0, а вдоль разделяющей линии 2 (0C) ?f/?e₂=0. Первая из линий показывает минимальные затраты второго фактора, которые необходимы для производства различных уровней выпуска продукции, а вторая линия - минимальные затраты первого фактора. Например, для выпуска продукции в количестве Q₂ необходимо затратить не меньше второго фактора и не меньше первого фактора.

3. Примеры производственных функций, их характеристики

Для полноты изложения приведём примеры других производственных функций, наиболее часто используемых при анализе производственной деятельности как на микро-, так и на макроуровне, а также отразим их основные характеристики, под которыми будем понимать:

1) что выражает ПФ и допустимые параметры;

2) эластичность выпуска по отношению к затратам факторов, эластичность производства;

3) предельная норма замещения, эластичность замещения, замещаемость или незамещаемость факторов;

4) вид изоквант для двухфакторных моделей;

5) график зависимости производительности труда от фондовооружённости.

Линейная производственная функция

Она имеет вид: где c_i?0 - маргинальный продукт i-го фактора. Выражает линейную зависимость объёма выпуска продукции от затрат. Согласно (4) е_i=(c_ix_i)/с^/x, а тогда . Это означает, что имеет место постоянная отдача от расширения масштаба производства. Предельная норма замещения равна h_ij=??c_j/c_i, т.е. является постоянной величиной, не зависящей от занятых в производстве факторов, а тогда dh_ij=0 и следовательно т.е. у=?. Таким образом, все факторы полностью замещаемы.

Изоквантами для двухфакторной модели являются параллельные прямые (рис. 2). Основной недостаток линейной ПФ в том, что, как показывает рис. 2, любой выпуск продукции обеспечивается даже при нулевых затратах одного из факторов (наличие «рога изобилия»), что нереально.

Рисунок 2 Рисунок 3

Величину y=Q/L называют производительностью труда, а k=K/L - фондовооруженностью. Тогда для производства, характеризуемого линейной ПФ f (K, L)=a_KK+a_LL, будем иметь зависимость производительности труда от фондовооруженности y=a_Kk+a_L, k?0, график которой представлен на рис. 3. Видим, что производительность труда неограниченно растет с ростом фондовооруженности, что неправдоподобно.

Производственная функция Кобба-Дугласа (Cobb-Douglas production function)

Она имеет вид: , где b₀>0, b_i ?0, i=. Так как

, (10)

то эта ПФ выражает логарифм выпуска как линейную функцию логарифмов затрат. Поскольку ?f/?x_i=b_i •(f/x_i), то из (4) следует е_i=b_i, а тогда . Таким образом, b_i - эластичность выпуска по отношению к затратам i-го фактора. Если , то е=1 и имеет место постоянная отдача от расширения масштаба производства. Предельная норма замещения равна

а тогда т.е. у=1.

Изоквантами являются гиперболы, асимптоты которых представляют оси координат (рис. 4).

Рисунок 4 Рисунок 5

Изокванты показывают, что любой выпуск продукции может быть обеспечен при любых достаточно малых затратах одного фактора, лишь бы хватало других факторов. В частности, при любом достаточно малом вложении капитала можно достичь любого уровня выпуска при достаточно большом наличии трудовых ресурсов. В этом один из недостатков ПФ Кобба-Дугласа.

Рассмотрим двухфакторную модель , причём b₁, b₂>0, b₁+b₂=1, так что Q=b₀K^б L^1-б, 0<б<1. Как легко видеть, зависимость производительности труда от фондовооружённости представима в виде y=b₀k^б и y>+? при k>+?, т.е. производительность неограниченно растёт с ростом фондовооружённости (см. рис. 5), но реально производительность всегда ограничена. В этом второй недостаток ПФ Коббба-Дугласа. Третьим недостатком с экономической точки зрения является равенство у=1.

Производственная функция Леонтьева (затраты-выпуск) (Leontiev production function «input-output»)

Её вид:

производственный кобб леонтьев маргинальный

(11)

где c_i ?0 - удельные затраты i-го фактора, т.е. количество затрат i-го фактора, необходимое для производства продукции количества A. Выражает одну из заданных пропорций, которыми для производства выпуска объёма A определяется количество затрат каждого вида факторов. Для определения эластичности производства используем формулу (3):

,

т.е. при использовании производственной функции (11) имеет место постоянная отдача от расширения масштаба производства.

Рассмотрим изокванты. Для выпуска продукции объёма Q необходимо взять такие количества , чтобы выполнялось равенство

(12)

В самом деле, если взять, например, , то получим: Аналогично получим при . Таким образом, наиболее рациональными будут величины затрат , которые удовлетворяют равенству (12). А тогда, очевидно, изоквантой будет кривая, представляющая собой два луча AB={(x₁, x₂): x₁=, x₂?} и AC={(x₁, x₂): x₂=, x₁?}, выходящие из точки (, ) (рис. 6). Исходя из равенства (12) следует, что все наиболее рациональные точки (, ) для различных выпусков Q, будут лежать на луче , проходящем через точку (c₁, c₂).

Рисунок 6 Рисунок 7

Как видим, на луче AB x₁?const, а на луче AC x₂?const, т.е. факторы не замещаемы. А тогда у=0.

Рассмотрим двухфакторную модель, в которой x₁=K, x₂=L. Пусть c₁=K₀, c₂=L₀. Тогда зависимость производительности труда от фондовооружённости представима в виде:

(13)

Формула (13) получается из очевидного равенства при y₀=A/L₀, k₀=K₀/L₀. График функции (13) представлен на рис. 7. Наиболее рациональной фондовооружённостью является величина k₀, до которой производительность труда растёт, после чего дополнительная фондовооруженность не будет влиять на увеличение производительности труда.

Исходя из приведённых выше рассуждений, производственная функция Леонтьева имеет другие названия: ПФ с нулевой эластичностью замещения, ПФ с постоянными пропорциями, кусочно-линейная ПФ.

Производственная функция с постоянной эластичностью замещения (CES-функция)

Эта функция имеет вид: , где A>0 - коэффициент шкалы, a_i?0 - коэффициенты распределения (), h>0 - степень однородности, в???1 - коэффициент замещения. В логарифмической форме эту функцию можно представить в виде:

. (14)

Дифференцируя обе части равенства (14) по x_i, а затем умножая на x_i, получим: , откуда для эластичности производства будем иметь: . Предельная норма замещения равна . Для получения эластичности замещения воспользуемся формулой (9) (в скобках), для чего сперва найдём ln(??h_ij)=ln(a_j/a_i)+(1+в) ln(x_i/x_j), а тогда будем иметь:

. (15)

Из (15) видим, что: 1) у>? при в>?1, 2) у>1 при в>0, 3) у>0 при в>?. В первом случае при h=1 CES-функция становится линейной ПФ. Покажем, что во втором случае будем иметь ПФ Кобба-Дугласа, в третьем - ПФ Леонтьева.

Перейдём в равенстве (14) к пределу при в>0. Используя правило Лопиталя, имеем: . Полагая в последнем равенстве b_i=ha_i, b₀=A, получим, что f=f_C-D - функция Кобба-Дугласа.

Пусть в>?, x_k=. Тогда переходя к пределу в равенстве (14) и применяя правило Лопиталя, получим:

откуда следует и при h=1 имеем: f= Ax_k =Aminx_i, т.е. функция Леонтьева.

Таким образом, CES-функция является обобщением первых трёх типов ПФ.

Рассмотрим изокванты. Для двух переменных имеем:

(16)

Для упрощения положим h=1. Пусть Q=Q₀. Тогда из (16) получим , откуда следует , т.е. изоквантой является кривая зависимости первого фактора от второго. Очевидно, если в>0, то будем иметь: . Аналогично получим, что .Таким образом, изоквантой является кривая, изображённая на рис. 8. Другие изокванты, соответствующие выпускам Q₁, Q₂,…, получаются параллельным сдвигом, в том числе и асимптоты.

Рисунок 8 Рисунок 9

Пусть в двухфакторной модели x₁=K, x₂=L, a₁=a_K, a₂=a_L. Тогда из (16) получим зависимость производительности труда от фондовооружённости: Очевидно, если в>0, то при k>? будем иметь y> A/ и y(k)>0, при k>0. График изображён на рис. 9. Если в<0, то y>? при k>?, что соответствует ПФ Кобба-Дугласа и линейной ПФ.

Как видим, при использовании CES-функции удаётся избежать тех недостатков, которые были присущи линейной ПФ и ПФ Кобба-Дугласа, в частности, нет неправдоподобного замещения одного фактора другим, а производительность труда не растёт неограниченно.

Заключение

Для описания процесса производства могут использоваться любые ПФ. Те недостатки, которые указаны выше, несущественны, так как, как правило, исследования поведения одних величин от других рассматриваются в некоторой малой окрестности заданных конечных значений параметров. Кроме того, достаточно малые значения затрат какого-либо фактора во внимание не принимаются. Единственным препятствием для использования наиболее «хорошей» с аналитической точки зрения и с точки зрения реальности CES-функции является её достаточная сложность при исследовании и оценке параметров.

Список использованной литературы

1. Задоя А.А. Микрэкономика: Курс лекций. - Днепропетровск, 2000.

2. Василенок В.Л., Макарченко М.А. Экономика. Микроэкономика и макроэкономика: Учеб. пособие. - СПб.: СПбГУНиПТ, 2003. - 217 с.

3. Матвеева Т.Ю. Макроэкономика: курс лекций для экономистов. - М., 2004.

4.www.inventech.ru/lib/micro/micro-0001

5. http://eup.ru/Documents/2003-08-18/16ADE.asp

Размещено на Allbest.ru