Экономическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям оптовой торговли об объеме реализации Y относительно размера торговой площади X:

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	700	750	800	830	850	900	920	950	980	890
Y	6350	7800	7600	8600	8600	9200	9000	9100	9950	9000

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок теоретических коэффициентов при уровне значимости 0,05.

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте объем реализации при размере торговой площади X=1000 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания .

5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов реализации при торговой площади X=1000.

6. Оцените на сколько единиц изменится объем реализации, если площадь вырастет на 100.

7. Рассчитайте коэффициент детерминации .

8. Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Решение

1. Оценим коэффициенты линейной регрессии по методу наименьших квадратов.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Параметры найдем из системы нормальных уравнений:

,

,

Необходимые расчеты выполним в таблице 1.

Таблица 1

Предприятие
1	700	6350	490000	40322500	4445000	6806,99	208840
2	750	7800	562500	60840000	5850000	7352,53	200225
3	800	7600	640000	57760000	6080000	7898,08	88851,3
4	830	8600	688900	73960000	7138000	8225,41	140321
5	850	8600	722500	73960000	7310000	8443,62	24453,5
6	900	9200	810000	84640000	8280000	8989,17	44450
7	920	9000	846400	81000000	8280000	9207,39	43008,9
8	950	9100	902500	82810000	8645000	9534,71	188975
9	980	9950	960400	99002500	9751000	9862,04	7737,09
10	890	9000	792100	81000000	8010000	8880,06	14385,8
сумма	8570	85200	7415300	735295000	73789000	85200	961248
среднее	857	8520	741530	73529500	7378900	х	х

;

.

Тогда уравнение регрессии имеет вид:

.

Из полученного уравнения регрессии следует, что при увеличении торговой площади X на 1 кв.м. объем реализации Y увеличивается на 10,91 у.е.

2. Проверим статистическую значимость оценок теоретических коэффициентов при уровне значимости 0,05

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента. Выдвигаем гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии показателей от нуля: b0 = b1 = 0.

tтабл для числа степеней свободы df = n - 2 = 10 - 2 = 8 и = 0,05 составит:

tтабл = 2,306.

Определим случайные ошибки:

,

;

.

.

.

;

.

Так как tтабл, то гипотеза Н0 отклоняется, то есть параметр b1 не случайно отклоняются от нуля, а статистически значим. Так как < tтабл параметр b0 статистически незначим.

3. Рассчитаем 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы:

;

;

.

;

;

.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью p = 1 - = 0,95 параметр b1, находясь в указанных границах, не принимает нулевых значений, то есть является статистически значимым, параметр b0 принимает нулевые значения, то есть является статистически незначимым.

4. Спрогнозируем объем реализации при размере торговой площади X=1000.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

При размере торговой площади X=1000 объем реализации составит:

у.е.

Для построения доверительного интервала для необходимо найти дисперсию его оценки, то есть .

Выборочная остаточная дисперсия:

;

;

у.е.

Из приложения находим .

;

;

;

Итак, средний объем реализации при торговой площади X = 1000 кв.м. с надежностью 0,95 находится в пределах от 9580,98 до 10579,53 у.е.

5. Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов реализации при торговой площади X=1000

Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения , необходимо найти дисперсию его оценки по формуле:

;

у.е.

;

;

.

Таким образом, возможные значения среднего объема реализации Y при доходе X = 1000 кв.м. с надежностью 0,95 находятся в пределах от 9136,625 до 11023,89 у.е.

6. Оценим на сколько единиц изменится объем реализации, если площадь вырастет на 100

(кв.м.) - средняя площадь 10 предприятий.

(у.е.) - объем реализации при X = 857 кв.м.

(кв.м.)

(у.е.);

.

Следовательно, если площадь вырастет на 100 кв.м., то объем реализации увеличится на 1091,09 у.е.

7. Рассчитаем коэффициент детерминации . Вначале вычислим коэффициент корреляции:

.

Выборочные средние квадратические отклонения:

;

.

,

то есть связь между переменными X и Y очень тесная и прямая (с увеличением площади объем реализации увеличивается).

В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции:

.

Это означает, что вариация зависимой переменной Y - объем реализации - на 89,8 % объясняется вариацией переменной X - площадь.

8. Рассчитаем F-статистику для коэффициента детерминации.

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполним сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.

.

Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости .

При = 0,05 и числе степеней свободы k = n - 2 = 8:

Fтабл = 5,32.

Так как Fфакт Fтабл, то Н0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Задача 2

Имеются данные о динамике оборота розничной торговли и потребительских цен региона за два года. Используя метод Ш. Алмон, оцените параметры модели с распределенным лагом. Длину лага выберите не более 4, степень аппроксимирующего полинома - не более 3. Оцените качество построенной модели.

Месяц	Оборот розничной торговли, % к предыдущему месяцу	Индекс потребительских цен, % к предыдущему месяцу
Январь	70,8	101,7
Февраль	98,7	101,1
Март	97,9	100,4
Апрель	99,6	100,1
Май	96,1	100
Июнь	103,4	100,1
Июль	95,5	100
Август	102,9	105,8
Сентябрь	77,6	145
Октябрь	102,3	99,8
Ноябрь	102,9	102,7
Декабрь	123,1	109,4
Январь	74,3	110
Февраль	92,9	106,4
Март	106	103,2
Апрель	99,8	103,2
Май	105,2	102,9
Июнь	99,7	100,8
Июль	99,7	101,6
Август	107,9	101,5
Сентябрь	98,8	101,4
Октябрь	104,6	101,7
Ноябрь	106,4	101,7
Декабрь	122,7	101,2

Решение

Длину лага выберем равную 3 в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени, т.е.

Тогда модель примет вид:

Для оценки параметров построим вспомогательную таблицу:

Таблица

Месяц	Оборот розничной торговли, % к предыдущему месяцу, y	Индекс потребительских цен, % к предыдущему месяцу, x	z0	z1	z2	z0^2	z1^2	z2^2	z0z1	z1z2	z0z2	yz0	yz1	yz2
Январь	70,8	101,7	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Февраль	98,7	101,1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Март	97,9	100,4	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Апрель	99,6	100,1	403,3	607,7	1420,1	162650,89	369299,29	2016684,01	245085,41	862994,77	572726,33	40168,68	60526,92	141441,96
Май	96,1	100	401,6	604,2	1411,6	161282,56	365057,64	1992614,56	242646,72	852888,72	566898,56	38593,76	58063,62	135654,76
Июнь	103,4	100,1	400,6	601,4	1404	160480,36	361681,96	1971216	240920,84	844365,6	562442,4	41422,04	62184,76	145173,6
Июль	95,5	100	400,2	600,4	1401	160160,04	360480,16	1962801	240280,08	841160,4	560680,2	38219,1	57338,2	133795,5
Август	102,9	105,8	405,9	600,2	1400,4	164754,81	360240,04	1961120,16	243621,18	840520,08	568422,36	41767,11	61760,58	144101,16
Сентябрь	77,6	145	450,9	606,1	1406,7	203310,81	367357,21	1978804,89	273290,49	852600,87	634281,03	34989,84	47033,36	109159,92
Октябрь	102,3	99,8	450,6	656,6	1468,2	203040,36	431123,56	2155611,24	295863,96	964020,12	661570,92	46096,38	67170,18	150196,86
Ноябрь	102,9	102,7	453,3	707,2	1632	205480,89	500131,84	2663424	320573,76	1154150,4	739785,6	46644,57	72770,88	167932,8
Декабрь	123,1	109,4	456,9	737,3	1806,9	208757,61	543611,29	3264887,61	336872,37	1332227,37	825572,61	56244,39	90761,63	222429,39
Январь	74,3	110	421,9	614,2	1418,4	177999,61	377241,64	2011858,56	259130,98	871181,28	598422,96	31347,17	45635,06	105387,12
Февраль	92,9	106,4	428,5	636,9	1471,9	183612,25	405641,61	2166489,61	272911,65	937453,11	630709,15	39807,65	59168,01	136739,51
Март	106	103,2	429	654,6	1531	184041	428501,16	2343961	280823,4	1002192,6	656799	45474	69387,6	162286
Апрель	99,8	103,2	422,8	646	1518,8	178759,84	417316	2306753,44	273128,8	981144,8	642148,64	42195,44	64470,8	151576,24
Май	105,2	102,9	415,7	628,8	1473,6	172806,49	395389,44	2171496,96	261392,16	926599,68	612575,52	43731,64	66149,76	155022,72
Июнь	99,7	100,8	410,1	618,9	1444,5	168182,01	383037,21	2086580,25	253810,89	894001,05	592389,45	40886,97	61704,33	144016,65
Июль	99,7	101,6	408,5	616,2	1441,2	166872,25	379702,44	2077057,44	251717,7	888067,44	588730,2	40727,45	61435,14	143687,64
Август	107,9	101,5	406,8	611,9	1430,9	165486,24	374421,61	2047474,81	248920,92	875567,71	582090,12	43893,72	66024,01	154394,11
Сентябрь	98,8	101,4	405,3	607,1	1415,1	164268,09	368570,41	2002508,01	246057,63	859107,21	573540,03	40043,64	59981,48	139811,88
Октябрь	104,6	101,7	406,2	609,2	1421,8	164998,44	371124,64	2021515,24	247457,04	866160,56	577535,16	42488,52	63722,32	148720,28
Ноябрь	106,4	101,7	406,3	609	1420,8	165079,69	370881	2018672,64	247436,7	865267,2	577271,04	43230,32	64797,6	151173,12
Декабрь	122,7	101,2	406	609,3	1421,1	164836	371246,49	2019525,21	247375,8	865876,23	576966,6	49816,2	74761,11	174368,97
Сумма	2388,8	2501,7	8790	13183,2	30760	3686860,24	8302056,64	45241056,64	5529318,48	19377547,2	12901557,88	887788,59	1334847,35	3117070,19

Тогда система уравнений по методу наименьших квадратов имеет вид:

В результате получим эмпирическое уравнение регрессии:

Следовательно,

Рассчитаем коэффициенты регрессии исходной модели:

Возвращаясь к исходным переменным, получим модель с распределенным лагом:

Анализ этой модели показывает, что при увеличении индекса потребительских цен на 1% в текущем периоде приведет через 3 месяца к увеличению объема розничной торговли в среднем на 0,08 %.

Оценим качество построенной модели. Для этого найдем коэффициент детерминации по формуле:

означает, что фактором индекса потребительских цен можно объяснить 46,7 % изменения объема розничной торговли.

Задача 3

(1) - теоретическое уравнение регрессии,

(2) - эмпирическое уравнение регрессии.

Какое из уравнений и почему лучше описывает выборочные данные?

Решение

Для определения значений теоретических коэффициентов, входящих в уравнения регрессии, необходимо знать и использовать все значения переменных генеральной совокупности, что практически невозможно. В связи с этим по выборке ограниченного объема строится так называемое выборочное (эмпирическое) уравнение регрессии. В силу несовпадения статистической базы для генеральной совокупности и выборки оценки коэффициентов, входящих в уравнение регрессии, практически всегда отличаются от истинных (теоретических) значений, что приводит к несовпадению эмпирической и теоретической линий регрессии. Различные выборки из одной и той же генеральной совокупности обычно приводят к отличающимся друг от друга оценкам. Задача состоит в том, чтобы по конкретной выборке найти оценки неизвестных параметров так, чтобы построенная линия регрессии являлась бы наилучшей, среди всех других линий.

Данное соотношение называется теоретической линейной регрессионной моделью; коэффициенты - теоретическими параметрами регрессии; - случайным отклонением.

По выборке ограниченного объема строится выборочное (эмпирическое) уравнение регрессии:



где - оценки неизвестных параметров, называемые выборочными (эмпирическими) коэффициентами регрессии, - оценка условного математического ожидания . Справедлива формула:

где отклонение - оценка теоретического отклонения .

Возможное соотношение между теоретическим и эмпирическим уравнениями регрессии схематично изображено на рис.

Рис. Возможное соотношение между теоретическим и эмпирическим уравнениями регрессии

Построенная прямая выборочной регрессии должна наилучшим образом описывать эмпирические данные, т.е. коэффициенты должны быть такими, чтобы случайные отклонения были минимальны.

Поэтому эмпирическое уравнение регрессии лучше описывает выборочные данные.

Задача 4

Если построить модель , где - прибыль, - доход, - затраты, то каким будет коэффициент детерминации?

Решение

При увеличении дохода на 1 ед. прибыль увеличивается (не учитывая влияние других факторов), следовательно, коэффициент , а при увеличении затрат на 1 ед. прибыль уменьшается (не учитывая влияние других факторов) и следовательно, коэффициент . Но это никак не влияет на коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации выражается формулой:

линейная регрессия

Множественный коэффициент детерминации характеризует, какая доля вариации (изменения) результирующего признака y определяется совместным изменением независимых факторов .

Значение принадлежит отрезку [0;1]. Таким образом, коэффициент детерминации и для модели , где - прибыль, - доход, - затраты будет находиться в пределах .

Размещено на Allbest.ru