Корреляционные связи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача

По территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:

Таблица №1. Исходные данные для расчета

Территории федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X
1. Респ. Адыгея	5,1	1,264
2. Респ. Дагестан	13,0	3,344
3. Респ. Ингушетия	2,0	0,930
4. Кабардино-Балкарская Респ.	10,5	2,382
5. Респ. Калмыкия	2,1	6,689
6. Карачаево-Черкесская Респ.	4,3	0,610
7. Респ. Северная Осетия - Алания	7,6	1,600
8. Краснодарский край1)	109,1	52,773
9. Ставропольский край	43,4	15,104
10. Астраханская обл.	18,9	12,633
11. Волгоградская обл.	50,0	10,936
12. Ростовская обл.	69,0	20,014
Итого,	225,9	75,506
Средняя	20,536	6,8642
Среднее квадратическое отклонение,	21,852	6,4427
Дисперсия, D	477,50	41,5079

Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r_yx и з_ylnx) и детерминации (r²_yx и з²_ylnx), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости =0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - е'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,062 от среднего уровня ().

9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для =0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оценив точность выполненного прогноза.

Решение:

1. Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . Данные представим следующем виде:

Таблица №2. Исходные данные, расположенные по возрастанию значения фактора

Территории федерального округа	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб.	Валовой региональный продукт, млрд. руб.
	X	Y
6	0,61	4,3
3	0,93	2
1	1,264	5,1
7	1,6	7,6
4	2,382	10,5
2	3,344	13
5	6,689	2,1
11	10,936	50
10	12,633	18,9
9	15,104	43,4
12	20,014	69
Итого,	75,506	225,9
Средняя	6,8642	20,536
Среднее квадратическое отклонение,	6,4427	21,852
Дисперсия, D	41,5079	477,50

2. Построим поле корреляции:

2. Начнем моделирование с построения уравнения прямой:, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Д, Да₀ и Да₁ Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.

Таблица №3. Разработочная таблица

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8
6	0,61	4,3	0,3721	2,623	1,674041	2,625959	6,895661	0,127871013
3	0,93	2	0,8649	1,86	2,639146	-0,63915	0,408508	0,031123201
1	1,264	5,1	1,597696	6,4464	3,646475	1,453525	2,112736	0,070779383
7	1,6	7,6	2,56	12,16	4,659835	2,940165	8,64457	0,143171259
4	2,382	10,5	5,673924	25,011	7,018311	3,481689	12,12216	0,169540766
2	3,344	13	11,18234	43,472	9,919658	3,080342	9,488505	0,149997162
5	6,689	2,1	44,74272	14,0469	20,00802	-17,908	320,6973	0,872030745
11	10,936	50	119,5961	546,8	32,81678	17,18322	295,2631	0,836736525
10	12,633	18,9	159,5927	238,7637	37,93485	-19,0349	362,3256	0,926901643
9	15,104	43,4	228,1308	655,5136	45,38727	-1,98727	3,949257	0,096770244
12	20,014	69	400,5602	1380,966	60,19561	8,804394	77,51735	0,428729725
Итого	75,506	225,9	974,8735	2927,663	225,9	4,97E-14	1099,425	385,3651666
Средняя	6,8642	20,536	--	--	--	--		35,03319697
у	6,4427	21,852	--	--	--	--		--
Дисперсия, D	41,5079	477,5	--	--	--	--		--
Д=	5022,452
Да0=	-832,174		-0,16569
Да1=	15147,48		3,015954

Расчёт определителя системы выполним по формуле:

9*974,8735 - 75,506*75,506 = 5022,452;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

225,9*974,8735 - 2927,663*75,506 = -832,174.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

9*2927,663 - 225,9*75,506 = 15147,48.

Полученное уравнение имеет вид . В уравнении коэффициент регрессии означает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличится на 3,016 млрд. руб. Свободный член оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объем валового регионального продукта.

Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Это означает, что при изменении инвестиций в основной капитал на 1% от своей средней валовой региональный продукт увеличивается на 1,008 процента от своей средней

3. Определим коэффициенты для логарифмической функции . Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. таблицу №4.

корреляция детерминация прогноз ошибка

Таблица №4. Разработочная таблица

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8
6	0,61	-0,4943	4,3	0,2443	-2,1255	-6,3197	10,6197	0,5171
3	0,93	-0,0726	2	0,0053	-0,1451	-0,1491	2,1491	0,1046
1	1,264	0,2343	5,1	0,0549	1,1948	4,3407	0,7593	0,0369
7	1,6	0,47	7,6	0,2209	3,572	7,7898	-0,1898	0,0092
4	2,382	0,8679	10,5	0,7533	9,1134	13,6123	-3,1123	0,1515
2	3,344	1,2071	13	1,4573	15,6932	18,5758	-5,5758	0,2715
5	6,689	1,9005	2,1	3,6118	3,9909	28,72	-26,62	1,2963
11	10,936	2,3921	50	5,7219	119,603	35,9129	14,0871	0,6859
10	12,633	2,5363	18,9	6,4329	47,9363	38,0236	-19,1236	0,9312
9	15,104	2,7149	43,4	7,371	117,8292	40,6375	2,7624	0,1345
12	20,014	2,9964	69	8,9786	206,7538	44,7559	24,244	1,1806
Итого	75,506	14,7528	225,9	34,8521	523,4161	225,9	0	5,3196
Средняя	6,8642	1,3412	20,536	--	--	--	--	48,3598
у	6,4427	1,17033	21,852	--	--	--	--	--
Дисперсия, D	41,5079	1,3697	477,5	--	--	--	--	--
Д=	165,7301
Да0=	151,275		0,912779
Да1=	2424,93		14,6318

Расчёт определителя системы выполним по формуле:

;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

Полученное уравнение имеет вид

4. Определим показатели корреляции и детерминации:

для линейной зависимости:

Коэффициент корреляции, равный 0,8892, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между инвестициями в основной капитал и валовым региональным продуктом. Коэффициент детерминации, равный 0,790684, устанавливает, что вариация валового регионального продукта на 79,1% из 100% предопределена вариацией инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на валовой региональный продукт, определяется в 20,9%, что является сравнительно небольшой величиной.

для логарифмической функции:

5. Оценим надежность уравнений в целом через F-критерий Фишера для уровня значимости =0,05.

для линейной зависимости:

Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости валового продукта от инвестиций рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - F_{фактич.} и сравним его с табличным значением - F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости б=0,05).

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 34 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия валового регионального продукта и инвестиций в основной капитал. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.₁=k-1=1 и d.f.₂=n-k=11-2=9 и уровне значимости б=0,05.

В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости валового регионального продукта от инвестиций в основной капитал и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

для логарифмической функции:

6. Полученные показатели позволяют сделать вывод о том, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель, т.к. сравнивая оценки тесноты выявленной связи, получим: >.Таким образом, по сравнению с линейной моделью линейно-логарифмическая модель менее пригодна для описания изучаемой связи.

7. По линейному уравнению регрессии рассчитаем теоретические значения результата (), например, . Результаты расчетов приведены в Таблице 3 и отображены на рис.2.

Рис. 2. Теоретическая линия регрессии и фактические значения

Определим среднюю ошибку аппроксимации - е'_ср.

Результаты расчетов для линейной зависимости приведены в таблице №3, для линейно-логарифмической - в таблице №4.

Сравнивая полученные результаты, видно, что средняя ошибка аппроксимации для линейно-логарифмической зависимости больше, чем для линейной (48,35%>35,03%), что еще раз подтверждает правильность выбора модели. Тем не менее результат, полученный даже для линейной модели (35,03%) указывает на невысокое качество построенной модели и ограничивает ее использование для выполнения точных прогнозных расчетов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

8. Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

Если предположить, что прогнозное значение инвестиций в основной капитал составит 1,062 от среднего уровня, то есть X_{прогнозн}.= 6,8642*1,062=7,289, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне:Y_{прогнозн.} =-0,16569+3,015954*7,289=21,81995 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 6,2% приводит к приросту результата на 6,25% процента (.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии-и ошибки прогноза положения регрессии -. То есть, .

В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1.

Ошибка положения регрессии составит:

=

= = 0,0664 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит:

= =11,05272 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*11,05272 = 24,97 ? 25 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости б=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=9 составит 2,26. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

В данном случае полученная ошибка больше, чем среднее значение, поэтому сложно говорить о какой-либо точности прогноза.

Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Республика Калмыкия с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

Размещено на Allbest.ru