Расчет показателей выборки
Дискретный вариационный ряд. Полигон, гистограмма относительных частот. Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики выборки. Выборочное среднее квадратическое отклонение. Дифференциальная функция распределения. Граница критической области.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.04.2012 |
| Размер файла | 207,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Случайная величина X
1). Интервальный вариационный ряд
Разобьём выборку, например, на десять интервалов. Вычислим шаг
|
Частичный интервал |
Сумма частот вариант интервала ni |
Относительные частоты wi = ni/n |
Плотность относительной частоты wi/h |
|
|
0.55 - 0.68 |
19 |
0.19 |
1,46 |
|
|
0.68 - 0.81 |
29 |
0.29 |
2,23 |
|
|
0.81 - 0.94 |
29 |
0.29 |
2,23 |
|
|
0.94 - 1.07 |
18 |
0.18 |
1,38 |
|
|
1.07 - 1.2 |
4 |
0.04 |
0,31 |
|
|
1.2 - 1.33 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1.33 - 1.46 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1.46 - 1.59 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1.59 - 1.72 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1.72 - 1.83 |
1 |
0.01 |
0,08 |
|
|
100 |
1 |
Дискретный вариационный ряд
|
xi |
0,55 |
0,68 |
0,81 |
0,94 |
1,07 |
1,2 |
1,33 |
1,46 |
1,59 |
1,72 |
1,83 |
||
|
ni |
2 |
17 |
29 |
29 |
18 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
100 |
2). Полигон и гистограмма относительных частот
Полигон относительных частот Х
Гистограмма относительных частот
3) Эмпирическая функция распределения
Объём выборки n=100. Наименьшая варианта равна 0,68, поэтому при . Значение X<0,94, наблюдалось 48 раз, следовательно, при . Значение X<0,94, а именно и , наблюдалось 48+47=95 раз и т.д.
Так как x=1,72 - наибольшая варианта, то при .
Искомая эмпирическая функция:
|
0 |
x<=0,55 |
||
|
0,01 |
0,55<x<=0,81 |
||
|
0,19 |
0,81 <x<=0,94 |
||
|
0,48 |
0,94<x<=1,07 |
||
|
0,77 |
1,07<x<=1,2 |
||
|
F*(x)= |
0,95 |
1,2<x<=1,33 |
|
|
0,99 |
1,33<x<=1,46 |
||
|
0,99 |
1,46<x<=1,59 |
||
|
0,99 |
1,59<x<=1,72 |
||
|
0,99 |
1,72<x<=1,83 |
||
|
1 |
x>1,83 |
График
4) Числовые характеристики выборки
Выборочная средняя
Выборочная дисперсия
Выборочное среднее квадратическое отклонение
Выборочный коэффициент асимметрии
Выборочный коэффициент эксцесса:
5) Исходя из механизма образования СВ, а также по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса сделаем предварительный вывод о том, что СВ распределена по нормальному закону.
6) Дифференциальная функция распределения
Интегральная функция распределения
7) Проверка гипотезы о нормальности закона распределения с помощью критерия согласия
Получение теоретических частот:
Найдём интервалы () по формулам
учитывая, что . Затем теоретические вероятности и теоретические частоты .
|
Интервалы группировки |
Наблюдаемая частота ni |
Ф(xi) |
Ф(xi+1) |
Вероятность pi попадания в i-й интервал |
Ожидаемая частота npi |
Слагаемые статистики Пирсона Ki |
|
|
0,55 |
19 |
0.31 |
0.45 |
0.14 |
13.96 |
1.82 |
|
|
0,68 |
29 |
0.0478 |
0.31 |
0.26 |
26 |
0.35 |
|
|
0,81 |
29 |
0.24 |
0.0478 |
0.19 |
18.79 |
5.55 |
|
|
0,94 |
18 |
0.42 |
0.24 |
0.18 |
18.05 |
0.0001 |
|
|
1,07 |
4 |
0.48 |
0.42 |
0.0676 |
6.76 |
1.13 |
|
|
1,2 |
0 |
0.5 |
0.48 |
0.0142 |
1.42 |
1.42 |
|
|
1,33 |
0 |
0.5 |
0.5 |
0.0019 |
0.19 |
0.19 |
|
|
1,46 |
0 |
0.5 |
0.5 |
0.0001 |
0 |
0 |
|
|
1,59 |
0 |
0.5 |
0.5 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1,72 |
1 |
0.5 |
0.5 |
0 |
0 |
0 |
|
|
100 |
10.45 |
Критерий Пирсона
|
ni |
ni' |
(ni-ni')^2/ni' |
|
|
19 |
13,96 |
1,82 |
|
|
29 |
26,00 |
0,35 |
|
|
29 |
18,79 |
5,55 |
|
|
18 |
18,05 |
0,00 |
|
|
4 |
6,76 |
1,13 |
|
|
0 |
1,42 |
1,42 |
|
|
0 |
0,19 |
0,19 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
|
|
1 |
0,00 |
0,00 |
|
|
100 |
100,00 |
10,45 |
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя
[Kkp;+?)
Её границу Kkp = ч2(k-r-1;б) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке).
Kkp = 16.01276; Kнабл = 10.45
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по закону Пуассона.
где pi -- вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону; л = xср.
i = 0: p0 = 0, np0 = 44
i = 1: p1 = 0, np1 = 36
i = 2: p2 = 0, np2 = 15
i = 3: p3 = 0.0416, np3 = 4.1641
i = 4: p4 = 0.008649, np4 = 0.864893
i = 5: p5 = 0.001437, np5 = 0.14371
i = 6: p6 = 0.000199, np6 = 0.0199
i = 7: p7 = 0,000024, np7 = 0.002361
i = 8: p8 = 0,000002, np8 = 0.000245
i = 9: p9 = 0, np9 = 0,000022
i = 10: 1=0 + 1
i = 10: 0=0 + 0
|
i |
Наблюдаемая частота ni |
pi |
Ожидаемая частота npi |
Слагаемые статистики Пирсона Ki |
|
|
0 |
19 |
0.44 |
43.57 |
13.86 |
|
|
1 |
29 |
0.36 |
36.2 |
1.43 |
|
|
2 |
29 |
0.15 |
15.04 |
12.97 |
|
|
3 |
18 |
0.0416 |
4.16 |
45.97 |
|
|
4 |
4 |
0.0086 |
0.86 |
11.36 |
|
|
5 |
0 |
0.0014 |
0.14 |
0.14 |
|
|
6 |
0 |
0.0002 |
0.0199 |
0.0198 |
|
|
7 |
0 |
0 |
0.0024 |
0.0023 |
|
|
8 |
1 |
0 |
0.0003 |
3743.32 |
|
|
100 |
3829.07 |
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя
[Kkp;+?).
Её границу Kkp = ч2(k-r-1;б) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр л).
Kkp = 17.53455; Kнабл = 3829.07
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по закону Пуассона.
8). Так как гипотеза о нормальном законе распределения отвергнута, то интервальные оценки не находим.
Случайная величина Y
1) Интервальный вариационный ряд:
Разобьём выборку, например, на десять интервалов. Вычислим шаг
.
|
Частичный интервал |
Сумма частот вариант интервала ni |
Относительные частоты wi = ni/n |
Плотность относительной частоты wi/h |
|
|
15 - 22.5 |
10 |
0,1 |
0,013 |
|
|
22.5 - 30 |
12 |
0,12 |
0,016 |
|
|
30 - 37.5 |
18 |
0,18 |
0,024 |
|
|
37.5 - 45 |
26 |
0,26 |
0,035 |
|
|
45 - 52.5 |
15 |
0,15 |
0,02 |
|
|
52.5 - 60 |
9 |
0,09 |
0,012 |
|
|
60 - 67.5 |
6 |
0,06 |
0,008 |
|
|
67.5 - 75 |
3 |
0,03 |
0,004 |
|
|
75 - 82.5 |
0 |
0 |
0 |
|
|
82.5 - 90 |
1 |
0.01 |
0,01 |
|
|
100 |
1 |
Дискретный вариационный ряд:
|
yi |
15 |
22,5 |
30 |
37,5 |
45 |
52,5 |
60 |
67,5 |
75 |
82,5 |
90 |
||
|
ni |
2 |
8 |
12 |
18 |
26 |
15 |
9 |
6 |
3 |
0 |
1 |
100 |
2). Полигон и гистограмма относительных частот
Полигон относительных частот
Гистограмма относительных частот
3) Эмпирическая функция распределения
|
0 |
y<=15 |
||
|
0,01 |
15<y<=22,5 |
||
|
0,10 |
22,5<y<=30 |
||
|
0,22 |
30<y<=37,5 |
||
|
F*(y)= |
0,40 |
37,5<y<=45 |
|
|
0,66 |
45<y<=52,5 |
||
|
0,81 |
52,5<y<=60 |
||
|
0,90 |
60<y<=67,5 |
||
|
0,96 |
67,5<y<=75 |
||
|
0,99 |
75<y<=82,5 |
||
|
0,99 |
82,5<y<=90 |
||
|
1 |
y>90 |
График
4) Числовые характеристики выборки:
Выборочная средняя
Выборочная дисперсия
Выборочное среднее квадратическое отклонение
Выборочный коэффициент асимметрии .
Выборочный коэффициент эксцесса:
5). Исходя из механизма образования СВ, а также по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса сделаем предварительный вывод о том, что СВ распределена по нормальному закону.
6) Дифференциальная функция распределения
Интегральная функция распределения
7). Проверка гипотезы о нормальности закона распределения с помощью критерия согласия
Получение теоретических частот:
Найдём интервалы () по формулам
учитывая, что . Затем теоретические вероятности и теоретические частоты .
|
Интервалы группировки |
Наблюдаемая частота ni |
Ф(xi) |
Ф(xi+1) |
Вероятность pi попадания в i-й интервал |
Ожидаемая частота npi |
Слагаемые статистики Пирсона Ki |
|
|
15 |
10 |
0.41 |
0.47 |
0.0604 |
6.04 |
2.6 |
|
|
22,5 |
12 |
0.29 |
0.41 |
0.12 |
12.3 |
0.0073 |
|
|
30 |
18 |
0.1 |
0.29 |
0.18 |
18.26 |
0.0037 |
|
|
37,5 |
26 |
0.11 |
0.1 |
0.0115 |
1.15 |
536.98 |
|
|
45 |
15 |
0.29 |
0.11 |
0.18 |
17.98 |
0.49 |
|
|
52,5 |
9 |
0.41 |
0.29 |
0.12 |
11.92 |
0.72 |
|
|
60 |
6 |
0.47 |
0.41 |
0.0582 |
5.82 |
0.0055 |
|
|
67,5 |
3 |
0.49 |
0.47 |
0.0214 |
2.14 |
0.35 |
|
|
75 |
0 |
0.5 |
0.49 |
0.0059 |
0.59 |
0.59 |
|
|
82,5 |
1 |
0.5 |
0.5 |
0.0012 |
0.12 |
6.19 |
|
|
100 |
547.92 |
Критерий Пирсона
|
ni |
ni' |
(ni-ni')^2/ni' |
|
|
10 |
6.04 |
2.6 |
|
|
12 |
12.3 |
0.0073 |
|
|
18 |
18.26 |
0.0037 |
|
|
26 |
1.15 |
536.98 |
|
|
15 |
17.98 |
0.49 |
|
|
9 |
11.92 |
0.72 |
|
|
6 |
5.82 |
0.0055 |
|
|
3 |
2.14 |
0.35 |
|
|
0 |
0.59 |
0.59 |
|
|
1 |
0.12 |
6.19 |
|
|
100 |
100,00 |
547.92 |
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя
[Kkp;+?)
Её границу Kkp = ч2(k-r-1;б) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке).
Kkp = 16.01276; Kнабл = 547.92
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону.
8). Так как гипотеза о нормальном законе распределения отвергнута, то интервальные оценки не находим.
9). а) корреляционная таблица
|
15 |
22,5 |
30 |
37,5 |
45 |
52,5 |
60 |
67,5 |
75 |
82,5 |
90 |
|||
|
0,55 |
1 |
1 |
2 |
||||||||||
|
0,68 |
1 |
4 |
6 |
3 |
3 |
17 |
|||||||
|
0,81 |
4 |
3 |
7 |
8 |
5 |
1 |
1 |
28 |
|||||
|
0,94 |
1 |
7 |
11 |
6 |
4 |
29 |
|||||||
|
1,07 |
1 |
1 |
3 |
3 |
2 |
5 |
3 |
18 |
|||||
|
1,2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
|||||||||
|
1,33 |
0 |
||||||||||||
|
1,46 |
0 |
||||||||||||
|
1,59 |
0 |
||||||||||||
|
1,72 |
0 |
||||||||||||
|
1,83 |
1 |
1 |
|||||||||||
|
2 |
8 |
12 |
18 |
26 |
15 |
9 |
6 |
3 |
0 |
1 |
б) выборочный коэффициент корреляции
.
вариационный ряд выборка отклонение
в). Вычислим наблюдаемое значение критерия
По таблице Стьюдента с уровнем значимости б=0.05 и степенями свободы k=98 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;б/2) = (98;0.025) = 1.984
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим
г)
Поле корреляции (строится по начальным данным х и у все точки отображаем и получаем поле корреляции - поле скопления этих точек)
д). Эмпирическая функция регрессии Y на X:
Формально критерий МНК можно записать так:
S = ?(yi - y*i)2 > min
Система нормальных уравнений.
a*n + b?x = ?y
a?x + b?x2 = ?y*x
Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Для наших данных система уравнений имеет вид
100a + 82.65 b = 4127
82.65 a + 71.44 b = 3547.97
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 43.79, a = 5.08
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 43.79 x + 5.08
Эмпирическая функция регрессии X на Y:
Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Для наших данных система уравнений имеет вид
100a + 4127 b = 82.65
4127 a + 190789 b = 3547.97
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.0067, a = 0.55
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
х = 0.0067 у + 0.55
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Получение выборки объема n-нормального распределения случайной величины. Нахождение числовых характеристик выборки. Группировка данных и вариационный ряд. Гистограмма частот. Эмпирическая функция распределения. Статистическое оценивание параметров.
лабораторная работа [496,0 K], добавлен 31.03.2013Вероятность появления события. Непрерывная случайная величина и функция распределения. Дисперсия непрерывной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение. Формула полной вероятности, математическое ожидание. Интегральная теорема Лапласа.
контрольная работа [149,7 K], добавлен 09.02.2012Предельная ошибка выборки при установлении среднего значения. Цепные и базисные темпы роста. Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Частоты интервалов предшествующего и последующего модальному. Индекс себестоимости переменного состава.
контрольная работа [93,8 K], добавлен 02.12.2010Технико-экономические показатели групп заводов; ряды распределения. Относительные величины интенсивности, цепные и базисные индексы товарооборота. Расчет средней величины, моды и медианы. Среднее квадратическое отклонение; дисперсия, коэффициент вариации.
контрольная работа [88,8 K], добавлен 06.10.2013Анализ сезонных колебаний объема выпуска продукции. Ряд и кумуляты распределения. Методы расчета степенных средних и дисперсии. Расчет индивидуальных индексов цен и физического объема по методу Паше, Ласпейреса. Выборочное наблюдение и виды выборки.
контрольная работа [358,3 K], добавлен 26.12.2010Статистика занятости и безработицы. Определение численности и состава занятых лиц. Выборочное наблюдение, сводка и группировка, ряд распределения. Характеристика статистических показателей. Расчет средних величин и показателей вариации, ошибок выборки.
курсовая работа [180,5 K], добавлен 10.08.2009Интервальный вариационный ряд распределения учащихся по оценкам по философии, кумулята. Гистограмма распределения учащихся. Межквартильное расстояние для не сгруппированных данных. Взвешенная дисперсия для дискретного вариационного ряда распределения.
контрольная работа [214,6 K], добавлен 16.03.2014Показатели признака вариации в ряду. Среднее квадратическое отклонение, линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации. Нижняя граница модального интервала и его величина. Медиана дискретного вариационного ряда. Определение моды и медианы.
лабораторная работа [30,8 K], добавлен 21.12.2012Определение оптимального значения интервала в первом приближении. Медиана вариационного ряда. Понятие выборочного среднего. Эмпирическая (статистическая) функция распределения. Параметры для вычисления моды. Степень сродства к нормальному распределению.
курсовая работа [169,7 K], добавлен 15.11.2014Схема собственно-случайной бесповторной выборки. Определение средней ошибки выборки для среднего значения, среднего квадратического отклонения и предельной ошибки выборки. Определение эмпирического распределения. Расчетное значение критерия Пирсона.
контрольная работа [96,3 K], добавлен 05.03.2012
