Экономико-статистические исследования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1.

По территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:

корреляция множественный прогноз интегральный

Таблица №1. Исходные данные для расчета

Территории федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X
1. Респ. Адыгея	5,1	1,264
2. Респ. Дагестан	13,0	3,344
3. Респ. Ингушетия	2,0	0,930
4. Кабардино-Балкарская Респ.	10,5	2,382
5. Респ. Калмыкия	2,1	6,689
6. Карачаево-Черкесская Респ.	4,3	0,610
7. Респ. Северная Осетия - Алания	7,6	1,600
8. Краснодарский край1)	109,1	52,773
9. Ставропольский край	43,4	15,104
10. Астраханская обл.	18,9	12,633
11. Волгоградская обл.	50,0	10,936
12. Ростовская обл.	69,0	20,014
Итого,	225,9	75,506
Средняя	20,536	6,8642
Среднее квадратическое отклонение,	21,852	6,4427
Дисперсия, D	477,50	41,5079

¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r_yx и з_ylnx) и детерминации (r²_yx и з²_ylnx), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости =0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - е'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,062 от среднего уровня ().

9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для =0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оценив точность выполненного прогноза.

Решение:

1. Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . Данные представим следующем виде:

Таблица №2. Исходные данные, расположенные по возрастанию значения фактора .

Территории федерального округа	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб.	Валовой региональный продукт, млрд. руб.
	X	Y
6	0,61	4,3
3	0,93	2
1	1,264	5,1
7	1,6	7,6
4	2,382	10,5
2	3,344	13
5	6,689	2,1
11	10,936	50
10	12,633	18,9
9	15,104	43,4
12	20,014	69
Итого,	75,506	225,9
Средняя	6,8642	20,536
Среднее квадратическое отклонение,	6,4427	21,852
Дисперсия, D	41,5079	477,50

2. Построим поле корреляции:

2. Начнем моделирование с построения уравнения прямой:, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Д, Да₀ и Да₁ Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл. 3.

Таблица №3. Разработочная таблица

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8
6	0,61	4,3	0,3721	2,623	1,674041	2,625959	6,895661	0,127871013
3	0,93	2	0,8649	1,86	2,639146	-0,63915	0,408508	0,031123201
1	1,264	5,1	1,597696	6,4464	3,646475	1,453525	2,112736	0,070779383
7	1,6	7,6	2,56	12,16	4,659835	2,940165	8,64457	0,143171259
4	2,382	10,5	5,673924	25,011	7,018311	3,481689	12,12216	0,169540766
2	3,344	13	11,18234	43,472	9,919658	3,080342	9,488505	0,149997162
5	6,689	2,1	44,74272	14,0469	20,00802	-17,908	320,6973	0,872030745
11	10,936	50	119,5961	546,8	32,81678	17,18322	295,2631	0,836736525
10	12,633	18,9	159,5927	238,7637	37,93485	-19,0349	362,3256	0,926901643
9	15,104	43,4	228,1308	655,5136	45,38727	-1,98727	3,949257	0,096770244
12	20,014	69	400,5602	1380,966	60,19561	8,804394	77,51735	0,428729725
Итого	75,506	225,9	974,8735	2927,663	225,9	4,97E-14	1099,425	385,3651666
Средняя	6,8642	20,536	-	-	-	-		35,03319697
у	6,4427	21,852	-	-	-	-		-
Дисперсия, D	41,5079	477,5	-	-	-	-		-
Д=	5022,452
Да0=	-832,174		-0,16569
Да1=	15147,48		3,015954

Расчёт определителя системы выполним по формуле:

9*974,8735 - 75,506*75,506 = 5022,452;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

225,9*974,8735 - 2927,663*75,506 = -832,174.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

9*2927,663 - 225,9*75,506 = 15147,48.

Полученное уравнение имеет вид . В уравнении коэффициент регрессии означает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличится на 3,016 млрд. руб. Свободный член оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объем валового регионального продукта.

Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Это означает, что при изменении инвестиций в основной капитал на 1% от своей средней валовой региональный продукт увеличивается на 1,008 процента от своей средней

3. Определим коэффициенты для логарифмической функции . Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. таблицу №4.

Таблица №4. Разработочная таблица

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8
6	0,61	-0,4943	4,3	0,2443	-2,1255	-6,3197	10,6197	0,5171
3	0,93	-0,0726	2	0,0053	-0,1451	-0,1491	2,1491	0,1046
1	1,264	0,2343	5,1	0,0549	1,1948	4,3407	0,7593	0,0369
7	1,6	0,47	7,6	0,2209	3,572	7,7898	-0,1898	0,0092
4	2,382	0,8679	10,5	0,7533	9,1134	13,6123	-3,1123	0,1515
2	3,344	1,2071	13	1,4573	15,6932	18,5758	-5,5758	0,2715
5	6,689	1,9005	2,1	3,6118	3,9909	28,72	-26,62	1,2963
11	10,936	2,3921	50	5,7219	119,603	35,9129	14,0871	0,6859
10	12,633	2,5363	18,9	6,4329	47,9363	38,0236	-19,1236	0,9312
9	15,104	2,7149	43,4	7,371	117,8292	40,6375	2,7624	0,1345
12	20,014	2,9964	69	8,9786	206,7538	44,7559	24,244	1,1806
Итого	75,506	14,7528	225,9	34,8521	523,4161	225,9	0	5,3196
Средняя	6,8642	1,3412	20,536	-	-	-	-	48,3598
у	6,4427	1,17033	21,852	-	-	-	-	-
Дисперсия, D	41,5079	1,3697	477,5	-	-	-	-	-
Д=	165,7301
Да0=	151,275		0,912779
Да1=	2424,93		14,6318

Расчёт определителя системы выполним по формуле:

;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

Полученное уравнение имеет вид

4. Определим показатели корреляции и детерминации:

для линейной зависимости:

Коэффициент корреляции, равный 0,8892, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между инвестициями в основной капитал и валовым региональным продуктом. Коэффициент детерминации, равный 0,790684, устанавливает, что вариация валового регионального продукта на 79,1% из 100% предопределена вариацией инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на валовой региональный продукт, определяется в 20,9%, что является сравнительно небольшой величиной.

для логарифмической функции:

5. Оценим надежность уравнений в целом через F-критерий Фишера для уровня значимости =0,05.

для линейной зависимости:

Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости валового продукта от инвестиций рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - F_{фактич.} и сравним его с табличным значением - F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости б=0,05).

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 34 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия валового регионального продукта и инвестиций в основной капитал. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.₁=k-1=1 и d.f.₂=n-k=11-2=9 и уровне значимости б=0,05.

В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости валового регионального продукта от инвестиций в основной капитал и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

для логарифмической функции:

6. Полученные показатели позволяют сделать вывод о том, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель, т.к. сравнивая оценки тесноты выявленной связи, получим: >.Таким образом, по сравнению с линейной моделью линейно-логарифмическая модель менее пригодна для описания изучаемой связи.

7. По линейному уравнению регрессии рассчитаем теоретические значения результата (), например, . Результаты расчетов приведены в Таблице 3 и отображены на рис. 2.

Рис. 2. Теоретическая линия регрессии и фактические значения.

Определим среднюю ошибку аппроксимации - е'_ср.

Результаты расчетов для линейной зависимости приведены в таблице №3, для линейно-логарифмической - в таблице №4.

Сравнивая полученные результаты, видно, что средняя ошибка аппроксимации для линейно-логарифмической зависимости больше, чем для линейной (48,35%>35,03%), что еще раз подтверждает правильность выбора модели. Тем не менее результат, полученный даже для линейной модели (35,03%) указывает на невысокое качество построенной модели и ограничивает ее использование для выполнения точных прогнозных расчетов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

8. Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

Если предположить, что прогнозное значение инвестиций в основной капитал составит 1,062 от среднего уровня, то есть X_{прогнозн}.= 6,8642*1,062=7,289, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне:Y_{прогнозн.} =-0,16569+3,015954*7,289=21,81995 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 6,2% приводит к приросту результата на 6,25% процента (.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии-и ошибки прогноза положения регрессии -. То есть, .

В нашем случае , где k - число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1.

Ошибка положения регрессии составит:

=

= = 0,0664 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит: = =11,05272 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*11,05272 = 24,97 ? 25 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости б=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=9 составит 2,26. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

В данном случае полученная ошибка больше, чем среднее значение, поэтому сложно говорить о какой-либо точности прогноза.

Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Республика Калмыкия с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

Задача №2.

Проводится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год.

Y - Валовой региональный продукт, млрд. руб.;

X₁ - Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

X₂ - Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

X₃ - Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.

Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.

Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил наличие одной территории (г. Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -у

N=9.	Y	X1	X2	X3
Y	1	0,7677	0,8653	0,4237
X1	0,7677	1	0,8897	0,0157
X2	0,8653	0,8897	1	-0,0179
X3	0,4237	0,0157	-0,0179	1
Средняя	31,92	8,87	121,18	0,5683
у	14,61	5,198	48,19	0,6942

Б) - коэффициентов частной корреляции

	Y	X1	X2	X3
Y	1	-0,1462	0,8737	0,8791
X1	-0,1462	1	0,5562	0,1612
X2	0,8737	0,5562	1	-0,7842
X3	0,8791	0,1612	-0,7842	1

Задание:

1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

2. Выполните расчёт бета коэффициентов () и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов () силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По значениям -коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a₁, a₂ и a₀). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.

4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости =0,05).

5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 102,1 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы оформите аналитической запиской.

Решение:

1. Анализируя, таблицу линейных коэффициентов парной корреляции, можно заметить, что валовой региональный продукт Y наиболее тесно связан со среднегодовой стоимостью основных фондов - X₂ (), немного меньше с инвестициями 2000 года в основной капитал - X₁ () и менее всего связан с кредитами, предоставленными в 2000 году - X₃ ().Анализируя, таблицу коэффициентов частной корреляции, можно заметить, что валовой региональный продукт Y примерно одинаково тесно связан с X₂ и X₃ (,) и наименее тесно связан с X₁ (). Для выбора информативных факторов проведем расчет серии коэффициентов частной корреляции для трех возможных комбинаций факторных признаков. Пример расчета приведем только для одной пары факторных признаков, при этом остальные расчеты проведем аналогичным образом с подстановкой соответствующих каждой паре значений коэффициентов.

Полученные результаты позволяют отбросить пару факторов X₁ и X₂, поскольку они тесно связаны между собой, а связь X₁ с результатом незначительна. Выбрать между парами факторов X₂ и X₃ и X₁ и X₃ достаточно сложно, т.к. обе пары показывают как достаточно сильную связь с результатом, так и между собой. Руководствуясь требованиями МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия, можно было выбрать пару X₁ и X₃, т.к. они меньше связаны между собой, но пара X₂ и X₃ показывает большую связь с результатом. Для большей надежности проведем построение двухфакторной регрессионной модели для обеих пар признаков.

2. При построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае исходное уравнение приобретает вид: или . Выполним расчёт -коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

;

;

Для второй пары факторов расчеты будем проводить аналогичным образом, например:

В результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:

и

3. Используя полученные коэффициенты, рассчитаем параметры уравнения в естественной форме:

.

В конечном счёте, имеем уравнение: .

.

В конечном счёте, имеем уравнение: .

4. Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности.

;

;

5. Тесноту выявленной зависимости оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и в - коэффициентов. В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:

.

.

По полученным данным видно, что факторы Х₂ и Х₃ теснее связаны с Y (0,97>0,87), они же описывают большей процент вариации валового регионального продукта (94%). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать именно эту пару факторов.

6. Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть,

.

Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.₁=k и d.f.₂=n-k-1; где: n - число изучаемых единиц; k - число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.

.

В нашем случае расчёт выглядит следующим образом:

.

Для принятия обоснованного решения F_фактич. сравнивается с F_{табличн}., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.₁ = k) и остаточной (d.f.₂ = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости б=0,05. В нашем примере, где d.f.₁=k= 2 и d.f.₂=n-k-1 = 9-2-1=6 при б=0,05 F_табл = 4,74. В силу того, что F_фактич =48,5> F_табл. = 5,14, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы - согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

7. Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака , подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - . При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть и , получено на основе средней величины:

. .

После подстановки в уравнение получаем следующий результат:

(млрд. руб.)

8. Аналитическая записка

· Полученные коэффициенты корреляции и детерминации , показывают, что выявлена достаточно тесная связь между Х₂, Х₃ и Y, кроме того они описывают 94% вариации валового регионального продукта.

· Уравнение, полученное в стандартизированном масштабе показывает, что при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на одну сигму от своей средней валовой региональный продукт увеличится на 0,873 от своей сигмы , с увеличением кредитов на результат увеличится на 0,439.

· Сравнивая -коэффициенты, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой - слабее. В данном случае,, то есть увеличение валового регионального продукта происходит в основном под влиянием среднегодовой стоимости основных фондов в экономике, кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам оказывают влияние в меньшей степени.

· Уравнение, полученное в естественной форме показывает, что с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1 млрд. руб. валовой региональные продукт увеличится на 0,265 млрд. руб., с увеличением кредитов, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличится на 9,246 млрд. руб.

Полученные коэффициенты эластичности ; показывают, что с ростом среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1% валовой региональный продукт увеличиться на 1, 005% и с ростом кредитов, предоставленных в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, на 1% валовой региональный продукт увеличится на 0, 165%. Таким образом регулирование валового регионального продукта через среднегодовую стоимость основных фондов в экономике будет более результативным, чем через кредиты.

· Полученной значение критерия Фишера позволяет сделать вывод о том, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 48,5 раз больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может и является результатом влияния существенных, систематических факторов.

· Выполненный прогноз показывает, что если среднегодовая стоимость основных фондов в экономике возрастет до 123,7248 млрд. руб., а кредит, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам до 0,58023, тогда следует ожидать, что валовой региональный продукт возрастет на 2,46% от своего среднего уровня.

Задача №3

Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа.

Y₁ - среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

Y₂ - стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;

X₁ - инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

X₂ - кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам;

X₃ - среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -у:

N=15.

Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.

	Y1	X1	X2		Y2		X3
Y1	1	0,7823	0,7093	Y2	1	0,8474	0,7337
X1	0,7823	1	0,6107		0,8474	1	0,7061
X2	0,7093	0,6107	1	X3	0,7337	0,7061	1
Средняя	115,83	5,600	0,2701	Средняя	23,77	115,83	0,5697
	30,0303	2,4666	0,2036		7,2743	30,0303	0,1160

Задание:

1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.

2. Определите вид уравнений и системы.

3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:

определите бета коэффициенты () и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;

дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;

рассчитайте параметры a₁, a₂ и a₀ уравнений множественной регрессии в естественной форме;

с помощью коэффициентов парной корреляции и коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R²);

оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.

3. Выводы оформите краткой аналитической запиской.

Решение:

1. В соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами о связи признаков составим систему уравнений. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначим через b, коэффициенты при экзогенных переменных - через a. Каждый коэффициент имеет двойную индексацию: первый индекс - номер уравнения, второй - индивидуальный номер признака. Тогда:

2. Особенность данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены перечнем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная переменная Y₁, значения которой формируются в условиях данной системы., а именно, в предыдущем уравнении. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивными. Именно с подобной системой уравнений имеем дело в данной задаче.

3. Выполним расчёт -коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Для уравнения №1:

По полученным результатам построено уравнение в стандартизованном виде:

Второе уравнение можно построить на основе следующих результатов:

Второе уравнение в стандартизованной форме имеет вид: .

4. Расчёт параметров уравнения регрессии в естественной форме даёт следующие результаты:

= 115,83-6,7788*5,6 - 54,4661*0,2701 = 63,1577.

По полученным результатам построено уравнение №1 в естественной форме:

.

Параметры уравнения №2 рассчитываются аналогичным образом. Но главная отличительная особенность их расчёта в том, что в качестве одного из факторов выступают не фактические значения , а его теоретические значения , полученные расчётным путём при подстановке в уравнение №1 фактических значений факторов и .

Указанным способом рассчитаны параметры рекурсивного уравнения:

; ;

.

По полученным результатам построено уравнение №2 в естественной форме:.

Представим результаты построения уравнений в виде рекурсивной системы:

Значения коэффициентов регрессии каждого из уравнений могут быть использованы для анализа силы влияния каждого из факторов на результат. Но для сравнительной оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения -коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности - , , и .

5. Для каждого из уравнений системы рассчитаем показатели корреляции и детерминации.

6.

.

.

6. Оценим существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем нулевые гипотезы о статистической незначимости построенных моделей и выявленных ими зависимостей:

и .

Для проверки нулевых гипотез используется F-критерий Фишера. Выполняется расчёт его фактических значений, которые сравниваются с табличными значениями критерия. По результата сравнения принимается решение относительно нулевой гипотезы.

В нашей задаче:

;

В рассматриваемой задаче для и =0,05 составляет 3,88. В силу того, что нулевую гипотезу о статистической незначимости характеристик уравнения №1 следует отклонить, то есть . Аналогичное решение принимается и относительно второй нулевой гипотезы, т.к. . То есть, .Отклоняя нулевую гипотезу, допустимо (с определённой степенью условности) принять одну из альтернативных гипотез. В частности, может быть рассмотрена и принята гипотеза о том, что параметры моделей неслучайны, то есть формируются под воздействием представленных в моделях факторов, влияние которых на результат носит систематический, устойчивый характер. Это означает, что полученные результаты могут быть использованы в аналитической работе и в прогнозных расчётах среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и стоимость валового регионального продукта, которые основаны не только на влиянии , но и на влиянии эндогенной переменной Рекурсивные модели связей предоставляют возможность подобного анализа и прогноза.

7. Аналитическая записка:

· Получены уравнения в стандартизированном виде и . По данным первого уравнения сделаем вывод, что инвестиции 2000 года в основной капитал () влияют на среднегодовую стоимость основных фондов в экономике () сильнее, чем кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам (), т.к. . Из второго уравнения очевидно, что на стоимость валового регионального продукта более сильное влияние среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, и менее сильное - среднегодовая численность занятых в экономике.

· Получены коэффициенты корреляции и детерминации и , которые показываю, что факторы и объясняют 69,7% среднегодовой стоимости основных фондов в экономике, а 30,03% его вариации определяется влиянием прочих факторов, переменные и объясняют 75,4% изменений стоимости валового регионального продукта, а 24,6% изменений стоимости валового регионального продукта зависят от прочих факторов. Обе регрессионные модели выявляют тесную связь результата с переменными факторного комплекса.

корреляция множественный прогноз интегральный

Задача №4

Предлагается изучить взаимозависимость социально-экономических показателей региона.

Y₁ -инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.;

Y₂ -среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона, млрд. руб.;

Y₃ -стоимость валового регионального продукта региона, млрд. руб.

X₁ -инвестиции прошлого года в экономику региона, млрд. руб.

X₂ -темп роста производства промышленной продукции в регионе, %

X₃ -среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел.

При этом, сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:

Задание:

1. На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;

2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;

3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).

Решение:

1. Отличительной особенностью уравнений системы является наличие прямых и обратных зависимостей между переменными Y₁, Y₂ и Y₃. Указанная особенность характерна для так называемых структурных уравнений. В состав структурных уравнений входят: а) эндогенные переменные (Y_j), значения которых формируется в условиях данной системы признаков и их взаимозависимостей и б) экзогенные переменные (x_m), значения которых формируются вне данной системы признаков и условий, но сами экзогенные переменные участвуют во взаимосвязях данной системы и оказывают влияние на эндогенные переменные. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначаются через , коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются через , где i-число изучаемых объектов; m - число экзогенных переменных, которые обычно обозначают через x; j - число эндогенных переменных, обычно обозначаемых через Y. Таким образом, в каждом уравнении системы каждый коэффициент при переменной имеет двойную индексацию: 1) - номер эндогенной переменной, расположенной в левой части уравнения и выступающей в качестве результата; 2) - номер переменной, находящейся в правой части уравнения и выступающей в качестве фактора.

В нашей задаче система уравнений для описания выдвигаемые рабочие гипотезы будет иметь следующий вид:

2. Выполним идентификацию каждого структурного уравнения и всей системы для ответа на вопрос - имеют ли решения каждое из уравнений и система в целом. Воспользуемся счётным правилом, по которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить число эндогенных переменных в данном уравнении - Y_H и число отсутствующих в уравнении экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня - . Для удобства анализа представим результаты в таблице.

Результаты идентификации структурных уравнений и всей системы.

Номер уравнения	Число эндогенных переменных в уравнении, H	Число экзогенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, D	Сравнение параметров H и D+1	Решение об идентификации уравнения
1	2	1	2=2	Точно идентифицировано
2	2	2	2<3	Сверхидентифицировано
3	3	0	3>1	Неидентифицировано
Вся система уравнений в целом	Неидентифицирована

В том случае, когда хотя бы одно из уравнений не имеет решения, система в целом также не имеет решения. Если подобный результат нас не устраивает, необходимо внести коррективы в исходные рабочие гипотезы и отредактировать их таким образом, чтобы идентификация была возможна.

Теоретический анализ содержания взаимосвязи, отражённой в уравнении №3, позволяет рассмотреть варианты возможной корректировки. Во-первых, из правой части может быть исключёна одна из экзогенных переменных (инвестиции прошлого года в экономику региона или темп роста производства промышленной продукции в регионе)

Во-вторых, возможна корректировка путём исключения из правой части уравнения одой эндогенной переменной, но в этом случае, уравнение перестанет быть структурным. По этой причине подобная корректировка является нецелесообразной.

При корректировке рабочей гипотезы путём удаления экзогенной переменной №3 становится точно идентифицированным, а вся система - сверхидентифицированной.

3. Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются: а) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) для решения точно идентифицированных уравнений и б) двухшаговый МНК (ДМНК) для поиска решений сверхидентифицированных уравнений.

4. Использование косвенного метода наименьших квадратов заключается просто в составлении приведенной формы для определения численных значений параметров каждого уравнения посредством обычного МНК. После этого с помощью алгебраических преобразований переходят опять к исходной структурной форме модели и получают тем самым численные оценки структурных параметров.

5. Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) использует следующую центральную идею: на основе приведенной формы модели получают для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Затем они подставляются вместо фактических значений и применяют обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. В свою очередь, сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов: либо все уравнения системы сверхидентифицируемы, либо же система содержит наряду со сверхидентифицируемыми и точно идентифицируемые уравнения. В первом случае, если все уравнения системы сверхидентифицируемые, для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Размещено на Allbest.ru