Классическое определение вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 Классическое определение вероятности

2 Практические задания

Например: определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек».

Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

Например: испытание - подбрасывание монеты.

Результатом испытания является событие. Событие бывает:

- достоверное (всегда происходит в результате испытания);

- невозможное (никогда не происходит);

- случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием.

В результате испытания происходят только элементарные события.

Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.

Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с «1» или «2».

Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.

Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.

Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.

Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером «1». Сложное событие - выпадение нечетной грани.

Введем следующие обозначения:

А - событие;

- элементы пространства ;

- пространство элементарных событий;

U - пространство элементарных событий как достоверное событие;

V - невозможное событие.

Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.

Операции над событиями.

1. Событие C называется суммой A + B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i = 1, ..., m.

2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i = 1, ..., m.

4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.

Формулы де Моргана:

и

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.

C = AB = V

тут V - пустое множество.

Частость наступления события.

Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий и невозможное событие V.

Пример:

= (1, 2, 3)

A1 = V

A2 = (?1)

A3 = (?2)

A4 = (?3)

A5 = (?1, ?2)

A6 = (?2, ?3)

A7 = (?1, ?3)

A8 = (1, 2, 3)

Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AF. Проводим серию испытаний в количестве n. n - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.

Частостью наступления события A в n испытаниях называется число

1.

2. Частость достоверного события равна 1. n (U) = 1.

3. Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.

Рассмотрим систему Ai, i = 1, ..., k; события попарно несовместны, т.е.

Событие

Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:

nA = nA1+nA2+...+nAk

Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.

Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.

К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.

Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.

2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Группировка производится по группировочному признаку. Определим величину (шаг) интервала группировки по формуле:

k = 5, число групп в группировке (из условия)

Xmax, Xmin - максимальное и минимальное значение группировочного признака

l - величина (шаг) интервала группировки.

2. Определим нижнюю и верхнюю интервальные границы для каждой группы.

3. Составим рабочую таблицу, куда сведем первичный статистический материал.

4. Разработаем аналитическую таблицу взаимосвязи между числом вагонов находящихся на ремонте и чистой прибылью:

Таблица 2

Исследовав показатели работы 50-ти предприятий железнодорожного транспорта, можно сказать, что чистая прибыль предприятия находится в прямой зависимости от числа вагонов находящихся в ремонте.

Задача 2

Решение:

Расчет коэффициента вариации проводится по следующей формуле:

где: G - среднее квадратическое отклонение;

x - средняя величина

n - объем (или численность) совокупности,

х - варианта или значение признака (для интервального ряда принимается среднее значение)

вернемся к форм. (1)

3) Теперь рассчитаем коэффициент вариации по аналитической таблице (см. табл. 2)

Рассчитаем серединные значения интервалов:

,

где f - частота, т.е. число, которое показывает, сколько встречается каждая варианта:

ваг.