Задачи оптимизации индивидуального спроса

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Микроэкономические задачи

1.1 Моделирование поведения потребителя

В данном параграфе на примере модели оптимизации потребительского выбора показано, каким образом математический аппарат позволяет глубже осмыслить экономические проблемы, получить известные выводы путем лаконичных рассуждений, увидеть зависимости и свойства, которые практически невозможно четко описать с помощью словесных рассуждений.

1.2 Основные предпосылки и понятия

Современная теория поведения потребителя базируется на трех основных предположениях:

предпочтения потребителя сформированы;

предпочтения транзитивны;

предположение о “ненасыщаемости”.

Предположение 1 говорит о том, что потребитель умеет оценивать и сравнивать между собой различные наборы товаров. Если обозначить один набор товаров А, а другой набор - В, то в соответствии с предположением 1) потребитель может установить между ними либо отношение предпочтения, либо отношение эквивалентности (А В).

Второе предположение подтверждает способность потребителя осуществлять выбор: если для потребителя набор А предпочтительнее набора В, а набор В предпочтительнее, чем набор С, то А, конечно, предпочтительнее, чем С. В противном случае выбор был бы непосильной задачей для потребителя. И, наконец, третье предположение соответствует интуитивному представлению о том, что потребитель всегда предпочитает большее количество товара меньшему.

Мы не будем останавливаться на описании возможных видов предпочтений и соответствующих им видах кривых безразличия. Эти вопросы достаточно детально отражены как в отечественной, так и в зарубежной литературе по микроэкономике.

Проведем анализ поведения потребителя, приняв предположение о том, что потребитель - это“homo oeconomicus”1), ранжирующий потребительские наборы по определенному, именно ему присущему, правилу. Для описания этого правила введем понятие порядковой функции полезности.

Обозначим набор товаров (потребительский набор) через Х, где Х - n - мерный вектор, каждая компонента хi которого обозначает количество i-го товара в наборе, т.е. Х = (х1,х2,...,хi,...,хn). Множество всевозможных неотрицательных векторов Х образует n- мерное пространство товаров. Для упрощения и наглядности изложения модели потребительского выбора ограничимся случаем двух товаров, т.е. Х = (х1,х2). При этом отметим, что все полученные выводы имеют место для случая любого конечного числа товаров.

Функцией полезности U(x1,x2) назовем правило, которое каждому набору товаров

Х = (х1,х2) ставит в соответствие число U, которое представляет собой оценку полезности этого набора потребителем.

Если на пространстве товаров задана функция полезности потребителя U = U(x1,x2), то потребитель всегда может сказать, которые из рассматриваемых наборов предпочтительнее, а которые из них эквиваленты.

Допустим, имеются три набора: А = (Х1А, Х2А), В = (Х1В, Х2В) и С = (Х1С, Х2С).

Если U(A) > U(B), то набор А предпочтительнее набора В, т.е. .

Если U(A) = U(B), то наборы А и В эквивалентны для потребителя с точки зрения доставляемой потребителю полезности, т. е. А ~ В.

Более того, если U(A) > U(B), a U(B) > U(C), то U(A) > U(C), т.е. из того, что следует, что , т. е. выполняется свойство транзитивности для отношения предпочтения между наборами товаров.

Функция полезности должна удовлетворять следующим свойствам:

то есть, если x12 > х11, то U(х12,x2) > U(x11,x2); если x22 > х2 1, то U(x1,x22) > U(x1,x21).

2U/x12 = u1 < 0, 2U/x22 = u1 < 0;

Первое свойство говорит о том, что рост объема потребления одного из товаров при неизменном объеме потребления другого увеличивает потребительскую оценку набора товаров.

В соответствии со вторым свойством предельная полезность любого из товаров уменьшается, если объем его потребления растет (закон убывающей предельной полезности).

И, наконец, третье свойство утверждает, что предельная полезность каждого из товаров увеличивается при возрастании количества другого товара. В этом случае товар, количество которого не меняется, становится относительно дефицитным и, следовательно, дополнительная единица этого товара имеет большую ценность, чем предыдущая.

Задавшись некоторым значением полезности U*, можно, используя функцию полезности, найти множество всех наборов, полезность которых равняется U*. Они лежат на линии уровня функции полезности, соответствующей значению U* и удовлетворяющей следующему уравнению:

U(x1,x2) = U*. (1)

Линии уровня функции полезности называются кривыми безразличия.

Кривая безразличия представляет собой совокупность потребительских наборов, обеспечивающих одинаковый уровень удовлетворения потребностей потребителя (в частности, U = U*).

Отметим, что уравнение (1) задает неявную функцию х2 = h(х1), которая существует при предположениях 1) - 3) относительно функции полезности.

На рисунке 1 изображена типичная кривая безразличия в пространстве товаров. Заметим, что через любую точку (х10,х20) пространства товаров проходит некоторая кривая безразличия, для которой U = U(х10,х20).

При перемещении по кривой безразличия, например, из точки А в точку В, происходит замещение товара 2 товаром 1, так как количество первого товара в наборе В больше, чем в наборе А.. Для оценки скорости замещения товара 2 товаром 1 вводится понятие нормы замещения - RS12 (Rate Substitution).

По определению, RS12 = - х2/х1, (2)

где х1 = Х1В - Х1А < 0, х2 = Х2В - Х2А > 0.

Если приращение х1 очень незначительно (х1 0), то оценкой скорости замещения одного товара другим становится предельная норма замещения МRS12 (Marginal Rate Substitution).

МRS12 = lim х1 0( - х2/х1 ) = - (dx2/dx1). (3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1

Норма замещения RS12 оценивает среднюю скорость замещения товара 2 товаром 1 в наборе А (см. рис. 1) и изображается графически как tg(в). Предельная норма замещения МRS12 оценивает скорость замещения в точке А, равняется “минус” производной х2 (х2 = h(х1)) по х1 и изображается графически как tg (б) = - tg (ф).

Легко показать, что предельная норма замещения в любой точке кривой безразличия может быть выражена через предельные полезности товаров. Действительно, для всех наборов товаров, принадлежащих некоторой кривой безразличия, изменение полезности при приращении одного либо другого товара в наборе тождественно равно нулю (по определению кривой безразличия). Это можно записать математически как равенство нулю полного дифференциала функции полезности при некотором значении U, а именно:

dU = dx1•(?U/?x1) + dx2•(?U/?x2) ? 0. (4)

Из (4) следует, что -dx2/dx1 = U1?/U2?, (5)

т.е. МRS12 = U1?/U2?. (6)

Мы показали, что с помощью функции полезности можно описать предпочтения потребителя. Но этого не достаточно для математической формулировки задачи потребительского выбора. Требуется формализовать условия, ограничивающие выбор потребителя. Таковыми являются прежде всего, доход (бюджет) потребителя и цены товаров. Если цену первого товара обозначить р1, цену второго - р2, а доход - М, то множество наборов, которые являются доступными для потребителя удовлетворяют следующему неравенству: р1х1 + р2х2 М, (7) где р1х1 - расход на х1 единиц первого товара, р2х2 - расход на х2 единицы второго товара.

Среди множества доступных наборов особое место принадлежит тем из них, которые стоят ровно М ден.ед. Для таких наборов (7) выполняется как строгое равенств, т.е.

р1х1 + р2х2 = М. (8)

Они образуют бюджетное ограничение.

Бюджетное ограничение представляет собой отрезок прямой в пространстве товаров. В этом легко убедиться, переписав (8) следующим образом:

Х2 = (- р1Х1)/р2 + М/р2 (9)

Наклон прямой, задаваемой уравнением (9), определяется отношением цен, а сдвиг ее относительно оси Х2 отношением М/р2. Изобразим бюджетное ограничение (бюджетную линию) в пространстве товаров.

Если потребитель не приобретает ни одной единицы первого товара, то очевидно, что весь свой доход он тратит на второй товар, приобретая его в максимально возможном объеме, равном М/р2. В случае отказа от второго товара потребитель может приобрести М/р1 единиц товара 1. Таким образом, точки (0; М/р2) и (М/р1;0) являются границами бюджетной линии.

При изменении цен, например цены первого товара, линия бюджетного ограничения сдвигается либо ближе к началу координат (при повышении цены 1-го товара до р11), либо отодвигается от начала координат (при понижении цены 1-го товара до р12) (см. рис.3).

Когда меняется доход потребителя, бюджетная линия либо опускается вниз (если М уменьшается до М1) или смещается вверх (если М возрастает до М2) параллельно исходной бюджетной линии (рис.4).

2. Задача оптимизации потребительского выбора

После обсуждения основных предпосылок и введения основных понятий сформулируем математически задачу оптимизации потребительского выбора, основанную на перечисленных ранее гипотезах теории поведения потребителя: (слайд 12)

U = U(x1,x2) max (10)

p1x1 + p2x2 M (11)

Решением задачи (10),(11) является такой потребительский набор (х1*,х2*) который, во-первых, является допустимым для потребителя, т.е. стоимость этого набора не больше дохода (М), а во-вторых, обеспечивает максимально возможный уровень полезности для потребителя.

Задача (10),(11) является задачей математического программирования, где (10) - целевая функция, а (11) - допустимое множество. Однако, так как для оптимальных точек (максимизирующих целевую функцию) ограничение (11) выполняется как строгое равенство, решение данной задачи может быть заменено решением задачи на нахождение условного экстремума (максимума): (слайд 13)

U = U(x1,x2) max (10)

p1x1 + p2x2 = M, (8)

Таким образом, можно свести задачу выбора потребителем набора с максимально возможной полезностью при заданных системе предпочтений, ценах и доходе к решению задачи оптимизации потребительского выбора ((10),(8)) (слайд 14).

Для решения этой задачи воспользуемся методом Лагранжа. Построим функцию Лагранжа (лагранжиан): L(x1,x2,) = U(x1,x2) + (M - p1x1 - p2x2) (12) и найдем для нее точку безусловного максимума. Допустим это точка (х1*,х2*, *). Тогда укороченная точка (х1*,х2*) будет решением задачи (10),(8).

Согласно необходимому условию экстремума функции трех переменных точка (х1*,х2*, *) должна удовлетворять следующим уравнениям: (слайд 15)

L/x1 = U1- p1 = 0 или U1 = p1 (13)

L/x2 = U2- p2 = 0 или U2 = p2 (14)

L/ = M - p1x1 - p2x2 = 0 (15)

И, следовательно, она может быть найдена как решение системы из трех уравнений (13),(14),(15) с тремя неизвестными х1, х2, .

Если выразить из (13) и (14) отношение предельных полезностей товаров U1/ U2, то окажется, что отношение предельных полезностей для оптимального набора товаров равно отношению цен: (слайд 16)

Геометрическая интерпретация решения задачи (10), (8) как задачи на нахождение условного максимума позволяет получить ту традиционную картинку, которую можно найти в любом учебнике по микроэкономике (см. рис. 2) (слайд 17).

Х2

grad(U)

Х2* Х*

U(X*)

grad(G)

Х1* Х1

Рис. 2

Обоснуем приведенное на графике изображение равновесия потребителя. Согласно необходимому условию условного экстремума для оптимального набора потребителя Х* выполняются следующие условия ((13) и (14)): (слайд 18)

потребитель поведение кривая безразличие

Левая часть равенства (17) представляет собой градиент целевой функции U(x1,x2). Вектор цен в правой части является градиентом функции-условия G(х1,х2), действительно

G(х1,х2) = М - р1х1 - р2х2), а G/x1 = - р1, G/x2 = - р2.

(слайд 17, предыдущий)

Следовательно, согласно этому равенству градиенты целевой функции и функции-условия пропорциональны c коэффициентом пропорциональности (- л). Это означает, что линия уровня целевой функции (кривая безразличия U(X*))и нулевая линия уровня функции условия G(х1,х2) (бюджетное ограничение: M - p1x1 - p2x2 = 0) имеют общую касательную, которая перпендикулярна одновременно градиентам обеих функций в точке Х*. Последнее означает, что кривая безразличия и линия бюджетного ограничения касаются в точке потребительского оптимума (которая является решением задачи (10) - (8)).

Набор товаров Х*, который выбирает потребитель, характеризует спрос на рассматриваемые товары. Действительно, х1*- это такое количество первого товара, которое потребитель «хочет и может» приобрести, т.е. - это величина индивидуального спроса на первый товар, х2* - величина спроса на второй товар. Таким образом, решение задачи (10), (8) для конкретных значений цен и дохода потребителя позволяет найти количественную оценку величины спроса на первый и второй товары.

При изменении цен на товары бюджетная линия будет менять положение в пространстве товаров (см. рис. 1 и 2), вследствие чего будут меняться оптимальные наборы потребителя, т.е. величины спроса на товары. При изменении дохода потребителя бюджетная линия будет перемещаться в пространстве товаров параллельно наклону исходной бюджетной линии. Изменение величины спроса на первый и второй товары при изменении цен и дохода говорит о том, что спрос на них зависит от изменения последних. Эта зависимость может быть описана с помощью функций (слайд 19)

Обозначим их через D1 и D2:

х1* = D1(p1,p2,M) и х2* = D2(p1,p2,M). (18)

Функции (18) описывают зависимость величины спроса на первый и второй товары от изменения их цен и дохода потребителя и называются функциями спроса Маршалла. С математической точки зрения они описывают множество решений задачи (10),(8) для различных значений параметров р1,р2 и М и могут быть найдены для любой конкретной функции полезности, описывающей предпочтения потребителя (слайд 20).

Выводы

Таким образом, можно сделать вывод, что при разной величине дохода потребитель будет выбирать отличающиеся один от другого наборы товаров, т.е. предъявлять различный спрос на товары. Изменение величины спроса на первый и второй товары при изменении цен и дохода говорит о том, что спрос на них зависит от изменения последних. Рассмотренный нами материал, наглядно показывает, чтобы более подробно рассмотреть потребительский выбор, необходимо использовать математический аппарат, т.е. рассмотренные нами выше уравнения, графики, формулы.

Размещено на Allbest.ru