Результаты наблюдений над некоторой случайной двумерной величиной (Х, У)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приводятся результаты 100 наблюдений над некоторой случайной двумерной величиной (Х, У).

Требуется для каждой случайной величины Х и У (сокращенно СВ Х и СВ У):

Построить интервальный и дискретный статистический ряды распределения частот и относительных частот.

Построить гистограмму и полигон относительных частот.

Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Сделать предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины, исходя из механизма ее образования, по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, предполагая, что наблюдаемая случайная величина распределена по нормальному закону, и записать функцию плотности распределения вероятностей.

Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения.

В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 1 - б = г = 0,95).

Провести корреляционный анализ:

а) составить корреляционную таблицу;

б) найти выборочный коэффициент корреляции;

в) проверить значимость выборочного коэффициента корреляции rв при б = 0,05 (Н0: с = 0), при альтернативной гипотезе На: с ? 0;

г) построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем подобрать общий вид функции регрессии;

д) найти эмпирические функции регрессии У на Х, Х на У и построить их графики.

Даны результаты 100 измерений высоты сосны (X, м) и диаметра сосны у корня (У, см):

статистический гистограмма корреляционный регрессия

№	X	У	№	X	У	№	X	У	№	X	У	№	X	У
1	18,5	33	21	23,5	85	41	22,5	75	61	21,5	58	81	20,0	50
2	22,0	72	22	22,5	79	42	21,0	43	62	22,5	65	82	21,5	59
3	20,5	31	23	21,5	54	43	19,0	27	63	21,0	51	83	22,0	48
4	20,5	53	24	18,0	26	44	21,0	52	64	21,0	47	84	23,5	82
5	19,0	35	25	23,0	90	45	20,0	43	65	21,5	60	85	23,5	95
6	21,0	56	26	20,0	40	46	21,5	61	66	20,5	41	86	20,5	48
7	20,0	50	27	21,0	70	47	21,5	44	67	22,5	73	87	21,5	58
8	23,0	64	28	21,5	78	48	21,0	57	68	22,5	64	88	21,5	65
9	21,0	62	29	22,5	75	49	22,5	61	69	22,0	61	89	22,5	83
10	21,5	53	30	21,0	50	50	20,0	32	70	21,0	55	90	21,5	53
11	21,0	72	31	22,0	85	51	20,5	60	71	21,0	63	91	21,0	60
12	22,0	72	32	21,5	70	52	22,5	74	72	21,0	69	92	19,5	26
13	21,5	50	33	23,0	84	53	21,0	54	73	21,0	55	93	21,0	61
14	21,0	33	34	20,0	52	54	19,0	80	74	20,0	25	94	20,5	45
15	20,0	50	35	19,5	40	55	22,0	55	75	22,0	63	95	21,5	55
16	21,0	68	36	21,5	53	56	24,5	93	76	21,0	46	96	19,5	30
17	19,5	40	37	23,5	87	57	24,0	87	77	19,0	29	97	22,5	42
18	20,5	27	38	22,5	52	58	20,5	40	78	21,0	59	98	20,5	28
19	23,0	100	39	24,5	85	59	21,5	46	79	20,0	26	99	25,0	91
20	18,5	37	40	21,5	56	60	20,5	42	80	21,0	65	100	21,5	63

Решение.

Статистическая обработка случайной величины Х.

1. Статистическая обработка результатов эксперимента в случае выборки большого объема (n ? 50) начинается с группировки выборочных значений, то есть с разбиения наблюдаемых значений СВ на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попадания значений СВ в частичные интервалы.

Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стерджеса:

h = ,

где хmax, хmin - соответственно максимальное и минимальное выборочные значения СВ Х, n - объем выборки. Если h окажется дробным, то за величину интервала нужно взять ближайшую несложную дробь.

Для СВ X n = 100, хmax = 25, хmin = 18. Следовательно,

h = = = = 0,913 ? 0,9;

В качестве левого конца интервала возьмем величину, равную а1 = хmin - h / 2 = 18 - 0,9 / 2 = 17,55 . Если аi - начало i - го интервала, тогда а2 = а1 + h = 17,55 + 0,9 = 18,45 и т. д. Составим таблицу (табл. 1).

Таблица 1 - Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки

Интервалы (аi; аi+1]	Середины интервалов	Подсчет частот	Частоты ni	Относительные частоты Wi = ni/n	Накопленные относительные частоты
	2	3	4	5	6
(17,55; 18,45]	18		1	0,01	0,01
(18,45; 19,35]	18,9		6	0,06	0,07
(19,35; 20,25]	19,8		13	0,13	0,2
(20,25; 21,15]	20,7		32	0,32	0,52
(21,15; 22,05]	21,6		25	0,25	0,77
(22,05; 22,95]	22,5		11	0,11	0,88
(22,95; 23,85]	23,4		8	0,08	0,96
(23,85; 24,75]	24,3		3	0,03	0,99
(24,75; 25,65]	25,2		1	0,01	1

2. Первый и пятый столбцы таблицы 1 составляют интервальный статистический ряд относительных частот, графическое изображение которого - гистограмма относительных частот (ступенчатая фигура на рис. 1).

Дискретный статистический ряд относительных частот задается вторым и пятым столбцами, графическое изображение которого - полигон относительных частот (изображен на рис. 1 ломаной линией).

Рис. 1 - Гистограмма и полигон относительных частот

3. Эмпирическая функция распределения F*(x) выборки служит для оценки функции распределения F(х) генеральной совокупности. Функция F*(х) определяет для каждого значения х относительную частоту события Х<х:

F*(x) = ,

Где nx - число выборочных значений, меньших х; n - объем выборки. Шестой столбец таблицы 1 содержит накопленные частоты, то есть значения эмпирической функции распределения F*(х), они относятся к верхней границе частотного интервала.

Эмпирическая функция распределения F*(х) имеет вид:

F*(х) =

График эмпирической функции распределения F*(x) изображен на рис. 2 (для непрерывных распределений значения F*(x) распространяются на интервалы линейным интерполированием).

Рис. 2 - График эмпирической функции распределения СВ Х

4. Для вычисления числовых характеристик выборки (, Дв, Sx, , ) удобно использовать таблицу 2, где в первых двух столбцах приведены сгруппированные исходные данные, а остальные столбцы служат для вычисления числовых характеристик.

Таблица 2 - Таблица для расчета числовых характеристик выборки

хi	ni	хi -	(хi-)·ni	(хi-)2·ni	(хi-)3·ni	(хi-)4·ni
1	2	3	4	5	6	7
18	1	-3,24	-3,24	10,4976	-34,0122	110,1996
18,9	6	-2,34	-14,04	32,8536	-76,8774	179,8932
19,8	13	-1,44	-18,72	26,9568	-38,8178	55,89762
20,7	32	-0,54	-17,28	9,3312	-5,03885	2,720978
21,6	25	0,36	9	3,24	1,1664	0,419904
22,5	11	1,26	13,86	17,4636	22,00414	27,72521
23,4	8	2,16	17,28	37,3248	80,62157	174,1426
24,3	3	3,06	9,18	28,0908	85,95785	263,031
25,2	1	3,96	3,96	15,6816	62,09914	245,9126
?	100	-	0	181,44	97,1028	1059,943

Выборочное среднее вычисляют по формуле:

,

где m - число интервалов, хi - середины интервалов.

= = = 21,24 (м). Выборочное среднее дает усредненное значение высоты сосны для данной выборки.

Выборочную дисперсию для сгруппированных данных вычисляют по формуле:

,

Дв(х) = = 1,8144 .

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по формуле . Для СВ Х Sx = = 1,35 (м). Оно показывает разброс выборочных значений xi относительно выборочного среднего = 21,24.

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:

,

Используя суммы из последних строк шестого и седьмого столбцов таблицы 2, получим

? 0,3947,

= - 3 = 0,1912.

? 0 говорит о несимметричности полигона (гистограммы) относительно выборочного среднего . Положительный знак выборочного коэффициента асимметрии свидетельствует о правосторонней асимметрии данного распределения . Положительность выборочного коэффициента эксцесса показывает, что полигон более крут чем нормальная кривая.

5. Мы предварительно предполагаем, что СВ Х распределена нормально по совокупности следующих признаков.

Вид полигона и гистограммы относительных частот (рис. 1) напоминает нормальную кривую (кривую Гаусса).

Выборочные коэффициенты асимметрии = 0,3947 и эксцесса = 0,1912 отличаются от значений асимметрии и эксцесса для нормального распределения (которые равны нулю) не более, чем на утроенные средние квадратические ошибки их определения.

= 0,3947 < 0,7161 = 3· SA,

= 0,1912 < 1,3917 = 3· SЭ,

где SA = =? 0,2387,

SЭ = =? 0,4639.

Можно предположить, что количество обработанных деталей (СВ Х) изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе.

Итак, по совокупности указанных признаков можно предположить, что распределение СВ Х является нормальным.

6. Функция плотности нормального распределения имеет вид:

В качестве неизвестных параметров а и у возьмем их точечные оценки = 21,24 и Sx = 1,35 соответственно. Тогда дифференциальная f(x) и интегральная F(x) предполагаемого нормального закона распределения примут вид:

f(x) = ·е-(х-21,24)2/ 2·1,352, F(x) = ·е-(х-21,24)2/ 2·1,352dx

7. Гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по предлагаемому нормальному закону, назовем нулевой (H0: ХN(a, у)), тогда Hа: ХN(a, у). Проверим ее с помощью критерия согласия ч2 Пирсона.

Согласно критерию Пирсона сравниваются эмпирические ni (наблюдаемые) и теоретические n·pi (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина

.

По таблице критических точек распределения ч2 по заданному уровню значимости б и числу степеней свободы н = S - r -1 (S - число интервалов, r - число параметров предполагаемого распределения СВ Х) находится критическое значение (Приложение Б).

Если , то считается, что данный критерий не дает оснований для отклонения гипотезы при данном уровне значимости б = 0,05. В противном случае считается, что гипотеза не согласуется с экспериментальными данными и ее надо отвергнуть.

Если проверяется гипотеза о нормальном распределении, то вероятности pi рассчитываются с помощью функции Лапласа Ф(х) (Приложение А): ,

где = 21,24 и Sx = 1,35.

р1 =Ф-Ф(-?)=Ф(-2,067)-Ф(-?)=-0,4808+0,5=0,0192,

р2 =Ф-Ф=Ф(-1,4 )-Ф(-2,067)=-0,4197+0,4808=0,0611,

р3 =Ф-Ф=Ф(-0,733)-Ф(-1,4)=-0,2688+0,4197=0,1509,

р4 =Ф-Ф=Ф(-0,067)-Ф(-0,733)=-0,0266+0,2688=0,2422,

р5 =Ф-Ф=Ф(0,6 )-Ф(-0,067)=0,2262+0,0266=0,2528,

р6 =Ф-Ф=Ф(1,267)-Ф(0,6 )=0,3979-0,2262=0,1717,

р7 =Ф-Ф=Ф(1,933)-Ф(1,267)=0,4737-0,3979=0,0758,

р8 =Ф-Ф=Ф(2,6 )-Ф(1,933)=0,4954-0,4737=0,0217,

р9 =Ф(?)-Ф=Ф(?)-Ф(2,6 )=0,5-0,4954=0,0046.

Вычисления сведем в таблицу 3, предварительно объединив интервалы, частота попадания в которые меньше 5.

Таблица 3 - Расчетная таблица для вычисления

Интервалы (хi; хi+1]	Частоты эмпирические ni	Вероятности рi	Теоретические частоты nрi
(-?;19,35]	7	0,0803	8,03	0,132117
(19,35; 20,25]	13	0,1509	15,09	0,28947
(20,25; 21,15]	32	0,2422	24,22	2,499108
(21,15; 22,05]	25	0,2528	25,28	0,003101
(22,05; 22,95]	11	0,1717	17,17	2,217175
(22,95; +?]	12	0,1021	10,21	0,31382
?	100	1	100	5,454791

Значение 5,454791.

Количество интервалов стало равным S = 6.

Так как предполагается нормальное распределение имеющее два параметра (математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у), поэтому r = 2, тогда число степеней свободы н = S - r - 1 = 6 - 2 - 1 = 3

В таблице критических точек распределения ч2 (Приложение Б) по уровню значимости б = 0,05 и числу степеней свободы н = 3 найдем критическое значение (0,05; 3) = 7,815.

Так как то считаем, что нет оснований для отклонения нулевой гипотезы при заданном уровне значимости б = 0,05.

Построим график эмпирической функции f(x). Для этого из середины частичных интервалов восстановим перпендикуляры высотой равной pi - вероятностям попадания СВ Х в соответствующий частичный интервал. На рис. 3 концы перпендикуляров отмечены точками, полученные точки соединены плавной кривой.

Рис. 3 - График полигона и эмпирической функции f(x)

Сравнение полигона относительных частот и нормальной кривой показывает, что построенная нормальная кривая удовлетворительно сглаживает полигон.

8. Найдем интервальные оценки параметров нормального закона распределения. Для нахождения доверительного интервала, покрывающего математического ожидания СВ Х, найдем по таблицам квантилей распределения Стьюдента (Приложение В) по заданной доверительной вероятности 1 - б = г = 0,95 и числу степеней свободы н = n - 1 = 100 - 1 = 99 число tг = 1,984.

Вычислим предельную погрешность интервального оценивания:

= 1,984· ? 0,268.

Запишем искомый доверительный интервал для математического ожидания а:

,

21,24 - 0,268 < a < 21,24 + 0,268,

20,972 < a < 21,508.

Если будет произведено достаточно большое число выборок объема n СВ Х из одной и той же генеральной совокупности, то в 95% выборок доверительный интервал (20,972; 21,508) покроет математическое ожидание а; и только в 5% выборок математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала.

Для нахождения доверительного интервала, покрывающего неизвестное среднее квадратическое отклонение у с заданной вероятностью 1 - б = г = 0,95, найдем по г = 0,95 и числу степеней свободы н = n - 1 = 100 - 1 = 99 два числа г1 = 0,878 и г2 = 1,161 (Приложение Г). Искомый доверительный интервал равен:

,

0,878·1,35 < у < 1,161·1,35,

1,185 < у < 1,567.

Если будет произведено достаточно большое число выборок объема n СВ Х из одной и той же генеральной совокупности, то в 95% выборок доверительный интервал (1,185; 1,567) покроет среднее квадратическое отклонение у; и только в 5% выборок среднее квадратическое отклонение может выйти за границы доверительного интервала.

9. Проведем корреляционный анализ выборочных данных случайных величин Х и У.

а) Составим корреляционную таблицу. Как известно, для СВ Х выбраны следующие интервалы:

(17,55 ; 18,45], (18,45; 19,35], (19,35; 20,25], (20,25; 21,15], (21,15; 22,05],

(22,05; 22,95], (22,95; 23,85], (23,85; 24,75], (24,75; 25,65].

Для СВ У выбраны следующие интервалы:

(20,1 ; 29,9], (29,9; 39,7], (39,7; 49,5], (49,5; 59,3], (59,3; 69,1],

(69,1; 78,9], (78,9; 88,7], (88,7; 98,5], (98,5; 108,3].

Подсчитываем количество пар исходной выборки (xi, yi), попадающих в прямоугольники, образованные границами интервалов (Таблица 4). Для этого принадлежность пары (xi, yi) к определенному прямоугольнику отмечаем внутри этого прямоугольника точкой.

Составим вспомогательную таблицу, подсчитав количество выборочных значений (xi; yi), попадающих в прямоугольники, образованные границами интервалов:

Таблица 4 - Таблица для частот nxy пар значений (xi; yi)

Интервалы для У	Интервалы для Х
	(17,55 ; 18,45]	(18,45; 19,35]	(19,35; 20,25]	(20,25; 21,15]	(21,15; 22,05]	(22,05; 22,95]	(22,95; 23,85]	(23,85; 24,75]	(24,75; 25,65]
(20,1 ; 29,9]
(29,9; 39,7]
(39,7; 49,5]
(49,5; 59,3]
(59,3; 69,1]
(69,1; 78,9]
(78,9; 88,7]
(88,7; 98,5]
(98,5; 108,3]

В окончательной корреляционной таблице вместо интервалов для СВ Х и СВ У записываем середины интервалов и соответствующие частоты nx и ny.

Таблица 5 - Корреляционная таблица эмпирического распределения двумерной СВ (Х, У)

У \ Х	18	18,9	19,8	20,7	21,6	22,5	23,4	24,3	25,2	ny
25	1	2	3	2						8
34,8		3	2	2						7
44,6			4	8	3	1				16
54,4			4	10	11	1				26
64,2				8	6	3	1			18
74				2	4	4				10
83,8		1			1	2	4	2		10
93,6							2	1	1	4
103,4							1			1
nx	1	6	13	32	25	11	8	3	1	100

б) Зная, что 21,24 и 1,35; 57,83 и 18,09, вычисляем сначала выборочный момент:

,

где m - число заполненных клеток.

Находим

·(+ 1·25·18+ 2·25·18,9+ 3·25·19,8+ 2·25·20,7+ 3·34,8·18,9+ 2·34,8·19,8+ 2·34,8·20,7+ 4·44,6·19,8+ 8·44,6·20,7+ 3·44,6·21,6+ 1·44,6·22,5+ 4·54,4·19,8+ 10·54,4·20,7+ 11·54,4·21,6+ 1·54,4·22,5+ 8·64,2·20,7+ 6·64,2·21,6+ 3·64,2·22,5+ 1·64,2·23,4+ 2·74·20,7+ 4·74·21,6+ 4·74·22,5+ 1·83,8·18,9+ 1·83,8·21,6+ 2·83,8·22,5+ 4·83,8·23,4+ 2·83,8·24,3+ 2·93,6·23,4+ 1·93,6·24,3+ 1·93,6·25,2+ 1·103,4·23,4) - 21,24·57,83 =

= ·124656,7 - 21,24·57,83 = 18,2578

Вычислим выборочный коэффициент корреляции:

? 0,7476.

Положительный знак выборочного коэффициента корреляции показывает, что с увеличением значений СВ Х эмпирические значения СВ У в среднем возрастают.

в) Проверим значимость полученного выборочного коэффициента корреляции, т. е. проверим нулевую гипотезу о том, что коэффициент корреляции с равен нулю (H0: с = 0) при альтернативной гипотезе Hа: с ? 0.

Вычислим статистику:

= ? 11,14337.

Принятие гипотезы Ha при уровне значимости б = 0,05 означает, что выборочный коэффициент корреляции rв отличается от нуля с ошибкой 5%.

Найдем по таблицам квантилей распределения Стьюдента по наиболее употребляемому уровню значимости б = 0,05 и числу степеней свободы н = n - 2 квантиль t(0,95; 98) = 1,984 (Приложение Б).

Так как |tнабл| = 11,14337 > 1,984, то нулевая гипотеза отвергается и коэффициент корреляции можно считать существенным, а связь между случайными величинами достоверной, т. е. выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Это означает, что между СВ Х и СВ У существует корреляционная зависимость.

г) Построим корреляционное поле. Изобразим результаты измерений (xi; yi) в виде точек в декартовой системе координат (рис. 4).

Рис. 4 - Корреляционное поле и линии регрессии

По виду корреляционного поля видно, что имеется прямолинейная регрессионная зависимость.

д) Найдем выборочное уравнение регрессии У на Х:

 = 57,83 +0,7476 · · (х - 21,24) = 10,0178 х - 154,9489.

Выборочное уравнение регрессии Х на У таково:

= 21,24 +0,7476 · · (у - 57,83) = 0,0558 у + 18,0136.

Контроль вычислений 0,0558 · 10,0178 = 0,559 = 0,74762 = 0,559 = rв2.

Графики найденных выборочных функций регрессии нанесены на рис. 4.

Размещено на Allbest.ru