Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

Факультет экономики и управления

Секция математики

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)

Подготовила: Шпиталь Екатерина

студентка 1 курс

факультета экономики и управления

Научный руководитель:

Сетько Елена Александровна

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры ТФФА и ПМ

ГрГУим.Я.Купалы

Гродно, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

модель леонтьев балансовый анализ

Введение

1. Возникновение и развитие МОБ (модели «затраты - выпуск»)

2. Математическая постановка задачи

3. Межотраслевой (отчетный) баланс

4. Модель равновесных цен

5.Практическое применение Леонтьева

Заключение

Приложение

Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ

В современном мире созданы и развиты различные теории и методы регулирования мировой экономики. Востребованность таких исследований особенно возросла после великой депрессии (1929--1933 г.г.) и второй мировой войны. Увеличилась необходимость в планировании и прогнозировании. Объясняется это, прежде всего тем, что современная экономика представляет собой открытую систему, построенную на прямых и обратных горизонтальных и вертикальных связях, и может успешно развиваться только при наличии эффективного управления этими связями, как на макро -, так и на микроуровне. Поэтому проблема создания рациональной и высокоэффективной межотраслевой экономики чрезвычайно важна.

Важным инструментом прогнозирования является разработанный В.Леонтьевым межотраслевой равновесный баланс, позволяющий анализировать экономику, как национальную, так и отдельных регионов и на основе этого вырабатывать адекватные меры.

Действительно, реальное равновесие на рынке возможно лишь при совпадении ожиданий производителей и потребителей, так как на практике равновесие достигается достаточно редко, поскольку в реальной жизни неизбежны экономические кризисы, неполное или неэффективное использование ресурсов.

В данной работе рассматривается модель межотраслевой экономики. Актуальность рассматриваемой темы состоит в том, что мир не стоит на месте, появляются новые отрасли экономики, которые требуют четкого расчета, по взаимодействию их с давно зарекомендовавшими. Цель данной работы - изучить основные понятия и методы составления межотраслевого баланса с помощью модели Леонтьева. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1)проследить историю создания и развития модели межотраслевого баланса;

2)рассмотреть математическое представление модели Леонтьева;

3)рассмотреть учебные примеры по решению задач с помощью модели Леонтьева.

1. Возникновение и развитие МОБ (модели «затраты - выпуск»)

Принцип взаимозависимости, без которого не существует ни одна экономика, имеет довольно длинную историю, которая началась еще до Вальраса и Парето. Его истоки можно обнаружить в учении французских физиократов XVIII в., один из которых, Франсуа Кенэ, в своей "Экономической таблице" пытался показать, как происходит движение товаров и денег между различными секторами экономики. Кенэ ставил перед собой задачу доказать преимущественное значение сельского хозяйства в экономике, как и то, что только сельскохозяйственный труд создает доход общества. Аналогичную схему разработал и Маркс, но определяющее значение у него имеет уже не сельское хозяйство, а промышленность. Это особенно отчетливо выражено в схемах воспроизводства, содержащихся во II томе "Капитала". Эти "модели", однако, представляли собой довольно общую схему экономики. В схеме Маркса экономика состоит из двух подразделений: производство средств и производство предметов потребления.

Заслуга первого точного теоретического определения принципа взаимозависимости принадлежит Леону Вальрасу. В его модели содержатся функции полезности, функции предложения и спроса, а также коэффициенты производства, так что это давало возможность определить цены и количество товаров, поступающих на рынок. Но схема Вальраса носила чисто теоретический характер; он выражал сомнение в практической применимости ее, ибо вряд ли когда-либо будут доступны необходимые статистические данные. Парето и Бароне также не верили в то, что теорию равновесия можно наполнить реальным содержанием. В течение длительного времени экономисты ставили под вопрос "разрешимость" Вальрасовой системы, то есть существование единственного в своем роде и определенного равновесия. Лишь в 1930-х годах видный математик Абрахам Вальд доказал возможность такого решения. Однако его модель не гарантировала восстановления равновесия, если последнее нарушалось (в отличие от системы Вальраса). Как показал Вальд, в теории Вальраса содержалось в лучшем случае лишь одна линия равновесия. Построения Парето имели более богатое содержание, потому что он стремился использовать различные технические коэффициенты, а не одну однородную линейную производственную функцию. Хикс же, как и Самуэльсон, стремился к тому, чтобы система реагировала на изменения в параметрах. Еще одна трудность в теории Вальраса заключалась в том, что, поскольку имелись уравнения для каждого товара и фактора, даже для небольшой по масштабам "экономики` приходится решать тысячи уравнений. Вопрос агрегирования, то есть объединение нескольких элементов в единое целое, не приходил на ум Вальрасу, поэтому всякое практическое использование разработанной им системы было вне человеческих возможностей [1, С. 168].

Первым шагом к практическому использованию теории общего равновесия была таблица «затраты - выпуск» Василия Леонтьева. Эта таблица впервые была опубликована в работе «Структура американской экономики» в 1919-1929 гг. Основные идеи, заложенные в методе «затраты - выпуск», были сформулированы Леонтьевым еще в студенческие годы, а в последующем развивались и доводились им до современного состояния.

Метод «затраты - выпуск» определенно отвечал критерию подлинно научной теории: он знаменовал собой программу эмпирических исследований, преследовавших цель наполнить теоретические построения реальным содержанием. По мере того как накапливались статистические данные и создавались теоретические построения, пригодные для числовой обработки, экономическая наука начала покидать сферу чистого мышления и все чаще соединяла теорию с фактами. С появлением метода «затраты - выпуск» возникло убеждение, что теория общего равновесия, выступавшая до сих пор в исключительно абстрактной форме, какую ей придал Вальрас, сможет быть наполнена практическим содержанием. Этому способствовало и появление быстродействующих электронно-вычислительных машин. Складывалось мнение, что экономисты в конце концов выйдут за пределы статистического изучения временных рядов и анализа по методу регрессии, с помощью которых исследовались лишь отдельные стороны экономической действительности. Хотя Парето и даже Викселль сомневались в возможности численного решения модели экономического равновесия, Вальд и Джон фон Нейман доказали необоснованность этих сомнений.

Дискуссия вокруг этого аспекта теории равновесия началась с замечания, сделанного в 1932 г. Гансом Нейссером; последний заявил, что требуется нечто большее, чем просто установить цены и показатели производства в неотрицательных величинах. Несколькими годами позже Карл Менгер отметил, что одна из функций экономической модели состоит в том, чтобы установить различие между свободными и редкими благами. Этой же проблеме уделял внимание и Вальд в статьях, относящихся к 1935 и 1936 гг. Нейман же в своей модели пошел дальше статической системы Вальда, ибо он ввел несколько вариантов производства, хотя и с фиксированными коэффициентами. И что важно, товары рассматривались одновременно и как затраты, и как продукты, а это подводило к понятию обращения товаров между отраслями экономики. В анализ входил и потребительский спрос, причем труд рассматривался как продукт домашнего хозяйства, а средства существования - как издержки этого "выпуска". Вся система была замкнутой, лишенной каких-либо излишков, необходимых для инвестирования. Вопрос заключался в том, может ли быть сохранено равновесие экономики, если последняя растет и расширяется? Нейман показал, что при условии пропорционального роста во всех секторах экономики, по крайней мере, в одном из них темп определяется нормой процента. Если же одна из отраслей растет быстрее, чем процентные платежи, то образуется неоплаченный излишек. Таким образом, в модели Неймана присутствует известный элемент динамики. Эти чрезвычайно абстрактные построения, перегруженные математическими расчетами, дали тем не менее толчок развитию не только метода «затраты - выпуск», но и линейного программирования [2, С. 288].

Но самый ценный вклад в методику численного решения экономических моделей был сделан в 1940-х годах Леонтьевым, создавшим метод «затраты - выпуск». Отныне стало возможным численное решение больших систем уравнений. Современная электронно-вычислительная машина способна с феноменальной скоростью решить систему из тридцати уравнений с таким же числом неизвестных. Метод «затраты - выпуск» вполне себя оправдывает, по крайней мере в теоретическом плане. Как заметил Леонтьев, имеется определенная связь между, скажем, продажей автомобилей в Нью-Йорке и спросом на хлеб в Детройте. По сути дела, всю страну можно рассматривать как единую систему учета, где каждый сектор имеет собственный "бюджет" экономической активности [3, С. 796].

2. Математическая постановка задачи

Рассмотрим математическую модель Леонтьева, которую он создал в 1973 году, на примере статической модели, так как она является общей.

Статистические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени(например за год).

При построении модели делают следующие предположения:

1)все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. фактически предполагается, что каждая отрасль производит один продукт;

2)в каждой отрасли имеется единственная технология производства;

3)нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции;

4)не допускается замещение одного сырья другим.

Введем следующие обозначения:

- общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,…,n);

- объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,…,,n);

- объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой nотраслями, и конечного продукта, то

Уравнения называются соотношениями баланса.

Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1), имеют стоимостное выражение. Введем коэффициенты прямых затрат:

. (2)

Так как сложившуюся технологию производства в течении некоторого времени можно считать неизменной, то коэффициенты являются технологическими константами. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е. вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

При этом величина может быть представлена следующим образом:

,(3)

Величина называется коэффициентом прямых материальных затрат. Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Подставляя выражение (3) в формулу (1), получим:

Это соотношение можно записать в матричном виде:

X=AX+Y, (4)

Уравнение (4) называется моделью Леонтьева.

ЗдесьX = - вектор валовых выпусков;

Y = - вектор конечного продукта;

- матрица коэффициентов прямых материальных затрат.Все элементы матрицы ? 0. Это следует из неотрицательности величин и положительности валовых выпусков .

Интерпретируя выражение АХ в (4) как затраты, эту систему часто называют моделью «затраты выпуск».

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X,который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

1) статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется подходящим выбором отраслей;

2) нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.

Выражение (4) принято называть балансом распределения продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение (4):

X-AX=Y,

(E-A)Х=Y,

X=, (5)

где E - единичная матрица.

Перепишем формулу (5):

(6)

Матрица S носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы называют коэффициентами полных материальных затрат.

Коэффициент показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицывекторами конечного продукта . Тогда по соответствующие векторы валового выпуска будут

Матрица А, все элементы которой неотрицательны называется продуктивной, если для любого вектора существует решение. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности.

1. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица S существует и её элементы неотрицательны.

2. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд.

Доказательство утверждения основано на факте, что если бесконечный ряд из матриц

+… (7)

то сумма его есть матрица S.

Действительно. Пусть

(8)

Умножим обе части (8) на (E - A):

S (E-A) = E,

.Доказано.

Отсюда следует ? , , . Таким образом, коэффициент полных материальных затрат , описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат , рассчитываемого на единицу валового выпуска.

Кроме того, из соотношения (5) для диагональных элементов матрицы S следует:.[6, С. 592]

Вышеуказанные критерии продуктивности модели Леонтьева не имеют хорошей экономической интерпретации. Рассмотрим еще один критерий продуктивности.

Пусть модель Леонтьева задана матрицейА размером mЧn. Обозначим N=Пусть MN.Говорят, что подмножество индексов М изолировано, если всякий раз, когда . Понятие изолированности подмножества М допускает следующую экономическую интерпретацию: отрасли, номера которых принадлежат М не используют товары, производимые в отраслях с номерами, не принадлежащими М.

Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных подмножеств, кроме N и . Понятие неразложимости также легко интерпретируется с экономической точки зрения: любая отрасль использует, хотя бы косвенно, продукцию всех отраслей. Так как, если то j-ая отрасль непосредственно использует продукцию i-ой отрасли. Но если , т.е. j-ая отрасль не использует продукцию i-ой отрасли непосредственно, все равно при неразложимой матрице от данной отрасли до любой другой можно найти цепочку отраслей, использующих продукцию друг друга.

Для неразложимых матриц условие продуктивности может быть сформулировано следующим образом: сумма элементов столбцов (строк) не превосходит единицы, причем хотя бы для одного столбца (строки) сумма элементов строго меньше единицы, то модель Леонтьева с этой матрицей продуктивна.

И так, докажем, что сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы, то есть .

Так как для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. >0. Можно записать:

,

,

откуда следует:

.

Утверждение доказано.

Пусть матрица - продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А называется такое число б, что все матрицы µА, где 1, продуктивны, а матрица (1+µ)А - непродуктивна.

Обычно матрицы А межотраслевого баланса обладают большим запасом продуктивности. Например, для межотраслевых балансов в бывшем СССР такой запас, чаще всего, был больше 0,4. Рост производственных расходов (учет затрат на преодоление негативных воздействий производства на окружающую среду) вызывает увеличение элементов матрицы А и, как следствие, снижение её запаса продуктивности.

3. Межотраслевой (отчетный) баланс

Центральным элементом матричных моделей является так называемый межотраслевой баланс. Он представляет собой таблицу, характеризующую связи между различными отраслями экономики страны. Общая структура межотраслевого баланса представлена на рис.1

Рис.1

Производственная сфера экономики представлена в балансе в виде совокупности n отраслей.

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i=1,…,n должно выполняться соотношение:

Баланс состоит из четырех разделов (квадрантов).

Первый квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку именно здесь содержится информация о межотраслевых связях. Величина , находящаяся на пересечении i-й строки и j-го столбца, показывает, сколько продукции i-й отрасли было использовано в процессе материального производства j-й отрасли. Величины характеризуют межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производственной деятельностью.

В i-й строке величины , , ..., , ..., описывают распределение продукции i-й отрасли как средства производства для других отраслей.

Величины , , ..., , ..., j-го столбца в этом случае будут описывать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива и энергии на производственные нужды.

Таким образом, первый раздел баланса дает общую картину распределения продукции на текущее производственное потребление всех n отраслей материального производства.

Мы рассматриваем баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной продукции в некоторых фиксированных ценах. Поскольку в этом случае величины отражают стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно просуммировать.

Величина представляет собой сумму всех поставок i-й отрасли другим отраслям.

Сумма по столбцу характеризует производственные затраты j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.

На пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца находится величина - так называемый промежуточный продукт экономики.

Второй раздел посвящен конечному продукту. Столбец конечного продукта- (n+2)-й столбец. Величина - потребление продукции i-й отрасли, не идущее на текущие производственные нужды. В конечную продукцию, как правило, включаются: накопление, возмещение выбытия основных средств, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата, здравоохранение, оборону и т.д., а также сальдо экспорта и импорта.

Ко второму разделу относится также столбец валовых выпусков().В пределах первого и второго разделов справедливо соотношение:

(1)

Третий раздел межотраслевого баланса отражает стоимостную структуру валового продукта отраслей. В (n+2)-й строке таблицы отражена условно чистая продукция(),представляющая собой разницу между величиной валовой продукции отрасли и суммарными затратами отрасли:

(2)

Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли. Важнейшими составляющими чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги.

Можно показать, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции:

.

Из соотношений (1) и (2):



.

Просуммируем первое равенство по i, а второе - по j:

Левые части выражений равны, значит равны и правые:

Разделим обе части уравнения на , и получим, что и требовалось доказать.

Таким образом, в третьем разделе также фигурирует конечный продукт, но если во втором разделе он разбивается на величины, характеризующие структуру потребления, то в третьем разделе величины показывают, в каких отраслях произведена стоимость конечного продукта.

Четвертый раздел располагается под вторым. Он характеризует перераспределительные отношения в экономике, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому в пределах этого курса рассматриваться не будет.

Итак, данный межотраслевой баланс - это способ представления статистической информации об экономике страны. Он строится на основе агрегирования результатов деятельности отдельных предприятий. Такой баланс называют отчетным. [5, С. 21]

4. Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель - так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А - матрица прямых затрат,

х =( - вектор валового выпуска. Обозначим через вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный . Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме , второй отрасли в объеме , и т.д., n-й отрасли в объеме . На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная + + … + . Следовательно, для выпуска продукции в объеме первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную

(++…+ ). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

= (++…+ ) +.

Разделив это равенство на получаем:

= + + … + + ,

где = / - норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

= + + … + + ,

= + + … + + .

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

p+ v,

где v = (,…,),Т - вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у - на v, А - на [7, С. 200].

5. Примеры решения задач

Рассмотрим сначала простую макроэкономическую модель, которая предполагает наличие всего двух секторов экономики: производители потребители. От производителей идет поток товаров и услуг, а от потребителей-поток денег.



Рис.2

Все потоки будем измерять в стоимостных (денежных) величинах.

Вся произведенная продукция (товары и услуги) делится на промежуточный продукт и конечный продукт.

Промежуточный продукт- это та часть совокупного продукта, которой производители обмениваются между собой или используют для собственных нужд.

Конечный продукт (конечный спрос) - вся продукция, которая используется вне сферы материального производства.

Пример 1.Пусть производители состоят всего из двух фирм . Предположим, что совокупный продукт, выпускаемый за один год, составляет в стоимостном выражении 400 ден.ед. Для этого производства используется продукция собственный подразделений в объеме 40 ден.ед. и закупленном у фирмы в объеме 320 ден.ед. Аналогичные цифры для совокупный продукт- 500, поставки собственных подразделений - 100, закупки у - 200. Таким образом, поставляет сама себе 40 единиц и - 200 единиц. Если из совокупного продукта ,равного 400, вычесть промежуточный продукт, то получится конечный продукт - 160.

400-40-200=160.

Аналогично поставляет сама себе 100 единиц и - 320, что дает в сумме промежуточный продукт, а конечный продукт:

500-100-320=80.

Далее удобно перейти к нормированным величинам, т.е. к затратам, отнесенным к единице (в стоимостном выражении) продукции (см. рис.3).

Фирма	Поставки фирме
	1	2
1	0,1	0,4
2	0,8	0,2

Рис. 3

Здесь первый столбец показывает, что для производства единицы продукции необходимы поставки (самой себе) в размере 0,1 , а от в размере 0,8.

Действительно, разделив поставки (самой себе) это 40 на совокупный продукт (это 400), получаем =0,1. Аналогично для поставок на единицу продукции : =0,8.

Второй столбец таблицы относится, соответственно, к поставкам фирме для производства единицы продукции. Значит, что

А= - матрица прямых затрат.

Гипотеза линейности означает, что выпуск продукции предполагается пропорциональным прямым затратам. В рассматриваемом примере это означает следующее: если обозначить совокупный продукт фирм через соответственно, а конечный продукт - через , то будем иметь систему ЛАУ:

решая, получим ;

Пусть конечный продукт должен составить 70, а - 120. Требуется определить необходимый совокупный продукт каждой фирмы.

А=, (Е-А)=, det (E-A)=0,40;

, тогда .

Следовательно, чтобы удовлетворить конечный спрос, совокупный продукт .

Пример 2. На рис. 4 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед. Нужно вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроение сохраниться на прежнем уровне.

Отрасль	Потребление	Конечный продукт
	Энергетика	Машиностроение
Производство	Энергетика	7	21	72
	Машиностроение	12	15	123

Рис.4

Имеем =100, =150, =7, =21, =12,=15, =72,=123. По формуле (3.3) находим коэффициенты прямых затрат: =0,07; =0,14;

=0,12; =0,10, то есть матрица прямых затрат

имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: max{0,07+0,12;0,14+0,10}=max{0,19;0,24}= 0,24<1. Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле . Найдем матрицу полных затрат :

.

Так как det|E-A|=0,8202?0, то отсюда следует:

.

По условию вектор конечного продукта Тогда получаем вектор валового выпуска:

То есть валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а машиностроительной - до 160,5 усл. ед.

Пример 3. Для трёхотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

, .

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц:

Находим матрицу (E-A):

(E-A)=.

Вычисляем определитель этой матрицы:

det

Транспонируем матрицу (E-A):

.

Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы :

Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

Чтобы найти матрицу коэффициентов полных материальных затрат, воспользуемся формулой матричной алгебры:

det (E-A).

Получим:

Найдем величину валовой продукции трех отраслей (вектор Х):

Итак, теперь определим квадраты материального межотраслевого баланса. Для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину = 775.3; элементы второго столбца матрицы А умножить на = 510.1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на =729.6.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся как разность между объёмами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Наконец, четвертый квадрант в данном примере состоит из одного показателя и служит также для контроля правильности расчёта: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчёта представлены в таблице на рис.5

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1 2 3	232.6 155.1 232.6	51.0 255.0 51.0	291.8 0.0 145.9	200.0 100.0 300.0	77.3 510.1 729.6
Условно чистая продукция	155.0	153.1	291.9	600.0
Валовая продукция	775.3	510.1	729.6		2015.0

Рис. 5

Пример 4.Выясним, какой запас продуктивности имеет матрица

А.

В данном случае мы имеем, что

E-µA=.

Определитель этой матрицы

Det=|E-µA|=(1-0,2)(1-0,3µ)-0,54=-0,48-0,5µ+1.

Обратной матрицей будет

=.

Для продуктивности матрицыµА нужно, чтобы все элементы обратной матрицы были неотрицательны. Это возможно лишь если

Приближенные корни уравнения |E-µA|=0 будут

поэтому

При матрица µА будет продуктивной, а при µ= - нет.

Запас продуктивности матрицы А равен 0,015. Видно, что матрица А находится где-то «на пределе» продуктивности.

Пример 5. Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида

i,j=1,2,3,4 и матрицу валовой продукции вида.

Необходимо определить конечный продукт Y.

Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции суммы элементов соответствующих строк матрицы .

Рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовый продукт окажется равным

=;

Матрица прямых затрат будет иметь следующий вид:

A=;

Найдем коэффициенты прямых затрат:

(Е-А)=

Тогда вектор конечного продукта будет иметь вид:

.

Заключение

Как свидетельствует экономическая теория, в экономике зачастую действуют устойчивые закономерности, поэтому в этом случае возможно их строго формализованное математическое описание. Однако разработка математических моделей чрезвычайно трудоемка, но еще труднее создать достаточно адекватную математическую модель.

Математическая формализация замечательна тем, что она конструирует с заданной степенью точности идеальный экономический процесс и позволяет выявить его существенные свойства, которые в реальном объекте затемнены.

Модель Леонтьева основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа для расчета связей между отраслями через выпуск и потребление разного рода. С ней тесно связана модель равновесных цен [8] и модель международной торговли [5], а также вопросы использования трудовых ресурсов[8]. С другой стороны, модель Леонтьева является частным случаем модели Неймана [2]. Все вышеуказанные модели служат ярким пример применения математических методов в экономике.

Приложение

Жизнь и научная деятельность Леонтьева В.В.

Василий Васильевич Леонтьев родился 5 августа 1905 года в Петербурге. Предки Леонтьева были простые крестьяне, но прадед оторвался от земли и переехал в Петербург. Дед Василия разбогател, открыв там ткацкую фабрику. Один из его сыновей женился на англичанке, откуда пошла британская ветвь семьи Леонтьевых. Отец будущего нобелевского лауреата был уже русским интеллигентом, профессором экономики труда Петербургского университета. Так что Василий шел по проторенной тропе, но шел неимоверно быстро: в четырнадцать лет он окончил гимназию и в 1921 году поступил в Петроградский университет, где изучал философию, социологию, а затем и экономику.

Будучи в университете в статусе вундеркинда, несмотря на все потуги «единственно верного» учения, диамата, он позволял себе называться «меньшевиком». В 1925 году Леонтьев уже окончил четырехгодичный курс университета и получил диплом экономиста. Подросток прочел в библиотеке университета много книг по экономике на русском, английском, французском и немецком языках.

По окончании университета он устроился преподавать экономическую географию, одновременно подал заявление на визу в Германию, чтобы продолжить образование в Берлинском университете. Разрешение поступило через шесть месяцев. В Германии он продолжил учиться и стал работать над докторской диссертацией в Берлинском университете под руководством известного немецкого экономиста и социолога Зомбарта и крупного статистика-теоретика, выходца из России, Вл. Борткевича. Темой диссертации Леонтьева было исследование народного хозяйства как непрерывного процесса. Не оставляя учебу, он начал свою профессиональную карьеру в качестве экономиста-исследователя Института мирового хозяйства при Кильском университете, занимаясь изучением производной статистического спроса и кривой предложения. В 1928 году Леонтьев получил степень доктора наук.

Глубина экономического мышления сочеталась у Леонтьева с сильной математической подготовкой. В конце двадцатых -- начале тридцатых годов он провел ряд оригинальных исследований по изучению эластичности спроса и предложения, статистическому измерению промышленной концентрации, использованию кривых безразличия для объяснения некоторых закономерностей международной торговли. Одна из первых научных статей Леонтьева была посвящена анализу баланса народного хозяйства СССР за 1923--1924 годы, который представлял собой первую в экономической практике тех лет попытку представить в цифрах производство и распределение общественного продукта с целью получения общей картины кругооборота хозяйственной жизни. Баланс явился прообразом разработанного впоследствии ученым метода «затраты--выпуск». Статья была написана на немецком языке и опубликована в октябре 1925 года Перевод на русский язык под названием «Баланс народного хозяйства СССР. Методологический разбор работы ЦСУ» появился два месяца спустя в декабрьском номере журнала «Плановое хозяйство». Для заработка ученому приходилось писать статьи и в коммерческие журналы. Годом раньше в Берлин прибыл в командировку его отец, сменивший к тому времени университет на наркомат финансов. Да там же, в Берлине, и остался: ЧК уже подбиралась к нему.

В перерыве ученый познакомился с китайскими коммерсантами, каким-то образом попавшими в Киль. Китайцы предложили ему на год контрактную работу в Нанкине, тогдашней столице Китая" Это сделало его специалистом по экономическому планированию развивающихся стран. Так в 1929 году он отправился в Азию в качестве экономического советника министерства железных дорог в правительстве Китая. После возвращения в Германию продолжал работать в Институте мирового хозяйства.

В 1931 году директор Национального бюро экономических исследований (США), известный американский экономист-статистик, специалист в области анализа экономических циклов и конъюнктуре. УМитчелл пригласил Леонтьева на работу в бюро, и тот переехал в США. Затем Леонтьев обратился в Гарвардский университет. Профессор Гэй, который предложил Леонтьеву профессорскую должность при условии, что он займется нужными ему статистическими вычислениями. В ответ соискатель предложил собственную тему для исследования по экономическому планированию. Тогда Гэй написал, что по решению кафедры предлагаемая тема не слишком интересна, но Леонтьеву все-таки могут выделить крошечный годичный грант на научную должность и право прочесть лекцию. В уютный Кембридж, пригород Бостона, где находится Гарвардский университет, Леонтьев отправился с новыми надеждами и со своей женой, поэтессой Эстел Хеллен Маркс, на которой он женился уже в Америке.

С 1932 года Леонтьев начал преподавать политическую экономию в Гарвардском университете. Вскоре в Америку перебрались и родители Леонтьева.

В том же году Леонтьев организовал в Гарварде научный коллектив под названием Гарвардский проект экономических исследований и бессменно возглавлял его до закрытия в 1973 году. Этот коллектив стал центром исследований экономических процессов по методу «затраты--выпуск». Одновременно все эти годы Леонтьев оставался профессором Гарвардского университета, а с 1953 до 1975 год был также заведующим кафедрой политической экономии им. Генри Ли.

В тридцатые годы Леонтьев занимался изучением “роли агрегированных экономических показателей объема выпуска продукции” и общего уровня цен. В 1937 году в «Ежеквартальнике по политической экономии» опубликовал статью «Слепое» теоретизирование.

В марте 1938 года в приложении к «Американскому экономическому обозрению» Леонтьев поместил работу «Современное значение экономической теории К. Маркса», которая содержала попытку объективного анализа экономической теории Маркса с позиций науки тридцатых.

Наиболее полно исследовательский талант Леонтьева раскрылся в его главном научном достижении -- разработке метода «затраты--выпуск». Основу подхода Леонтьева к планированию заложили еще французские «физиократы» в XVIII веке во главе с Франсуа Кесне. Они хотя и исходи ли из неверного тезиса, будто только сельскохозяйственная деятельность имеет экономический смысл, а все остальные производства лишь расходуют ресурсы, зато предложили верный методологический подход к проблеме экономического планирования. Физиократы использовали «технологические таблицы», позволяющие учитывать все, что производит и потребляет всякая экономическая система. Этот подход развил в математической форме в XIX веке французский экономист Леон Вальрас.

Признавая систему взаимозависимостей Вальраса, Леонтьев впервые применил на практике анализ общего равновесия в качестве инструментария при формировании экономической политики. Предложенная Леонтьевым алгебраическая теория анализа «затраты--выпуск» сводится к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции. Реалистическая гипотеза и относительная простота измерений определили большие аналитические и прогностические возможности метода «затраты--выпуск». Леонтьев показал, что коэффициенты, выражающие отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат) могут быть оценены статистически, что они достаточно устойчивы и что их можно прогнозировать. Более того, Леонтьевым было показано существование наиболее важных коэффициентов, изменения которых необходимо отслеживать в первую очередь.

Расчеты по методу Леонтьева (в нашей науке их стали называть экономико-математическими методами межотраслевого баланса) требовали современной вычислительной техники, без которой решение линейных уравнений оказывалось за пределами возможного. Начиная с 1933 года Леонтьев сосредоточился на преодолении этих трудностей путем сбора коэффициентов для 44-отраслевой таблицы «затраты--выпуск» (около 2000 коэффициентов). Поскольку решение системы, состоящей из 44 линейных уравнений, было в то время невозможно, он объединил для расчетных целей 44 отрасли в 10. Для проверки стабильности коэффициентов текущих материальных затрат в США были составлены межотраслевые балансы за 1919--1929 годы. Результат этого исследования под названием «Количественный анализ соотношений «затраты--выпуск» в экономической системе США» был опубликован в 1936 году. Центральное место в нем занимала таблица коэффициентов, составленная для экономики США в 1919 году, размерностью 41х41. Примерно в это время Леонтьев тесно сотрудничал с профессором Массачусетсского технологического института Джоном Б. Вилбуром -- изобретателем компьютера, способного решать системы из девяти линейных уравнений. Леонтьев свел 41-размерную матрицу к 10-размерной и использовал компьютер Вилбурадля получения коэффициентов полных затрат валовой продукции на производство единицы конечной продукции. Возможно, он был первым, кто применил компьютер в исследовании экономических систем.

В 1941 году была составлена 41-размерная таблица межотраслевых потоков, рассчитанная для 1929 года, которая затем также была агрегирована в 10-размерную. На ее основе Леонтьев рассчитал объемы выпуска валовой продукции, необходимые для удовлетворения конечного спроса (валовое накопление, текущее потребление, правительственные закупки). Обе межотраслевые таблицы были опубликованы в монографии «Структура американской экономики в 1919--1929 гг.: эмпирическое применение анализа равновесия». Сравнение таблиц Леонтьевым давало возможность проверить устойчивость коэффициентов материальных затрат и выяснить возможности эффективного прогнозирования. Оно, однако, не позволяло прийти к однозначному выводу, частично из-за отсутствия достаточно четких критериев устойчивости оцениваемых коэффициентов. Тем не менее межотраслевые таблицы были признаны вполне целесообразными, а их создатель был приглашен в Статистическое бюро занятости США в качестве консультанта. С помощью метода «затраты--выпуск» бюро составило таблицу, включающую четыреста отраслей, которая была использована для прогнозирования занятости населения в послевоенный период.

В 1944 году Леонтьев составил таблицу коэффициентов текущих материальных затрат за 1939 год и, сопоставив ее спредыдущими, обнаружил достаточную степень устойчивости большинства коэффициентов за два десятилетия. Используя последнюю таблицу, он опубликовал в 1944--1946 годах три статьи в журнале «Ежеквартальник по политической экономии», где с помощью своего метода дал оценку влиянию занятости, заработной платы и цен на выпуск валовой продукции по отдельным отраслям американской промышленности.

С конца сороковых годов, после основания Гарвардского проекта экономических исследований с целью применения и распространения метода «затраты--выпуск», особое внимание Леонтьев уделял развитию межрегионального анализа «затраты--выпуск» и составлению матрицы инвестиционных коэффициентов, с помощью которых можно было бы судить о последствиях изменения конечного спроса на инвестиции. Этим было положено начало динамическому методу «затраты--выпуск», на основе которого стало возможным анализировать экономический рост. Результаты исследований были опубликованы в книгах Леонтьева «Структура американской экономики, 1919--1939 гг.: эмпирическое применение анализа равновесия» (1951) и «Исследования структуры американской экономики» (1953). Одним из важнейших результатов этих исследований стал т. н. «парадокс», или «эффект Леонтьева», заключающийся в том, что если принять во внимание прямые и косвенные затраты в процессе воспроизводства, то экспорт для США оказывается более трудоемким и менее капиталоемким, чем импорт. Это означает, что хотя в США очень сильна инвестиционная сфера и высока заработная плата, они импортируют капитал и экспортируют труд.

На протяжении пятидесятых и шестидесятых Леонтьев совершенствовал свою систему. С появлением более сложных компьютеров он увеличивал количество секторов экономики, подлежащих анализу, освобождался от некоторых упрощающих допущений, прежде всего от условия, что технические коэффициенты остаются неизменными, несмотря на изменение цен и технический прогресс. На основе метода «затраты--выпуск» Леонтьева и сотрудники Гарвардского проекта экономических исследований проводили оценки инфляционного влияния в регулировании заработной платы, рассчитывали затраты на вооружение и их воздействие на разные отрасли экономики, осуществляли прогнозирование темпа роста отраслей экономики и необходимые для этого капитальные вложения.

Поскольку метод «затраты--выпуск» доказал свою полезность в качестве аналитического инструмента в сфере региональной экономики, шахматные балансы по методу Леонтьева стали составляться для хозяйства отдельных американских городов. Постепенно составление таких балансов стало стандартной операцией. Управление межотраслевой экономики в составе министерства торговли США, например, начало публиковать такие балансы каждые пять лет. ООН, Всемирный банк и большая часть правительств различных стран мира, включая СССР, взяли на вооружение метод Леонтьева в качестве важнейшего метода экономического планирования и бюджетной политики. Он стал главной составной частью систем национальных счетов большинства стран мира, применяется и совершенствуется до сих пор правительственными и международными организациями и исследовательскими институтами во всем мире. Анализ по методу «затраты--выпуск» признан классическим инструментом экономического анализа, а его автор считается ученым, внесшим крупнейший вклад в экономическую науку XX века.

В течение всей своей научной деятельности Леонтьев неукоснительно следовал принципу, что экономические понятия бессмысленны и могут лишь вводить в заблуждение, если соответствующие процессы нельзя оценить реально, с помощью экономической практики. Современную экономическую науку он рассматривает как прикладную, эмпирическую, реальная польза которой оценивается в зависимости от того, как экономические теории применяются в реальной жизни. Теоретизирование, по словам Леонтьева, требует вдохновения и технических навыков, а сбор фактов -- в частности, для разработки сложных моделей -- гораздо больше пота и слез и всегда увеличивающегося объема времени и затрат.

Неудивительно, замечает он, что мы сталкиваемся с избытком теоретических моделей и недостатком данных, необходимых, чтобы эти модели не остались на бумаге. С особой осторожностью рекомендовал Леонтьев относиться к использованию в экономическом анализе математических моделей, полагая, что сложные математические конструкции формального свойства мало способствуют постижению структуры и принципов функционирования реальной экономической системы. Соотношению экономической теории и прикладных исследований он посвятил свою речь после избрания его президентом Американской экономической ассоциации в1970 году.

В своем президентском послании Детройтской экономической ассоциации он объявил, что «порок современной экономики -- не равнодушие к практическим проблемам, как полагали многие практики, а полная непригодность научных методов, с помощью которых их пытаются решать». И, пожалуй, самым ярким примером этой непригодности стала неспособность экономистов предвидеть экономический крах коммунизма. Леонтьев принципиально не был кейнсианцем, так как не разделял подхода английского экономиста Джона Кейнса, согласно которому для управления экономической системой достаточно выбрать два-три-четыре главных, укрупненных показателя, с помощью которых вы можете контролировать всю экономическую систему, не управляя каждым из продуктов. По-видимому, в эффективной системе рычагов управления должно быть немного, но все же больше, чем два. Однако Леонтьев считал, что подход Кейнса может помочь стабилизировать экономику, предотвратить провалы, которые были в двадцатые-тридцатые годы в виде мировых кризисов.

В своих практических оценках Леонтьеву удалось правильно оценить ряд тенденций в глобальной экономике США, Японии, ФРГ и других стран, а также в поведении рынков товаров и услуг и рыночное положение отдельных компаний.

В 1969 году Леонтьев посетил Кубу и дал скептическую оценку планам Фиделя Кастро по подъему экономики страны. Действительность показала, что эта оценка была близка к реальности. Ученый побывал также в Китае, и недавний подъем китайской экономики содержит элементы его рекомендаций. Его вклад есть и в японском «экономическом чуде».

В 1973 году Леонтьев был удостоен Нобелевской премии по экономике «за развитие метода «затраты--выпуск» и его применение к решению важных экономических проблем». Будучи одним из первых экономистов, обеспокоенных воздействием экономической деятельности человека на окружающую среду, Леонтьев в своей Нобелевской лекции, озаглавленной «Структура мировой экономики. Основы простой формулировки метода «затраты--выпуск»», изложил модель «затраты--выпуск» применительно к мировой экологии, где загрязнение окружающей среды фигурировало как самостоятельный сектор.

В 1975 году Леонтьев перешел на работу в Нью-йоркский университет. Три года спустя он организовал при университете Институт экономического анализа и вплоть до 1986 года являлся его директором. И оставив в восьмидесятилетнем возрасте административный пост, Василий Васильевич продолжал активную исследовательскую работу.

В последние десятилетия Леонтьев все больше обращался к проблемам роста мировой экономики, ее влияния на окружающую среду, анализу потребностей в природных ресурсах, к исследованию отношений между развитыми и развивающимися странами. В рамках ООН он руководил в середине семидесятых глобальным исследовательским проектом, задачей которого являлось прогнозирование развития мировой экономики до 2000 года. Итоги этой работы были опубликованы в книге «Будущее мировой экономики» (1977).

В последнее время Леонтьев жил в Нью-Йорке. Единственная дочь супругов Леонтьевых Светлана Альперс -- профессор истории искусств в Калифорнийском университете в Беркли. В последние годы Василий Васильевич установил тесную связь с родиной, он и его близкие неоднократно приезжали в родной город Петербург.

Умер Леонтьев зимой 1999 года.

Список использованной литературы

1.Колемаев, В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем. /В.А.Колемаев.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 295 с.

2.Колемаев, В.А. Математическая экономика. /В.А.Колемаев.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1998.-240 с.

2.Розен, В.В. Математические модели принятия решения в экономике.В.В.Розен.- М.: Книжный дом «Университет», Высшая школа, 2002. - 288 с.

3.Таха,Х.А. Введение в исследований операций. М.:/А.Х.Таха.- Издат. дом «Вильямс», 2005. - 912 с.

4.http://www.100velikih.com/view898.html

5.Высшая математика для экономистов /под ред. проф. Н.Ш.Кремера.- М: ЮНИТИ, 1997. - 423 с.

6.Камаев В,Д. Экономическая теория. / В.Д. Камаева. М.: Гуманит. изд центр ВЛАДОС, 2002. - 592 с.

7.Красс, М.С. Математика для экономических специальностей. /М.С.Красс.-М.: Инфра-М, 1999. - 464 с.

8.Солодовников, А.С., Бабайцев, В.А., Браилов, А.В. Математика в экономике./ А.С.Солодовников. М.: «Финансы и статистика», 1999.-220 с.

9. Шикин, Е.В. Математические методы и модели в управлении./Е.В.Шишкин.- М.: Дело, 2000. - 440 с.

Размещено на Allbest.ru