Снижение затрат. Эмпирическое распределение. Регрессия и корреляционная зависимость

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание №1

В результате выборочного обследования 100 предприятий региона из 500 по схеме собственно-случайной бесповторной выборки получено следующее распределение снижения затрат на производство продукции в процентах к предыдущему году.

Найти:

а) границы, в которых с вероятностью 0,907 будет находиться средний процент снижения затрат на всех 500 предприятиях;

б) вероятность того, что доля всех предприятий, затраты которых снижены не менее чем на 10%, отличается от доли таких предприятий в выборке не более чем на 0,04 (по абсолютной величине);

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего процента снижения затрат (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

Решение:

n = 100 (предприятий)

N = 500 (предприятий)

Средний процент снижения затрат:

%

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

%

а). Средняя ошибка выборки для среднего значения признака составляет:

Предельная ошибка выборки составляет:

где t - коэффициент доверия; для доверительной вероятности 0,907 он равен 1,68.

%

Границы, в которых с вероятностью 0,907 заключен средний процент снижения затрат на всех 500 предприятиях, находим следующим образом:

- +

9,72 - 0,38 ? ? 9,72 + 0,38

9,34 ? ? 10,10

С вероятностью 0,907 можно ожидать, что средний процент снижения затрат на всех 500 предприятиях составит от 9,345 до 10,10%.

б). Количество предприятий, затраты которых снижены не менее чем на 10%, в выборке составляет:

m = 6 + 20 + 31 = 57 (предприятий)

Доля предприятий, затраты которых снижены не менее чем на 10%, равна:

или 57%

Средняя ошибка выборки для доли:

где дисперсия у2 равна:

у2 = · (1 - ) = 0,57 · (1 - 0,57) = 0,2451

Предельная ошибка выборки по условию составляет:

= 0,04

Вероятность того, что доля предприятий, затраты которых снижены не менее чем на 10%, отличается от доли таких предприятий в выборке не более чем на 0,04 (по абсолютной величине) находим по формуле:

где Ф(t) - функция Лапласа.

в). Для доверительной вероятности 0,9876 коэффициент доверия равен: t=2,5;

= 0,38%

Объем повторной выборки, при котором те же границы для среднего процента снижения затрат (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9876, составит:

(предприятий)

Объем бесповторной выборки равен:

 (предприятий)

Задание №2

По данным задачи 1, используя критерий 2-Пирсона, при уровне значимости б = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - процент снижения затрат - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Критерий 2-Пирсона определим по формуле:

где ni - эмпирические частоты;

npi - теоретические частоты.

Теоретические частоты определим следующим образом:

npi = 100 pi

где pi = Дх · ц(х) = 2 ц(х)

где ц(х) - функция плотности распределения.

где ?(t) - функция Гаусса.

Получили расчетное значение критерия Пирсона: ч2 = 2,451

Табличное значение критерия Пирсона при уровне значимости а = 0,05 составляет:

ч2а;k = ч20,05; 3 = 7,82

где k = m - s - 1 = 6 - 2 - 1 = 3

затрата распределение регрессия корреляционная зависимость

m - число интервалов;

s - число параметров теоретического закона распределения.

Расчетное значение критерия Пирсона меньше табличного, следовательно, случайная величина Х - процент снижения затрат - распределена по нормальному закону с параметрами а = 9,72 и у = 2,538.

Рис.1. Гистограмма эмпирического распределения и нормальная кривая

Задание №3

Распределение 60 предприятий по объему инвестиций в развитие производства Х (млн. руб.) и получаемой за год прибыли Y (млн. руб.) представлено в таблице:

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии;

2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости б = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить полученную прибыль при объеме инвестиций 5 млн. руб.

Решение:

Вычислим групповые средние значения :

у1 = 0,4 (млн. руб.);

(млн. руб.)

у2 = 1,2 (млн. руб.);

(млн. руб.)

у3 = 2,0 (млн. руб.);

(млн. руб.)

у4 = 2,8 (млн. руб.);

(млн. руб.)

у5 = 3,6 (млн. руб.);

(млн. руб.)

Вычислим групповые средние значения :

х1 = 3 (млн. руб.);

(млн. руб.)

х2 = 5 (млн. руб.);

(млн. руб.)

х3 = 7 (млн. руб.);

(млн. руб.)

х4 = 9 (млн. руб.);

(млн. руб.)

х5 = 11 (млн. руб.);

(млн. руб.)

Рис.2. Эмпирические линии регрессии

Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость, найдем уравнения прямых регрессии.

Случайная величина Х - объем инвестиций в развитие производства, млн. руб.

(млн. руб.)

Случайная величина Y - получаемая за год прибыль, млн. руб.

(млн. руб.)

Найдем ковариацию :

где

Вычислим коэффициент регрессии у по х и составим уравнение этой зависимости:

у = 0,310 х - 0,036

При увеличении объема инвестиций на 1 млн. руб. прибыль увеличивается в среднем на 0,31 млн. руб.

Вычислим коэффициент регрессии х по у и составим уравнение соответствующей зависимости:

х = 1,780 у + 2,995

При увеличении прибыли на 1 млн. руб. объем инвестиций увеличивается в среднем на 1,78 млн. руб.

Рис.3. Эмпирические линии регрессии и прямые регрессии

Коэффициент корреляции равен:

Связь между переменными Х и Y очень тесная, обратная.

Оценим значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента:

Расчетное значение критерия Стьюдента больше табличного tтабл.(б=0,05; k=58)= 2,00, следовательно коэффициент корреляции является значимым.

Оценим полученную прибыль при объеме инвестиций 5 млн. руб., используя уравнение регрессии у по х:

х = 5 (млн. руб.)

(млн. руб.)

Можно ожидать, что при объеме инвестиций 5 млн. руб. прибыль предприятия составит 1,514 млн. рублей.

Размещено на Allbest.ru