Групування сукупності елементів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗМЙСТ

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Список використаної літератури

ЗАВДАННЯ 1

За даними офіційних джерел інформації (газети, журнали, статистичні щорічники, бюлетені, збірники, аналітичні огляди тощо) за певною ознакою (показником) сформувати сукупність не менше, ніж з 50 елементів.

1. Провести групування сукупності елементів за обраною ознакою, утворивши не менше 5 груп з рівними интервалами (перший й останній інтервали вважати відкритими). Результати групування подати в табличному та графічному вигляді.

2. На основі побудованого групування визначити характеристики центру розподілу (середнє значення, медіану, моду), а також характеристики варіації (розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, дисперсию, коефіцієнти варіації, коефіцієнт асиметрії, ексцес).

3. Надати змістовну інтерпретацію всім обчисленим показникам.

Розв'язання

Проведемо групування сукупності елементів за даними, наведеними в таблиці 1.1.

Таблиця 1.1

Розподіл підприємств за рівнем виручки від реалізації продукції

(за тиждень)

№ п/п	Виручка від реалізації продукції, тис. грн.	№ п/п	Виручка від реалізації продукції, тис. грн.	№ п/п	Виручка від реалізації продукції, тис. грн.	№ п/п	Виручка від реалізації продукції, тис. грн.	№ п/п	Виручка від реалізації продукції, тис. грн.
1	590,4	11	576,1	21	523,4	31	450,5	41	577,9
2	619,2	12	530,5	22	574,6	32	513,8	42	555,7
3	547,9	13	580,9	23	638,4	33	749,2	43	577,4
4	433,4	14	466,0	24	498,3	34	648,9	44	578,2
5	617,3	15	524,1	25	551,7	35	521,9	45	606,6
6	699,2	16	646,7	26	583,3	36	493,1	46	544,1
7	621,8	17	563,1	27	561,4	37	525,7	47	536,1
8	533,8	18	636,8	28	515,5	38	659,9	48	454,4
9	597,1	19	492,8	29	563,3	39	423,2	49	623,0
10	556,7	20	490,1	30	569,9	40	624,6	50	538,0

Побудуємо інтервальний ряд розподілу підприємств за рівнем виручки від реалізації продукції.

Визначимо кількість груп інтервального ряду за формулою:

,

де кількість груп,

N - чисельність сукупності.

груп.

Встановимо величину інтервалу за формулою:

,

де і максимальне і мінімальне значення ознаки відповідно.

Побудуємо ранжирований ряд підприємств за рівнем виручки від реалізації продукції, тобто розмістимо підприємства в порядку зростання виручки (табл. 1.2).

Таблиця 1.2

Ранжирований ряд підприємств за рівнем виручки від реалізації продукції

Номер підприємства в ранжирі	Виручка від реалізації продукції, тис. грн.	Шифр підприємства
1	2	3
1	423,2	39
2	433,4	4
3	450,5	31
4	454,4	48
5	466,0	14
6	490,1	20
7	492,8	19
8	493,1	36
9	498,3	24
10	513,8	32
11	515,5	28
12	521,9	35
13	523,4	21
14	524,1	15
15	525,7	37
16	530,5	12
17	533,8	8
18	536,1	47
19	538,0	50
20	544,1	46
21	547,9	3
22	551,7	25
23	555,7	42
24	556,7	10
25	561,4	27
26	563,1	17
27	563,3	29
28	569,9	30
29	574,6	22
30	576,1	11
31	577,4	43
32	577,9	41
33	578,2	44
34	580,9	13
35	583,3	26
36	590,4	1
37	597,1	9
38	606,6	45
39	617,3	5
40	619,2	2
41	621,8	7
42	623,0	49
43	624,6	40
44	636,8	18
45	638,4	23
46	646,7	16
47	648,9	34
48	659,9	38
49	699,2	6
50	749,2	33

З таблиці 1.2 видно, що тис. грн., тис. грн. Отже, величина інтервала становить:

тис. грн.

Звідси виручка від реалізації продукції для першої групи підприємств становить до 469,77 тис. грн.; другої - від 469,77 до 516,34 тис. грн.; третьої - від 516,34 до 562,91тис. грн.; четвертої - від 562,91 до 609,48 тис. грн.; п'ятої - від 609,48 до 656,05 тис. грн.; шостої - від 656,05 до 702,62 тис. грн., сьомої - від 702,62 тис. грн. і більше.

По кожній групі підрахуємо кількість підприємств і відобразимо результати в таблиці 1.3.

Таблиця 1.3

Розподіл підприємств за рівнем виручки від реалізації продукції

Номер групи	Групи підприємств за рівнем виручки від реалізації продукції, тис. грн.	Кількість підприємств	Кількість підприємств, % до суми
І	До 469,77	5	10,0
ІІ	469,77 - 516,34	6	12,0
ІІІ	516,34 - 562,91	14	28,0
ІV	562,91 - 609,48	13	26,0
V	609,48 - 656,05	9	18,0
VІ	656,05 - 702,62	2	4,0
VІІ	702,62 і більше	1	2,0
Разом	х	50	100,0

Зобразимо побудований інтервальний ряд графічно у вигляді гістограми (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Інтервальний ряд розподілу підприємств за рівнем виручки від реалізації продукції

На основі побудованого групування визначимо характеристики центру розподілу (середнє значення, медіану, моду), а також характеристики варіації (розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, дисперсию, коефіцієнти варіації, коефіцієнт асиметрії, ексцес).

Середнє значення виручки від реалізації продукції обчислимо за формулою:

,

де середина -го інтервалу;

частота -го інтервалу.

Медіану обчислимо за формулою:

,

де нижня границя медіанного інтервалу;

величина медіанного інтервалу;

половина суми накопичених частот інтервального ряду;

сума накопичених частот перед медіанним інтервалом;

частота медіанного інтервалу.

Моду розрахуємо за формулою:

,

де нижня границя модального інтервалу;

величина модального інтервалу;

, , частота відповідно передмодального, модального та післямодального інтервалів.

Перший та останній інтервали - відкриті. Для визначення середньої їх потрібно перетворити в закриті. Візьмемо для першого інтервалу величину другого інтервалу, а для останнього - величину передостаннього інтервалу. Тоді одержимо ряд розподілу з умовними крайніми інтервалами.

Таблиця 1.4

Вихідні та розрахункові дані для обчислення характеристик центру розподілу

Номер групи	Групи підприємств за рівнем виручки від реалізації продукції, тис. грн.	Середина інтервалу,	Кількість підприємств,		Накопичені (кумулятивні) частоти,
І	423,2 - 469,77	446,485	5	2232,425	5
ІІ	469,77 - 516,34	493,055	6	2958,330	11
ІІІ	516,34 - 562,91	539,625	14	7554,750	25
ІV	562,91 - 609,48	586,195	13	7620,535	38
V	609,48 - 656,05	632,765	9	5694,885	47
VІ	656,05 - 702,62	679,335	2	1358,670	49
VІІ	702,62 - 749,2	725,905	1	725,905	50
Разом	х	х	50	28145,5	х

Середнє значення виручки від реалізації продукції дорівнює:

тис. грн.

Для визначення медіани скористуємося накопиченими частотами. Перевищення половини обсягу сукупності відповідає інтервалу від 562,91 до 609,48, який приймається за медіанний інтервал з частотою ; нижня границя медіанного інтервалу ; величина інтервалу ; сума накопичених частот перед медіанним інтервалом . Отже, медіана виручки від реалізації продукції дорівнює:

тис. грн.

Модальним є інтервал від 516,34 до 562,91, оскільки він має найбільшу частоту . Отже, нижня границя модального інтервалу ; величина інтервалу ; передмодальна частота ; післямодальна частота . Модальне значення виручки від реалізації продукції становить:

тис. грн.

Обчислимо характеристики варіації за формулами:

- розмах варіації:

;

- середнє лінійне відхилення:

;

- середнє квадратичне відхилення:

;

показник динаміка розподіл відхилення

- дисперсія:

;

- коефіцієнт варіації:

;

- коефіцієнт асиметрії:

,

де центральний момент третього порядку, який обчислюється за формулою:

;

- ексцес:

,

де центральний момент четвертого порядку, який обчислюється за формулою:

.

Необхідні величини розрахуємо в таблиці (табл. 1.5).

Таблиця 1.5

Вихідні та розрахункові дані для обчислення характеристик варіації

Номер групи	Групи підприємств за рівнем виручки від реалізації продукції, тис. грн.	Середина інтервалу,	Частота,
А	Б	1	2	3	4
І	423,2 - 469,77	446,485	5	-116,425	582,125
ІІ	469,77 - 516,34	493,055	6	-69,855	419,13
ІІІ	516,34 - 562,91	539,625	14	-23,285	325,99
ІV	562,91 - 609,48	586,195	13	23,285	302,705
V	609,48 - 656,05	632,765	9	69,855	628,695
VІ	656,05 - 702,62	679,335	2	116,425	232,85
VІІ	702,62 - 749,2	725,905	1	162,995	162,995
Разом	х	х	50	х	2654,49

Продовження табл. 1.5

5	6	7	8	9	10
13554,781	67773,90	-1578115,33	-7890576,67	183732077,79	918660388,96
4879,721	29278,33	-340872,91	-2045237,47	23811677,28	142870063,69
542,191	7590,68	-12624,92	-176748,92	293971,32	4115598,54
542,191	7048,49	12624,92	164123,99	293971,32	3821627,22
4879,721	43917,49	340872,91	3067856,21	23811677,28	214305095,54
13554,781	27109,56	1578115,33	3156230,67	183732077,79	367464155,58
26567,370	26567,37	4330348,48	4330348,48	705825150,05	705825150,05
х	209285,81	х	605996,29	х	2357062079,58

Розмах варіації:

тис. грн.

Середнє лінійне відхилення:

тис. грн.

Середнє квадратичне відхилення:

тис. грн.

Дисперсія:

.

Відносний розмах варіації (коефіцієнт осциляції):

%.

Лінійний коефіцієнт варіації:

%.

Коефіцієнт варіації:

%.

Центральний момент третього порядку:

.

Коефіцієнт асиметрії:

.

Центральний момент четвертого порядку:

.

Ексцес:

.

Висновки. Середнє значення виручки від реалізації продукції за тиждень для даної сукупності підприємств становить 562,91 тис. грн. Найбільш часто зустрічається значення 557,735 тис. грн. (модальне значення). Медіана показує, що половина значень виручки від реалізації продукції знаходяться менше значення 562,91 тис. грн, а половина значень - більше.

Значення виручки від реалізації продукції знаходяться в межах від 423,2 до 749,2 тис. грн. В середньому індивідуальні значення виручки відхиляються від середнього значення на тис. грн., або на %.

Значення коефіцієнту варіації свідчить про те, що розглянута сукупність кількісно однорідна, так як %.

Оскільки коефіцієнт асиметрії додатний, то має місце правостороння асиметрія, тобто довша частина розподілу знаходиться праворуч від математичного сподівання. Так як , то асиметрія несильна.

Оскільки ексцес від'ємний, то має місце плосковершинний розподіл, тобто крива має нижчу та плоскішу вершину ніж крива нормального розподілу.

ЗАВДАННЯ 2

За даними офіційних джерел інформації (газети, журнали, бюлетені, статистичні щорічники, бюлетені, збірники, аналітичні огляди) побудувати ряд динаміки для будь-якого показника певного економічного явища за 9 років.

Для побудованого динамічного ряду:

1. обчислити ланцюгові та базисні аналітичні показники динаміки: абсолютний приріст, індекс і темп зростання, індекс і темп приросту; перевірити взаємозв'язок ланцюгових аналітичних показників ряду динаміки;

2. обчислити середній рівень динамічного ряду, середньорічний абсолютний приріст, середньорічний темп зростання і середньорічний темп приросту;

3. відобразити динамічний ряд графічно;

4. надати змістовну економічну інтерпретацію всім обчисленим показникам.

Розв'язання

Обчислимо аналітичні показники динаміки для динамічного ряду:

Роки	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Урожайність зернових культур, ц/га	20,0	25,4	24,3	32,1	35,7	32,3	31,2	34,4	36,1

Абсолютні прирости обчислимо за формулами:

а) ланцюгові:

,

б) базисні:

,

де рівні ряду (0, 1, … , ).

Ланцюгові абсолютні прирости:

ц/га; ц/га;

ц/га; ц/га;

ц/га; ц/га;

ц/га; ц/га.

Базисні абсолютні прирости:

ц/га; ц/га;

ц/га; ц/га;

ц/га; ц/га;

ц/га; ц/га.

Взаємозв'язок ланцюгових і базисних абсолютних приростів:

(ц/га).

Індекси зростання обчислимо за формулами:

а) ланцюгові:

;

б) базисні:

.

Ланцюгові індекси зростання:

; ;

; ;

; ;

; .

Базисні індекси зростання:

; ;

; ;

; ;

; .

Взаємозв'язок ланцюгових і базисних індексів зростання:

.

Темпи зростання обчислимо за формулами:

а) ланцюгові:

;

б) базисні:

.

Ланцюгові темпи зростання:

%; %;

%; %;

%; %;

%; %.

Базисні темпи зростання:

%;

%;

%;

%;

%;

%;

%;

%.

Індекси приросту обчислимо за формулами:

а) ланцюгові:

;

б) базисні:

.

Ланцюгові індекси приросту:

; ;

; ;

; ;

; .

Базисні індекси приросту:

; ;

; ;

; ;

; .

Темпи приросту обчислимо за формулами:

а) ланцюгові:

;

б) базисні:

.

Ланцюгові темпи приросту:

%;

%;

%;

%;

%;

%;

%;

%.

Базисні темпи зростання:

%;

%;

%;

%;

%;

%;

%;

%.

Абсолютне значення 1% приросту обчислимо за формулою:

.

Абсолютні значення 1% приросту:

; ;

; ;

; ;

; .

Представимо обчислені аналітичні показники динаміки в таблиці (табл.2.1).

Таблиця 2.1

Показники динаміки урожайності зернових культур

Роки	Урожай-ність, ц/га	Абсолютний приріст, ц/га	Коефіцієнт росту	Коефіцієнт приросту	Темп росту, %	Темп приросту, %	Абсо-лютне значен-ня 1% при-росту, ц/га
		Ланцю-говий	Базис-ний	Ланцю-говий	Базис-ний	Ланцю-говий	Базис-ний	Ланцю-говий	Базис-ний	Ланцю-говий	Базис-ний
2001	20,0	х	х	1,000	1,000	х	х	100,0	100,0	х	х	х
2002	25,4	5,4	5,4	1,270	1,270	127,0	127,0	0,270	0,270	27,0	27,0	0,200
2003	24,3	-1,1	4,3	0,957	1,215	95,7	121,5	-0,043	0,215	-4,3	21,5	0,254
2004	32,1	7,8	12,1	1,321	1,605	132,1	160,5	0,321	0,605	32,1	60,5	0,243
2005	35,7	3,6	15,7	1,112	1,785	111,2	178,5	0,112	0,785	11,2	78,5	0,321
2006	32,3	-3,4	12,3	0,905	1,615	90,5	161,5	-0,095	0,615	-9,5	61,5	0,357
2007	31,2	-1,1	11,2	0,966	1,560	96,6	156,0	-0,034	0,560	-3,4	56,0	0,323
2008	34,4	3,2	14,4	1,103	1,720	110,3	172,0	0,103	0,720	10,3	72,0	0,312
2009	36,1	1,7	16,1	1,049	1,805	104,9	180,5	0,049	0,805	4,9	80,5	0,344
	271,5	х	х	х	х	х	х	х	х	х	х	х

Для узагальненої характеристики вихідних рівнів та розрахункових величин ряду динаміки визначимо середні показники.

Середня урожайність зернових:

ц/га.

Середній абсолютний приріст:

ц/га.

Середній коефіцієнт росту:

.

Середній коефіцієнт приросту:

.

Середній темп росту:

%.

Середньорічний темп приросту:

%.

Відобразимо динамічний ряд графічно (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Динаміка урожайності зернових культур за 2001-2009 рр.

Висновки. Середня урожайність зернових культур за досліджуваний період становила 30,17 ц/га. При цьому середній абсолютний приріст урожайності за 2001-2009 роки дорівнює 2,0125 ц/га. Урожайність зернових щорічно в середньому зростала на 2,0125 ц/га, або на 7,7%.

Максимальне значення урожайності було в 2005 році (35,7 ц/га), яке перевищувало рівень урожайності базисного 2001 року на 15,7 ц/га, або на 78,5%. Найбільше зростання урожайності зернових відбулося в 2004 році ( на 7,8 ц/га, або на 32,1% порівняно з попереднім роком). В цілому за період 2001-2009 рр. урожайність зернових культур збільшилась на 16,1 ц/га, або на 80,5%.

ЗАВДАННЯ 3

Для побудованого динамічного ряду (завдання 2.):

1. відобразити рівні ряду графічно, зробити висновки щодо основної тенденції (тренду) розвитку явища за обраним показником;

2. описати тенденцію змін проказника у часі за допомогою рівняння тренду. Визначити параметри рівняння, надати їм економічну інтерпретацію;

3. зробити прогнозні розрахунки на наступні два роки. Визначити довірчі межі прогнозних значень;

4. відобразити основну тенденцию розвитку(тренд) явища графічно (включаючи розраховані теоретичні значення за рівнянням тренду). Показати на графіку довірчі межі для прогнозних значень;

5. надати економічну інтерпретацію всім обчисленим показникам.

Розв'язання

Загальне уявлення про характер тенденції зміни явища можна отримати із графічного зображення ряду динаміки (рис. 3.1).



Рис. 3.1. Урожайність зернових культур в 2001-2009 рр.

Із графіка видно, що для прояву тенденції можна використати рівняння прямої:

,

де , невідомі параметри рівняння;

порядковий номер року.

Параметри рівняння прямої , , які задовольняють методу найменших квадратів, знайдемо за допомогою системи нормальних рівнянь:

Для спрощення розрахунків, візьмемо за початок відліку середину ряду. Тоді і система буде мати вигляд:



Тоді параметри лінії тренду обчислимо за формулами:

, .

Необхідні розрахунки виконаємо в таблиці (табл. 3.1).

Таблиця 3.1

Фактичний і розрахунковий рівень динамічного ряду способом найменших квадратів

Роки	Урожайність, ц/га	Відхилення від року, який займає центральне положення	Розрахункові величини для визначення параметрів рівняння	Розрахункові рівні урожайності, ц/га
2001	20,0	-4	16	-80,0	23,14
2002	25,4	-3	9	-76,2	24,90
2003	24,3	-2	4	-48,6	26,65
2004	32,1	-1	1	-32,1	28,41
2005	35,7	0	0	0,0	30,17
2006	32,3	1	1	32,3	31,92
2007	31,2	2	4	62,4	33,68
2008	34,4	3	9	103,2	35,44
2009	36,1	4	16	144,4	37,19
?	271,5	0	60	105,4	271,5

Використовуючи отримані дані, знаходимо параметри рівняння:

;

.

Рівняння лінійного тренду має вигляд:

.

Параметр показує, що щорічно урожайність зернових культур зростає в середньому на 1,76 ц/га. Параметр показує, що для часу (2005 рік) урожайність зернових дорівнює 30,17 ц/га.

Підставивши в одержане рівняння відповідні значення t, знаходимо вирівняні рівні , які занесемо в таблицю 3.1:

,

і т.д.

Зробимо прогнозні розрахунки на наступні два роки.

За точковим прогнозом урожайність зернових культур становитиме:

у 2010 році:

ц/га;

у 2011 році:

ц/га.

Визначимо довірчі межі прогнозних значень. Для цього використаємо інтервальну нерівність:

,

де коефіцієнт довіри за розподілом Ст'юдента;

залишкове середнє квадратичне відхилення

;

кількість рівнів досліджуваного ряду динаміки;

кількість параметрів теоретичної залежності тренду;

число ступенів вільності;

точкове значення прогнозного рівня.

Таблиця 3.2

Розрахунок середнього квадратичного відхилення

Роки
2001	20,0	23,14	-3,14	9,8596
2002	25,4	24,90	0,50	0,2533
2003	24,3	26,65	-2,35	5,5382
2004	32,1	28,41	3,69	13,6161
2005	35,7	30,17	5,53	30,6178
2006	32,3	31,92	0,38	0,1419
2007	31,2	33,68	-2,48	6,1504
2008	34,4	35,44	-1,04	1,0747
2009	36,1	37,19	-1,09	1,1954
?	х	х	х	68,4473

Залишкове середнє квадратичне відхилення дорівнює:

ц/га.

За таблицею -розподілу Ст'юдента для рівня значимості і числа ступенів вільності знаходимо .

Тоді прогнозне значення урожайності зернових культур з ймовірністю 95% буде знаходитись в межах:

у 2010 році:

,

;

у 2011 році:

,

.

Відобразимо основну тенденцию розвитку (тренд) явища графічно (включаючи розраховані теоретичні значення за рівнянням тренду). Покажемо на графіку довірчі межі для прогнозних значень (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Динаміка прогнозування урожайності зернових культур на 2010-2011 рр.

Висновки. За досліджуваний період мала місце тенденція до зростання урожайності зернових культур. Параметр показує, що щорічно урожайність зернових культур зростає в середньому на 1,76 ц/га. Параметр показує, що для часу (2005 рік) урожайність зернових дорівнює 30,17 ц/га. З ймовірністю 95% можна сподіватися, що урожайність зернових буде знаходитись в межах від 31,556 до 46,344 ц/га в 2010 році, а в 2011 році - від 33,312 до 48,101 ц/га.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Горкавий В.К. Статистика. - К.: Вища школа, 1995. - 412 с.

2. Головач А.В., Єріна А.М., Козирєв О.В. Статистика - К.: Вища школа, 1993.

3. Ефремова М.Г. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 1991.

4. Лугінін О.Є., Білоусова С.В. Статистика /Підручник для вузів/ - К.: ТОВ "Торнадо", 2005. - 579 с.

5. Мармоза А.Т. Практикум із статистики: Навч. посіб. - К.: Кондор, 2005 - 510 с.

6. Уманець Т.В., Пігарєв Ю.Б. Статистика: Навч. посіб. - К.: "Вікар", 2003. - 621 с.

7. Фещур Р.В, Барвінський А.Ф., Кічор В.П. Статистика, теоретичні засади і прикладні аспекти: Навч. посіб. - Львів: "Інтелект Захід", 2003. - 575 с.

Размещено на Allbest.ru