Основы статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

По данным таблицы:

1. Произведите группировку коммерческих банков с 6 по 25 по величине прибыли, образовав 5 групп с равными интервалами:

до 200; 200-400; 400-600; 600-800; 800 и более.

2. По каждой группе рассчитать:

ъ Количество банков.

ъ Размер прибыли в целом для группы и средний.

ъ Общий размер кредитных вложений для группы и в среднем.

ъ Общий размер вложений в ценные бумаги для группы и в среднем.

3. Построить гистограмму распределения коммерческих банков по величине прибыли. Результаты расчетов представить табличным способом. Определить вид группировки. Сделать выводы.

Решение

Сортируем данные по возрастанию признака - размер прибыли.

Диапазон колебания прибыли разобьем на заданные интервалы:

до 200; 200-400; 400-600; 600-800; 800 и более.

Производим группировку (таблица 1.1).

Последние два интервала объединяем, т. к. значение признака в пределах от 600 до 800 не наблюдается.

Определяем число банков, попадающих в каждый интервал (группу).

По каждой группе определяем сумму и среднее арифметическое значение признаков:

ъ размера прибыли,

ъ размера кредитных вложений,

ъ размера вложений в ценные бумаги.

Также определяем сумму и среднее арифметическое значение указанных признаков в целом по совокупности.

Вид группировки - аналитическая.

Анализируем средние значения по группам (таблица 1.2) и делаем вывод.

Зависимость между признаками:

ъ прибыль, млрд. руб.,

ъ кредитные вложения, млрд. руб.,

ъ объем вложений в ценные бумаги, млрд. руб.

не наблюдается.

По данным интервального ряда распределение банков по размеру прибыли (таблица 1.3) строим гистограмму частот.

Таблица 1.1

Группы банков по величине прибыли. млрд. руб.	Прибыль, млрд. руб.	Кредитные вложения, млрд. руб.	Объем вложений в ценные бумаги млрд. руб.	Число банков
До 200	18	3419	597	8
	41	1216	838
	57	1605	439
	129	4423	2020
	146	9035	786
	158	2236	532
	167	2004	1040
	175	3256	4556
сумма	891	27194	10808
среднее	111,375	3399,250	1351,000
200-400	239	2890	1115	8
	258	1490	1041
	265	1764	673
	290	5077	1173
	306	1600	991
	340	981	543
	365	1742	469
	367	6019	1429
сумма	2430	21563	7434
среднее	303,750	2695,375	929,250
400-600	417	778	551	3
	429	5398	654
	481	4899	1837
сумма	1327	11075	3042
среднее	442,333	3691,667	1014,000
600-1000	913	3900	1684	1
сумма	913	3900	3900
среднее	913,000	3900,000	3900,000
ВСЕГО	5561	63732	25184	20
СРЕДНЕЕ	278,05	3186,6	1259,2

Таблица 1.2

Группы банков по величине прибыли. млрд. руб.	Среднее значение прибыли, млрд. руб.	Среднее значение кредитных вложений, млрд. руб.	Среднее значение объема вложений в ценные бумаги млрд. руб.	Число банков
0-200	111,375	3399,250	1351,000	8
200-400	303,750	2695,375	929,250	8
400-600	442,333	3691,667	1014,000	3
600-1000	913,000	3900,000	3900,000	1
Среднее значение	278,05	3186,6	1259,2

Гистограмма частот

Интервальный ряд распределение банков по размеру прибыли

Таблица 1.3

№	Интервал.	Частота
	xi - xi+1	ni
1	0-200	8
2	200-400	8
3	400-600	3
4	600-800	0
5	800-1000	1

Задача 2

Имеются следующие данные:

Показатели	Фактически за базисный год	Отчетный год
		фактически	% выполнения плана
Производство продукции, т.	695	670	103
Средняя списочная численность, чел.	80	72	98

Рассчитайте абсолютные и относительные величины планового задания для приведенных показателей за отчетный год.

Решение

Обозначим:

y0 - фактический показатель за базисный год,

y1 - фактический показатель за отчетный год,

yпл - плановый показатель за отчетный год.

Абсолютная величина планового задания (yпл ) неизвестна, но известна относительная величина выполнения плана.

Она определяется по формуле:

Находим абсолютную величину планового задания:

Показатель: производство продукции, т.:

Показатель: средняя списочная численность, чел.:

Определяем относительную величину планового задания Кпл. зад.

Показатель: производство продукции, т.:

Показатель: средняя списочная численность, чел.:

Делаем выводы.

ъ Плановое задание на отчетный год предусматривало снижение объема производства продукции на 6,41% относительно уровня предыдущего года, или на 44,515 т.

650,485-695=-44,515

ъ Плановое задание на отчетный год предусматривало также снижение средней списочной численности рабочих на 8,16% или на 7 человек.

73-80=-7

Задача 3

Для оценки стоимости основных фондов региона произведен 5% механический отбор, в результате чего установлено:

Группы предприятий по стоимости основных фондов, млн. руб.	До 10	10-20	20-30	30-40	40-50	50 и более	итого
Число предприятий	131	227	294	146	128	74	1000

По включенным в выборку предприятиям определите:

ъ Среднюю стоимость основных фондов на 1 предприятие

ъ Среднее квадратическое отклонение.

ъ Долю предприятий со стоимостью основных фондов более 50 млн. руб.

ъ С вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать среднюю стоимость основных фондов на 1 предприятие.

ъ С вероятность 0,997 долю предприятий, со стоимостью основных фондов выше 50 млн. руб.

Решение

Закроем открытые интервалы (1-ый и 6-ой), считая, что шаг интервала постоянный и равен 10.

Определим числовые характеристики выборки Таблица 3.1

интервал	xi	ni	wi	xiwi	xi -	(xi -)2	wi (xi -)2
0-10	5	131	0,131	0,655	-20,215	408,646	53,533
10-20	10	227	0,227	2,27	-15,215	231,496	52,550
20-30	25	294	0,294	7,35	-0,215	0,046	0,014
30-40	35	146	0,146	5,11	9,785	95,746	13,979
40-50	45	128	0,128	5,76	19,785	391,446	50,105
50-60	55	74	0,074	4,07	29,785	887,146	65,649
сумма	-	1000	1,000	25,215	-	-	235,829

xi - середина интервала,

ni - частота,

Относительная частота:

Выборочное среднее:

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Теперь известно, что:

уx=15,357

уx2=235,829

n=1000 - объем выборки,

- т. к. выборка 5%,

N - объем генеральной совокупности.

Средняя ошибка механической выборки для среднего значения определяется по формуле ошибки случайной бесповторной выборки:

Предельная ошибка выборки для среднего значения:



Где t - кратность ошибки, зависит от доверительной вероятности.

p=0.954, Ф(t)=p - функция Лапласа.

Определяем аргумент функции Лапласа по таблице приложения.

Ф(2)=0,954, следовательно t =2.

Пределы, млн. руб.:

Средняя ошибка механической выборки для доли:

w =0.074 - доля предприятий со стоимостью основных фондов выше 50 млн. руб.

Предельная ошибка выборки для доли:

t - кратность ошибки, зависит от доверительной вероятности.

p=0.997, Ф(t)=p - функция Лапласа.

Определяем аргумент функции Лапласа по таблице приложения.

Ф(3)=0,997, следовательно t =3

Пределы для доли, доля 1:

или 6,6%

или 8,2%

Делаем вывод.

ъ Средняя стоимость основных фондов на одно предприятие в генеральной совокупности с вероятностью 0,954 находится в пределах: от 24,269 до 26,161 млн. руб.

ъ С вероятностью 0,997 в генеральной совокупности пределы для доли предприятий со стоимость основных фондов выше 50 млн. руб. составляют: от 6,6% до 8,2%.

Задача 4

На основе данных о среднегодовой численности занятых в экономике по Кемеровской области за 2002-2006 гг. проведите анализ данного показателя:

Показатели	Годы
Среднегодовая численность занятых в экономике, тыс. чел.	2002	2003	2004	2005	2006
	1235,9	1246,2	1249,0	1275,6	1263,8

При решении задачи используйте табличные методы изложения результатов исследования.

1. Для анализа динамики среднегодовой численности занятых в экономике за 2002-2006 гг. определите:

1.1. абсолютные и относительные показатели динамики (цепные и базисные)

1.2. средние показатели динамики:

ъ среднегодовую численность занятых в экономике,

ъ средний абсолютный прирост (двумя способами),

ъ средний темп роста (двумя способами),

ъ средний темп прироста.

2. Для выявления общей тенденции развития (тренда) среднегодовой численности занятых в экономики использовать метод аналитического выравнивания по прямой.

2.1. нанести на график фактические и теоретические уровни ряда динамики

2.2. найти на основе трендовой модели возможную численность занятых в экономике региона в 2007 и 2008 гг.

Сделайте выводы.

Решение

Рассмотрим ряд - «численность занятых в экономике», тыс. человек.

Обозначим уровни ряда как:

y0, y1, y2, y3, y4.

Определим средние показатели ряда динамики.

Средний уровень ряда, тыс. чел.:

Средний абсолютный прирост, тыс. чел., 1 способ:

Средний темп роста, 1 способ:

%

Средний темп прироста:

Средний абсолютный прирост и средний темп роста вторым способом определим после определения абсолютных и относительных показателей динамики (цепных и базисных)

Определим аналитические показатели динамики: абсолютные и относительные, цепные и базисные.

Таблица 4.1

Показатель	y0	y1	y2	y3	y4
Среднегодовая численность занятых в экономике, тыс. человек	1235,9	1246,2	1249	1275,6	1263,8
Абсолютный прирост:
базисный			10,30	13,10	39,70	27,90
цепной			10,30	2,80	26,60	-11,80
Темп роста, %
базисный			100,83	101,06	103,21	102,26
цепной			100,83	100,22	102,13	99,07
Темп прироста, %
базисный			0,833	1,060	3,212	2,257
цепной			0,833	0,225	2,130	-0,925
Абсолютное содержание 1 % прироста
базисный метод			12,36	12,36	12,36	12,36
цепной метод			12,36	12,46	12,49	12,76

Средний абсолютный прирост, тыс. чел., 2 способ:

Средний темп роста, 2 способ:

Строим график ряда динамики - численность занятых в экономике области за 2002-2006 гг.

Определим параметры уравнения линейного тренда, т. е. уравнения:

Yt=a+bt

используем метод условного отсчета времени, т. е.

Таблица 4.2

год	y	t	yt	t2	Yt
1	1235,9	-2	-2471,8	4	1237,1
2	1246,2	-1	-1246,2	1	1245,6
3	1249,0	0	0,0	0	1254,1
4	1275,6	1	1275,6	1	1262,6
5	1263,8	2	2527,6	4	1271,1
сумма	6270,5	0	85,2	10	6270,5

Уравнение тренда:

Yt=1254,1+8,52t

На график ряда динамики нанесем теоретические уровни ряда

Прогноз на 2007(t=3) и 2008(t=4):

Yt=3=1254,1+8,523=1279,66 тыс. человек

Yt=4=1254,1+8,524=1288,18 тыс. человек

Делаем выводы.

ъ Рядy - численность занятых в экономике, свойственна в целом положительная тенденция.

ъ В среднем уровни ряда увеличивались на 0,6% ежегодно, что в абсолютном выражении составляет 6,975 тыс. человек.

ъ Согласно уравнению тренда ежегодное увеличение численности занятых в экономике составляет 8,52 тыс. человек относительно среднего уровня ряда, равного 1254,1.

Задача 5

Имеются следующие данные по заводу пластиковых изделий:

№ изделия	Количество изделий, шт.	Себестоимость единицы продукции, руб.	Отпускная цена за одно изделие, руб.
	I кв.	II кв.	I кв.	II кв.	I кв.	II кв.
1	200	220	28,2	26,1	33,9	31,3
2	530	500	15,4	17,2	17,7	18,7

Охарактеризуйте общее относительное изменение по каждому виду и по двум изделиям, вместе взятым:

1. отпускных цен;

2. себестоимости единицы изделия;

3. физического объема продукции.

Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами, используя мультипликативную систему индексов.

Сделайте выводы.

Решение

Обозначим:

q0 и q1 - физический объем продукции в базисном и отчетном периодах,

p0 и p1 - цена единицы продукции базисного и отчетного периодов,

z0 и z1 - себестоимость единицы продукции базисного и отчетного периодов,

р0q0 и р1q1 - товарооборот базисного и отчетного периодов в фактических ценах,

z0q0 и z1q1 - затраты на производство в базисном и отчетном периодах в фактических ценах.

Тогда:

р0q1 - товарооборот отчетного периода в базисных ценах,

z0q1 - затраты на производство отчетного периода при базисной себестоимости.

Строим расчетную таблицу 5.1, в которой определим индивидуальные индексы:

ъ физического объема продукции;

ъ цен;

ъ себестоимости;

ъ товарооборота;

ъ затрат на производство.

Индивидуальный индекс физического объема продукции:

Индивидуальный индекс цен



Индивидуальный индекс себестоимости

Индивидуальный индекс товарооборота

Или, используя взаимосвязь между исчисленными индексами:

Индивидуальный индекс затрат на производство:

Или, используя взаимосвязь между исчисленными индексами:

Определим общие индексы.

ъ физического объема продукции;

ъ цен;

ъ себестоимости;

ъ товарооборота;

ъ затрат на производство.

Рассчитываем таблицу 5.2.

Общий индекс цены:

Или 99,56%.

Общий индекс физического объема товарооборота:

Или 100,91%.

Общий индекс товарооборота:

Или 100,46%

Взаимосвязь индексов - мультипликативная индексная модель:

1,0046=0,99561,0091

1,0046=1,0046

Таблица 5.1

№	Физический объем продукции и его индекс	Себестоимость 1 продукции и ее индекс	Цена 1 продукции и ее индекс	Индексы затрат на производство и товарооборота
	q0	q1	iq	z0	z1	iz	p0	p1	ip	izq	ipq
1	200	220	1,100	28,2	26,1	0,926	33,9	31,3	0,923	1,018	1,016
2	530	500	0,943	15,4	17,2	1,117	17,7	18,7	1,056	1,054	0,997

Таблица 5.2

№	Физический объем продукции	Себестоимость 1 продукции	Затраты на производство, фактические и условные	Цена 1 продукции	Товарооборот, фактический и условный
	q0	q1	z0	z1	z0q0	z1q1	z0q1	p0	p1	p0q0	p1q1	p0q1
1	200	220	28,2	26,1	5640	5742	6204	33,9	31,3	6780	6886	7458
2	530	500	15,4	17,2	8162	8600	7700	17,7	18,7	9381	9350	8850
сумма	730	720	-	-	13802	14342	13904	-	-	16161	16236	16308

Общий индекс себестоимости:

Или 103,15%.

Общий индекс физического объема продукции:

Или 100,74%.

Общий индекс затрат на производство:

Или 103,91%.

Взаимосвязь индексов - мультипликативная индексная модель:

1,0391=1,03151,0074

1,0391=1,0391

Анализируя общие индексы, делаем выводы.

ъ В отчетном периоде (II квартал) по сравнению с базисным периодом (I квартал) в целом по заводу пластиковых изделий себестоимость 1- цы продукции выросла на 3,15%.

ъ Физический объем производства продукции увеличился на 0,74%.

ъ Затраты на производство за счет действия двух факторов (себестоимости и физического объема) выросли на 3,91%.

ъ В целом по заводу пластиковых изделий отпускная цена 1- цы продукции снизилась на 0,44% (что довольно странно, т. к. себестоимость повысилась).

ъ Физический объем товарооборота увеличился на 0,91%.

ъ Товарооборот в фактических ценах за счет действия двух факторов (цены и физического объема) увеличился на 0,46%.

Задача 6

На основании анализа «Исследование социальных аспектов трудовой деятельности работников торговых предприятий» получены следующие результаты исследований:

Отношение к работе	пол
	мужчины	женщины
интересная	350	202
неинтересная	130	252

Оцените наличие связи между работниками торговли, распределенными по полу и содержанию работы. Определите коэффициенты ассоциации Д. Юла и коэффициент контингенции К. Пирсона.

Сделайте выводы.

Решение

Определим коэффициент ассоциации Д. Юла.

Таблица 6.1

Отношение к работе	пол
	мужчины	женщины
интересная	350=a	202=b
неинтересная	130=c	252=d

По шкале Чеддока связь характеризуется как умеренная.

Определим коэффициент контингенции К. Пирсона.

По шкале Чеддока связь характеризуется как умеренная.

Связь считается достаточно значительной и подтвержденной, если

или

Делаем вывод.

ъ между работниками торговли, распределенными по полу и содержанию работы, наблюдается достаточно значительная связь.

Задача 7

По условию задачи 1 рассчитайте уравнение регрессии, характеризующую прямолинейную зависимость между прибылью и объемом кредитных вложений.

Определите тесноту связи между указанными признаками и постройте график фактических и теоретических значений результативного признака.

Дайте оценку надежности уравнения регрессии на основе критерия Фишера.

Фактические и теоретические уровни нанесите на график корреляционного поля и сделайте выводы.

Решение

Факторный признак X- прибыль,

результативный Y- объем кредитных вложений.

Уравнение прямолинейной регрессии:

Yx = a + bx

Параметры a и b уравнения определяются методом наименьших квадратов из системы уравнений:

Строим расчетную таблицу 7.1..

Разделив каждое уравнение системы на n, и решая методом Крамера, определяем b:

Теперь определяем параметр a как:

Уравнение регрессии:

Yx=2867,7+1,147x

Средние квадратические отклонения признаков:

Коэффициент корреляции:

Делаем вывод.

ъ Между прибылью и объемом кредитных вложений не наблюдается линейная корреляционная связь (значение r=0.109 близко к 0).

Таблица 7.1

№	x	y	xy	x2	y2	Yx
1	18	3419	61542	324	11689561	2888,39
2	41	1216	49856	1681	1478656	2914,76
3	57	1605	91485	3249	2576025	2933,11
4	129	4423	570567	16641	19562929	3015,68
5	146	9035	1319110	21316	81631225	3035,17
6	158	2236	353288	24964	4999696	3048,93
7	167	2004	334668	27889	4016016	3059,25
8	175	3256	569800	30625	10601536	3068,43
9	239	2890	690710	57121	8352100	3141,82
10	258	1490	384420	66564	2220100	3163,61
11	265	1764	467460	70225	3111696	3171,63
12	290	5077	1472330	84100	25775929	3200,30
13	306	1600	489600	93636	2560000	3218,65
14	340	981	333540	115600	962361	3257,64
15	365	1742	635830	133225	3034564	3286,31
16	367	6019	2208973	134689	36228361	3288,60
17	417	778	324426	173889	605284	3345,94
18	429	5398	2315742	184041	29138404	3359,70
19	481	4899	2356419	231361	24000201	3419,33
20	913	3900	3560700	833569	15210000	3914,73
сумма	5561,0	63732,0	18590466,0	2304709,0	287754644,0	63732,00
среднее	278,05	3186,60	929523,30	115235,45	14387732,20	3186,60

Коэффициент детерминации:

r2 = 0.1092=0.012

Делаем вывод.

ъ Линейная регрессионная модель объясняет 1,2% вариации зависимой переменной и, соответственно, не объясняет остальные 98,8%.

Проверим нулевую гипотезу о том, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т.е. полученное уравнение статистически незначимо.

Примем уровень значимости б=0,05.

Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

n - объем выборки,

m - число параметров при переменной x.

Найдем фактическое значение F-критерия Фишера:

Следовательно, гипотеза H0 принимается: с вероятностью (1-б )=0,95 полученное уравнение статистически незначимо, ненадежно.

Уравнение не может быть использовано для анализа и прогноза.

Строим точки поля корреляции (xi. yi), i=1...20 и уравнение регрессии

интервальный ряд виборка отклонение

Yx=1,147x+2867,7

Размещено на Allbest.ru