Статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статистика

Задача 1

При выборочном обследовании 1% изделий партии готовой продукции получены следующие данные о содержании влаги в образцах:

Таблица 1

Процент влажности	Число проб
до 14 14 - 16 16 - 18 18 - 20 свыше 20 Итого:	5 25 35 20 15 100

На основании этих данных вычислить:

1. среднюю сменную выработку;

2. моду и медиану;

3. размах вариации;

4. среднее линейное отклонение;

5. дисперсию;

6. среднее квадратическое отклонение;

7. коэффициент вариации, оцените однородность совокупности;

8. с вероятностью 0,997 возможные пределы, в которых ожидается средний процент влажности всей готовой продукции;

9. с вероятностью 0,954 возможные пределы удельного веса стандартной продукции при условии, что к нестандартной продукции относятся изделия с влажностью до 14% и свыше 20%;

10. сделайте выводы.

Решение:

Поскольку в данном случае данные сгруппированы, то необходимо определить среднее значение для каждой группы.

Группа 1 - процент влажности менее 14 - среднее значение 13

Группа 2 - процент влажности 14 - 16 - среднее значение 15

Группа 3 - процент влажности 16 - 18 - среднее значение 17

Группа 4 - процент влажности 18 - 20 - среднее значение 19

Группа 5 - процент влажности более 20 - среднее значение 21

Среднее арифметическое по группировке определяется как среднее арифметическое взвешенное по формуле

, где

Х_срi - среднее значение показателя по i-ой группе

f_i - частота i-ой группы (число проб)

Х_ср = (13 * 5 + 15 * 25 + 17 * 35 + 19 * 20 + 21 * 15) / (5 + 25 + 35 + 20 + 15) = 1730 / 100 = 17,3 %

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Мо = 16 + 2 * (35 - 25) / ((35- 25) + (35 - 20)( = 16,8% - это наиболее часто встречающееся значение влажности в группировке.

Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).

Медиана - признак делящий совокупность на две равные части.

накопленная частота медианного интервала;

накопленная частота в интервале перед медианным;

Ме = 16 +2 * (100/2 - 30) / 65 = 16,615%

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Размах вариации - это разность между наибольшим (х_max) и наименьшим (х_min) значениями вариантов.

R = х_max - х_min

Поскольку верхняя и нижняя группа являются открытыми, то минимальное и максимально значение группировки вычисляется по формулами

Х_min = 14 - i/2 = 14 - 1 = 13 %

Х_max = 20 + - i/2 = 20 + 1 = 21 %

R = 21 - 13 = 8 % - разность между наибольшим и наименьшим значением показателей.

Средне линейное отклонение - среднее значение отклонений всех вариантов ряда от средней арифметической:

- для несгруппированных данных;

- для сгруппированных данных.

Среднее линейное отклонение = (/13 - 17,3/ * 5 + /15 - 17,3/ * 25 + /17 - 17,3/ * 35 + /19 - 17,3/ * 20 + /21 - 17,3/ * 15) / (5 + 25 + 35 + 20 + 15) = 179 / 100 = 1,79

Дисперсия - рассеивание, данный показатель характеризует рассеивание значений признака относительно его средней величины.

Дисперсия - среднее квадратическое отклонение всех вариантов ряда от средней арифметической. Определяется она по формуле

- для несгруппированных данных;

- для сгруппированных данных.

В данном случае

у² = (?(13 - 17,3)²*5 + (15 - 17,3)²*25 + (17 - 17,3)²*35 + (19 - 17,3)²*20 + (21 - 17,3)²*15) / 100 = 491 / 100 = 4,91

Если извлечь квадратный корень из дисперсии, получим средне квадратическое отклонение.

- для несгруппированных данных;

- для сгруппированных данных.

Средне квадратическое отклонение у заметно больше, чем аналогичный ему по смыслу среднее линейное отклонение. Данный показатель является более чувствительной к вариации и поэтому применяется чаще.

Абсолютные измерители вариации (дисперсия, среднеквадратическое отклонение) ограниченно пригодны для сравнительного анализа вариаций различных совокупностей.

Для цели сравнительного анализа применяют относительные показатели, коэффициенты вариации. Наиболее распространенной формой коэффициентов вариации является , он показывает, какой процент от средней арифметической составляет среднеквадратическое отклонение х = 2,22 / 17,3 * 100 = 12,83 % составляет коэффициент вариации.

Поскольку коэффициент вариации меньше 33 %, то можно сказать, что совокупность однородна.

Задача 2

На мебельной фабрике имеются следующие данные о продукции и ее себестоимости:

Таблица 2

Виды продукции	Количество продукции	Себестоимость1 шт. (у.е.)
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
Шкафы книжные Столы письменные ИТОГО:	3000 2200	3200 2600	37,0 70,0	34,0 64,0

Определите:

1) индивидуальный индекс цен и количества проданных товаров;

2) общий индекс себестоимости единицы продукции;

3) общий индекс физического объема товарооборота;

4) выполните факторный анализ;

5) определите, насколько изменилась величина затрат в фактических ценах.

Сделайте выводы.

Решение:

Индивидуальные индексы определяются по формулам:

индекс себестоимости i_z= z₁ / z₀, где

z₁ - себестоимость продукции в отчетном периоде;

z₀ - себестоимость продукции в базисном периоде;

индекс объема продукции i_q= q₁ / q₀,где

q₁ - объем продукции в отчетном периоде;

q₀ - объем продукции в базисном периоде.

Индекс себестоимости шкафов книжных

I_zшкаф = 34 / 37 = 0,92

Индекс себестоимости столов письменных

I_zстол = 64 / 70 = 0,91

Индекс объема шкафов письменных

I_qшкаф = 3 200 / 3 000 = 1,07

Индекс объема столов письменных = 2 600 / 2 200 = 1,18

Общий индекс себестоимости единицы продукции определяется по формуле

I_zобщ = (34 * 3 200 + 64 * 2 600) / (37 * 3 200 + 70 * 2 600) = 275 200 / 300 400 = 0,9161

Общий индекс себестоимости единицы продукции составляет 0,916.

Общий индекс физического объема можно определить по формуле

= (37 * 3200 + 70 * 2600) / (3000 * 37 + 2200 * 70) = 300 400 / 251 800 = 1,193

Индекс затрат на продукцию определяется по формуле

I_zq = (34 * 3 200 + 64 * 2 600) / (37 * 3 000 + 70 * 2 200) = 275 200 / 251 800 = 1,092

Факторный анализ

Прирост затрат на продукцию в отчетном году относительно планового составил

А_zq = 275 200 - 265 000 = 10 200 руб.

Затраты на продукцию изменилась, как за счет изменения объема, так и за счет изменения себестоимости единицы продукции.

Изменение затрат на продукцию за счет изменения объема выпуска можно рассчитать

А_q = 37 * (3 200 - 3 000) + 70 * (2 600 - 2 200) = 35 400 руб.

Изменение затрат на продукцию за счет изменения себестоимости единицы продукции можно рассчитать

А_z = 3 200 (34 - 37) + 2 600 * (64 - 70) = - 25 200 руб.

Проверить полученные результаты можно сложив оба изменения

А_zq = А_q + А_z = 35 400 - 25 200 = 10 200 руб.

Как видим, затраты на продукцию увеличились за счет увеличения выпуска продукции, но при этом уменьшились за счет уменьшения себестоимости единицы продукции.

Рассчитаем изменение затрат в фактических ценах

?A = (3 200 - 3000) * 34 + (2 600 - 2200) * 64 = 34 200 руб.

Задача 3

За июль и август по цехам завода имеются следующие данные о заработной плате рабочих:

Таблица 3

Номер цеха	Июль	Август
	средняя заработная плата, у.е.	число рабочих, чел.	средняя заработная плата, у.е.	фонд заработной платы, у.е.
1 2 3 ИТОГО	122 116 120	412 200 300 912	130 120 140	28600 13400 21900 63 900

Вычислите месячную заработную плату в среднем по заводу:

а) за июль;

б) за август.

Дайте обоснование применения соответствующих формул средних, используя Исходное Соотношение Средней.

Решение:

А) средняя заработная плата по заводу за июль можно определить по формуле:

ЗП_ср = ФОТ_зав / Ч_зав, где

ЗП_ср - средняя заработная плата по заводу,

ФОТ_зав - общий фонд оплаты труда по заводу;

Ч_зав - общая численность рабочих по заводу.

, где

ЗП_срi - средняя заработная плата по i-му цеху;

Ч_срi - средняя численность рабочих по i-му цеху

J - количество цехов.

ФОТ_зав = 122*412 + 116*200 + 120*300 = 109 464 у.е.

, где

Ч_срi - средняя численность рабочих по i-му цеху

Ч_зав= 412 + 200 + 300 = 912 чел

ЗП_ср=109 464 у.е / 912 чел ? 120,03 у.е.

Б) средняя заработная плата по заводу за август можно определить по формуле:

ЗП_ср = ФОТ_зав / Ч_зав, где

ЗП_ср - средняя заработная плата по заводу,

ФОТ_зав - общий фонд оплаты труда по заводу;

Ч_зав - общая численность рабочих по заводу.

,где

ФОТ_i - фонд оплаты труда по i-му цеху

ФОТ_зав = 28 600 + 13 400 + 21 900 = 63 900 у.е.

, где

Ч_срi - средняя численность рабочих по i-му цеху

Ч_срi - ФОТ_i / ЗП_срi, где

ЗП_срi - средняя заработная плата по i-му цеху

Ч_зав= 28600 / 130 + 13400 / 120 + 21 900 / 140 = 488 чел.

ЗП_ср = 63 900 / 488 ? 130,94 у.е./чел

Средняя заработная плата по заводу за август больше средней заработной платы за июль на 10,94 у.е. (130,94 у.е. - 120 у.е. = 10,94 у.е.)

При решении данной задачи используется формула средне-взвешенной величины, поскольку численность рабочих по цехам не равнозначна и применение среднеарифметической дает неверный результат.

Как видим, в августе средняя заработная плата рабочих выше, чем в июле, несмотря на снижение как фонда оплаты труда по цехам. Численность рабочих так же снизилась, что и привело к увеличению средней заработной платы по заводу.

Задача 4

Динамика средних цен и объема картофеля на колхозных рынках двух городов характеризуется следующими данными:

Таблица 4

Города	Средняя цена 1 кг., у.е.	Продано картофеля, тыс. кг.
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
А Б	5 3	4 2	50 60	60 100

На основании этих данных вычислите:

1. индекс себестоимости переменного состава;

2. индекс себестоимости постоянного состава;

3. индекс структурных сдвигов;

4. изменение средней цены (в абсолютных величинах) в целом и за счет действий отдельных факторов;

5. покажите взаимосвязь индексов.

Решение:

Индекс переменного состава характеризует изменение индексированных показателей под действием двух факторов:

- Применение качественного показателя у отдельных вариантов ряда (в данном случае изменение себестоимости единицы продукции на отдельных предприятиях);

- Изменения вследствие структурных сдвигов количественных показателей

Индекс переменного состава рассчитывается по формуле

,где

p₁ - цена отчетного периода;

p₀ - цена базисного периода;

g₁ - объем продаж отчетного периода;

g₂ - объем продаж базисного периода

J_pg = ((60*4 +100*2)/(60+100)) / ((50*5 + 60*3)/(50+60)) = 2,75 / 3,9 = 0,7051

Индекс цен постоянного состава рассчитывается по формуле

J_p = ((60*4 +100*2)/(60+100)) / ((60*5 + 100*3)/(100+60))= 2,75 / 3,75 = 0,7333

Индекс структурных сдвигов можно рассчитать, используя следующую взаимосвязь индексов

индекс переменного состава = индекс цен постоянного состава * индекс структурных сдвигов

J_pg = J_p * J_g

Следовательно

J_g (индекс структурных сдвигов) = J_pg / J_p

J_g (индекс структурных сдвигов) = 0,7051 / 0,7333 = 0,9615

Изменение средней цены

Изменение средней цены в абсолютном выражении рассчитывается по формуле

А_pg = (60*4 +100*2)/(60 + 100) - (50*5 + 60*3)/(50 + 60) = 2.75 - 3 = 0.25 руб./кг - абсолютное изменение средней цены.

Изменение средней цены за счет изменения цен в городах

А_p = (60*4 +100*2)/(60 + 100) - (60*5 + 100*3)/(100+60) = 2,75 - 3,75 = - 1,00 руб./кг - изменение средней цены за счет изменения цен в городах

Изменение средней цены за счет изменения объема продаж

А_g = (60*5 + 100*3)/(60 + 100) - (50*5 + 60*3)/(50 + 60) = 3,75 - 3 = 0,75

Проверить полученные результаты можно используя взаимосвязь данных показателей

А_pg = А_p + А_g = - 1,00 + 0,75 = 0,25 руб./кг

Задача 5

Добыча нефти характеризуется следующими показателями:

Таблица 5

годы	Добыча нефти
1 2 3 4 5 6	242 265 288 309 328 349

Для анализа ряда динамики вычислите:

1) абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста (на цепной и базисной основе);

2) средний уровень и среднегодовой темп ряда динамики;

3) покажите взаимосвязь между цепными и базисными показателями;

Сделайте выводы.

Решение:

Абсолютный прирост () - это разность между последующим и предыдущим уровнями ряда (цепные) или начальным уровнем ряда (базисные). Цепной абсолютный прирост характеризует последовательное изменение уровней ряда, а базисный абсолютный прирост - изменение нарастающим итогом. Абсолютный прирост показывает, на сколько абсолютных единиц изменился данный уровень по сравнению:

а) с предыдущим уровнем при цепном способе;

б) с начальным уровнем при базисном способе.

,

где у_i - i-ый уровень ряда,

у_{i - 1} - i-1-ый уровень ряда.

,

где у_i - i-ый уровень ряда,

у₁ - начальный, базисный уровень ряда.

Между цепным и базисным абсолютным приростом существует взаимосвязь - сумма цепных дает соответствующий базисный абсолютный прирост.

Темп роста (Т_р) - это соотношение последующего уровня ряда к предыдущему (цепные темпы роста) или постоянному, принятому за базу сравнения (базисные темпы роста):

а) Цепные коэффициенты (темпы) роста рассчитываются по формуле:

,

где у_i - i-ый уровень ряда,

у_{i - 1} - i-1-ый уровень ряда.

б) базисные коэффициенты (темпы) роста рассчитываются по формуле:

,

где у_i - i-ый уровень ряда,

у₁ - начальный, базисный уровень ряда.

Цепной способ характеризует последовательное изменение, а базисный способ - изменение нарастающим итогом.

Между цепными и базисными темпами роста существует взаимосвязь - произведение цепных темпов роста дает соответствующий базисный темп роста.

Темп прироста показывает, на сколько процентов изменяется данный уровень по сравнению:

а) с предыдущим уровнем ряда при цепном способе,

б) с базисным, начальным уровнем ряда при базисном способе.

,

где - цепной абсолютный прирост i-го уровня ряда,

у_{i - 1} - i-1-ый уровень ряда.

,

где - базисный абсолютный прирост i-го уровня ряда,

у₁ - начальный, базисный уровень ряда.

Темп прироста обычно выражается в процентах и показывает, на сколько процентов увеличился (+) или уменьшился (-) текущий уровень по сравнению с предыдущим (базисным).

Темп прироста также можно определить исходя из темпа роста:

,

,

где - цепной темп роста (в коэффициентах или в процентах).

,

,

где - базисный темп роста (в коэффициентах или в процентах).

Результаты расчетов по вышеприведенным формулам представлены в таблице 6

Таблица 6

Год	1	2	3	4	5	6
Добыча нефти	242	265	288	309	328	349
Базисные показатели
Абсолютный прирост	-	23	46	67	86	107
Темп роста, %	-	109,5	119,0	127,68	135,54	144,21
Темп прироста, %	-	9,5	19	27,68	35,54	44,21
Цепные показатели
Абсолютный прирост	-	23	23	21	19	21
Темп роста, %	-	109,5	108,7	107,29	106,15	106,4
Темп прироста, %	-	9,5	8,7	7,29	6,15	6,4

Средний уровень и среднегодовой темп ряда динамики

Средний уровень ряда = (1/2у₁ + у₂ + …. + Ѕ у_n)/ (n - 1), где

Средний уровень ряда = (242/2 + 265 + 288 + 309 + 328 + 349/2) / 5 = 1 485,5 / 5 = 297,1

Среднегодовой абсолютный прирост определяется по формуле

?у_ср = ??у_цепн / n = (23 + 23 + 21 + 19 + 21) / 5 = 21,4, где

n - число цепных (погодовых) абсолютных приростов.

Средний темп роста можно определить исходя из цепных коэффициентов (темпов) роста:

,

или абсолютных уровней ряда (базисного темпа роста):

,

где - соответствующие цепные темпы роста (y_i / y_i-1),

- базисный темп роста за весь период (y_n / y₀),

n-1 - количество изменений за данный период.

Т_Рсредн = ⁵v 1,442 = 1,076 = 107,6 %

Средний темп прироста () - характеризует темп прироста в среднем за период и определяется на основе среднего темпа роста:

,

,

где - средний темп роста (в коэффициентах или в процентах).

Т_{ПРсредн} = Т_Рсредн - 100% = 107,6 - 100 = 7,6 %

Между цепными и базисными характеристиками ряда существует взаимосвязь, которую можно показать на данном примере

Абсолютный прирост базисный = ? (абсолютных приростов цепных)

107 = 23 + 23 + 21 + 19 + 21

Темп роста базисный = произведение цепных темпов роста

144,21 % = (1,095 * 1,087 * 1,073 * 1,061 * 1,064) * 100 %

Взаимосвязь между темпом прироста базисным и цепным аналогичная

Задача 6

Из отчетов 26 предприятий получены следующие данные об их работе в отчетном периоде:

Таблица 8

Заводы, №	Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб.	Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.
1	2,5	3,5
2	2,8	4
3	1,6	1
4	12,9	7
5	1,4	30
6	3	3,1
7	2,5	3,1
8	7,9	4,5
9	3,6	3,1
10	8,9	5,6
11	5,6	4,5
12	4,4	4,9
13	2,8	2,8
14	9,4	5,5
15	11,9	6,6
16	2,5	2
17	3,5	4,7
18	2,3	2,7
19	3,2	3
20	9,6	6,1
21	1,5	2
22	4,2	3,9
23	6,4	3,3
24	4,3	3,3
25	5,9	4,5
26	7,8	5,1
Итого:	132,4	129,8

Исследуйте зависимость между стоимостью продукции (результативный признак) и стоимостью основных производственных фондов (факторный признак). На основании исходных данных:

1. Постройте поле корреляции; нанесите эмпирическую линию регрессии на поле корреляции и сделайте выводы о возможной форме связи;

2. Построить линейную линию регрессии в целях синтезирования моделей зависимости задайте вид и вычислите параметры уравнения связи, нанесите полученную теоретическую линию регрессии на график;

3. Для установления практической значимости полученной модели вычислите возможные показатели тесноты связи (коэффициент детерминации, линейный коэффициент корреляции);

4. Оцените надежность полученных коэффициентов, сделайте выводы по п.п.2,3 и 4;

5. Используя полученную модель, сделайте прогноз стоимости продукции для предприятия со стоимостью основных фондов 14 млрд. рублей.

Решение:

Поле корреляции

Рисунок 2

По виду графика можно предположить трудно предположить характер зависимости между величиной основных производственных фондов и объемом товарной продукции.

Уравнение прямой зависимости имеет вида

у = а₀ + а₁t

Коэффициенты а₀ и а₁ можно определить по формулам

а₁ =

а₀ = у_ср - а₁х_ср

Для расчета коэффициентов составим таблицу 10

Таблица 10

Заводы, №	Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб., У	Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб., х	Х*У	Х2
1	2,5	3,5	8,75	12,25
2	2,8	4	11,2	16
3	1,6	1	1,6	1
4	12,9	7	90,3	49
5	1,4	30	42	900
6	3	3,1	9,3	9,61
7	2,5	3,1	7,75	9,61
8	7,9	4,5	35,55	20,25
9	3,6	3,1	11,16	9,61
10	8,9	5,6	49,84	31,36
11	5,6	4,5	25,2	20,25
12	4,4	4,9	21,56	24,01
13	2,8	2,8	7,84	7,84
14	9,4	5,5	51,7	30,25
15	11,9	6,6	78,54	43,56
16	2,5	2	5	4
17	3,5	4,7	16,45	22,09
18	2,3	2,7	6,21	7,29
19	3,2	3	9,6	9
20	9,6	6,1	58,56	37,21
21	1,5	2	3	4
22	4,2	3,9	16,38	15,21
23	6,4	3,3	21,12	10,89
24	4,3	3,3	14,19	10,89
25	5,9	4,5	26,55	20,25
26	7,8	5,1	39,78	26,01
Итого:	132,4	129,8	669,13	1351,44
Среднее	5,092	4,992	25,736	51,978

а₁ = (25,736 - 5,092*4,992) / (51,978 - 4,992²) = 0,011

а₀ = 5,092 - 4,992*0,011 = 5,037

Уравнение имеет вид

У= 5,037 + 0,011х

Нанесем расчетную линию на график

Рисунок 3

Как видим, теоретическая линия практически не совпадает с эмпирической.

Рассчитаем коэффициент корреляции по формуле

R = 0,019

Коэффициент корреляции изменяется от -1 до +1 и показывает тесноту и направление корреляционной связи.

Если отклонения по х и по у от среднего совпадают и по знаку, и по величине, то это полная прямая связь, то r = +1.

Если полная обратная связь, то r = -1.

Если связь отсутствует, то r =0.

Поскольку коэффициент корреляции более 0, то можем сказать, что связь прямая, поскольку величина коэффициента близка к 0, то можно сказать, что связь между показателями практически отсутствует.

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции

R2 = 0,00035

Можно сделать вывод, что вариация объема выпуска практически не зависит от вариации величины ОПФ.

Надежность данных коэффициентов можно оценить при помощи расчетного значения t-критерия Стьюдента, которое рассчитывается

t_расч = = 0,092

t_табл = 2,06

Поскольку расчетная величина коэффициента Стьюдента меньше табличной, то полученный коэффициент корреляции не является надежным

Рассчитаем прогнозную стоимость продукции для предприятия со стоимостью ОПФ 14 млрд.руб.

ТП = 5,092 + 0,011*14 = 5,246 млрд.руб.

статистический вариация дисперсия индекс факторный

Список использованной литературы

1. Общая теория статистики / Под. ред. А.А. Спирина, О.Э. Башиной - Москва, 1994 г.

2. Годин А.М. Статистика -Москва, 2002 г.

3. Теория статистики: Учеб. Для вузов/Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика,1996 г.

Размещено на Allbest.ru