Размещено на http://www.allbest.ru/

По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1)

Таблица 1

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб., y	Денежные доходы на душу населения, тыс.руб., x
Восточно-Сибирский
Респ. Бурятия	408	524
Респ. Тыва	249	371
Респ. Хакасия	253	453
Красноярский край	580	1006
Иркутская обл.	651	997
Усть-Ордынский Бурятский АО	139	217
Читинская обл.	322	486
Дальневосточный
Респ. Саха (Якутия)	899	1989
Еврейская авт. Обл.	330	595
Чукотский АО	446	1550
Приморский край	642	937
Хабаровский край	542	761
Амурская обл.	504	767
Камчатская обл.	861	1720
Магаданская обл.	707	1735
Сахалинская обл.	557	1052

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в п.п. 4,5 и данном пункте выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте ожидаемое значение результата, если значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение

1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи

корреляция регрессия аппроксимация

Рис. 1. Поле корреляции

По рис.1 видно, что связь не является линейной. Выясним форму связи между признаками.

1. Рассчитаем параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии

Для нахождения параметров уравнений регрессии применим метод наименьших квадратов:

Линейная модель парной регрессии имеет вид:

Для удобства дальнейших вычислений составим вспомогательную таблицу.

Таблица 2

№ п/п	X	Y	X2	Y2	XY				, %
1	2	3	3	5	6	7	8	9	10
1	408	524	166464	274576	213792	735,884	-211,884	44894,833	40,436
2	249	371	62001	137641	92379	391,229	-20,229	409,214	5,453
3	253	453	64009	205209	114609	399,900	53,100	2819,653	11,722
4	580	1006	336400	1012036	583480	1108,718	-102,718	10551,055	10,211
5	651	997	423801	994009	649047	1262,621	-265,621	70554,445	26,642
6	139	217	19321	47089	30163	152,788	64,212	4123,120	29,591
7	322	486	103684	236196	156492	549,467	-63,467	4028,041	13,059
8	899	1989	808201	3956121	1788111	1800,196	188,804	35646,976	9,492
9	330	595	108900	354025	196350	566,808	28,192	794,790	4,738
10	446	1550	198916	2402500	691300	818,254	731,746	535451,649	47,209
11	642	937	412164	877969	601554	1243,112	-306,112	93704,614	32,669
12	542	761	293764	579121	412462	1026,348	-265,348	70409,537	34,868
13	504	767	254016	588289	386568	943,978	-176,978	31321,065	23,074
14	861	1720	741321	2958400	1480920	1717,826	2,174	4,728	0,126
15	707	1735	499849	3010225	1226645	1384,009	350,991	123194,833	20,230
16	557	1052	310249	1106704	585964	1058,863	-6,863	47,095	0,652
сумма	8090	15160	4803060	18740110	9209836	15160,000	0,000	1027955,65	310,17
среднее	505,63	947,5	300191	1171257	575615	-	-	64247,23	19,39
	44534,6	273501
	211,032	522,973

Используя полученные данные табл. 2 составим следующую систему уравнений:

Решая систему получим: ;

Тогда уравнение регрессии имеет вид: .

Вывод: С увеличением денежных доходов на душу населения на 1 тыс.руб. потребительские расходы на душу населения увеличивается на 2168 руб.

Степенная модель:

приводится к линейному виду логарифмированием:

;

;

,

где . Т.е. МНК применяется для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Вспомогательная таблица (табл.3) имеет вид:

Таблица 3

№ п/п	X	Y	X2	Y2	XY				, %
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	6,01	6,26	36,14	39,21	37,64	6,56	-0,30	0,0905	4,80
2	5,52	5,92	30,44	35,00	32,64	6,00	-0,08	0,0071	1,42
3	5,53	6,12	30,62	37,40	33,84	6,02	0,10	0,0095	1,59
4	6,36	6,91	40,49	47,80	43,99	6,96	-0,05	0,0024	0,70
5	6,48	6,90	41,97	47,68	44,73	7,09	-0,19	0,0358	2,74
6	4,93	5,38	24,35	28,94	26,55	5,34	0,04	0,0018	0,80
7	5,77	6,19	33,35	38,27	35,72	6,29	-0,11	0,0114	1,72
8	6,80	7,60	46,26	57,69	51,66	7,46	0,13	0,0180	1,77
9	5,80	6,39	33,63	40,81	37,05	6,32	0,07	0,0046	1,06
10	6,10	7,35	37,21	53,96	44,81	6,66	0,68	0,4657	9,29
11	6,46	6,84	41,79	46,82	44,24	7,08	-0,24	0,0554	3,44
12	6,30	6,63	39,63	44,02	41,77	6,89	-0,25	0,0629	3,78
13	6,22	6,64	38,72	44,12	41,33	6,80	-0,16	0,0257	2,41
14	6,76	7,45	45,67	55,50	50,35	7,41	0,04	0,0015	0,51
15	6,56	7,46	43,05	55,63	48,94	7,19	0,27	0,0734	3,63
16	6,32	6,96	39,97	48,42	44,00	6,92	0,04	0,0018	0,60
сумма	97,94	107,00	603,29	721,29	659,25	107,00	0,00	0,87	40,28
среднее	6,12	6,69	37,71	45,08	41,20	6,69		0,05	2,52
	0,24	0,36
	0,49	0,60

Используя полученные данные табл. 3 составим следующую систему уравнений:

Решая систему получим: ;

Тогда уравнение регрессии имеет вид: .

После потенцирования находим искомое уравнение регрессии:

Экспоненциальная модель

Прологарифмируем обе части уравнения

где

Вспомогательная таблица (табл.4) имеет вид:

Таблица 4

№ п/п	X	Y	X2	Y2	XY				, %
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	408	6,261	166464	39,2063	2554,69	6,436	-0,174	0,030	2,787
2	249	5,916	62001	35,0014	1473,13	6,027	-0,111	0,012	1,869
3	253	6,116	64009	37,4041	1547,32	6,037	0,079	0,006	1,289
4	580	6,914	336400	47,7998	4009,97	6,879	0,035	0,001	0,508
5	651	6,905	423801	47,6756	4494,99	7,061	-0,157	0,025	2,267
6	139	5,380	19321	28,9433	747,806	5,744	-0,364	0,132	6,763
7	322	6,186	103684	38,2692	1991,96	6,215	-0,028	0,001	0,460
8	899	7,595	808201	57,6899	6828,25	7,700	-0,104	0,011	1,371
9	330	6,389	108900	40,8137	2108,23	6,235	0,153	0,024	2,400
10	446	7,346	198916	53,9639	3276,32	6,534	0,812	0,660	11,057
11	642	6,843	412164	46,8223	4393	7,038	-0,195	0,038	2,857
12	542	6,635	293764	44,0184	3595,97	6,781	-0,146	0,021	2,203
13	504	6,642	254016	44,1226	3347,81	6,683	-0,041	0,002	0,610
14	861	7,450	741321	55,5037	6414,52	7,602	-0,152	0,023	2,036
15	707	7,459	499849	55,6331	5273,35	7,205	0,253	0,064	3,396
16	557	6,958	310249	48,42	3875,86	6,819	0,139	0,019	1,998
сумма	8090	106,9952	4803060	721,287	55933,2	106,995	0,000	1,070	43,871
среднее	505,625	6,6872	300191,25	45,0805	3495,82			0,067	2,742
	44534,6	0,3618
	211,032	0,6015

Используя полученные данные табл. 4 составим следующую систему уравнений:



Решая систему получим: ;

Тогда уравнение регрессии имеет вид: .

Полулогарифмическая модель:

Сделаем замену:

Тогда уравнение регрессии примет вид:

Вспомогательная таблица (табл.5) имеет вид:

Таблица 5

№ п/п	X	Y	X2	Y2	XY				, %
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	6,011	524	36,135	274576	3149,904	850,480	-326,480	106589,068	62,305
2	5,517	371	30,442	137641	2046,975	414,244	-43,244	1870,056	11,656
3	5,533	453	30,618	205209	2506,625	428,323	24,677	608,977	5,448
4	6,363	1006	40,488	1012036	6401,206	1161,226	-155,226	24094,960	15,430
5	6,479	997	41,971	994009	6459,074	1263,242	-266,242	70884,770	26,704
6	4,934	217	24,349	47089	1070,781	-100,760	317,760	100971,185	146,433
7	5,775	486	33,345	236196	2806,432	641,365	-155,365	24138,333	31,968
8	6,801	1989	46,257	3956121	13527,75	1548,380	440,620	194145,947	22,153
9	5,799	595	33,629	354025	3450,460	663,045	-68,045	4630,093	11,436
10	6,100	1550	37,214	2402500	9455,494	929,148	620,852	385456,985	40,055
11	6,465	937	41,791	877969	6057,319	1250,944	-313,944	98560,724	33,505
12	6,295	761	39,630	579121	4790,697	1101,364	-340,364	115847,962	44,726
13	6,223	767	38,720	588289	4772,716	1037,150	-270,150	72981,198	35,222
14	6,758	1720	45,672	2958400	11623,92	1510,227	209,773	44004,593	12,196
15	6,561	1735	43,047	3010225	11383,39	1336,141	398,859	159088,475	22,989
16	6,323	1052	39,975	1106704	6651,339	1125,481	-73,481	5399,400	6,985
сумма	97,937	15160	603,286	1874011	96154,09	15160,000	0,000	1409272,73	529,211
среднее	6,121	947,5	37,7053	1171256	6009,630	-	-	88079,545	33,076
	0,238	273501	-	-	-	-	-	-	-
	0,487	522,973	-	-	-	-	-	-	-

Используя полученные данные табл. 5 составим следующую систему уравнений:

Решая систему получим: ;

Тогда уравнение регрессии имеет вид: .

или

Обратная модель:

Выполним преобразования:



Замена: . В результате получим:

Вспомогательная таблица (табл.6) имеет вид:

Таблица 6

№ п/п	X	Y	X2	Y2	XY				, %
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	408	0,00191	166464	0,000003	0,77863	0,0019	0,0000110	0,0000000	0,578
2	249	0,00270	62001	0,000007	0,67116	0,0025	0,000160	0,0000000	5,961
3	253	0,00221	64009	0,000004	0,5585	0,0025	-0,0003112	0,0000001	14,098
4	580	0,00099	336400	0,000000	0,57654	0,0012	-0,00021384	0,0000000	21,512
5	651	0,00100	423801	0,000001	0,65296	0,0009	0,00007976	0,0000000	7,952
6	139	0,00461	19321	0,000021	0,64055	0,0030	0,00163259	0,0000026	35,427
7	322	0,00206	103684	0,000004	0,66255	0,0022	-0,00018450	0,0000000	8,967
8	899	0,00050	808201	0,000000	0,45199	-0,0001	0,00057367	0,0000003	114,103
9	330	0,00168	108900	0,000002	0,55462	0,0022	-0,00052937	0,0000002	31,498
10	446	0,00065	198916	0,000000	0,28774	0,0017	-0,00109988	0,0000121	170,481
11	642	0,00107	412164	0,000001	0,68517	0,0010	0,00010790	0,0000000	10,111
12	542	0,00131	293764	0,000001	0,71222	0,0014	-0,00004614	0,0000000	3,511
13	504	0,00130	254016	0,000001	0,65711	0,0015	-0,0002087	0,0000000	16,011
14	861	0,00058	741321	0,000000	0,50058	0,0001	0,0004999	0,0000002	85,995
15	707	0,00058	499849	0,000000	0,40749	0,0007	-0,0001224	0,0000000	21,236
16	557	0,00095	310249	0,000000	0,52947	0,0013	-0,0003495	0,0000001	36,767
сумма	8090,0	0,0241	4803060	0,000052	9,32727	0,024	0,0000000	0,0000051	584,20
среднее	505,6	0,0015	300191,	0,000003	0,58295			0,0000003	36,513
	44534,6	0,0000010
	211,0	0,0010

Используя полученные данные табл. 6 составим следующую систему уравнений:

Решая систему получим: ;

Тогда уравнение регрессии имеет вид: .

Гиперболическая парная регрессия

Замена: . В результате получим:

Вспомогательная таблица (табл.7) имеет вид:

Таблица 7

№ п/п	X	Y	X2	Y2	XY				, %
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,0025	524	6,0073E-06	274576	1,28431	961,639	-437,639	191527,888	83,519
2	0,0040	371	1,6129E-05	137641	1,48996	571,180	-200,180	40072,208	53,957
3	0,0040	453	1,5623E-05	205209	1,79051	587,021	-134,021	17961,696	29,585
4	0,0017	1006	2,9727E-06	1012036	1,73448	1142,972	-136,972	18761,415	13,616
5	0,0015	997	2,3596E-06	994009	1,53149	1189,885	-192,885	37204,473	19,347
6	0,0072	217	5,1757E-05	47089	1,56115	-221,715	438,715	192470,761	202,173
7	0,0031	486	9,6447E-06	236196	1,50932	798,326	-312,326	97547,764	64,265
8	0,0011	1989	1,2373E-06	3956121	2,21246	1295,602	693,398	480800,146	34,862
9	0,0030	595	9,1827E-06	354025	1,80303	817,109	-222,109	49332,431	37,329
10	0,0022	1550	5,0272E-06	2402500	3,47534	1013,738	536,262	287577,389	34,598
11	0,0016	937	2,4262E-06	877969	1,4595	1184,512	-247,512	61262,322	26,415
12	0,0018	761	3,4041E-06	579121	1,40406	1112,815	-351,815	123773,746	46,231
13	0,0020	767	3,9368E-06	588289	1,52183	1078,110	-311,110	96789,437	40,562
14	0,0012	1720	1,3489E-06	2958400	1,99768	1283,355	436,645	190659,151	25,386
15	0,0014	1735	2,0006E-06	3010225	2,45403	1220,239	514,761	264978,639	29,669
16	0,0018	1052	3,2232E-06	1106704	1,88869	1125,211	-73,211	5359,809	6,959
сумма	0,0401	15160	0,0001	1874011	29,1178	15160	0,0000	2156079,28	748,472
среднее	0,0025	947,5	8,5175E-06	1171256	1,81986			134754,955	46,779
	0,000002229	273500,6
	0,0015	522,973

Используя полученные данные табл. 7 составим следующую систему уравнений:

Решая систему получим: ;

Тогда уравнение регрессии имеет вид:

или после обратной замены получим:

2. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации

Линейное уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи - линейным коэффициентом корреляции :

где - ковариация признаков и , - дисперсия признака

и , , ,

Тогда

Значение коэффициента корреляции указывает на тесную линейную связь между признаками.

Коэффициент детерминации показывает, что уравнением регрессии объясняется 76,51% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 23,49%.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

,

где - общая дисперсия результативного признака , - остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

,

т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии;

.

Степенная модель.

Индекс корреляции равен:

Значение индекса корреляции указывает на тесную линейную связь между признаками.

Индекс детерминации показывает, что уравнением регрессии объясняется 85,02% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 14,98%.

Экспоненциальная модель.

Индекс корреляции равен:

Значение индекса корреляции указывает на заметную связь между признаками.

Индекс детерминации показывает, что уравнением регрессии объясняется 81,52% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 18,48%.

Полулогарифмическая модель.

Индекс корреляции равен:

Значение индекса корреляции указывает на тесную линейную связь между признаками.

Индекс детерминации показывает, что уравнением регрессии объясняется 67,8% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 32,2%.

Обратная модель.

Индекс корреляции равен:

Значение индекса корреляции указывает на обратную, заметную связь между признаками.

Индекс детерминации показывает, что уравнением регрессии объясняется 69,03% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 30,97%.

Гиперболическая парная регрессия

Индекс корреляции равен:

Значение индекса корреляции указывает на обратную, линейную связь между признаками.

Индекс детерминации показывает, что уравнением регрессии объясняется 67,8% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 32,2%.

3. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности дадим сравнительную оценку силы связи фактора с результатом

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

Средний коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

.

Приведем расчеты средних коэффициентов эластичности в табл.8:

Таблица 8

Вид функции,	Формула,	Значение среднего коэффициента эластичности, ,%
1	2	3
		1,138

4. Оценим качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации находится по формуле:

Для линейной модели парной регрессии из табл. 2 (графа 10) , что свидетельствует о плохом качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о плохом подборе модели к исходным данным.

Для степенной модели парной регрессии из табл. 3 (графа 10) , что свидетельствует о хорошем качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

Для экспоненциальной модели парной регрессии из табл. 4 (графа 10) , что свидетельствует о хорошем качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

Для полулогарифмической модели парной регрессии из табл. 5 (графа 10) , что свидетельствует о плохом качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о плохом подборе модели к исходным данным.

Для обратной модели парной регрессии из табл. 6 (графа 10) , что свидетельствует о плохом качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о плохом подборе модели к исходным данным.

Для гиперболической модели парной регрессии из табл. 7 (графа 10) , что свидетельствует о плохом качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о плохом подборе модели к исходным данным.

5. Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F - критерия Фишера.

Фактическое значение - критерия можно найти по формуле:

Фактическое значение - критерия сравнивается с табличным. Табличное значение - критерия (,, ): .

Линейная модель:

Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Степенная модель:

Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Экспоненциальная модель:

Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Полулогарифмическая модель:

Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Обратная модель:

Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Гиперболическая модель парной регрессии

Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

По значениям характеристик, рассчитанных в п.п. 4, 5 и данном пункте выберем лучшее уравнение регрессии и дадим его обоснование.

Все полученные результаты представим в табл. 8

Таблица 8

Уравнение регрессии	Коэффициент эластичности	Средняя ошибка аппроксимации	Критерий Фишера
Линейная	1,157	19,386	45,6
Степенная	1,138	2,52	79,44
Экспоненциальная		2,742	61,76
Полулогарифмическая	0,849	33,076	29,47
Обратная	1,346	36,513	31,202
Гиперболическая	0,239	46,779	14,41

Из табл. 8 видно, что лучше аппроксимирует исходные данные уравнение регрессии степенной модели.

6. Рассчитаем ожидаемое значение результата, если значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня

Тогда по уравнению регрессии степенной модели ожидаемое значение результата составит:

Значит, если доходы на душу населения составят 530,91 тыс. руб., то расходы на душу населения будут равны 929,6 тыс. руб.

Найдем доверительный интервал прогноза.

Ошибка прогноза составляет:

а доверительный интервал ():

Т.е. прогноз является статистически надежным.

Выводы: наиболее хорошо аппроксимирует исходные данные степенная модель парной регрессии, которая описывает исходные данные уравнением:

Размещено на Allbest.ru