Формирование массива значений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Используя базу данных официального сайта www.gks.ru , сформировать массив значений признака Y согласно выбранному варианту по всем субъектам РФ за последний опубликованный год. Оценить однородность совокупности с помощью коэффициента вариации и произвести проверку на нормальность распределения с помощью правила «трёх сигм». В случае наличия резко выделяющихся значений, исключить эти субъекты из массива для проведения более объективного дальнейшего исследования.

Построить ряд распределения по сформированному массиву значений признака Y, рассчитав число групп по формуле Стерджесса.

Для построенного ряда определить показатели центра распределения, показатели вариации, дифференциации, формы распределения. Дать графическое определение Моды и Медианы.

В соответствии с распределением субъектов РФ по федеральным округам (Центральный, Северо-Западный, Приволжский и т.д.,) построить аналитическую группировку (факторный признак - федеральный округ, результативный признак - Y). По результатам группировки выполнить анализ по следующим направлениям:

сравнить средние значения признака Y в отдельных федеральных округах со средним значением по РФ в целом;

сравнить федеральные округа друг с другом по степени однородности распределения исследуемого признака Y.

Сформулировать вывод о различиях в социально-экономическом положении регионов России по исследуемому признаку Y

Используя правило сложения дисперсий применительно к данным, полученным в п. 4, определить долю вариации признака Y, обусловленную территориальным фактором.

Измерить тесноту связи между факторами с помощью эмпирического корреляционного отношения.

По материалам сайта www.gks.ru составим таблицу исходных данных -- среднедушевые денежные доходы населения в месяц в 2010 г. (тыс. руб. в ценах 1995 г.) по субъектам Российской Федерации (Таблица 1).

Таблица 1.



Из таблицы исходных данных построим ранжированный ряд в порядке возрастания значений признака Y. При построении используем только показатели субъектов РФ без деления на федеральные округа и исключив, для удобства, строки “в том числе...” и строки без значений (Таблица 2).

Таблица 2.



Оценим однородность совокупности с помощью коэффициента вариации.

Расчет коэффициента вариации выполним по формуле:

вариация мода медиана распределение

V_? = ?/?_x,

? = v(y_i -- ?_x)²/n.

= 16184,04 тыс. руб.

Построим расчетную таблицу (Таблица 3):

Таблица 3.



Итак, ? = v38507705,56 = 6205,46

V_? = 6205,46 / 16184,04 = 0,3834 или 38,34% - считается, что если значение V_? превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку является неоднородной.

Произведем проверку на нормальность распределения с помощью правила «трёх сигм».

Для нормального закона выполняется правило «трёх сигм», по которому вариация индивидуальных значений признака находится в пределах от величины средней.

_x = 16184,04 тыс. руб.

16184,04 -- 6205,46*3 = -2432,33 тыс. руб.

16184,04 -- 6205,46*3 = 34800,41 тыс. руб.

Т.е. в случае нормального распределения все значения У должны находиться в пределах от -2432,33 до 34800,41 тыс. руб. В нашем случае, среднедушевые денежные доходы населения в Чукотском автономном округе и в г. Москва выше верхней границы указанного промежутка.

Таким образом, имеющеюся совокупность данных характеризуется ненормальным распределением. Исключим для проведения более объективного дальнейшего исследования из массива данных вышеназванные субъекты.

Построим ряд распределения по сформированному массиву значений признака Y, рассчитав число групп по формуле Стерджесса:

k = 1+ 3,32lgn,

где

k -- число интервалов,

n -- объем совокупности.

k = 1+3,32lg77 = 7,26

Таким образом, построим 7 групп.

Длина одного интервала

L = (y_max -- y_min)/ k = (31077,9 -- 1196,1)/7 = 4268,83 тыс. руб.

Результаты расчетов представлены в Таблице 4.

Таблица 4.

Для построенного ряда определим показатели центра распределения, показатели вариации, дифференциации, формы распределения.

Для удобства дальнейших вычислений составим расчетную таблицу (Таблица 5).

Таблица 5.

Показатели центра распределения:

х_ср = ?ху/?y -- показатель средней взвешенной.

х_ср = 1199860,71 / 77 = 15582,61

Если два соседних значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту и она больше частоты любого другого значения, то считают, что мода равняется среднему арифметическому этих значений, т.е.

М₀ = (11868,17 + 16137,00) / 2 = 14002,59 тыс. руб. - наиболее часто встречающееся значение ряда.

Медиану вычислим по формуле:

М_е = х₀ + h (?у_i/2 - S_m-1) / y_m ,

где

х₀ -- нижняя граница интервала, содержащего медиану

h -- величина интервала,

?y -- число членов ряда,

S_m-1 -- сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному,

y_m -- частота медианного интервала.

М_е = 14002,59 + 4268,83 (77/2 - 33) / 30 = 14785,20 тыс. руб. - 50% совокупности имеет значения у меньше 14785,20 тыс. руб., а половина -- больше.

Показатели вариации:

Размах вариации

R = у_max - у_min = 31077,9 -- 1196,1 = 29881,8 тыс. руб.

Среднее линейное отклонение

d = ?(x -- x_ср)y / ?y = 22509,29 / 77 = 292,33

Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 292,33 тыс.руб.

Дисперсия

D = ?(x -- x_ср)²y / ?y = 248264207 / 77 = 3224210,48

Среднее квадратическое отклонение

? = vD = v3224210,48 = 1795,61

Каждое значение ряда отличается от среднего значения не более, чем на 1795,61 тыс. руб.

Коэффициент вариации

V_? = 1795,61 / 15582,61 = 0,1152 или 11,52% - поскольку V_?<30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

Показатели дифференциации:

Квартили - это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1; 25% будут заключены между Q1 и Q2; 25% - между Q2 и Q3; остальные 25% превосходят Q3.

Q₁= х₀ + h (?у_i/4 - S_m-1) / y_m = 9733,76 + 4268,83 (77/4 - 3) / 30 = 12046,04 тыс. руб.

Таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине 12046,04 тыс. руб.

Q₂ совпадает с медианой, Q₂ = 14785,20 тыс. руб.

Q₃= 14002,59 + 4268,83 (77/4 - 33) / 30 = 15959,13 тыс. руб.

Остальные 25% превосходят 15959,13 тыс. руб.

Децили - это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 10% единиц совокупности будут меньше по величине D1; 80% будут заключены между D1 и D9; остальные 10% превосходят D9.

D₁= х₀ + h (?у_i/10 - S_m-1) / y_m = 9733,76 + 4268,83 (77/10 - 3) / 30 = 10402,54 тыс. руб.

Таким образом, что 10% единиц совокупности будут меньше по величине 10402,54 тыс. руб.

D₉= х₀ + h (9?у_i/10 - S_m-1) / y_m = 22540,24 + 4268,83 (9*77/10 - 68) / 5 = 23650,14 тыс. руб.

Остальные 10% превосходят 23650,14 тыс. руб.

Показатели формы распределения:

Коэффициент осцилляции

V_R = R / x_ср = 29881,8 / 15582,61 = 1,9176 или 191,76%

Относительное линейное отклонение

Kd = d / x_ср = 292,33 / 15582,61 = 0,0188 или 1,88%

Относительный показатель квартильной вариации

Kq = q₁ / q₂ = 12046,04 / 14785,20 = 0,8147 или 81,47%

Степень асимметрии

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Вычислим коэффициент асимметрии Пирсона:

Ка = (х_ср -- М0) / ? = (15582,61 - 14002,59) / 1795,61 = 0,8799

-- что свидетельствует о наличии правосторонней асимметрии.

Показатель эксцесса (островершинности)

Ех = (?(х-х_ср)⁴у / ?y) / ?⁴ -- 3 = (34013089187360800/77)/ 1795,61⁴ -- 3 = 39,49

-- имеем островершинное распределение, характеризующееся скоплением частот в середине.

Дадим графическое определение Моды и Медианы.

Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. В нашем случае имеем два таких прямоугольника с одинаковыми частотами. Нижняя общая вершина этих прямоугольников, лежащая на оси абсцисс и будет модой распределения (вернее значение абсциссы данной точки) (Рис. 1).

Рисунок 1.

Медиана рассчитывается по кумуляте (Рис. 2). Для её определения из точки на шкале накопленных частот (частностей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Рисунок 2.

Построим аналитическую группировку распределения субъектов РФ по федеральным округам по среднедушевому денежному доходу населения (Таблица 6), используя данные Таблицы 1.

Таблица 6.

Согласно таблице 6, четыре федеральных округа (Северо-Кавказский, Сибирский, Южный и Приволжский) имеют уровень среднедушевого денежного дохода населения ниже значения этого показателя по РФ в целом. Уровень среднедушевого денежного дохода населения в Северо-Западном, Дальневосточном, Уральском и Центральном федеральных округах превышает соответствующее значение по РФ в целом.

Причем, наивысшие среднедушевые денежные доходы населения в месяц зафиксированы в Центральном федеральном округе и составляют 24525,4 тыс. руб., а наименьшим показателем характеризуется Северо-Кавказский федеральный округ (13249,4 тыс. руб.).

Сравним федеральные округа друг с другом по степени однородности распределения исследуемого признака Y. Для этого рассчитаем коэффициент вариации.

Составим расчетную таблицу (Таблица 7):

Таблица 7.

Итак, ? = v14051503,617 = 3748,53

V_? = 3768,53 / 18191,34 = 0,2061 или 20,61% - совокупность однородна.

Таблица 6 построена на основе информации из таблицы исходных данных (Таблица 1). Приведенные в данной таблице значения средних показателей У отличны от рассчитанных нами, т.к. вероятно в таблице исходных данных приведена не вся информация, используемая для расчетов данных показателей. Поэтому для корректности, дальнейшие расчеты проведем ориентируясь на таблицу 8.

Таблица 8.

Правило сложения дисперсий:

?² = ?² + ?_ср²

?² = (х²)_ср - (х_ср)²

Вычислим дисперсию для каждой группы (используем данные из Таблицы 1):

1) у_ср1 = 12099,17 тыс. руб.

?₁² = ?(у - у_ср)² / n = 3577017,14

Таблица 9.

2) у_ср2 = 14158,72 тыс. руб.

?₂² = 43872113,23

Таблица 10.

3) у_ср3 = 13281,52 тыс. руб.

?₃² = 8238720,50

Таблица 11.

4) у_ср4 = 13574,13 тыс. руб.

?₄² = 21826545,07

Таблица 12.

5) у_ср5 = 18000,82 тыс. руб.

?₅² = 18225641,37

Таблица 13.

6) у_ср6 = 23902,38 тыс. руб.

?₆² = 52541534,19

Таблица 14.

7) у_ср7 = 20123,18 тыс. руб.

?₇² = 30252325,16

Таблица 15.

8) у_ср8 = 16149,47 тыс. руб.

?₈² = 50575293,48

Таблица 16.

Внутригрупповые дисперсии показывают вариации среднедушевого дохода в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами, кроме территориального.

Вычислим среднюю из внутригрупповых дисперсий:

?_ср² = ??²у/?у = (3577017,14*6 + 43872113,23*12 + 8238720,50*6 + 21826545,07*14 + 18225641,37*10 + 52541534,19*9 + 30252325,16*4 + 50575293,48*18)/79 = 26779840,76

Межгрупповая дисперсия

?² = ?(у_срi - у_ср)²у / ?у = ((12099,17 -16184,04)²*6 + (14158,72 - 16184,04)²*12 + (13281,52 - 16184,04)²*6 + (13574,13 - 16184,04)²*14 + (18000,82 - 16184,04)²*10 + (23902,38 - 16184,04)²*9 + (20123,18 - 16184,04 )²*4 + (16149,47 - 16184,04)²*18) /79 = 11727864,79

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию среднедушевого денежного дохода населения, вызванную различием групп по территориальным признакам.

Суммарное влияние всех возможных факторов на вариацию среднедушевого денежного дохода населения отражает общая дисперсия.

Общая дисперсия расчитана выше (Таблица 3):

?² =38507705,56

Согласно правилу сложения дисперсий:

?² = ?² + ?_ср² = 11727864,79 + 26779840,76 = 38507705,56

Для определения доли вариации признака Y, обусловленную территориальным фактором, вычислим имперический коэффициент детерминации:

?² = ?² / ?² = 11727864,79 / 38507705,56 = 0,3046 или 30,46%.

Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативными признаками. Рассчитывается как корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

? = v?² / ?² = v 0,3046 = 0,5519 или 55,19% - связь заметная.

Список литературы

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2007 г.

2. Ефимова М.Е., Петрова Е.В., Румянцев В.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2005 г.

3. Спирина А.А., Башина О.Э. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 2009 г.

4. Шмойлова Р.А. Теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2009 г.

5. Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. Статистика: Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 2007 г.

Размещено на Allbest.ru