Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• 1. Данные для корреляционного и регрессионного анализа
• 2. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции
• 3. Расчёт множественных коэффициентов корреляции
• 4. Регрессионный анализ экономических показателей
• 4.1 Построение регрессионной модели и её интерпретация
• 4.2 Проверка исходных данных на мультиколлинеарность
• 4.3 Сравнение исходных данных с рассчитанными по уравнению регрессии
• Заключение
• Список использованной литературы

Введение

Изменение любого экономического показателя зависит от большого числа факторов, но из них лишь некоторые оказывают существенное воздействие на исследуемый показатель. Доля влияния остальных факторов столь незначительна, что их игнорирование не может привести к существенным отклонениям исследуемого объекта.

В большинстве случаев между экономическими явлениями не существует строгой функциональной взаимосвязи, поэтому в экономике говорят не о функциональных, а о корреляционных или статистических зависимостях.

Нахождение, оценка и анализ таких зависимостей и оценка их параметров будет произведена в данной курсовой работе.

Задачами курсовой работы является следующее: провести корреляционный анализ (то есть построить матрицу парных коэффициентов корреляции, частных коэффициентов корреляции, сравнить этих коэффициентов, рассчитать множественные коэффициенты корреляции); выявить, можно ли производить регрессионный анализ; провести регрессионный анализ (проверить данные на наличие мультиколлинеарности, исходя из этого, провести поэтапный регрессионный анализ, интерпретировать полученное уравнение регрессии).

Объектом исследования курсовой работы является массив данных из пяти показателей (одному результативному и четырём факторным) по 50 объектам.

Предметом изучения курсовой работы является определение наличия взаимосвязи между показателями, а также характера этих взаимосвязей.

1. Данные для корреляционного и регрессионного анализа

С целью анализа взаимосвязи показателей эффективности производства продукции были рассмотрены показатели производственно-хозяйственной деятельности 50 предприятий машиностроения.

Необходимо провести анализ взаимосвязи следующих экономических показателей:

Результативный признак:

Y - рентабельность

Факторные признаки X_i:

X₅ - удельный вес рабочих в составе ППП

X₇ - коэффициент сменности оборудования

X₁₀ - фондоотдача

X₁₅- оборачиваемость нормируемых оборотных средств.

Исходные данные представлены в табл. 1.

Предположим, что рассматриваемые признаки Y, X₅, X₇, X₁₀, X₁₅ в генеральной совокупности подчиняются нормальному закону распределения и указанные данные представляют выборку из этой генеральной совокупности.

Таблица 1

Исходные данные

№	Y3	X5	X7	X10	X15
1	13,26	0,78	1,37	1,45	166,32
2	10,16	0,75	1,49	1,3	92,88
3	13,72	0,68	1,44	1,37	158,04
4	12,85	0,7	1,42	1,65	93,96
5	10,63	0,62	1,35	1,91	173,88
6	9,12	0,76	1,39	1,68	162,3
7	25,83	0,73	1,16	1,94	88,56
8	23,39	0,71	1,27	1,89	101,16
9	14,68	0,69	1,16	1,94	166,32
10	10,05	0,73	1,25	2,06	140,76
11	13,99	0,68	1,13	1,96	128,52
12	9,68	0,74	1,1	1,02	177,84
13	10,03	0,66	1,15	1,85	114,48
14	9,13	0,72	1,23	0,88	93,24
15	5,37	0,68	1,39	0,62	126,72
16	9,86	0,77	1,38	1,09	91,8
17	12,62	0,78	1,35	1,6	69,12
18	5,02	0,78	1,42	1,53	66,24
19	21,18	0,81	1,37	1,4	67,68
20	25,17	0,79	1,41	2,22	50,4
21	19,4	0,77	1,35	1,32	70,56
22	21	0,78	1,48	1,48	72
23	6,57	0,72	1,24	0,68	97,2
24	14,19	0,79	1,4	2,3	80,28
25	15,81	0,77	1,45	1,37	51,48
26	5,23	0,8	1,4	1,51	105,12
27	7,99	0,71	1,28	1,43	128,52
28	17,5	0,79	1,33	1,82	94,68
29	17,16	0,76	1,22	2,62	85,32
30	14,54	0,78	1,28	1,75	76,32
31	6,24	0,62	1,47	1,54	153
32	12,08	0,75	1,27	2,25	107,64
33	9,49	0,71	1,51	1,07	90,72
34	9,28	0,74	1,46	1,44	82,44
35	11,42	0,65	1,27	1,4	79,92
36	10,31	0,66	1,43	1,31	120,96
37	8,65	0,84	1,5	1,12	84,6
38	10,94	0,74	1,35	1,16	85,32
39	9,87	0,75	1,41	0,88	101,52
40	6,14	0,75	1,47	1,07	107,64
41	12,93	0,79	1,35	1,24	85,32
42	9,78	0,72	1,4	1,49	131,76
43	13,22	0,7	1,2	2,03	116,64
44	17,29	0,66	1,15	1,84	138,24
45	7,11	0,69	1,09	1,22	156,96
46	22,49	0,71	1,26	1,72	137,52
47	12,14	0,73	1,36	1,75	135,72
48	15,25	0,65	1,15	1,46	155,52
49	31,34	0,82	1,87	1,6	48,6
50	11,56	0,8	1,17	1,47	42,84

2. Построение матрицы парных коэффициентов корреляции

Парные коэффициенты корреляции характеризуют взаимосвязь между двумя выбранными переменными на фоне действия остальных показателей и являются самыми распространёнными показателями тесноты связи при статистическом анализе данных.

Расчёт матрицы выборочных парных коэффициентов корреляции осуществляется в Excel с помощью пакета анализа данных.

Таблица 2

Матрца выборочных парных коэффициентов корреляции

	Y3	X5	X7	X10	X15
Y3	1
X5	0,241163	1
X7	0,118018	0,379629	1
X10	0,450862	-0,00732	-0,20751	1
X15	-0,32518	-0,61934	-0,37435	0,008075	1

Кроме того, для дальнейших расчётов необходимо привести корреляционную матрицу к обычному виду, заполнив верхний треугольник таблицы. При этом надо учесть, что матрица парных коэффициентов корреляции является симметричной и коэффициенты r_ij=r_ji.

Таблица 3

Матрица парных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

	Y3	X5	X7	X10	X15
Y3	1	0,241163	0,118018	0,450862	-0,32518
X5	0,241163	1	0,379629	-0,00732	-0,61934
X7	0,118018	0,379629	1	-0,20751	-0,37435
X10	0,450862	-0,00732	-0,20751	1	0,008075
X15	-0,32518	-0,61934	-0,37435	0,008075	1



Теперь необходимо проверить значимость полученных коэффициентов корреляции, т.е. гипотезу H₀: с=0. Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистик для всех коэффициентов по формуле:

и построим матрицу наблюдаемыx значений t-статистик для всех коэффициентов r_ij (таб.4).

Наблюдаемые значения t-статистик необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы н=n-2.

Получаем t_кр= 2,010634722

Таблица 4

Матрица наблюдаемыx значений t-статистик парных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

tнабл	Y3	X5	X7	X10	X15
Y3		1,7216	0,82341	3,4995	-2,38235
X5	1,7216		2,84297	-0,051	-5,4653
X7	0,8234	2,843		-1,47	-2,79693
X10	3,4995	-0,051	-1,4697		0,05595
X15	-2,382	-5,465	-2,7969	0,0559

По результатам, представленным в табл. 4, наблюдаемое значение t-статистики больше критического t_кр= 2,010634722 по модулю для парных коэффициентов корреляции Следовательно, гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие коэффициенты значимы.

Для остальных коэффициентов наблюдаемое значение t-статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H₀ не отвергается, т.е. коэффициенты - незначимы.

Для проверки значимости парных коэффициентов корреляции можно также воспользоваться таблицами Фишера-Иейтса для нахождения критического значения r_кр для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы н=n-2=50-2=48.

По таб. r_кр (б=0,05; н=48)=0,267.

Если соответствующий коэффициент | r_ij | > r_кр, то он считается значимым.

Отметим в матрице парных коэффициентов корреляции значимые.

Таблица 5

Матрица парных коэффициентов корреляции исследуемых показателей с выделением значимых коэффициентов (при б=0,05)

	Y3	X5	X7	X10	X15
Y3	1	0,241163	0,118018	0,450862	-0,32518
X5	0,241163	1	0,379629	-0,00732	-0,61934
X7	0,118018	0,379629	1	-0,20751	-0,37435
X10	0,450862	-0,00732	-0,20751	1	0,008075
X15	-0,32518	-0,61934	-0,37435	0,008075	1

Для значимых парных коэффициентов корреляции можно построить с заданной надёжностью г интервальную оценку с_min ? с ? с_max с помощью Z-преобразования Фишера:

Алгоритм построения интервальной оценки для генерального коэффициента корреляции следующий.

1) Z_r По найденному выборочному коэффициенту корреляции r с помощью Z-преобразования Фишера находят соответствующее значение Z_r , являющееся гиперболическим арктангенсом r :

в качестве аргумента вводится значение соответствующего выборочного коэффициента корреляции r.

Следует учитывать, что Z-функция - нечетная, т.е. Z(-r)= - Z(r).

2). ДZ Найдём значение t_г, соответствующее заданной надёжности г=0,95.

- значение функции Лапласа.

В нашем случае для надёжности г=0,95: F(t)=0,975; t_г =1,959964 (по таблице t_г =1,96).

Находим

3) Z_min и Z_max Теперь можно найти Z_min и Z_max:

Z_min = Z_r - ДZ; Z_max= Z_r + ДZ

4) с_min и с_max

Наконец, использовав обратное преобразование Фишера, находят нижнюю и верхнюю границы для генерального коэффициента корреляции с_min и с_max, соответствующие Z_min и Z_max.

Соответствующие значения с_min и с_max являются гиперболическими тангенсами Z_min и Z_max:

.

Построим с надёжностью г=0,95 и с учётом найденного доверительные интервалы для всех значимых парных коэффициентов корреляции, полученных нами. Расчёты представим в виде таблицы.

Таблица 6

Расчёт доверительных интервалов для парных генеральных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей с надёжностью г=0,95

	r	Zr	Zmin	Zmax	сmin	сmax
y3x10	0,450862	0,485782	0,1998914	0,771672	0,19727096	0,6479
y3x15	-0,325176	-0,33742	-0,623314	-0,05153	-0,5534312	-0,05149
x5x7	0,379629	0,399626	0,1137357	0,685516	0,11324784	0,595094
x5x15	-0,619341	-0,72394	-1,009826	-0,43805	-0,7656901	-0,41202
x7x15	-0,374348	-0,39347	-0,679361	-0,10758	-0,5911036	-0,10717

Таким образом, доверительные интервалы с надёжностью г=0,95 для всех значимых парных генеральных коэффициентов корреляции выглядят следующим образом:

P(0,19727? с_Y3X10 ? 0,6479)=0,95

P(-0,55343? с_Y3X15 ? -0,05149)=0,95

P(0,11325? с_X5X7 ? 0,59509)=0,95

P(-0,76569? с_X5X15 ? -0,41202)=0,95

P(-0,59110? с_X7X15 ? -0,10717)=0,95

По полученным данным можно сделать следующие выводы:

1. Значимые прямые взаимосвязи обнаружены между изучаемым признаком Y₃-рентабельность и факторным признаком Х₁₀ - фондоотдача, а также между факторными признаками Х₅ - удельный вес рабочих в составе ППП и Х₇ - коэффициент сменности оборудования.

2. Обратные значимые взаимосвязи наблюдаются между факторным признаком Х₁₅ - оборачиваемость нормируемых оборотных средств и изучаемым признаком Y₃-рентабельность; между факторным признаком Х₁₅ и Х₅ - удельным весом рабочих в составе ППП; а также между факторным признаком Х₁₅ и Х₇ - коэффициентом сменности оборудования.

3. О тесноте связи можно судить по приближенности коэффициента корреляции по абсолютному значению к единице. Наиболее тесная связь наблюдается между удельным весом рабочих в составе ППП и оборачиваемостью нормируемых оборотных средств. Об этой связи можно сказать, что она умеренная (0,5?|r|?0,7) , в то же время, остальные значимые связи являются слабыми (0,3?|r|?0,5).



3. Расчёт множественных коэффициентов корреляции

Множественные коэффициенты корреляции служат мерой связи одной переменной с совместным действием всех остальных показателей.

Вычислим точечные оценки множественных коэффициентов корреляции. Множественный коэффициент корреляции, например, для 1-го показателя Y вычисляется по формуле:

где |R| - определитель корреляционной матрицы R;

R_ii - алгебраическое дополнение элемента r_ii корреляционной матрицы R.

Все алгебраические дополнения R_ii были найдены в п.2.2 на этапе расчёта частных коэффициентов корреляции, поэтому осталось вычислить только определитель самой корреляционной матрицы.

Чтобы найти определитель корреляционной матрицы, воспользуемся встроенной математической функцией Excel МОПРЕД.

Получим |R| = 0,327084571.

;

Множественный коэффициент детерминации R²_i/{..}) (и его выборочная оценка r²_i/{..}) показывает долю дисперсии рассматриваемой случайной величины, обусловленную влиянием остальных переменных, включённых в корреляционную модель.

Соответственно (1- R²_i/{..}) показывает долю остаточной дисперсии данной случайной величины, обусловленную влиянием других, не включённых в исследуемую модель факторов.

Множественные коэффициенты детерминации получаются возведением соответствующих множественных коэффициентов корреляции в квадрат (таб. 13).

Проверим значимость полученных множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Проверка значимости, т.е. гипотезы о равенстве нулю соответствующего множественного коэффициента корреляции, осуществляется с помощью статистики:

,

где l - порядок множественного коэффициента корреляции, совпадающий с количеством фиксируемых переменных случайных величин (в нашем случае l=4, например, ), а n - количество наблюдений.

Произведя расчёты, получим (таб.13).

Для определения значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации нужно найти критическое значение F-распределения для заданного уровня значимости б и числа степеней свободы числителя н₁=l и знаменателя н₂=n-l-1.

Можно найти значения F_кр по таблицам математической статистики.

Получаем F_кр(0,05; 4; 45)= 2,578739184.

Таблица 7

Множественные коэффициенты корреляции и детерминации исследуемых показателей с выделением значимых коэффициентов (на уровне значимости б=0,05)

Множественный коэффициент корреляции	Множественный коэффициент детерминации r2	Значение статистики F набл
rY /{..}	0,5675688	0,3221344	5,3462093
rX5/{..}	0,641108	0,4110195	7,8508016
rX7/{..}	0,4757306	0,2263196	3,2908884
rX10/{..}	0,527289	0,2780337	4,3324456
rX15/{..}	0,6644429	0,4414844	8,8926764

Если наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение F_кр=2,578739184, то гипотеза о равенстве нулю соответствующего множественного коэффициента корреляции отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, у нас все коэффициенты значимо отличаются от нуля.

Полученные данные позволяют сделать следующие выводы.

Множественный коэффициент корреляции = 0,5675688 значим и имеет достаточно высокое значение, что говорит о том, показатель Y - рентабельность имеет умеренную связь с многомерным массивом факторных признаков X₅ - удельный вес рабочих в составе ППП, X₇ - коэффициент сменности оборудования, X₁₀ - фондоотдача и X₁₅ - оборачиваемость нормируемых оборотных средств. Это даёт основание для проведения дальнейшего регрессионного анализа.

Множественный коэффициент детерминации r²_Y/{..}=0,3221344 показывает, что 32,21% доли дисперсии Y - объёма промышленной продукции, обусловлены изменениями факторных признаков.

Факторные признаки также являются значимыми, несмотря на то, что у Х₇ и Х₁₀ всего 22,63% и 27,80% доля дисперсии соответственно обусловлены изменениями факторных признаков. Более тесная связь с другими переменными наблюдается у Х₅ и Х₁₅, у которых 41,10% и 44,15% доли дисперсии обусловлены изменениями остальными рассматриваемыми признаками, а остальное факторами, которые не включены в изучаемую модель.

Итак, полученные результаты корреляционного анализа, показавшие, что показатель Y₃ - рентабельность имеет умеренную связь с многомерным массивом факторных признаков, позволяют перейти ко второму этапу статистического исследования - построению регрессионной модели.

коеффициент корреляция мультиколлинеарность регрессия



4. Регрессионный анализ экономических показателей

4.1 Построение регрессионной модели и её интерпретация

После того как с помощью корреляционного анализа выявлено наличие статистически значимых связей между переменными и оценена степень их тесноты, обычно переходят к математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа. С этой целью подбирают класс функций, связывающий результативный показатель Y и аргументы X₁, X₂, X_{3 ,...} X_k, отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных значений параметров уравнения связи и анализируют точность полученного уравнения.

Наиболее часто используется множественная линейная модель регрессионного анализа, уравнение которой имеет вид:

для всех i=1,2,…n, или в матричной форме: ,

Где



Исследуем на основе линейной регрессионной модели зависимость рентабельности (Y) от удельного веса рабочих в составе ППП (Х₅), коэффициента сменности оборудования (Х₇) , фондоотдачи (X₁₀) и оборачиваемости нормируемых оборотных средств (X₁₅).

Будем использовать алгоритм пошагового регрессионного анализа с последовательным исключением незначимых регрессоров, пока все входящие в регрессионную модель факторы не будут иметь значимые коэффициенты.

Задаем нужные параметры

1 этап - В модель включены все факторные признаки (X₅, X₇, X_{10 ,} X₁₅).

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,56756882
R-квадрат	0,32213436
Нормированный R-квадрат	0,26187964
Стандартная ошибка	4,96625793
Наблюдения	50
Дисперсионный анализ
	df (число степеней свободы н)	SS (сумма квадратов отклонений Q)	MS (средний квадрат MS=SS/н)	F (F набл = MSR/MSост)	Значимость F
Регрессия	4	527,4296	131,8574	5,3462	0,001309
Остаток	45	1109,8673	24,6637
Итого	49	1637,2969
	Коэф-ты (bi)	Стандартная ошибка (Sbi)	t-статист. (t набл)	P-Значение	Нижние 95% (вi min)	Верхние 95% (вi max)	Нижние 98% (вi min)	Верхние 98% (вi max)
Y-пересечение	-1,3837	15,8683	-0,0872	0,9309	-33,3442	30,5768	-39,6600	36,8926
Переменная X5	4,5936	17,4685	0,2630	0,7938	-30,5899	39,7770	-37,5426	46,7297
Переменная X7	4,1894	5,7389	0,7300	0,4692	-7,3693	15,7481	-9,6534	18,0323
Переменная X10	6,5490	1,7391	3,7658	0,0005	3,0463	10,0518	2,3541	10,7439
Переменная X15	-0,0428	0,0257	-1,6629	0,1033	-0,0945	0,0090	-0,1048	0,0193



В регрессионной статистике указываются множественный коэффициент корреляции (Множественный R) и детерминации (R-квадрат) между Y и массивом факторных признаков (что совпадает с полученными ранее значениями в корреляционном анализе)

Средняя часть таблицы (Дисперсионный анализ) необходима для проверки значимости уравнения регрессии.

Нижняя часть таблицы - точечные оценки b_i генеральных коэффициентов регрессии в_i, проверка их значимости и интервальная оценка.

Оценка вектора коэффициентов b:

Тогда оценка уравнения регрессии имеет вид:

Необходимо проверить значимость уравнения регрессии и полученных коэффициентов регрессии.

Проверим на уровне б=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀: в₁=в₂=в₃=…=в_k=0. Для этого рассчитывается наблюдаемое значение F-статистики:

Excel выдаёт это в результатах дисперсионного анализа:

Q_R=527,4296; Q_ост=1109,8673 =>

В столбце F указывается значение F_набл.

По таблицам F-распределения для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы числителя н₁=k=4 и знаменателя н₂=n-k-1=45 находим критическое значение F-статистики, равное

F_кр = 2,578739184

Так как наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение 8,1957 > 2,7587, то гипотеза о равенстве вектора коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, хотя бы один элемент вектора в=(в₁,в₂,в₃,в₄)^T значимо отличается от нуля.

Проверим значимость отдельных коэффициентов уравнения регрессии, т.е. гипотезу .

Проверку значимости регрессионных коэффициентов проводят на основе t-статистики для уровня значимости .

Наблюдаемые значения t-статистик указаны в таблице результатов в столбце t-статистика.

	Коэффициенты (bi)	t-статистика (tнабл)
Y-пересечение	b0=-1,3837	-0,0872
Переменная X5	b1= 4,5936	0,2630
Переменная X7	b2 = 4,1894	0,7300
Переменная X10	b3= 6,5490	3,7658
Переменная X15	b4 =-0,0428	-1,6629

Их необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы н=n - k - 1.

Для этого используем встроенную статистическую функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР, введя в предложенное меню вероятность б=0,05 и число степеней свободы н= n-k-1=50-4-1=45. (Можно найти значения t_кр по таблицам математической статистики.

Получаем t_кр= 2,014103359.

Для наблюдаемое значение t-статистики меньше критического по модулю 2,0141>|-0,0872|, 2,0141>|0,2630|, 2,0141>|0,7300|, 2,0141>|-1,6629|.

Следовательно, гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов не отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие коэффициенты незначимы.

Для наблюдаемое значение t-статистики больше критического значения по модулю |3,7658|>2,0141, следовательно, гипотеза H₀ отвергается, т.е. - значим.

Значимость регрессионных коэффициентов проверяют и следующие столбцы результирующей таблицы:

Столбец p-значение показывает значимость параметров модели граничным 5%-ым уровнем, т.е. если p?0,05, то соответствующий коэффициент считается значимым, если p>0,05, то незначимым.

И последние столбцы - нижние 95% и верхние 95% и нижние 98% и верхние 98% - это интервальные оценки регрессионных коэффициентов с заданными уровнями надёжности для г=0,95 (выдаётся всегда) и г=0,98 (выдаётся при установке соответствующей дополнительной надёжности).

Если нижние и верхние границы имеют одинаковый знак (ноль не входит в доверительный интервал), то соответствующий коэффициент регрессии считается значимым, в противном случае - незначимым..

Как видно из таблицы, для коэффициента в₃ p-значение p=0,0005<0,05 и доверительные интервалы не включают ноль, т.е. по всем проверочным критериям этот коэффициент является значимым.

Согласно алгоритму пошагового регрессионного анализа с исключением незначимых регрессоров, на следующем этапе необходимо исключить из рассмотрения переменную, имеющую незначимый коэффициент регрессии.

В случае, когда при оценке регрессии выявлено несколько незначимых коэффициентов, первым из уравнения регрессии исключается регрессор, для которого t-статистика () минимальна по модулю. По этому принципу на следующем этапе необходимо исключить переменную Х₅ , имеющую незначимый коэффициент регрессии в₂

2 этап - В модель включены факторные признаки X₇, X₁₀, X₁₅, исключён X₅.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,56665
R-квадрат	0,321093
Нормированный R-квадрат	0,276816
Стандартная ошибка	4,915753
Наблюдения	50
Дисперсионный анализ
	Df (число степеней свободы н)	SS (сумма квадратов отклонений Q)	MS (средний квадрат MS=SS/н)	F (Fнабл= MSR/MSост)	Значимость F
Регрессия	3	525,7241	175,2414	7,251979	0,00044
Остаток	46	1111,573	24,16463
Итого	49	1637,297
	Коэфф-ты (bi)	Стандартная ошибка (Sbi)	t-статист. (t набл)	P-Значение	Нижние 95% (вi min)	Верхние 95% (вi max)	Нижние 98% (вi min)	Верхние 98% (вi max)
Y-пересечение	1,94084	9,492634	0,204457	0,838898	-17,1668	21,04852	-20,9382	24,81987
Переменная X7	4,502469	5,556948	0,810241	0,421973	-6,68309	15,68803	-8,89082	17,89576
Переменная X10	6,569053	1,719766	3,819738	0,000399	3,107345	10,03076	2,424095	10,71401
Переменная X15	-0,0465	0,021196	-2,19389	0,033333	-0,08917	-0,00384	-0,09759	0,004584

Оценка коэффициентов в случае трех объясняющих переменных имеет вид:



а уравнение регрессии имеет вид:

Проверим на уровне б=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀: в₂=в₃=в₄=0. Для этого в результатах дисперсионного анализа находим наблюдаемое значение F-статистики F_набл=7,251979.

С помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР или по таблицам F-распределения для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы числителя н₁=k=3 и знаменателя н₁=n-k-1=46 находим критическое значение F-статистики, равное

F_кр = 2,80684494

Так как наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение 7,251979 > 2,80684494, то гипотеза о равенстве вектора коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, хотя бы один элемент вектора в=(в₂,в₃,в₄)^T значимо отличается от нуля.

Проверим значимость отдельных коэффициентов уравнения регрессии, т.е. гипотезу. H₀:в_i=0, i=2,3,4.

Наблюдаемые значения t-статистик указаны в таблице результатов в столбце t-статистика.

	Коэффициенты (bi)	t-статистика (tнабл)
Y-пересечение	b0=1,94084	0,204457
Переменная X7	b2=4,502469	0,810241
Переменная X10	b3=6,569053	3,819738
Переменная X15	b4=-0,0465	-2,19389

Их необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы н=n - k - 1.

Получаем t_кр= 2,012895567.

Для в₃, в₄ наблюдаемое значение t-статистики больше критического по модулю |3,819738|>2,012895567, |-2,19389|>2,012895567.

Следовательно, гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие коэффициенты значимы.

Для в_0, в₂, наблюдаемое значение t-статистики меньше критического значения по модулю |0,204457|<2,012895567, |0,204457|<0,810241, следовательно, гипотеза H₀ не отвергается, т.е. в_0, в₂ - незначимы.

Столбец p-значение показывает, что для коэффициентов в₃, в₄ p₃= 0,000398559, p₄= 0,03333, т.е они меньше 0,05, следовательно, данные коэффициенты значимы.

Для в_0, в₂, p₀= 0,83889, p₁= 0,42197, то есть по всем проверочным критериям эти коэффициенты незначимы.

Согласно алгоритму пошагового регрессионного анализа с исключением незначимых регрессоров, на следующем этапе необходимо исключить из рассмотрения переменную X₇ (коэффициент сменности оборудования), имеющую незначимый коэффициент регрессии в₂.

3 этап - В модель включены факторные признаки X₁₀, X₁₅., исключён X₅, Х₇.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,558036
R-квадрат	0,311404
Нормированный R-квадрат	0,282102
Стандартная ошибка	4,897756
Наблюдения	50
Дисперсионный анализ
	df (число степеней свободы н)	SS (сумма квадратов отклонений Q)	MS (средний квадрат MS=SS/н)	F (Fнабл = MSR / MSост)	Значимость F
Регрессия	2	509,8602	254,9301	10,6274	0,000156
Остаток	47	1127,437	23,98801
Итого	49	1637,297
	Коэффи-циенты (bi)	Стандартная ошибка (Sbi)	t-ста-тистика (tнабл)	P-Значение	Нижние 95% (вi min)	Верхние 95% (вi max)	Нижние 98% (вi min)	Верхние 98% (вi max)
Y-пересечение	9,128202	3,36724	2,710886	0,00934	2,35419	15,90221	1,018727	17,23768
Переменная X1	6,261759	1,671283	3,746677	0,000489	2,89957	9,623948	2,236732	10,28679
Переменная X2	-0,05304	0,019525	-2,71665	0,009201	-0,09232	-0,01376	-0,10007	-0,00602

Оценка коэффициентов в случае двух объясняющих переменных имеет вид:

а уравнение регрессии имеет вид:

Проверим на уровне б=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀: в₃=в₄=0. Для этого в результатах дисперсионного анализа находим наблюдаемое значение F-статистики F_набл=10,6274.

С помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР или по таблицам F-распределения для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы числителя н₁=k=2 и знаменателя н₁=n-k-1=50-2-1=47 находим критическое значение F-статистики, равное

F_кр = 3,195056281

Так как наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение 10,6274> 3,19505, то гипотеза о равенстве вектора коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, хотя бы один элемент вектора в=(в₃,в₄)^T значимо отличается от нуля.

Проверим значимость отдельных коэффициентов уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀:в_i=0, i=3,4.

Наблюдаемые значения t-статистик указаны в таблице результатов в столбце t-статистика.

	Коэффициенты	t-статистика
Y-пересечение	9,128202	2,710886
X10	6,261759	3,746677
X15	-0,05304	-2,71665

Их необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы н=n - k - 1.

Получаем t_кр= 2,01174048.

Для всех рассматриваемых коэффициентов в₀,в₃,в₄ наблюдаемое значение t-статистики больше критического по модулю

|2,710886|>2,01174048, |3,746677|>2,01174048, |-2,71665|>2,01174048

Следовательно, гипотеза о равенстве нулю коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие коэффициенты значимы.

Эту гипотезу так же подтверждают p-значения: 0,05 > и доверительные интервалы не включают ноль, т.е. по всем проверочным критериям эти коэффициенты являются значимыми.

Т.к. в данном случае все коэффициенты оказались значимыми, процесс исключения переменных прекращается

Окончательная оценка регрессии со значимыми коэффициентами имеет вид:

Для значимых коэффициентов регрессии можно найти с заданной доверительной вероятностью г интервальные оценки.

	Коэффициенты	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 98,0%	Верхние 98,0%
Y-пересечение	9,128202	2,35419	15,90221	1,018727	17,23768
X10	6,261759	2,89957	9,623948	2,236732	10,28679
X15	-0,05304	-0,09232	-0,01376	-0,10007	-0,00602

Таким образом, интервальные оценки значимых генеральных коэффициентов регрессии имеют вид:

P(2,35419? в0?15,90221)=0,95 P(1,018727? в0?17,23768)=0,98	P(2,89957? в3?9,623948)=0,95 P(2,236732? в3?10,28679)=0,98
P(-0,09232? в4?-0,01376)=0,95 P(-0,10007? в4?-0,00602)=0,98.

Интерпретация результатов

Величина R² характеризует долю общей дисперсии зависимой переменной, обусловленную воздействием объясняющих переменных. Т.е. около 31,14% вариации рентабельности (Y) объясняется вариацией фондоотдача (X₁₀) и оборачиваемостью нормируемых оборотных средств (X₁₅), а 68,86% вариации вызвано воздействием неучтенных в модели и случайных факторов. Таким образом, можно утверждать, что модель слабо отражает исследуемый процесс.

Коэффициент регрессии показывает среднюю величину изменения зависимой переменной Y при изменении объясняющей переменной X на единицу собственного изменения. Знак при коэффициенте указывает направление этого изменения.

Коэффициент регрессии при X₁₀ показывает, что при росте фондоотдачи на единицу рентабельность Y в среднем увеличится на 6,2618 единиц. Построенная выше интервальная оценка показывает, что с вероятностью 0,95 при росте оборачиваемости ненормируемых оборотных средств на единицу увеличение рентабельности будет в пределах от 2,90 до 9,62 единиц.

Аналогично, коэффициент при X₁₅ свидетельствует о том, что при росте оборачиваемости нормируемых оборотных средств на единицу рентабельность в среднем уменьшается на 0,0530 единиц, а с вероятностью 0,95 при росте оборачиваемости нормируемых оборотных средств на единицу уменьшение рентабельности будет в пределах от 0,01376 до 0,09232 единиц.

4.2 Проверка исходных данных на мультиколлинеарность

Одним из основных препятствий эффективного применения множественного регрессионного анализа является мультиколлинеарность. Она возникает в случаях существования достаточно тесных линейных статистических связей между объясняющими переменными X₁, X₂, X_{3 ,...} X_k. В результате мультиколлинеарности матрица парных коэффициентов корреляции становится слабообусловленной, близкой к вырожденной.

Точных количественных критериев для определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности не существует. Однако существуют некоторые рекомендации по выявлению этого негативного явления, на которые следует обратить внимание. На практике о наличии мультиколлинеарности обычно судят по матрице парных коэффициентов корреляции. Если один из элементов матрицы R больше 0,8 , т.е. | r_ij | > 0,8 , то считают, что имеет место мультиколлинеарность и в уравнение регрессии следует включать только один из показателей X_i или X_j (как правило, тот, который имеет наибольшую связь с Y).

Прежде, чем переходить к построению регрессионной модели, необходимо проверить объясняющие переменные на наличие мультиколлинеарности. Для этого рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции между факторными признаками X_i.

Таблица 7

Матрица парных коэффициентов корреляции факторных признаков

	X5	X7	X10	X15
X5	1	0,379629	-0,00732	-0,61934
X7	0,379629	1	-0,20751	-0,37435
X10	-0,00732	-0,20751	1	0,008075
X15	-0,61934	-0,37435	0,008075	1

Поскольку значения коэффициентов корреляции для всех пар объясняющих переменных не превышают по модулю 0,8, то нет необходимости сокращать набор объясняющих переменных.

4.3 Сравнение исходных данных с рассчитанными по уравнению регрессии

Таблица 8

Сравнительная таблица исходных данных показателя рентабельности (Y) с рассчитанными с помощью построенной линейной регрессионной модели

Наблюдение	Предсказанное Y3	Наблюдаемое Y3	Остатки	Стандартные остатки
1	9,386	13,26	3,874484	0,807729
2	12,342	10,16	-2,18179	-0,45485
3	9,324	13,72	4,396223	0,916498
4	14,476	12,85	-1,62611	-0,339
5	11,865	10,63	-1,23491	-0,25745
6	11,039	9,12	-1,91896	-0,40005
7	16,578	25,83	9,25154	1,928706
8	15,597	23,39	7,792979	1,624634
9	12,454	14,68	2,226223	0,46411
10	14,561	10,05	-4,51099	-0,94042
11	14,584	13,99	-0,59407	-0,12385
12	6,082	9,68	3,598105	0,750111
13	14,640	10,03	-4,61001	-0,96107
14	9,693	9,13	-0,56275	-0,11732
15	6,289	5,37	-0,91879	-0,19154
16	11,084	9,86	-1,2241	-0,25519
17	15,481	12,62	-2,86063	-0,59637
18	15,195	5,02	-10,1751	-2,12124
19	14,305	21,18	6,875336	1,433329
20	20,356	25,17	4,814098	1,003614
21	13,651	19,4	5,749043	1,198526
22	14,576	21	6,423545	1,339142
23	8,230	6,57	-1,66035	-0,34614
24	19,272	14,19	-5,0819	-1,05944
25	14,976	15,81	0,83388	0,173842
26	13,007	5,23	-7,7775	-1,62141
27	11,265	7,99	-3,27533	-0,68282
28	15,502	17,5	1,997579	0,416443
29	21,008	17,16	-3,84832	-0,80227
30	16,038	14,54	-1,49798	-0,31229
31	10,656	6,24	-4,41562	-0,92054
32	17,508	12,08	-5,42753	-1,1315
33	11,016	9,49	-1,52615	-0,31816
34	13,772	9,28	-4,49221	-0,93651
35	13,655	11,42	-2,23541	-0,46602
36	10,915	10,31	-0,60493	-0,12611
37	11,654	8,65	-3,00387	-0,62623
38	11,866	10,94	-0,92615	-0,19308
39	9,254	9,87	0,616452	0,128514
40	10,119	6,14	-3,97865	-0,82945
41	12,367	12,93	0,56291	0,117352
42	11,469	9,78	-1,68918	-0,35215
43	15,653	13,22	-2,43255	-0,50712
44	13,317	17,29	3,97293	0,828253
45	8,442	7,11	-1,3318	-0,27765
46	12,604	22,49	9,886149	2,061005
47	12,887	12,14	-0,74718	-0,15577
48	10,021	15,25	5,228994	1,09011
49	16,569	31,34	14,77091	3,079351
50	16,061	11,56	-4,50059	-0,93826

Проанализировав остатки, мы можем прийти к выводу, что предприятия №7, №8, №46 и №49 демонстрируют наибольшую рентабельность. В то же время для предприятий №18 и №25 характерна обратная ситуация - отрицательное отклонение от линии регрессии.



Заключение

Проведенный корреляционный и регрессионный анализ отобранных экономических показателей деятельности 50 предприятий машиностроения позволяет сформулировать следующие выводы.

Множественный коэффициент детерминации, полученный и в корреляционном, и в регрессионном анализе показывает, что полученные модели слабо отражают исследуемый процесс. Т.е.по результатам регрессионного анализа около 31,14% вариации рентабельности (Y) объясняется вариацией фондоотдача (X₁₀) и оборачиваемостью нормируемых оборотных средств (X₁₅), а 68,86% вариации вызвано воздействием неучтенных в модели и случайных факторов. По результатам корреляционного анализа - множественный коэффициент детерминации r²_Y/{..}=0,3221344 показывает, что 32,21% доли дисперсии Y - объёма промышленной продукции, обусловлены изменениями факторных признаков.

- Удельный вес рабочих в составе ППП и коэффициент сменности оборудования имеют взаимосвязь: с ростом первого показателя - второй также увеличивается.

- Взаимосвязь рентабельности и фондоотдачи прямая, достаточно тесная и значимая, при этом остальные переменные, включённые в корреляционную модель ослабляют эту взаимосвязь.

Коэффициент регрессии при X₁₀ показывает, что при росте фондоотдачи на единицу рентабельность Y в среднем увеличится на 6,2618 единиц. Построенная выше интервальная оценка показывает, что с вероятностью 0,95 при росте оборачиваемости ненормируемых оборотных средств на единицу увеличение рентабельности будет в пределах от 2,90 до 9,62 единиц.

О связи рентабельности с оборачиваемостью нормируемых оборотных средств говорят следующие показатели: парный коэффициент корреляции значим, взаимосвязи обратные, и их усиливает переменные, включенные в модель.

Также коэффициент при X₁₅ свидетельствует о том, что при росте оборачиваемости нормируемых оборотных средств на единицу рентабельность в среднем уменьшается на 0,0530 единиц, а с вероятностью 0,95 при росте оборачиваемости нормируемых оборотных средств на единицу уменьшение рентабельности будет в пределах от 0,01376 до 0,09232 единиц.

Наиболее сильная обратная связь существует между факторными признаками удельным весом рабочих в составе ППП и оборачиваемостью нормируемых оборотных средств. Воздействие других переменных (рентабельности, коэффициента сменности оборудования и фондоотдачи) усиливают взаимосвязь между указанными признаками, так частный коэффициент корреляции немного меньше парного.

Связь между рентабельностью и оборачиваемостью нормируемых оборотных средств, между удельным весом рабочих в составе ППП и коэффициентом сменности оборудования и между коэффициентом сменности оборудования и оборачиваемостью нормируемых оборотных средств обусловлена лишь влиянием на них остальных переменных.

Анализ остатков показал, что наибольшее положительное отклонение от линии регрессии у предприятий №7, №8, №46 и №49, они демонстрируют высокую рентабельность. Для предприятий №18 и №25 характерна обратная ситуация - отрицательное отклонение от линии регрессии, и, следовательно, низкая рентабельность.

Список использованной литературы

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. - М.ЮНИТИ, 1998. - с. 735 - 749; 766 - 772.

2. Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие. - Мн.: Новое знание, 2001. - с. 285 - 302; 250 - 264

3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 1999. - XIV, с. 262 - 285

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - с. 115 - 122

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие. 2-е изд. - М.: Дело, 1998. - с. 69 - 74

6. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - с. 49 - 105

7. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - с.141 - 155

Размещено на Allbest.ru