История возникновения идеи экономического равновесия и ее развитие в трудах Л. Вальраса

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬТВЕ РФ

Кафедра «Математическое моделирование экономических процессов»

Курсовая работа

на тему:

«История возникновения идеи экономического равновесия и ее развитие в трудах Л. Вальраса»

Выполнила:

студентка группы ФК2-10

Афанасьева Ирина

Научный руководитель:

Доц. Данеев О.В.

Москва 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Теоретическая часть

2 Практическая часть

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Существует различные системы, моделирующие рынок, которые описывают его в статическом и в динамическом состоянии, но большинство из таких систем рассматривают рынок одного продавца и не рассматривают конкурентные рынки. А для того чтобы более подробно изучить поведение рынка при колебании спроса и предложения на ту или иную продукцию необходимо рассматривать системы, моделирующие рынок именно в условиях конкуренции.

Общим экономическим равновесием называется такое состояние национальной экономики, при котором на всех рынках одновременно обеспечивается равенство спроса и предложения, и ни один из этих экономических агентов не заинтересован в изменении объема своих закупок и продаж. Понятие общего равновесия разработано Вальрасом. В его трактовке, это состояние, при котором эффективное предложения и эффективный спрос уравнивается на рынке услуг. [2]

Равновесие всей экономической системы в целом называется экономическим равновесием и проявляется в виде пропорциональности:

- между производством продукции и его потреблением;

- между вовлеченным в оборот ресурсами и их использованием;

- между предложением товара и их спросом;

- между материально-вещественными и финансовыми потоками.

Согласованность данных пропорциональностей общественного производства приводит к сбалансированному развитию экономической системы в целом.

В данной работе были рассмотрены некоторые аспекты экономического равновесия, а так же системы, моделирующие рынок в условиях конкурентной среды. Цель данной работы - проследить эволюцию создания модели экономического равновесия и описать модель экономического равновесия Л. Вальраса.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Взаимодействие между складывающимися на рынке готовой продукции потребительским спросом и предложением фирм приводит к понятию равновесия. О равновесии можно говорить, как о характеристике состояния любой системы, на которую воздействуют различные стороны (в частности, только одна сторона), каждая со своими интересами. В таком общем смысле равновесие - это то состояние системы, которое устраивает всех заинтересованных в ее состоянии сторон, за неимением ничего лучшего.

Характерным свойством «равновесий» является их устойчивость против отклонения.

Чтобы понять присуще ли это свойство экономическому равновесию, рассмотрим рынок одного товара, относительно которого будем говорить о совокупном спросе потребительского сектора и о совокупном предложении производственного сектора.

Пусть цена товара фиксирована. Это положение соответствует условиям совершенной конкуренции, когда отдельные участники экономики не влияют на цену товара. Пусть имеет место равновесие:

,

где - совокупный спрос,

- совокупное предложение,

- цена товара,

- доход потребительского сектора,

- цены затрат.

Формально это равновесие может быть нарушено либо по «воле» рынка, который распоряжается ценой товара, либо по воле покупателя (управляющего спросом, например, посредством изменения величины дохода) или производителя (управляющего предложением, например, посредством изменения объемов затрат). В первом случае будем говорить о ценовых причинах нарушения равновесия, во втором - о неценовых причинах.

Рассмотрим сначала неценовые причины (вызванные влиянием сезонности, моды, изменением экономической политики и т.д.). Предположим, что при неизменном предложении потребитель «сознательно» отклоняется от равновесия, увеличивая или уменьшая спрос:

a) ,

b) .

Если при фиксированном спросе от равновесия отклоняется производитель, то соответственно придем к одному из двух неравенств:

c) ,

d) .

В этих соотношениях случаи a) и c) приводят к дефициту, т.е., в конечном счете, к повышению цены, что выгодно производителю и невыгодно потребителю. Следовательно, в случаях a) и c) неценовые причины вызывают изменение равновесной цены. Случаи b) и d) приводят к излишкам, т.е., в конечном счете, к снижению цены, что выгодно потребителю и невыгодно производителю. Следовательно, в случаях b) и d) неценовые причины также вызывают изменение равновесной цены.

Исходя из таких рассуждений, можно было бы заключить, что потребителю выгодно отклонение от равновесия в сторону снижения спроса, а производителю - в сторону снижения предложения.

Как видно, по отношению к экономическому равновесию однозначно нельзя утверждать о его устойчивости против отклонения. Но зато эти рассуждения помогают обнаружить устойчивость другого характера - тенденцию экономического равновесия к устойчивости против колебания цены, какой бы причиной оно ни было вызвано.

Будем исходить из того факта, что экономическое равновесие может быть нарушено как по ценовым, так и по неценовым причинам. Пусть на уровне цен имеет место равновесие (точки здесь заменяют прочие, в частности, неценовые, переменные). Допустим, что по какой-то неценовой причине повысился спрос до уровня . Как видно из рисунка 1, спрос соответствует цене , так что

т.е. спрос стал больше предложения.

экономический равновесие вальрас

Рисунок 1 - Устойчивость равновесия против колебания цен

Цене соответствуют две точки: и . Естественно поставить вопрос: может ли цена быть равновесной, иначе, может ли одна из этих двух точек быть равновесным состоянием? Обратимся к точке (относительно точки рассуждения зеркально аналогичны).

Для того чтобы точка оказалась равновесной, кривая спроса должна сместиться и пройти через эту точку. Формально это возможно, тогда, когда выполняется равенство . Содержательно, бюджет потребителя должен уменьшиться ровно на величину , и тогда бюджетная линия в пространстве товаров параллельно сместится от точки до точки . Такое изменение ситуации приведет к уменьшению дохода производителя , и оно вызвано двумя причинами: снижением цены и выпуска . При данных неизменных технологических условиях производителю нечего этому противопоставить, так как нежелание снизить цену своего товара или объема выпуска приведет к еще худшему результату. Таким образом, неценовые причины могут привести к переходу в новое состояние равновесия, и это свидетельствует о неустойчивости равновесия против неценовых возмущений в экономике.

Рассмотрим ценовую причину. Пусть цена товара упала до величины . Как видно из рисунка 1, при этой цене спрос превышает предложение , что влечет повышение цены товара. Если предложение подтягивается до нового уровня спроса, т.е. до величины , то, согласно кривой предложения, цена должна повышаться до величины . Но такой цене соответствует спрос . Продолжая эти рассуждения, можно заметить, что цена последовательно приближается к равновесному значению , а спрос и предложение сходятся к общему (равновесному) значению . Здесь описана идея процедуры рыночного регулирования цены. По расположению вспомогательных линий на графике эту процедуру называют паутинообразной моделью регулирования цены товара. Аналогичную картину можно получить при исходном предположении о повышении цены над .

В результате можно сделать вывод о том, что экономическое равновесие устойчиво против ценовых возмущений.

Л. Вальрас первым попытался описать, как достигнуть микроэкономическую стабильность и равновесие через систему уравнений. Главным фактором в его исследованиях является объем производства.

Исходными концепциями модели Вальраса являются:

- дезагрегированность участников рынка: рассматриваются отдельные потребители и отдельные производители;

- совершенность конкуренции;

- общность равновесия.

Последняя концепция означает рассмотрение равновесия по всем товарам сразу, а не по отдельным товарам. Следовательно, в модели Вальраса вводится понятие общего равновесия (т.е. равновесия по всем товарам).

Будем предполагать, что на рынке продаются и покупаются товары двух видов: готовые товары, являющиеся продуктом производства (товары конечного потребления) и производственные ресурсы (первичные факторы производства). Поэтому будем рассматривать «расширенное» пространство товаров , где n - число видов всех товаров. Компонентами вектора являются как выпуски, так и затраты (первичные факторы). Для различения их, затраты снабжают отрицательным знаком. Если есть вектор чистого выпуска, то все его компоненты, соответствующие затратам, будут равны нулю; если есть вектор только первичных факторов, то все его компоненты, соответствующие конечным продуктам, будут равны нулю.

Индексы (виды) товаров, как и раньше, будем обозначать буквой , индексы потребителей - буквой и индексы производителей - буквой .

Через будем обозначать вектор цен товаров.

Выходя на рынок, каждый потребитель или производитель становится одновременно покупателем одних и продавцом других товаров. Потребитель, т.е. участник рынка, «непосредственно не занятый в производстве», может продавать имеющиеся в его распоряжении первичные факторы и покупает товары производителей. Производитель, т.е. участник рынка, «непосредственно занятый в производстве», продает свою готовую продукцию и покупает первичные факторы у потребителей.

Поэтому каждый потребитель i как участник рынка характеризуется тремя параметрами: начальным запасом товаров , функцией дохода и вектор-функцией спроса на продукты производства .

Каждый производитель j характеризуется двумя параметрами: вектор-функцией предложения готовой продукции и вектор-функцией спроса на затраты . Однако в модели Вальраса применяется несколько обобщенная характеристика производителя - с помощью одного множества , трактуемого как множество его (оптимальных) производственных планов. На языке «затраты-выпуск» это множество можно определить следующим образом: , где - производственная функция. Очевидно, .

С учетом всего вышесказанного, под математической моделью рынка будем понимать совокупность элементов:

(1.1)

где - пространство цен товаров,

N - множество всех участников рынка (N содержит l + m элементов).

Без качественных потерь вместо (1.1), как модель рынка, можно рассматривать совокупность

Вектор содержит цены, как товаров конечного потребления, так и затрат. Причем цены меняются не по желанию отдельных участников рынка, а исключительно под воздействием совокупного спроса и совокупного предложения. Поэтому одним из ключевых является вопрос: существуют ли такие цены, которые устраивают как потребителей, так и производителей?

Исходя из технических соображений, будем предполагать, что пространство цен P включает в себя нуль пространства , т.е. будем допускать существование нулевых цен.

Каждый участник рынка выступает в двух лицах: как покупатель и как продавец. Очевидно, число продавцов и покупателей для разных товаров будет разным. Поэтому числа и не следует ассоциировать с числом продавцов и покупателей.

Доход каждого потребителя предполагается состоящим из двух компонент:

1) выручки от продажи принадлежащего ему начального запаса товаров (),

2) дохода, получаемого от его участия в прибыли производственного сектора (обозначим ), например, посредством приобретения ценных бумаг и других видов инвестиционной и трудовой деятельности. Таким образом, предполагаем, что

(1.2)

В модели Вальраса считается, что весь доход производственного сектора полностью распределяется между потребителями:

где , а скалярное произведение справа, с учетом структуры векторов , трактуется как прибыль всего производственного сектора. Заметим, что суммирование векторов осуществляется покомпонентно.

Функции спроса , и предложения , предполагаются векторными и множественнозначными. Например, для функции первое свойство означает, что , где - скалярная функция спроса на k_ый товар. Второе свойство означает, что функция каждому p ставит в соответствие не один вектор , а множество таких векторов, т.е. . Это имеет место, когда максимум спроса достигается не только в одной точке. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. - М.: Изограф, 2007, С.263.

В модели Вальраса понятия совокупных спроса и предложения формализуются следующим образом.

Определение 1. Функцией совокупного (рыночного) спроса называется множественнозначная функция

(1.3)

Функцией совокупного (рыночного) предложения называется множественнозначная функция

(1.4)

Введем обозначения:

,

,

По определению, любой элемент множества Y можно представить вектором , где . Так как есть множество оптимальных планов производителя j, то компонентами вектора являются оптимальные объемы выпуска и затрат, и все они составляют решение одной и той же оптимизационной задачи. Таким образом, часть компонент вектора , как и векторов , отражает предложение готовых продуктов, а часть - спрос на первичные факторы. Поэтому вектор нельзя называть однозначно предложением. В то же время, вектор может быть интерпретирован как совокупное предложение, так как часть компонент вектора , соответствующая спросу, «компенсируется» вектором b.

Покажем, что для любого p и , т.е. областью изменения совокупных функций является то же самое пространство, что и для индивидуальных функций. Рассмотрим сначала двух потребителей. Для любого множество образуется смещением множества в направлении вектора x на длину этого вектора (рис. 2).

Рисунок 2 - Сумма вектора и множества

Поэтому:

Рассмотрим трех потребителей. Для любого множество образуется смещением множества в направлении вектора x на длину этого вектора. Поэтому:



Продолжая эти рассуждения, получаем

Точно так же устанавливается включение . Так как и потому , то множество b+Y образуется смещением множества Y в направлении вектора b на длину этого вектора. Поэтому

.

Формализовав понятия функций совокупных спроса и предложения, модель рынка (1.1) можно представить совокупностью вида

(1.5)

Любой вектор называется совокупным спросом (соответствующим вектору цен p); любой вектор - совокупным предложением (соответствующим вектору цен p). Эти векторы являются (оптимальными) реакциями совокупного покупателя и совокупного продавца на установившийся на рынке вектор цен. Если при этом , то на рынке возникает дефицит товаров, а при появляются их излишки. Такие цены не могут считаться удовлетворительными, так как в одном случае ущемлены интересы покупателей, а в другом - продавцов. Очевидно, наилучшим вариантом для экономики является равенство . Этот идеальный случай на практике не всегда имеет место. Поэтому целесообразно как-то его ослабить. В модели Вальраса допускается наиболее «гуманный» с точки зрения интересов потребителей вариант обобщения понятия экономического равновесия. Ивашковский С.Н. Микроэкономика. - М.: Дело, 2004, С.428.

Определение 2. Набор векторов называется конкурентным равновесием на рынке (5), если ,

, (1.6)

(1.7)

(1.8)

В этом случае p^* называется равновесным вектором цен.

По определению функций совокупных спроса и предложения, из включений (6) следует

, где , ;

, где , ,

т.е. совокупные спрос и предложение формируются как суммарные величины индивидуальных спросов потребителей и индивидуальных предложений производителей. Поэтому в развернутом виде условия равновесия (1.6)-(1.8) можно переписать так:

, ; (1.9)

, ; (1.10)

(1.11)

(1.12)

Экономическое содержание условий, определяющих конкурентное равновесие на рынке (1.5), таково. Условие (1.6) показывает, что на цены p^* каждый потребитель и каждый производитель реагирует наилучшим образом. Это наглядно видно из соотношений (1.9) и (1.10). Условие (1.7) отслеживает, чтобы совокупное предложение не было меньше совокупного спроса. Условие (1.8) требует, чтобы в стоимостном выражении совокупный спрос равнялся совокупному предложению. Условие (1.8) автоматически выполняется в том случае, если в (1.7) имеет место строгое равенство. В этом случае равновесие будет задано соотношениями:

, , (1.13)

т.е. нужность в условии (2.8) отпадает

Предположим, что для некоторого товара в (1.7) имеет место строгое неравенство: . Тогда в стоимостном выражении получаем неравенство , не соответствующее условию (1.8). Величина называется излишком.

Согласно закона предложения, в случае появления излишка цена товара должна быть снижена (рис. 3.).

Но это приведет к изменению «равновесной» цены . Выход из противоречия:



Рисунок 3 - Предложение с излишком

Отсюда видно, для восстановления условия (2.8) нужно «ликвидировать» излишек. С учетом знака это возможно только при . Но тогда

и

т.е. товар k вообще исключается из обращения на рынке.

Обоснование справедливости (2.8) тем, что «поставляемый сверх имеющегося спроса товар получает нулевую цену», экономически осмыслено, но не поддается адекватной формализации. Действительно, для фиксированного числа неравенство

несовместимо с равенством



Таким образом, формальный выход из рассматриваемой ситуации состоит в том, чтобы считать цену перепроизводимого товара равной нулю. Чисто теоретически этот прием состоятелен, так как не приводит в дальнейшем к противоречиям.

В то же время, следует признать отсутствие экономически осмысленного объяснения существования товара с нулевой ценой. Объявление такого товара «свободным» представляется несостоятельным. Строго говоря, в экономике нет свободных товаров, любой побочный продукт может найти применение, т.е. имеет ненулевую цену. Трудно согласиться и с «хорошо известной экономистам модификацией закона спроса и предложения о существовании перепроизводимых товаров с нулевой ценой», поскольку в случае перепроизводства «спрашиваемая» часть этого товара продается по ненулевой цене. Для экономики существование излишек так же плохо, как и существование дефицита. Все это говорит в пользу целесообразности определения равновесия в виде (1.13). Современные экономические теории Запада. / Под общей редакцией А.Н. Марковой - М.: Финстатинформ, 2006, С.195.

Центральное место в модели рынка по Вальрасу занимает понятие конкурентного равновесия. Привлекательность равновесия как состояния рынка (и экономики в целом), заключается в возможности реализации всех произведенных товаров и в удовлетворении спроса всех потребителей. Процесс формирования рыночных цен условно можно сравнить с работой некоторого алгоритма (автомата), состоящего из четырех блоков (рис. 4). В первом блоке P формируется вектор цен.

Информация о векторе p поступает в блоки D и S, в которых формируются соответственно множества D(p) и S(p), содержание которых, в свою очередь, передается в блок R. В блоке R осуществляется попарное сравнение элементов , .



Рисунок 4 - Схема формирования равновесных цен

Если существует пара или пары (x, y), для которых выполняется условие x=y (или условия (1.7), (1.8)), то процесс заканчивается. В противном случае цены p отвергаются, о чем поступает сигнал в блок P, где формируются новые цены. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найден равновесный вектор цен. Данилов Н.Н. Курс математической экономики.- М.: Высшая школа, 2006, С.82.

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Л. Вальрас первым попытался описать, как достигнуть микроэкономическую стабильность и равновесие через систему уравнений.

В рыночной экономике цены предопределяют объем выпускаемой продукции, а объем выпуска в значительной степени определяет цены. Цены потребительских товаров и услуг зависят от цен ресурсов. А цены ресурсов - от цен потребительских благ, на которые существует платежеспособный спрос. Взаимосвязь в экономике оборачивается порочным кругом, выйти из которого можно лишь решая всю систему уравнений одновременно.

Пример 1. Количество проданных компьютеров зависит от цен всех других товаров. Если в стране продается и покупается 10000 различных товаров и услуг, а компьютеры занимают 13-ю позицию в этом списке, то спрос на 13-й товар:

Q₁₃ = D₁₃ (Р₁, Р₂, P₁₀₀₀₀, A, M),

где Q₁₃ - количество проданных компьютеров;

D₁₃ - функция спроса на компьютеры;

Р₁, Р₂, .. Р₁₀₀₀₀ - цены остальных 10000 товаров и услуг;

А - показатель реальных активов, отражающий богатство страны;

М - запас наличных денег.

Предложение 13-го товара. Аналогично мы можем получить систему уравнений предложений для всех 10 000 товаров:

Q₁₃ = S₁₃ (Р₁, Р₂, P₁₀₀₀₀, A, M),

Получаем систему уравнений:

D₁ (Р₁, Р₂, P₁₀₀₀₀, A, M) = S₁ (Р₁, Р₂, P₁₀₀₀₀, A, M)

D₁₂ (Р₁, Р₂, P₁₀₀₀₀, A, M) = S₂ (Р₁, Р₂, P₁₀₀₀₀, A, M)

D₁₀₀₀₀ (Р₁, Р₂, P₁₀₀₀₀, A, M) = S₁₀₀₀₀ (Р₁, Р₂, P₁₀₀₀₀, A, M)

Если известны А и М, то число уравнений равно числу неизвестных. Это означает, во-первых, принципиальную возможность решения системы (т. е. достижения общего равновесия) и, во-вторых, единственность такого решения. Подставив реальные значения цен, в результате решения получаем количества обмениваемых товаров и услуг.

Данная система уравнений называется системой уравнений общего равновесия. Во времена Вальраса отсутствовал математический аппарат для решения такой системы. Поэтому решение системы Л. Вальрас видел в группировке уравнений.

Пример 2. Спрос и предложение некоторого товара заданы соответственно уравнениями , . Государство установило налог с продажи на единицу товара в размере 1,5 ден. ед. Найдем, что потеряют при этом покупатели, а что - продавцы данного товара.

Решение: До введения налога равновесие определяется условием , откуда - равновесная цена, - равновесный объем продаж стоимостью 900. Налог с продажи, уплачиваемый покупателями, приводит к тому, что цена для них увеличивается на 1,5 и условие равновесия записывается как , откуда и . Общий объем налогового сбора за 250 ед. товаров составит 375 ден. ед. В этой ситуации покупатели потратят ден. ед., сэкономив тем самым 25 ден. ед. Однако, они недополучат 50 ед. товара, за который готовы были заплатить ден. ед. Тогда общие потери покупателей составят ден. ед. Общие потери продавцов равны 250 ден. ед. (потери от продажи 250 ед. товара по цене на 1 ден. ед. ниже).

Пример 3. Функция спроса на бензин имеет вид , функция предложения имеет вид , где t обозначает номер периода времени. Определим объемы продаж и цены на бензин в периоды 1,2,…, 5, если . Определим равновесную цену и равновесный объем продаж.

Решение:

Период
1	250	140	160
2	160	68	232
3	232	125,6	174,4
4	174,4	79,52	220,48
5	220,48	116,384	183,616

Приравнивая спрос и предложение, получаем:

или .

Цена равновесия определяется из условия

и равна

.

В этом случае имеет место равновесный объем продаж.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассматривая модели, которые описывают рынок в условии конкуренции можно сказать, что они наиболее точно дают нам представление о поведении рынка при изменении спроса и предложения на тот или иной товар. Но всё же ни одна модель не может описать поведение рынка с 100% точностью.

Путь к равновесию рассматривался Л. Вальрасом как постепенный процесс, который он обозначал французским словом tatonnement - «нащупывание», «поиск на ощупь» верных пропорций обмена. Важную роль при этом он отводит форме предварительного контракта, заключаемого с помощью бонов. Анализ этого процесса привел его к правильному выводу о том, что система общего равновесия устойчива и, будучи выведена из этого состояния, стремится к нему вновь через механизм относительных цен.

Конечно, модель Л. Вальраса несколько идеализировала действительность. В ней предусматривалось, что потребители знают свои функции спроса и предложения, технические коэффициенты и многие другие данные. Модель общего равновесия исходит из совершенной конкуренции, предполагающей идеальную мобильность всех ресурсов, полную информированность участников, абсолютизирует состояние равновесия, тогда как в реальной действительности гораздо чаще встречаются диспропорции и дисбалансы. К тому же она статична, так как не учитывает научно-технического прогресса, факторов неопределенности в экономике, институциональных условий развития.

Более того, Л. Вальрас шел от модели к реальной действительности, а не наоборот. Однако эту модель можно упрощать и усложнять путем включения новых переменных Последние могут задаваться как эндогенно, так и экзогенно, отражать как экономические процессы и явления, так и институциональные условия функционирования рыночной экономики.

Общий вывод данной курсовой работы.

Система свободного предпринимательства и совершенной конкуренции может быть представлена в виде математической модели, поддающейся строгому анализу.

В экономической системе с совершенной конкуренцией существует глобальное равновесие, причем взаимосвязанным оказываются все существующие рынки

Ключевое значение для функционирования модели имеет механизм свободного ценообразования, посредством которого действует закон спроса и предложения.

Равновесные цены - наиболее универсальный измеритель состояния экономической системы, который учитывает все переменные, как на стороне производства, так и потребления. После того, как в системе установились равновесные цены, они несут в себе наиболее объективную информацию, учитывающую вкусы потребителей, запас факторов, технологию и т.д.

В системе Вальраса в явном виде представлена взаимосвязь микро- и макроуровней экономики. В системе видно, как изменения на микроуровне (изменение технологии) влияет на систему в целом и на других участников; и как изменение на макроуровне (запас факторов) проявляется на микроуровне.

Система Вальраса конкретизирует роль конкуренции в регулировании системы предпринимательства.

Система Вальраса используется для доказательства основной доктрины (идеи) неоклассической школы: рынок самодостаточен. Если ему не мешать, то в силу присущей ему саморегуляции рынок определит необходимые пропорции производства и потребления и обеспечит наиболее эффективное использование ресурсов. Важно подчеркнуть, что Л. Вальрас указал современной экономической науке путь, по которому, как справедливо заметил И. Шумпетер Экономика. П.Э. Самуэльсон, В.Д. Нордхаус. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. - С.317., она идет и сегодня.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Данилов Н.Н. Курс математической экономики. - М.: Высшая школа, 2006.

2. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. - М.: Изограф, 2007.

3. Ивашковский С.Н. Микроэкономика. - М.: Дело, 2004.

4. Современные экономические теории Запада. / Под общей редакцией А.Н. Марковой - М.: Финстатинформ, 2006.

5. Экономика. П.Э. Самуэльсон, В.Д. Нордхаус. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2005.

Размещено на Allbest.ru