Статистические методы изучения взаимосвязей производственных показателей фирмы (на примере производительности труда и заработной платы)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

«Статистические методы изучения взаимосвязей производственных показателей фирмы (на примере производительности труда и заработной платы)»

Введение

производительность индексный совокупность заработный

Происходящие явления и процессы органически связаны между собой, зависят друг от друга и обуславливают друг друга.

Изучение статистических закономерностей - важнейшая познавательная задача статистики, которую она решает с помощью особых методов, видоизменяющихся в зависимости от характера исходной информации и целей познания. Знание характера и силы связей позволяет управлять производственными процессами и предсказывать их развитие. Особую актуальность это приобретает в условиях мирового финансового кризиса.

Целью работы является изучение видов связей между производственными показателями на примере производительности труда и заработной платы, а также статистические методы изучения этих взаимосвязей.

Предметом работы являются взаимосвязь между производственными показателями, а именно между производительностью труда и заработной платой.

Объектом исследования методы моделирования взаимосвязей производственных показателей.

Структура работы состоит из введения, теоретической, расчетной и аналитической части, заключения.

Реализация цели предполагает решение следующих задач в теоретической части:

1. Исследование понятий производительность труда и заработная плата;

2. Рассмотрение статистических способов измерения производительности труда и заработной платы;

3. Анализ статистических методов изучения взаимосвязей между производственными показателями.

В расчетной части исследуем взаимосвязь производительности труда и заработной платы. Это означает, что должны быть рассмотрены следующие вопросы:

1. Оказывает ли влияние один фактор на другой, то есть при увеличении (уменьшении) производительности труда изменяется ли заработная плата и каким образом;

2. Определить направление связи между показателями;

3. Определить тесноту связи, то есть выяснить, как сильно влияет изменение производительности труда на изменение заработной платы.

В аналитической части курсовой работы рассмотрим процесс статистического исследования с применением компьютерной техники (MS Excel) и методов, освоенных при выполнении расчетной части задания.

Методологической и теоретической основой исследования послужили фундаментальные положения экономической науки; отдельные теоретические разработки в области статистики.

1. Теоретическая часть

1.1 Понятие производительности труда и заработной платы

Производительность труда характеризует эффективность, результативность затрат труда и определяется количеством продукции, произведенной в единицу рабочего времени, либо затратами труда на единицу произведенной продукции или выполненных работ.

Под ростом производительности труда подразумевается экономия затрат труда (рабочего времени) на изготовление единицы продукции или дополнительное количество произведенной продукции в единицу времени, что непосредственно влияет на повышение эффективности производства, так как в одном случае сокращаются текущие издержки на производство единицы продукции по статье «Заработная плата основных производственных рабочих», а в другом - в единицу времени производится больше продукции.

Заработная плата - сумма выплат в денежной и натуральной форме, получаемых наемными работниками, как правило, через регулярные периоды времени за отработанное время или выполненную работу, а также за неотработанное, но подлежащее оплате время (например, ежегодные отпуска). К заработной плате относятся премии, доплаты, надбавки, компенсационные выплаты, прямо или косвенно связанные с результатами труда наемных работников и выплачиваемые им, как правило, через регулярные промежутки времени. К заработной плате не относятся страховые взносы работодателей на социальное обеспечение своих работников, в пенсионные фонды, а также суммы, полученные работниками по договорам страхования или в виде социальных пособий из государственных и негосударственных внебюджетных фондов, в частности пособия по временной нетрудоспособности, уходу за ребенком, беременности и родам и т.п.

Уровень заработной платы характеризуется средней заработной платой одного работника.

Средняя заработная плата - заработная плата, исчисленная в среднем на одного работника или на единицу отработанного времени. Рассчитывается делением фонда заработной платы на среднесписочную численность работников или количество фактически отработанных человеко-часов за определенные периоды времени - час, день, неделю, месяц, квартал, с начала года, год.

Различают две формы оплаты труда: сдельную и повременную. При повременной форме заработная плата начисляется за фактически отработанное время в соответствии с принятой тарифной ставкой или должностным окладом. При сдельной форме заработная плата начисляется за фактически выполненный объем работы по установленным сдельным расценкам за единицу работы.

1.2 Показатели производительности труда и заработной платы

Натуральный метод измерения производительности труда характеризует выработку продукции в натуральной форме в единицу рабочего времени. Натуральные показатели производительности труда выражаются в килограммах, метрах, штуках и т.д.

Трудовой метод измерения производительности труда характеризует отношение нормативных затрат к фактическим затратам рабочего времени.

Стоимостной метод измерения производительности труда получил более широкое применение, особенно на предприятиях, выпускающих разнородную продукцию, так как дает возможность учета и сравнения разнообразных видов работ путем приведения их к единому измерителю.

Производительность труда измеряется через два показателя: выработка (прямой показатель) и трудоемкость (косвенный).

Выработка (В) определяется отношением количества произведенной продукции (Q) к затратам рабочего времени на производство этой продукции (Т), т.е. по следующей формуле:

B = Q/T (1)

Аналогично определяется часовая (В ч) и дневная (В дн) выработка на одного рабочего:

В ч = Q мес/Т час (2)

В дн = Q мес / Т дн (3)

Q мес - объем продукции за месяц (квартал, год);

Т час, Т дн - количество человеко-часов, человеко-дней (рабочего времени), отработанных всеми рабочими за месяц (квартал, год).

Выработка продукции является наиболее распространенным и универсальным показателем производительности труда.

Другим способом уровень производительности труда выражается как затраты рабочего времени на производство единицы продукции, то есть как трудоемкость изделия. Трудоемкость - обратная величина средней выработки: она уменьшается при росте производительности труда и увеличивается при ее снижении. Обозначив трудоемкость t, получим:

t= (4)

В зависимости от того, в каких единицах выражены затраты труда, производительность труда может быть годовой, дневной и часовой.

Таким образом, производительность труда (W) можно вычислить по формуле:

W=Q/T (5)

В зависимости от единицы измерения объема продукции различают три метода измерения производительности труда: натуральный, трудовой и стоимостной.

Индекс производительности труда:

(6)

Индекс уровня производительности труда находиться в зависимости от фондовооруженности и фондоотдачи:

(7)

где I_ФВ - индекс фондовооруженности, I_ФО - индекс фондоотдачи.

Для аналитических целей может быть исчислен средний уровень оплаты труда в единицу времени: среднечасовая, среднедневная и среднемесячная заработная плата.

Среднечасовая заработная плата f_час исчисляется путем деления часового фонда заработной платы на отработанные человеко-часы.

Среднедневная заработная плата f_дн исчисляется как отношение дневного фонда заработной платы к отработанному времени, учтенному в человеко-днях.

Среднемесячная заработная плата исчисляется как отношение фонда заработной платы, начисленного за месяц, к среднесписочной численности работников.

Средняя заработная плата определяется по формуле:

f=F/T, (8)

где F - фонд заработной платы,

T - среднесписочная численность работников.

Влияние фонда заработной платы на изменение средней заработной платы определяют следующим образом:

(9)

Для сопоставления темпов роста производительности труда и средней заработной платы используется показатель средней заработной платы, исчисленной с учетом выплат из фондов материального поощрения.

Сопоставление динамики производительности труда и средней заработной платы проводится либо путем сравнения индексов заработной платы и производительности труда

=, (10)

либо путем сравнения темпов прироста заработной платы и производительности труда

= (11)

Опережение роста производительности труда по сравнению с ростом заработной платы свидетельствует об уменьшении доли расходов на оплату труда в стоимости произведенной продукции и наоборот.

Таким образом, между производительностью труда и заработной платой существует зависимость.

1.3 Статистические методы изучения взаимосвязей

Для изучения, измерения и количественного выражения взаимосвязей между явлениями статистикой применяются различные методы, такие как: метод сопоставления параллельных рядов, балансовый, методы аналитических группировок, дисперсионного и корреляционного анализа.

Группировка - это процесс образования групп единиц совокупности однородных в каком-либо отношении, а также имеющих одинаковые или близкие значения группировочного признака. Для этой цели выбирается группировочный признак и разрабатывается система показателей, которыми будут характеризоваться выделенные группы. Определение и обоснование показателей целиком зависят от цели исследования и поставленной задачи. В зависимости от цели и задач исследования различают следующие виды группировок: типологические, структурные, аналитические, комбинированные.

Аналитическая группировка - это группировка, которая применяется для исследования взаимосвязи между явлениями. Используя аналитические группировки, определяют факторные и результативные признаки изучаемых явлений. Сущность метода аналитических группировок состоит в том, что единицы статистической совокупности группируются, как правило, по факторному признаку и для каждой группы рассчитывается средняя или относительная величина по результативному признаку. Затем изменения средних или относительных значений результативного признака сопоставляются с изменениями факторного признака для выявления характера связи между ними. Результаты аналитической группировки представляют в виде итоговой статистической таблицы. Корреляционная таблица является вспомогательным средствам при анализе выборочных данных.

Таким образом, по каждому из этих признаков, множество предприятий отрасли можно разбить на группы.

Интервалы группировки могут равные и неравные.

При построении статистических группировок с равными интервалами величина интервала определяется по формуле:

,

где и - максимальное и минимальное значения признака в исследуемой совокупности, n - число групп.

Результаты аналитической группировки представляют в виде итоговой статистической таблицы. В расчетной части по данным 30 предприятий выполнена аналитическая группировка, результаты которой представлены в итоговой таблице 8 задания 2 расчетной части.

Выборочный метод - это метод, при котором обследованию подвергается часть единиц изучаемой совокупности, отобранных на основе научно разработанных принципов, обеспечивающих получение достаточного количества достоверных данных, для того чтобы охарактеризовать всю совокупность в целом. Применение выборочного метода наглядно представлено в задании 3 расчетной части.

Важное значение в статистических исследованиях изучения взаимосвязей между производственными показателями на предприятиях имеет индексный метод. Полученные на основе этого метода показатели используются для характеристики развития анализируемых показателей во времени, по территории, изучения структуры и взаимосвязей, выявления роли факторов в изменении сложных явлений.

Статистический индекс - это относительная величина сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию.

Для определения индекса надо произвести сопоставление не менее двух величин. При изучении динамики социально-экономических явлений сравниваемая величина (числитель индексного отношения) принимается за текущий (или отчетный) период, а величина, с которой производится сравнение - за базисный период Наглядно применение индексного метода рассмотрено в задании 4 расчетной части.

В расчетной части в области изучения взаимосвязей необходимо не только количественная оценка их наличия, направления и силы связи, но и определение формы влияния факторного (уровня производительности труда) на результативный (размер среднегодовой заработной платы). Для ее решения применяются методы корреляционного и регрессивного анализа.

Таким образом, основными статистическими методами изучения взаимосвязей между производственными показателями являются метод аналитических группировок, выборочный метод, индексный метод и метод параллельных рядов.

2. Расчётная часть

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности региона в отчётном году (выборка 20%-ная механическая):

Таблица 1. Исходные данные

Номер пред-приятия п/п	Выпуск про-дукции, млн. руб.	Фонд заработной платы, млн. руб.	Средне-списочная числен-ность работников, чел.	Номер пред-приятия п/п	Выпуск продукции, млн. руб.	Фонд заработной платы, млн. руб.	Средне-списочная числен-ность работников, чел.
1	36,450	11,340	162	16	36,936	11,502	162
2	23,400	8,112	156	17	53,392	16,356	188
3	46,540	15,036	179	18	41,000	12,792	164
4	59,752	19,012	194	19	55,680	17,472	192
5	41,415	13,035	165	20	18,200	5,850	130
6	26,860	8,532	158	21	31,800	9,858	159
7	79,200	26,400	220	22	39,204	11,826	162
8	54,720	17,100	190	23	57,128	18,142	193
9	40,424	12,062	163	24	28,440	8,848	158
10	30,210	9,540	159	25	43,344	13,944	168
11	42,418	13,694	167	26	70,720	23,920	208
12	64,575	21,320	205	27	41,832	13,280	166
13	51,612	16,082	187	28	69,345	22,356	207
14	35,420	10,465	161	29	35,903	10,948	161
15	14,400	4,320	120	30	50,220	15,810	186

Цель статистического исследования - анализ совокупности предприятий по признакам Уровень производительности труда и Среднегодовая заработная плата, включая:

· изучение структуры совокупности по признаку Среднегодовая заработная плата;

· выявление наличия корреляционной связи между признаками Уровень производительности труда и Среднегодовая заработная плата.

· применение выборочного метода для определения статистических характеристик генеральной совокупности предприятий.

Задание 1

По исходным данным (табл. 1) необходимо выполнить следующее:

1. Построить статистический ряд распределения предриятий по среднегодовой заработной плате, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.

3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1.2), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Выполнение Задания 1

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий по признаку Среднегодовая заработная плата.

Таблица 1.2. Исходные данные

№ предпр. п/п	Уровень производительности труда, тыс. руб./чел.	Среднегодовая заработная плата, тыс. руб.	№ предпр п/п	Уровень производительности труда, тыс. руб./чел.	Среднегодовая заработная плата, тыс. руб.
1	225.00	70.00	16	228.00	71.00
2	150.00	52.00	17	284.00	87.00
3	260.00	84.00	18	250.00	78.00
4	308.00	98.00	19	290.00	91.00
5	251.00	79.00	20	140.00	45.00
6	170.00	54.00	21	200.00	62.00
7	360.00	120.00	22	242.00	73.00
8	288.00	90.00	23	296.00	94.00
9	248.00	74.00	24	180.00	56.00
10	190.00	60.00	25	258.00	83.00
11	254.00	82.00	26	340.00	115.00
12	315.00	104.00	27	252.00	80.00
13	276.00	86.00	28	335.00	108.00
14	220.00	65.00	29	223.00	68.00
15	120.00	36.00	30	270.00	85.00

1. Построение интервального ряда распределения предприятий по среднегодовой заработной плате

Для построения интервального ряда распределения определяем величину интервала h по формуле:

,

где -наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k - число групп интервального ряда.

При заданных k = 5, x_max = 120,00 тыс. руб. и x_min = 36,00 тыс. руб.

h = тыс. руб.

При h = 16,80 тыс. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница, тыс. руб.	Верхняя граница, тыс. руб.
1	36,00	52,80
2	52,80	69,60
3	69,60	86,40
4	86,40	103,20
5	103,20	120,00

Определяем число предприятий, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [), согласно которому предприятия со значениями признаков, которые служат одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (52,80; 69,60; 86,40 и 103,20), будем относить ко второму из смежных интервалов.

Для определения числа предприятий в каждой группе строим разработочную таблицу 3 (данные графы 4 потребуются при выполнении Задания 2).

Таблица 3. Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

Группы предприятий по среднегодовой заработной плате, тыс. руб.	Номер предприятия	Среднегодовая заработная плата, тыс. руб.	Уровень производительности труда, тыс. руб./чел.
36,00-52,80	15	36,00	120,00
	20	45,00	140,00
	2	52,00	150,00
Всего	3	133,00	410,00
52,80-69,60	6	54,00	170,00
	24	56,00	180,00
	10	60,00	190,00
	21	62,00	200,00
	14	65,00	220,00
	29	68,00	223,00
Всего	6	365,00	1 183,00
69,60-86,40	1	70,00	225,00
	16	71,00	228,00
	22	73,00	242,00
	9	74,00	248,00
	18	78,00	250,00
	5	79,00	251,00
	27	80,00	252,00
	11	82,00	254,00
	25	83,00	258,00
	3	84,00	260,00
	30	85,00	270,00
	13	86,00	276,00
Всего	12	945,00	3 014,00
86,40-103,20	17	87,00	284,00
	8	90,00	288,00
	19	91,00	290,00
	23	94,00	296,00
	4	98,00	308,00
Всего	5	460,00	1 466,00
103,20-120,00	12	104,00	315,00
	28	108,00	335,00
	26	115,00	340,00
	7	120,00	360,00
Всего	4	447,00	1 350,00
Итого	30	2 350,00	7 423,00

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируем итоговую таблицу 4, представляющую интервальный ряд распределения предприятий по среднегодовой заработной плате.

Таблица 4. Распределение предприятий по среднегодовой заработной плате

Номер группы	Группы предприятий по среднегодовой заработной плате, тыс. руб., x	Число предприятий, fj
1	36,00-52,80	3
2	52,80-69,60	6
3	69,60-86,40	12
4	86,40-103,20	5
5	103,20-120,00	4
	ИТОГО	30

Приведем еще три характеристики полученного ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле

.

Таблица 5. Структура предприятий по среднегодовой заработной плате

Номер группы	Группы предприятий по среднегодовой заработной плате, тыс. руб. x	Число предприятий, f	Накопленная частота Sj	Накопленная частость, %
		в абсолютном выражении	в% к итогу
1	36,00-52,80	3	10,00	3	10,00
2	52,80-69,60	6	20,00	9	30,00
3	69,60-86,40	12	40,00	21	70,00
4	86,40-103,20	5	16,67	26	86,67
5	103,20-120,00	4	13,33	30	100,00
	ИТОГО	30	100

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по среднегодовой заработной плате не является равномерным: преобладают фирмы со среднегодовой заработной платой от 69,60 тыс. руб. до 86,40 тыс. руб. (это 12 предприятий, доля которых составляет 40%); самая малочисленная группа предприятий имеет среднегодовую заработную плату от 36,00 тыс. руб. до 52,80 тыс. руб., которая включает 3 предприятия, что составляет 10% от общего числа предприятий.

2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения предприятий по изучаемому признаку.

Расчет конкретного значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

где х_Мo - нижняя граница модального интервала,

h - величина модального интервала,

f_Mo - частота модального интервала,

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 69,60-86,40 тыс. руб., т.к. он имеет наибольшую частоту (f₃=12). Расчет моды:

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная среднегодовая заработная плата характеризуется средней величиной 77,35 тыс. руб.

Для определения медианы графическим методом строим по данным табл. 5 (графы 2 и 5) кумуляту распределения фирм по изучаемому признаку.

Расчет конкретного значения медианы для интервального ряда распределения производится по формуле

,

где х_Ме - нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

- сумма всех частот,

f_Ме - частота медианного интервала,

S_Mе-1 - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Определяем медианный интервал, используя графу 5 табл. 5. Медианным интервалом является интервал 69,60-86,40 тыс. руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=21 впервые превышает полусумму всех частот ().

Расчет медианы:

тыс. руб.

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют среднегодовую заработную плату не более 78,00 тыс. руб., а другая половина - не менее 78,00 тыс. руб.

3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , у, у2, V_у на основе табл. 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( - середина интервала).

Таблица 6. Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Группы предприятий по среднегодовой заработной плате, тыс. руб.	Середина интервала,	Число предприятий, fj
36,00-52,80	44,40	3	133,20	-34,16	1 166,91	3 500,73
52,80-69,60	61,20	6	367,20	-17,36	301,37	1 808,22
69,60-86,40	78,00	12	936,00	-0,56	0,31	3,72
86,40-103,20	94,80	5	474,00	16,24	263,74	1 318,70
103,20-120,00	111,60	4	446,40	33,04	1 091,64	4 366,56
ИТОГО		30	2 356,80			10 997,93

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

тыс. руб.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

тыс. руб.

Рассчитаем дисперсию:

у2 = 19,152 = 366,72

Рассчитаем коэффициент вариации:

Вывод. Анализ полученных значений показателей и у говорит о том, что средняя величина среднегодовой заработной платы составляет 78,56 тыс. руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 19,15 тыс. руб. (или 24,38%), наиболее характерная среднегодовая заработная плата находится в пределах от 59,41 до 97,71 тыс. руб. (диапазон ).

Значение V_у = 24,38% не превышает 33%, следовательно, вариация среднегодовой заработной платы в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=78,56 тыс. руб., Мо=77,35 тыс. руб., Ме= 78,00 тыс. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности фирм. Таким образом, найденная среднегодовая заработная плата (78,56 тыс. руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4. Вычисление средней арифметической по исходным данным о среднегодовой заработной плате предприятий

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

,

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (78,33 тыс. руб.) и по интервальному ряду распределения (78,56 тыс. руб.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным.

Задание 2

По исходным данным (табл. 1) с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Уровень производительности труда и Среднегодовая заработная плата, используя метод аналитической группировки.

1. Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

3. Оценить статистическую значимость показателя силы связи.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение Задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным является признак Среднегодовая заработная плата (X), результативным - признак Уровень производительности труда (Y).

1. Установление наличия и характера связи между признаками Среднегодовая заработная плата и Уровень производительности труда методом аналитической группировки

Применение метода аналитической группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х - Среднегодовая заработная плата и результативным признаком Y - Уровень производительности труда. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7. Зависимость Уровня производительности труда от Среднегодовой заработной платы

Номер группы	Группы предприятий по среднегодовой заработной плате, тыс. руб./чел.	Число предприятий	Уровня производительности труда, тыс. руб./чел.
			всего	в среднем на один банк
1
2
3
4
5
Итого

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8. Зависимость Уровня производительности труда от Среднегодовой заработной платы

Номер группы	Группы предприятий по среднегодовой заработной плате, тыс. руб./чел.	Число банков, fj	Уровня производительности труда, тыс. руб./чел.
			всего	в среднем на один банк,
1	2	3	4	5=4:3
1	36,00-52,80	3	410,00	136,67
2	52,80-69,60	6	1 183,00	197,17
3	69,60-86,40	12	3 014,00	251,17
4	86,40-103,20	5	1 466,00	293,20
5	103,20-120,00	4	1 350,00	337,50
	Итого	30	7 423,00

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением среднегодовой заработной платы от группы к группе систематически возрастает и уровень производительности труда по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели - эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

, (9)

где - общая дисперсия признака Y,

- межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство = 0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство = 1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

, (10)

где y_i - индивидуальные значения результативного признака;

- общая средняя значений результативного признака;

n - число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

(12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12. Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер банка п/п	Уровень производительности труда, тыс. руб./чел.
1	225.00	-22.43	503.10	50 625.00
2	150.00	-97.43	9 492.60	22 500.00
3	260.00	12.57	158.00	67 600.00
4	308.00	60.57	3 668.72	94 864.00
5	251.00	3.57	12.74	63 001.00
6	170.00	-77.43	5 995.40	28 900.00
7	360.00	112.57	12 672.00	129 600.00
8	288.00	40.57	1 645.92	82 944.00
9	248.00	0.57	0.32	61 504.00
10	190.00	-57.43	3 298.20	36 100.00
11	254.00	6.57	43.16	64 516.00
12	315.00	67.57	4 565.70	99 225.00
13	276.00	28.57	816.24	76 176.00
14	220.00	-27.43	752.40	48 400.00
15	120.00	-127.43	16 238.40	14 400.00
16	228.00	-19.43	377.52	51 984.00
17	284.00	36.57	1 337.36	80 656.00
18	250.00	2.57	6.60	62 500.00
19	290.00	42.57	1 812.20	84 100.00
20	140.00	-107.43	11 541.20	19 600.00
21	200.00	-47.43	2 249.60	40 000.00
22	242.00	-5.43	29.48	58 564.00
23	296.00	48.57	2 359.04	87 616.00
24	180.00	-67.43	4 546.80	32 400.00
25	258.00	10.57	111.72	66 564.00
26	340.00	92.57	8 569.20	115 600.00
27	252.00	4.57	20.88	63 504.00
28	335.00	87.57	7 668.50	112 225.00
29	223.00	-24.43	596.82	49 729.00
30	270.00	22.57	509.40	72 900.00
Итого	7 423.00	0.10	101 599.37	1 938 297.00

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где - средняя из квадратов значений результативного признака,

- квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

, (13)

где - групповые средние,

- общая средняя,

-число единиц в j-ой группе,

k - число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13, при этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13. Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы банков по размеру кредитных вложений, млн руб.	Число банков,	Среднее значение в группе
36,00-52,80	3	136,67	-110,76	36 803,33
52,80-69,60	6	197,17	-50,26	15 156,41
69,60-86,40	12	251,17	3,74	167,85
86,40-103,20	5	293,20	45,77	10 474,46
103,20-120,00	4	337,50	90,07	32 450,42
Итого	30			95 052,47

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (13):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

или 93,56%

Вывод. 75,1% вариации суммы прибыли банков обусловлено вариацией объема кредитных вложений, а 24,9% - влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

(14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14. Шкала Чэддока

	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между объемом кредитных вложений и суммой прибыли банков является весьма тесной.

3. Оценка статистической значимости коэффициента детерминации .

Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

,

где n - число единиц выборочной совокупности,

m - количество групп,

- межгрупповая дисперсия,

- дисперсия j-ой группы (j=1,2,…, m),

- средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где - общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m: k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F_расчF_табл, коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F_расчF_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =93,56%, полученной при =3386,65, =3168,42:

F_расч

Табличное значение F-критерия при = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл (,4, 25)
30	5	4	25	2,76

Вывод: поскольку F_расчF_табл, то величина коэффициента детерминации =75,1% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками по Среднегодовой заработной плате и Уровнем производительности труда правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности банков.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1) ошибку выборки среднего уровня заработной платы и границы, в которых будет находиться средняя заработная плата в генеральной совокупности.

2) ошибку выборки доли организаций с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности предприятий, в которых будут находиться величина среднего уровня заработной платы и доля организаций с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб.

1. Определение ошибки выборки для среднего уровня заработной платы и границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину е, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю и предельную .

Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

, (15)

где - общая дисперсия выборочных значений признаков,

N - число единиц в генеральной совокупности,

n - число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

, (16)

где - выборочная средняя,

- генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой

(17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию демонстрационного примера выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 предприятий. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16

Р	t	n	N
0,954	2	30	150	78,56	366,72

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

тыс. руб./чел.,

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

тыс. руб./чел.

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

366,72-19,56366,72+19,56,

347,16 тыс. руб./чел. 386,28 тыс. руб./чел.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования уровня заработной платы с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности заработной платы уровень заработной платы находится в пределах от 347,16 тыс. руб./чел. до 386,28 тыс. руб./чел.

2. Определение ошибки выборки для доли выборки доли организаций с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб. и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

, (18)

где m - число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n - общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

, (19)

где w - доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) - доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N - число единиц в генеральной совокупности,

n - число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

(20)

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение уровня среднегодовой заработной платы величины 86,4 тыс. руб.

Число банков с заданным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

m=9

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:

0,15 0,45

или

15% 45%

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности организаций доля организаций с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб. и выше будет находиться в пределах от 15% до 45%.

Задание 4

Имеются следующие данные по организации:

Таблица 1

Показатели	Базисный период	Отчетный период
Выпуск продукции, млн. руб.	14,4	15,8
Среднесписочная численность работников, чел.	130	125
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	16,0	18,0

Определите:

1. Уровень производительности труда, показатель эффективности использования основных производственных фондов (фондоотдачу), фондовооруженность труда за каждый период.

2. Абсолютное и относительное изменение всех показателей в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом. Результаты расчетов представьте в таблице.

3. Взаимосвязь индексов фондоотдачи, фондовооруженности и производительности труда.

4. Абсолютное изменение выпуска продукции в результате изменения численности работников, производительности труда и обоих факторов вместе.

Сделайте выводы.

Решение:

1 Уровень производительности рассчитывается как отношение выпуска продукции к среднесписочной численности сотрудников.

Уровень производительности труда за базисный период = 14,4/130 = 0,11 млн. руб.

Уровень производительности труда за отчетный период = 15,8/125 = 0,13 млн. руб.

Показатель эффективности использования основных производственных фондов характеризует показатель фондоотдачи, рассчитываемый как отношение объема выпуска продукции за год к среднегодовой полной стоимости производственных фондов.

(23)

Фондовооруженность труда рассчитывается как отношение среднегодовой стоимости основных производственных фондов к среднесписочной численности работников.

(24)

,

то есть в среднем на 1 рабочего предприятия приходиться 0,12 млн. руб. основных производственных фондов.

, то есть в среднем на 1 рабочего предприятия приходиться 0,14 млн. руб. основных производственных фондов.

Таблица 17. Абсолютное и относительное изменение показателей уровня производительности труда, фондоотдачи и фондовооруженности в отчетном и базисном периодах

Показатели	Базисный период	Отчетный период	Абсолютное изменение	Относительное изменение
Уровень производительности труда	0,11	0,13	0,02	18%
Фондоотдача	0,9	0,88	-0,02	-0,2%
Фондовооруженность	0,12	0,14	0,02	17%

Абсолютное изменение уровня производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным: 0,13 - 0,11=0,02.

Абсолютное изменение фондоотдачи в отчетном периоде по сравнению с базисным: 0,88 - 0,9=-0,02.

Абсолютное изменение фондовооруженности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным: 0,14 - 0,12=0,02

Относительное изменение уровня производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным: или 118%.

Относительное изменение фондоотдачи в отчетном периоде по сравнению с базисным: или 98%.

Относительное изменение фондовооруженности в отчетном периоде по сравнению с базисным: или 117%.

(25)

(26)

(27)

Взаимосвязь:

(28)

Рассчитаем индекс производительности труда:

(29)

Рассчитаем индекс численности работников:

или 96% (30)

Численность работников в отчетном периоде по сравнению с базисным снизилась на 4%.

Изменение объема выпускаемой продукции за счет изменения уровня производительности труда и численности работников:

а) в относительном выражении:

или 110% (31)

Объем произведенной продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 10%, в том числе за счет увеличения производительности труда на 18% и снижения численности работников на 4%.

б) в абсолютном выражении:

млн. руб. (32)

Увеличение выпуска продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным составило в абсолютном выражении 1,4 млн. руб., в том числе за счет увеличения производительности труда - на 2,5 и снижения численности работников - на 0,55 млн. руб.

3. Аналитическая часть

3.1 Постановка задачи

Изучение производительности труда на предприятии является одним из основных факторов, позволяющих влиять на прибыль. Повышение данного фактора позволяет предприятию достичь стабильности и развиваться. Производительность труда зависит от многих факторов, таких как фондовооруженность, фондоотдача и других, но одним из основных является производительность одного рабочего в среднем по предприятию.

Цель данной задачи состоит в изучении производительности труда ООО «Вихрь» с помощью индексного метода за период 2008-2009 гг.

Объектом наблюдения является производительность труда при пошиве одежды. Имеются следующие данные по двум цехам предприятия за два месяца:

Таблица 1. Исходные данные основных показателей цехов по пошиву одежды ООО «Вихрь»

Цех	Выпуск продукции, тыс. руб.	Среднесписочная численность рабочих, чел.
	2008	2009	2008	2009
№1	1252	1458	31	35
№2	1494	1428	42	39

производительность индексный совокупность заработный

По данным представленным в таблице 1, необходимо:

1. Определить по каждому цеху уровни и динамику производительности труда, а также по двум цехам вместе;

2. индексы производительности труда (переменного, постоянного состава, структурных сдвигов);

3. абсолютное изменение средней производительности труда за счет отдельных факторов.

3.2 Методика решения задачи

В статистическом исследовании влияния отдельных факторов на производительность труда используется индексный метод, на основе которого может быть определено абсолютное изменение производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным. Для вычисления соответствующих индексов воспользуемся формулами (1), (2), (3), а также соотношением (4) теоретической части данной курсовой работы.

Индекс производительности труда переменного состава:

. (1)

Индекс производительности труда постоянного состава:

. (2)

Индекс структурных сдвигов:

. (3)

Индексы производительности труда тесно связаны между собой:

(4)

Разница между числителем и знаменателем каждого из этих индексов показывает абсолютное изменение выработки в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет указанных выше факторов.

3.3 Технология выполнения компьютерных расчетов

Статистические расчеты скорости обращения денежной массы и ее изменения за счет отдельных факторов выполнены с применением пакета прикладных программ обработки электронных таблиц MS Excel в среде Windows.

Расположение на рабочем листе Excel исходных данных (табл. 1) и расчетных формул (13), (16), (18) (в формате Excel) представлено в табл. 2. Также в табл. 2 помещены формулы для вычисления производительности труда по каждому из цехов, и соответствующих индивидуальных индексов.

Результаты расчетов приведены в табл. 3.



На рис. 1 представлено графическое изображение изменения производительности труда одного рабочего под влиянием отдельных факторов.

Рис. 1 Диаграмма влияния факторов на динамику производительности труда одного рабочего

3.4 Анализ результатов статистических компьютерных расчётов

Результаты проведенных статистических расчетов позволяют сделать следующие выводы.

В отчетном периоде по сравнению с базисным производительность труда выросла по каждому из цехов, причем в цехе №1 на 3,1% и составила в среднем 41,66 тыс. руб./чел., а в цехе №2 на 2,9% и составила 36,62 тыс. руб./чел.