Построение вариационного ряда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Выборка. Вариационный ряд. Оценка параметров по всей выборке

Рассматриваем случайную величину, определенную на некоторой генеральной совокупности, вид распределения которой неизвестен. По выборке из этой генеральной совокупности необходимо сделать заключение относительно свойств закона распределения этой случайной величины. В данной курсовой работе будут рассмотрены наиболее часто встречающиеся задачи математической статистики такие, как задача построения оценок параметров распределения, построения доверительных интервалов для этих параметров, проверка гипотезы о принадлежности распределения случайной величины к тому или иному классу и др.

Из некоторой генеральной совокупности произведена выборка объемом 100 элементов. Нас будет интересовать только один качественный признак элементов, попавших в выборку. Данные выборки представлены в табл. 1.

Табл. 1. Таблица нумерованных денормализованных чисел

№	xi	№	xi	№	xi	№	xi	№	xi
1	0,6651	21	1,8457	41	-0,4692	61	0,3336	81	0,0962
2	0,6580	22	-1,0784	42	1,0037	62	-1,7251	82	0,4900
3	-0,8756	23	0,6042	43	-0,3717	63	0,2155	83	-1,3309
4	-0,9608	24	-0,2606	44	-0,0846	64	-0,4276	84	-0,8346
5	-0,8011	25	-1,4051	45	2,7783	65	1,2564	85	1,4345
6	0,9035	26	1,5529	46	-0,0553	66	-1,3470	86	-0,0749
7	1,0438	27	0,4995	47	0,3645	67	-0,5551	87	-0,3202
8	0,0695	28	-0,1259	48	-0,0004	68	-1,5139	88	-0,9161
9	-1,0066	29	0,0601	49	-0,0029	69	0,5182	89	-0,4128
10	-0,7016	30	0,1875	50	-1,0033	70	1,2895	90	-1,3041
11	-0,0530	31	-0,2316	51	2,0325	71	-0,2736	91	-0,6175
12	0,2502	32	-0,4140	52	0,3678	72	0,2683	92	-2,1372
13	-0,1297	33	1,2534	53	-0,9871	73	-0,5026	93	0,9104
14	-0,3666	34	-0,4099	54	-1,5151	74	1,9664	94	-0,1616
15	0,1807	35	0,5031	55	1,0652	75	0,3214	95	0,0245
16	-1,6464	36	2,0602	56	0,8077	76	1,1852	96	0,9177
17	-0,0034	37	-1,7713	57	-0,5921	77	-0,2945	97	-1,1162
18	0,7800	38	0,4693	58	-0,5994	78	-0,6606	98	-1,2239
19	-0,2145	39	-0,3675	59	-0,4684	79	-0,2728	99	0,0088
20	1,8001	40	0,7668	60	-1,3123	80	0,0561	100	1,2809

а) Вариационный ряд. Вариационным рядом (упорядоченной выборкой) называют совокупность значений признака, записанных в порядке их возрастания, а сам признак называется вариантой (случайной величиной).

Вариационный ряд, построенный по данным табл. 1, приведен в табл. 2.

денормализованный вариационный дисперсия полигон

Табл. 2. Нумерованный вариационный ряд

№	xi	x2i	№	xi	x2i	№	xi	x2i	№	xi	x2i	№	xi	x2i
1	-2,1372	4,5676	21	-0,8346	0,6966	41	-0,2736	0,0749	61	0,0962	0,0093	81	0,8077	0,6524
2	-1,7713	3,1375	22	-0,8011	0,6418	42	-0,2728	0,0744	62	0,1807	0,0327	82	0,9035	0,8163
3	-1,7251	2,9760	23	-0,7016	0,4922	43	-0,2606	0,0679	63	0,1875	0,0352	83	0,9104	0,8288
4	-1,6464	2,7106	24	-0,6606	0,4364	44	-0,2316	0,0536	64	0,2155	0,0464	84	0,9177	0,8422
5	-1,5151	2,2955	25	-0,6175	0,3813	45	-0,2145	0,0460	65	0,2502	0,0626	85	1,0037	1,0074
6	-1,5139	2,2919	26	-0,5994	0,3593	46	-0,1616	0,0261	66	0,2683	0,0720	86	1,0438	1,0895
7	-1,4051	1,9743	27	-0,5921	0,3506	47	-0,1297	0,0168	67	0,3214	0,1033	87	1,0652	1,1347
8	-1,3470	1,8144	28	-0,5551	0,3081	48	-0,1259	0,0159	68	0,3336	0,1113	88	1,1852	1,4047
9	-1,3309	1,7713	29	-0,5026	0,2526	49	-0,0846	0,0072	69	0,3645	0,1329	89	1,2534	1,5710
10	-1,3123	1,7221	30	-0,4692	0,2201	50	-0,0749	0,0056	70	0,3678	0,1353	90	1,2564	1,5785
11	-1,3041	1,7007	31	-0,4684	0,2194	51	-0,0553	0,0031	71	0,4693	0,2202	91	1,2809	1,6407
12	-1,2239	1,4979	32	-0,4276	0,1828	52	-0,0530	0,0028	72	0,4900	0,2401	92	1,2895	1,6628
13	-1,1162	1,2459	33	-0,4140	0,1714	53	-0,0034	0,0000	73	0,4995	0,2495	93	1,4345	2,0578
14	-1,0784	1,1629	34	-0,4128	0,1704	54	-0,0029	0,0000	74	0,5031	0,2531	94	1,5529	2,4115
15	-1,0066	1,0132	35	-0,4099	0,1680	55	-0,0004	0,0000	75	0,5182	0,2685	95	1,8001	3,2404
16	-1,0033	1,0066	36	-0,3717	0,1382	56	0,0088	0,0001	76	0,6042	0,3651	96	1,8457	3,4066
17	-0,9871	0,9744	37	-0,3675	0,1351	57	0,0245	0,0006	77	0,6580	0,4330	97	1,9664	3,8667
18	-0,9608	0,9231	38	-0,3666	0,1344	58	0,0561	0,0031	78	0,6651	0,4424	98	2,0325	4,1311
19	-0,9161	0,8392	39	-0,3202	0,1025	59	0,0601	0,0036	79	0,7668	0,5880	99	2,0602	4,2444
20	-0,8756	0,7667	40	-0,2945	0,0867	60	0,0695	0,0048	80	0,7800	0,6084	100	2,7783	7,7190

б) Оценка параметров распределения по всей выборке. Оценка математического ожидания - среднее арифметическое - вычисляется по формуле:

= - 0,0116

Смещенную оценку дисперсии по всей выборке вычисляем по сокращенной формуле:

1/100*92,1485=0,9214

=0,9599

Несмещенную оценку дисперсии вычисляют то формуле:

100*0,9214/99=0,9308

0,9648

Оценка медианы - значение варианты, которое делит вариационный ряд на две равные по числу членов части. При четном числе членов (n=2k) в качестве медианы принимают:

В нашем случае:

-0,0651

в) Размах варьирования. Размахом варьирования R (широтой распределения) называют разность между наибольшим и наименьшим значениями варианты:

2,7783+2,1372=4,9155

2. Группирование, графики статистических распределений

При большом объеме выборки для удобства вычислений прибегают к группированию данных в интервалы. Число таких интервалов при объеме выборки, превышающем 100 - 300 элементов, рекомендуется брать в пределах от 10 до 20. Возьмем число интервалов l=12. Тогда ширина интервала (шаг разбиения) будет равна:

=4,9155/12=0,4096

Таблица подсчета. Таблицу подсчета частот и частотностей по интервалам вариационного ряда удобно представить в виде табл. 3

Табл. 3. Таблица подсчета

№	Границы интервала	Частота	Частотность	Середина интервала
1	-2,1372	2	0,02	-1,9323
	-1,7275
2	-1,7275	7	0,07	-1,5227
	-1,3179
3	-1,3179	10	0,1	-1,1131
	-0,9083
4	-0,9083	10	0,1	-0,7035
	-0,4987
5	-0,4987	19	0,19	-0,2938
	-0,0890
6	-0,0890	18	0,18	0,1157
	0,3205
7	0,3205	12	0,12	0,5253
	0,7301
8	0,7301	9	0,09	0,9349
	1,1398
9	1,1398	6	0,06	1,3446
	1,5494
10	1,5494	3	0,03	1,7542
	1,9590
11	1,9590	3	0,03	2,1638
	2,3686
12	2,3686	1	0,01	2,5735
	2,7783

Графики статистических распределений. Для наглядности выборочное распределение изображают графически несколькими способами. Наиболее распространенными являются полигон, гистограмма и ступенчатая кривая. Они строятся следующим образом:

Полигон. На оси абсцисс откладываются интервалы значений величины х, в серединах интервалов строятся ординаты, пропорциональные частостям (или частотам), и концы ординат соединяются отрезками прямых линий. На рис. 1 показан полигон распределения, построенный по данным табл. 3.



Рис. 1. Полигон распределения

Гистограмма. Над. каждым отрезком оси абсцисс, изображающим интервал значений х, строится прямоугольник, площадь которого пропорциональна частости (или частоте) в данном интервале. На рис. 2 показана гистограмма распределения, построенная по данным табл. 3.

Рис. 2. Гистограмма распределения

Ступенчатая кривая. Над каждым отрезком оси абсцисс, изображающим расстояние между серединами интервалов значений х, проводится отрезок горизонтальной прямой на высоте, пропорциональной накопленной частости (или накопленной частоте) в данном интервале. Концы отрезков соединяются. Накопленной частостью в данном интервале называется сумма всех частостеи, начиная с первого интервала до данного интервала включительно. На рис. 3 показана ступенчатая кривая распределения, построенная по данным табл. 3.

Рис. 3. Ступенчатая кривая распределения

3. Точечная оценка характеристик распределения
по сгруппированным данным

Среднее арифметическое. Для нахождения среднего арифметического значения выборки воспользуемся формулой:

где x_i - середина интервала;

l - число интервалов;

- частота в интервале;

n - число элементов в выборке.

Мода. Оценкой моды является середина самого многочисленного интервала:

-0,294

Эмпирическая дисперсия s² и среднее квадратическое отклонение s вычисляются по формулам:

В нашем случае:

1/100*94,85-0,0092²=0,9484

0,9738

Коэффициент вариации считается по формуле:

(при )

0,9738/0,0092=105,4547

Оценка дисперсии, полученная по группированным данным, оказывается смещенной. Исправляют это смещение введением поправки Шеппарда. Тогда

=0,9484

Вычисление математического ожидания и дисперсии по табл. 3 достаточно сложно. Громоздких вычислений, особенно при вычислении моментов более высокого порядка, можно избежать, используя «ложный нуль». Вычислим оценки математического ожидания, дисперсии, асимметрии и эксцесса, пользуясь этим приемом.

При большом числе интервалов с нецелочисленными границами целесообразно за начало отсчета («ложный нуль») принять значение, отвечающее наиболее многочисленному интервалу, и одновременно выразить значение всех интервалов в долях ширины интервала . В результате середине каждого интервала будет отвечать простое целое число, с которым можно просто оперировать. Проведя все операции, предусмотренные табл. 4, каждый результат умножают на в соответствующей степени, а для получения еще прибавляют «ложный нуль». Вычисления удобно представить в виде табл. 4.

Табл. 4

№ инт.	середины инт. xi	yi	yi2	yi3	yi4	?	?*yi	?*yi2	?*yi3	?*yi4
1	-1,9324	-4	16	-64	256	2	-8	32	-128	512
2	-1,5228	-3	9	-27	81	7	-21	63	-189	567
3	-1,1131	-2	4	-8	16	10	-20	40	-80	160
4	-0,7035	-1	1	-1	1	10	-10	10	-10	10
5	-0,2939	0	0	0	0	19	0	0	0	0
6	0,1157	1	1	1	1	18	18	18	18	18
7	0,5254	2	4	8	16	12	24	48	96	192
8	0,9350	3	9	27	81	9	27	81	243	729
9	1,3446	4	16	64	256	6	24	96	384	1536
10	1,7542	5	25	125	625	3	15	75	375	1875
11	2,1639	6	36	216	1296	3	18	108	648	3888
12	2,5735	7	49	343	2401	1	7	49	343	2401
Суммы		1				100	74	620	1700	11888
Обозначение сумм					У0	У1	У2	У3	У4
Нач. моменты в относительном выражении			0,74	6,20	17,00	118,88
Обозначения относительных нач. моментов			h1	h2	h3	h4

В табл. 4 относительные середины интервалов, приведенные в третьей графе, получены по формуле:

,

где с - «ложный нуль» (с=-0,2939), а -ширина интервала (=0,4096).

Относительные начальные моменты рассчитываются по формуле:

Среднее арифметическое и центральные эмпирические моменты m₂, m₃ и m₄ определим по формулам:

Проведя вычисления, получим:

0,0092

0,9484

0,2781

2,4785

Далее вычислим оценки асимметрии и эксцесса по формулам:

= 0,3474

=0,3344

4. Оценка параметров распределения методом квантилей

Предположим, что выборка, данная в табл. 1, подчиняется нормальному закону распределения. Определим оценки пара метров этого закона математического ожидания m и среднего квадратического отклонения у, используя метод квантилей. Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности р, называют такое значение варианты x=x_p, при котором функция распределения принимает значение, равное р, т.е.:

F(x_p)=p

Для определения оценок двух неизвестных параметров m и у составим, два уравнения, используя формулу:

Из вариационного ряда возьмем два любых значения варианты х_р' и х_р» с соответствующими им вероятностями р' и р». Вероятности р' и р» соответствуют порядковому номеру выбранных вариант, деленному на 100. Подставляя эти величины в формулу функции Лапласа, получим уравнения:

Решение системы дает в результате:

=-0,1125; =0,728

5. Построение доверительных интервалов

Для того чтобы иметь представление о точности и надежности полученной в § 5 оценки некоторого параметра распределения, необходимо построить для данного параметра доверительный интервал.

Доверительный интервал для математического ожидания. Рассмотрим выборку малого объема из первых двадцати значений табл. 1.

Построим таблицу, вариационный ряд (табл. 5 и 6). Найдем оценки математического ожидания и дисперсии (смещенную и несмещенную) как в § 3, б.

Табл .5 Табл. 6

№	xi		№	xi	xi2	xi2-x2ср
1	0,6651		1	-1,6464	2,710633	2,710216
2	0,6580		2	-1,0066	1,013244	1,012827
3	-0,8756		3	-0,9608	0,923137	0,922720
4	-0,9608		4	-0,8756	0,766675	0,766258
5	-0,8011		5	-0,8011	0,641761	0,641344
6	0,9035		6	-0,7016	0,492243	0,491826
7	1,0438		7	-0,3666	0,134396	0,133979
8	0,0695		8	-0,2145	0,046010	0,045593
9	-1,0066		9	-0,1297	0,016822	0,016405
10	-0,7016		10	-0,0530	0,002809	0,002392
11	-0,0530		11	-0,0034	1,16E-05	-0,00041
12	0,2502		12	0,0695	0,004830	0,004413
13	-0,1297		13	0,1807	0,032652	0,032236
14	-0,3666		14	0,2502	0,062600	0,062183
15	0,1807		15	0,6580	0,432964	0,432547
16	-1,6464		16	0,6651	0,442358	0,441941
17	-0,0034		17	0,7800	0,608400	0,607983
18	0,7800		18	0,9035	0,816312	0,815895
19	-0,2145		19	1,0438	1,089518	1,089101
20	1,8001		20	1,8001	3,240360	3,239943

В предположении нормального распределения отклонения случайной величины от среднего построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном у по значениям данной выборки по формуле:

где

В нашем примере после вычислений получим:

-0,0204

0,6735, 0,8206

0,7089, 0,8419

Определим доверительные интервалы для математического ожидания m_x, задаваясь различными уровнями значимости q (т.е. при разных значениях доверительной вероятности p). Значения квантилей берутся из таблиц распределения Стьюдента по двум входам: по числу степеней свободы (n-1) и уровнями значимости q. Уровень значимости q здесь и в дальнейшем предполагается заданным. Число степеней свободы (n-1)=19.

· 1%; р=1-q/100=1-1/100=0,99; 2,8615

Доверительный интервал: -0,5592<m_x<0,5183

· 5%; р=1-q/100=1-5/100=0,95; 2,093

Доверительный интервал: -0,4145<m_x<0,3736

· 10%; р=1-q/100=1-10/100=0,90; 1,7295

Доверительный интервал: -0,346<m_x<0,3052

Доверительный интервал для дисперсии у_х² и среднего квадратического отклонения у_х. Доверительный интервал для параметров у_х² и у_х строятся также по первым двадцати значениям выборки по формулам:

,

где пределы и берутся из таблиц распределения хи-квадрат по двум входам: по числу степеней свободы (n-1) и вероятностям р₁=1-1/2*q/100 для и р₂=1/2*q/100 для .

· 1%

р₁=1-1/2*q/100=1-1/2*1/100=0,995 => =6,84

р₂=1/2*q/100=1/2*1/100=0,005 => =38,58

Доверительные интервалы: 0,3491< у_х² <1,9692

0,5908< у_х< 1,4032

4%

р₁=1-1/2*q/100=1-1/2*4/100=0,98 => =8,57

р₂=1/2*q/100=1/2*4/100=0,02 => =33,69

Доверительные интервалы: 0,3997< у_х² <1,5722

0,6322< у_х< 1,2538

· 5%

р₁=1-1/2*q/100=1-1/2*5/100=0,975 => =8,91

р₂=1/2*q/100=1/2*5/100=0,025 => =32,85

Доверительные интервалы: 0,4100< у_х² <1,5117

0,6403< у_х< 1,2295

10%;

р₁=1-1/2*q/100=1-1/2*10/100=0,95 => =10,12

р₂=1/2*q/100=1/2*10/100=0,05 => =30,14

Доверительные интервалы: 0,4468< у_х² <1,3309

0,6685< у_х< 1,1536

Такие методы построения доверительных интервалов для m и у оправданы лишь в случае нормального распределения отклонений. Следовательно, пользоваться ими можно только после проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины X с помощью некоторого критерия (например, как в § 8, 9).

6. Приближенный метод проверки гипотезы о нормальном распределении

Примем гипотезу о том, что выборка, данная в табл. 1, подчиняется нормальному закону распределения. Для приближенной проверки этой гипотезы могут быть использованы эмпирические асимметрия и эксцесс .

Для нормального распределения, как известно=0 и =0. Поэтому показатели асимметрии и эксцесса, отличные от нуля, указывают на отклонение рассматриваемого распределения от нормального.

Выборочные асимметрия и эксцесс, как и все оценки, являются случайными величинами и могут не совпадать с теоретическими. Можно показать, что при данном объеме выборки применить здесь общие методы критериев значимости трудно, так как распределения оценок асимметрии и эксцесса очень сложны. Однако среднеквадратические отклонения этих характеристик при заданном объеме выборки n вычисляются по достаточно простым формулам:

В нашем случае будет:

Зная эти величины, можно оценить, существенно ли отличаются оценки от оцениваемых асимметрии и эксцесса , т.е. от нуля. Критические области для асимметрии и для эксцесса получены на основании неравенства Чебышева.

=0,3474 => =0,72

=0,3344 => =2,3

Видим, что и , не попадают в критическую область, т.о. гипотеза нормальности не противоречит данным табл. 1.

7. Критерий хи-квадрат для проверки статистических гипотез

Примем гипотезу о том, что выборка, данная в табл. 1, подчиняется нормальному закону распределения. Для проверки этой гипотезы воспользуемся критерием

Значение критерия определяется по данным выборки. Если это значение попадет в область допустимых значений , то следует признать, что данные выборки не противоречат гипотезе о нормальности распределения.

Если же численное значение критерия попадает в критическую область , то гипотеза отвергается. Вычисления критерия удобно свести в табл. 7.

Сумма, называемая критерием , асимптотически распределена как хи-квадрат. При практических расчетах для нахождения критического значения этой суммы можно пользоваться таблицами распределения хи-квадрат только в том случае, если для всех интервалов > 5 (более строгое требование > 10). Поэтому в табл. 7 интервалы 2, 3; 8 и 9 объединены.

Оценку вероятности попадания в интервал находим по формуле:

,

где и - границы интервалов, и вычислены в § 5 по данной выборке, а значения функции Лапласа берутся из таблицы.

Табл. 7

№ инт	Границы интервалов	Ф(Zi)	Ф(Zi)	Pi	npi	??	?i-npi	(?i-npi)2/
	истинные	в долях ско								npi
1	-?	-1,728	-?	-1,87	-0,5000	-0,4693	0,0307	7,6360	9	1,364	0,2436
2	-1,728	-1,318	-1,87	-1,43	-0,4693	-0,4236	0,0456
3	-1,318	-0,908	-1,43	-0,99	-0,4236	-0,3389	0,0847	8,4730	10	1,527	0,2752
4	-0,908	-0,499	-0,99	-0,55	-0,3389	-0,2088	0,1301	13,007	10	-3,007	0,6952
5	-0,499	-0,089	-0,55	-0,11	-0,2088	-0,0438	0,1650	16,504	19	2,496	0,3775
6	-0,089	0,3206	-0,11	0,34	-0,0438	0,1331	0,1769	17,687	18	0,313	0,0055
7	0,3206	0,7302	0,34	0,78	0,1331	0,2823	0,1492	14,923	12	-2,923	0,5725
8	0,7302	1,1398	0,78	1,22	0,2823	0,3888	0,1065	10,647	9	-1,647	0,2548
9	1,1398	1,5494	1,22	1,66	0,3888	0,4515	0,0628	11,123	13	1,877	0,3167
10	1,5494	1,9591	1,66	2,10	0,4515	0,4812	0,0297
11	1,9591	2,3687	2,10	2,54	0,4812	0,4945	0,0132
12	2,3687	+?	2,54	+?	0,4945	0,500	0,0055
Суммы	1,0000	100	100		2,7411

Крайние границы самого левого и самого правого интервалов, расширены до -? и +? соответственно.

Так как по данным выборки мы оценили два параметра m_x и у_х нормального закона (т.е. с=2), то в нашем случае число степеней свободы будет равно k=l' - c-1=8-2-1=5, где l'=8 - число интервалов, получившихся после объединения интервалов 1,2 и 9,10,11 и 12.

По таблице распределения хи-квадрат найдем значения для числа степеней свободы k=5 и уровней значимости q, равным 1%, 5% и 10%:

· 1%, тогда=15,086

Поскольку (2,7411<15,086), то гипотеза о нормальности выборки не противоречит данным измерений.

· 5%, тогда =11,07.

Поскольку (2,7411<11,07), то гипотеза о нормальности выборки не противоречит данным измерений.

10%, тогда =9,236

Поскольку (2,7411<9,236), то гипотеза о нормальности выборки не противоречит данным измерений.

8. Проверка гипотезы об однородности выборки
с помощью критерия знаков и критерия Вилкоксона

Введем нулевую гипотезу Н₀ о том, что выборка, данная в табл. 1, является однородной. Для проверки этой гипотезы возьмем две выборки из двадцати первых и двадцати последних значений табл. 1 и представим данные в табл. 8. Воспользуемся непараметрическими (независимыми от формы распределения) критериями: критерием знаков и критерием Вилкоксона.

Критерий знаков. Составим разность z_i=x_i - y_i, где i= 1, 2., 20 - порядковые номера первых x_i и последних y_i двадцати значений выборки. Подсчитаем число положительных k_n(+) и отрицательных k_n (-) знаков разностей z_i (n=20). Затем, выбрав уровень значимости q, находим по q и n в соответствующей таблице критическое значение меньшего из чисел положительных и отрицательных знаков z_i. Если теперь меньшее из чисел знаков разностей окажется меньше , то гипотеза об однородности выборки отвергается, а если меньшее из чисел знаков разностей окажется больше , то следует признать, что гипотеза не противоречит данным выборки.

Табл. 8

xi	yi	zi=xi-yi
0,6651	0,0962	0,5689
0,6580	0,4900	0,1680
-0,8756	-1,3309	0,4553
-0,9608	-0,8346	-0,1262
-0,8011	1,4345	-2,2356
0,9035	-0,0749	0,9784
1,0438	-0,3202	1,3640
0,0695	-0,9161	0,9856
-1,0066	-0,4128	-0,5938
-0,7016	-1,3041	0,6025
-0,0530	-0,6175	0,5645
0,2502	-2,1372	2,3874
-0,1297	0,9104	-1,0401
-0,3666	-0,1616	-0,2050
0,1807	0,0245	0,1562
-1,6464	0,9177	-2,5641
-0,0034	-1,1162	1,1128
0,7800	-1,2239	2,0039
-0,2145	0,0088	-0,2233
1,8001	1,2809	0,5192

Для данных табл. 1 имеем: k₂₀(+)=13 и k₂₀(-)=7.

Из таблицы для n=20 и уровней значимости q, равным 1%, 5% и 10% находим:

· 1%; =3

· 5%; =5

· 10%; =5

Т.к. меньшее из чисел знаков разностей k₂₀(-)=7 при всех рассмотренных уровнях значимости оказалось больше значения , то нулевая гипотеза Н₀ об однородности выборки не противоречит данным выборки.

Критерий Вилкоксона основан на числе инверсий.
Элементы двух выборок из двадцати первых и двадцати последних значений табл. 1 располагаются в общую последовательность в порядке возрастания их значений. Если какому-либо значению x из общей последовательности предшествует некоторый y, то говорят, что эта пара дает инверсию. Суммарное число инверсий обозначим за u.

Далее введем нулевую гипотезу Н₀ о том, что выборка, данная в табл. 1, является однородной. Эта гипотеза отвергается, если число инверсий u превосходит выбранную в соответствии с уровнем значимости границу, определяемую из того, что при объемах n>10 и m>10 выборок число инверсий u распределено приблизительно нормально с центром:

дисперсией:

и средним квадратическим отклонением:

В нашем случае получим:

200

1367

37,0

Задавшись уровнем значимости q, построим критическую область, используя соотношение:

где - функция Лапласа.

Используя эту формулу и таблицу нормального распределения, находим значение . Критическая область для гипотезы Н₀:



денормализованный вариационный дисперсия полигон

В нашем примере число инверсий:

u=231

Найдем критические области для выдвинутой нулевой гипотезы, задавшись уровнем значимости q, равным 1%, 5% и 10%:

· 1%

·

· 5%

·

· 10%

·

При всех рассмотренных уровнях значимости число инверсий u не лежит в критической области, а потому нулевая гипотеза Н₀ об однородности выборки не противоречит данным выборки.

Размещено на Allbest.ru