Використання поняття визначеного інтегралу в економіці

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВПНУБіП України

“Ірпінський економічний коледж”

Реферат на тему:

Використання поняття визначеного інтегралу в економіці

Роботу виконала:

Студентка групи 309-Ф

Павленко Вікторія

Зміст

Вступ

1. Визначення загального обсягу випущеної продукції

2. Визначення коефіцієнта Джинні

3. Обчислення дисконтованого значення грошових потоків

4. Розрахунок надлишку виробника та надлишку споживача

5. Дослідження функцій густини розподілу ймовірностей

Висновок

Список використаних джерел

інтеграл коефіцієнт джинні ймовірність

Вступ

Інтеграл - одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, з однієї сторони відшукувати функції по їхніх похідних (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений точкою, що рухається, по швидкості цієї точки), а з іншого боку - вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу й т.п.

Символ інтегралу уведений Лейбніцем. Цей знак є зміною латинської букви S (першої букви слова сума). Саме слово інтеграл придумав Я. Бернуллі. Імовірно, воно походить від латинського іntegero, що переводиться як приводити в колишній стан, відновлювати. Можливе походження слова інтеграл інше: слово іnteger означає цілий.

Виникнення завдань інтегрального вирахування пов'язане зі знаходженням площ й обсягів. Ряд завдань такого роду був вирішений математиками древньої Греції. Антична математика внесла ідеї інтегрального вирахування в значно більшому ступені, чим диференціального вирахування. Більшу роль при рішенні таких завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Книдським і широко застосовувався Архімедом.

Однак Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про інтеграл, а тим більше не створив алгоритму інтегрального вирахування. Учені Середнього й Близького Сходу в ІX-XV ст. вивчали й переводили праці Архімеда на загальнодоступну у їхньому середовищі арабську мову, але істотно нових результатів в інтегральному вирахуванні вони не одержали [2].

Діяльність європейських учених у цей час була ще більш скромною. Лише в XVІ й XVІІ століттях розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи ряд нових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратур (завдання на обчислення площ фігур), кубатур (завдання на обчислення обсягів тіл) і визначення центрів ваги.

Праці Архімеда, уперше видані в 1544 р. (на латинській і грецькій мовах), стали привертати широку увагу, і їхнє вивчення з'явилося одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального вирахування. Архімед передбачив багато ідей інтегрального вирахування. Але треба було більше півтори тисяч років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження й були доведені до рівня вирахування.

Математики 17 ст., що одержали багато нових результатів, училися на працях Архімеда. Активно застосовувався й інший метод - метод неподільних, котрий також зародився в Древній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли собі складеної з вертикальних відрізків довжиною f(x), яким проте приписували площа, рівну нескінченно малій величині f(x)dx. Відповідно до такого розуміння шукана площа вважалася рівній сумі S = нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки в цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які складені в нескінченному числі, дають цілком позитивну суму.

На такий гаданій тепер щонайменше сумнівній основі І. Кеплер (1571 - 1630) у своїх творах "Нова астрономія" (1609) і "Стереометрія винних бочок" (1615) правильно обчислив ряд площ (наприклад площа фігури, обмеженої еліпсом) і обсягів (тіло різалося на нескінченно тонкі пластинки).

В 17 ст. були зроблені багато відкриттів, що ставляться до інтегрального вирахування. Так, П. Ферма вже в 1629 р. вирішив завдання квадратури будь-якій кривій, і на цій основі вирішив ряд завдань на знаходження центрів ваги. І. Кеплер при висновку своїх знаменитих законів руху планет, фактично опирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1603-1677), учитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв'язку інтегрування й диференціювання. Велике значення мали роботи з подання функції у вигляді статечних рядів [6].

Однак при всій значимості результатів, отриманих з 17 ст., вирахування ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі рішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання й інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніць, що відкрили незалежно друг від друга факт, відомий вам за назвою формули Ньютона -Лейбніца. Тим самим остаточно оформився загальний метод. Стояло ще навчитися знаходити первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового вирахування й т.п. Але головне вже було зроблено: диференціальне й інтегральне вирахування створене.

Методи математичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі (у першу чергу варто назвати імена Л. Ейлера, що завершило систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, і І. Бернуллі).

Строгий виклад теорії інтеграла з'явилося тільки в минулому столітті, Рішення цього завдання пов'язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького вченого Б. Римана (1826-1866), французького математика Г. Дарбу (1842-1917).

Відповіді на багато питань, пов'язані з існуванням площ й обсягів фігур, були отримані зі створенням К. Жорданом (1826 -1922) теорії міри.

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку 20 сторіччя були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875-1941) і А. Данжуа (1884-1974) радянським математиком А.Я. Хичиним (1894-1959).

1. Визначення загального обсягу випущеної продукції

Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q(x), де x - затрати ресурсу, а q - обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x(t).

Тоді загальний обсяг продукції Q за час від T₀ до T₁ обчислюється за допомогою визначеного інтегралу

.

При , x(t)=100e^0,2t, T₀=0 та T₁=5 (років) загальний обсяг випущеної за п'ять років продукції

2. Визначення коефіцієнта Джинні

Нехай y=y(x) - частка (доля) приватного капіталу деякої країни, яка перебуває у власності групи людей, що становлять частку (долю) x населення цієї країни.

Наприклад, у тому випадку, коли 30% населення володіє 10% капіталу, 60% населення 35% капіталу, і 85% 60% капіталу, маємо таке:

y(0,3)=0,1;

y(0,6)=0,35;

y(0,85)=0,6.

Очевидно, що завжди y(0)=0 та y(1)=1.

На рис. 1 зображена відповідна крива (крива Лоренца).

Рис. 1

Очевидно, що у разі абсолютно рівномірного розподілу багатства в країні крива Лоренца є бісектрисою прямого кута (прямою y = x). Зі збільшенням нерівності збільшується площа між кривою y=y(x) та прямою y = x. Числове значення цієї площі K (0<K<1/2) називають коефіцієнтом Джинні.

Приклад. Крива Лоренца деякої країни має вигляд .Знайти коефіцієнт Джинні цієї країни.

Із визначення коефіцієнта Джинні випливає, що для кривої Лоренца

Для кривої Лоренца y=x² маємо такий коефіцієнт Джинні:

.

3. Обчислення дисконтованого значення грошових потоків

Як відомо з теми 3, теперішню вартість майбутніх грошей обчислюють за формулою

,

де r - ставка відсотка.

,

оскільки ln(1+r)r (справді, ln1,03=0,0296; ln1,05=0,0488; ln1,08=0,077)

Нехай деяка фірма здійснює потік інвестицій FV₁, FV₂,…, FV_n в моменти часу t₁, t₂,…,t_n=T. Тоді дисконтована (чиста) теперішня вартість NPV потоку інвестицій представляє собою суму

У тому випадку, коли окремі інвестиції роблять невеликими порціями досить часто (всі _i =t_i-t_i-1 - малі, де t₀=0; i=1,…,n), NPV можна вважати інтегральною сумою, яка в неперервному випадку (n; всі _i0; послідовність значень FV₁=FV(t₁), FV₂=FV(t₂),…, FV_n=FV(T) описує деяка функція FV(t), 0tT) перетворюється в інтеграл

.

Приклад. Нехай потік інвестицій задає функція FV(t)=100-10t. Ставка відсотка r=10% (r=0,1). Довжина періоду інвестування T=5 (років). Визначити дисконтовану теперішню вартість потоку (рис. 2,б):

Для порівняння визначимо недисконтовану вартість цього потоку (рис 2,а):

.

Рис. 2

4. Розрахунок надлишку виробника та надлишку споживача

З курсу мікроекономіки відомо, що в умовах досконалої конкуренції ринкова (рівноважна) ціна на кожен товар відповідає точці перетину кривої попиту D=D(Q) та кривої пропозиції S=S(Q) (рис. 3.

Кожна точка (P;Q) на кривій попиту визначає кількість товару Q, який був би проданий за ціни P. Незважаючи на те, що на ринку весь товар реально продають за ціною P, деяка i^-та (i=1,…,n) частина споживачів згідна була б купити свою частку товару Q_i, заплативши і дещо вищу ціну P_i>P (щоправда, за ціни P_i всього буде продано тільки Q_i одиниць товару). Отже, кожна i^-та частина споживачів завдяки ринковому механізмові виграє в ціні на (P_i-P)Q_i. Вважаючи, що за деякої досить високої ціни P₀ товар не купуватимуть взагалі, маємо такий загальний виграш (надлишок) усіх споживачів:

,

де i=1 відповідає ціні P₀, а i=n _ ціні P.

Очевидно, що в неперервному випадку надлишок (виграш) споживачів дорівнює площі S₁ фігури P₀E P (рис. 3

Кожна точка (Q;P) на кривій пропозиції визначає кількість товару Q, яка була б продана на ринку за ціни P. Оскільки деяка j-^та (j=1,…,m) частина виробників згідна виробляти та постачати на ринок частку товару Q_j і за ціни P_j<P (однак не нижчою від P₀), то завдяки ринковому механізму (який визначив ціну P) загальний надлишок (виграш) усіх виробників дорівнює (де j=1 відповідає ціні P₀, а j=m _ ціні P)

,

тобто площі S₂ фігури PEP₀ (див. рис. 3.

Рис. 3

Приклад. В умовах досконалої конкуренції крива попиту має вигляд D(Q)=(Q-10)²+200, а крива пропозиції - S(Q)=Q²+100. Знайти загальний надлишок споживача та загальний надлишок виробника, якщо максимальна ціна споживача - 225 одиниць, а виробника - 125 одиниць.

Точку рівноваги знаходимо з рівняння

D(Q)= S(Q);

(Q-10)²+200=Q²+100;

Q=10;

P=200.

Цінам P₀=225 та P₀=125 відповідає мінімальна кількість товару в обсязі Q₀=5.

Надлишок (виграш) споживача дорівнює площі фігури S₁, тобто його обчисдюють за допомогою визначеного інтеграла

.

Надлишок (виграш) виробника дорівнює площі фігури S₂, тобто знаходиться з допомогою визначеного інтеграла

.

5. Дослідження функцій густини розподілу ймовірностей

У курсі “Теорія ймовірності і математична статистика” буде з'ясовано, що ймовірність потрапляння неперервної випадкової величини x в інтервал [a;b] дорівнює інтегралу , де f(x) - диференціальна функція (функція густини) розподілу ймовірностей величини x.

Знайдемо невласні інтеграли від деяких таких функцій.

Диференціальна функція (густина) рівномірного розподілу ймовірностей (рис. 4а) дорівнює

.

Диференціальна функція (густина) показникового розподілу ймовірностей (рис. 7.9,б) f(x)=kxe^-kxдорівнює

.

Диференціальна функція (густина) нормального закону (закону Гауса) розподілу (рис. 7.9,в) .

За допомогою спеціальних методів можна показати, що

;

; .

Рис. 4

Ці інтеграли широко застосовуються в курсі “Економетрія”.

Висновок

Важко назвати наукову область, у якій би не застосовувалися методи інтегрального вирахування, загалом, і властивості визначеного інтеграла, зокрема.

Так інтегральне вирахування може використовуватися в області фізики, геометрії, механіки, біології й економіки. Звичайно, це ще далеко не вичерпний список наук, які використають інтегральний метод для пошуку встановлюваної величини при рішенні конкретного завдання, і встановленні теоретичних фактів.

Також визначений інтеграл використається для вивчення властиво самої математики. Наприклад, при рішенні диференціальних рівнянь, які у свою чергу вносять свій незамінний внесок у рішення завдань практичного змісту.

Можна сказати, що визначений інтеграл - це деякий фундамент для вивчення математики. Звідси й важливість знання методів їхнього рішення.

Список використаних джерел

1. Баврин И.И. Высшая математика - М.: Просвещение, 1993. - 319.

2. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. - М., ЮНИТИ, 1997.

3. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. - М., Инфра-М, 1998.

4. Дубовик В.П., Юрик. Вища математика: Навчальний посібник. -К.:А.С.К., 2001. - 48с.

Размещено на Allbest.ru