Размещено на http://www.allbest.ru/

Показатели вариации и их расчета. Понятие дисперсии и правило сложения дисперсий. Другие виды средних величин: средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая

А) Показатели вариации и их расчета

Вариация- это различие индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и является необходимым звеном в экономическом анализе. Необходимость изучения вариации связана с тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а следовательно, точнее и надежнее средняя и наоборот. Следовательно по степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов определяющих вариацию.

Изменение вариации признака в совокупности осуществляется с помощью абсолютных и относительных показателей.

Абсолютные показатели вариации включают:

- размах вариации R

- среднее линейное отклонение d

- дисперсию

- среднее квадратическое отклонение

Размах вариации это разность между максимальным и минимальным значением признака.

R= _{max- min},

он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.

Среднее линейное и квадратическое отклонение - это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней. вариация дисперсия отклонение средняя величина статистика

Средне квадратическое отклонение- называют стандартным или стандартным отклонением, среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической.

Среднее квадратическое отклонение простое:

Среднее квадратическое отклонение взвешенное, применяется для сгруппированных данных:

Б) Понятие дисперсии и правила их сложения.

Дисперсия ² - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней величины.

Дисперсия простая:

Дисперсия взвешенная:

Более удобно вычислять дисперсию по формуле:

,

которая получается из основной путем несложных преобразований. В этом случае средний квадрат отклонений равен средней из квадратов значений признака минус квадрат средней.

Для не сгруппированных данных:

Для сгруппированных данных:

²=

Правило сложения дисперсий

Для оценки влияния факторов, определяющих вариацию, используют прием группировки: совокупность разбивают на группы, выбрав в качестве группирующего признака один из определенных факторов. Тогда наряду с общей дисперсией, рассчитывают по всей совокупности, вычисляют внутригруппирующую дисперсию(или среднюю из групповых), и межгрупповую дисперсию(или дисперсию групповых средних). Общая дисперсия ² - характеризует вариацию признака во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов и услрвий.

Межгрупповая дисперсия ² - измеряет системную вариацию, обусловленную влиянием фактора, по которому произведена группировка.

- групповые среднее

- численность единиц i-й группы.

Внутригрупповая дисперсия оценивает вариацию признака, сложившуюся под влиянием других, неучитываемых в данном исследование факторов и независящую от фактора группировки. Она определяется как средняя из групповых дисперсий.

- дисперсия i-й группы

Все три дисперсии () связаны между собой следующим равенством, которое известно как правило сложений дисперсий:

На этом соотношение строятся показатели, оценивающие влияние признака на образование общей вариации. К ним относятся эмпирический коэффициент детерминации (²) и эмпирическое корреляционное отношение ().

Эмпирический коэффициент детерминации () характеризует долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии:

и показывает насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором группировки.

Правило сложений дисперсий для доли признака записывается так:

,

а три вида дисперсий доли для сгруппированных данных определяется по следующим формулам:

Общая дисперсия:

Где

где Р- доля признака в i-й группе, ni- численность у отдельных групп.

Формулы межгрупповой и внутригрупповой дисперсии:

межгрупповая дисперсия

внутригрупповая дисперсия.

В) В статистике применяются различные виды средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратичная, структурные средние, тот или иной вид используется в зависимости от характера данных и цели исследования.

Средняя гармоническая величина - является модифицированной формой средней арифметической. Она применяется в тех случаях, когда неизвестны значения частот у вариант ряда, но имеются для каждого произведения этих вариант на соответствующие им частоты, т.е. .

Формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид:

 где Fi-произведения вариант, Xi- варианты.

Средняя геометрическая - формула средней геометрической используется для расчета среднего коэффициента или темпа роста статистического показателя.

Для не сгруппированных данных ( при отсутствии частот) или для сгруппированных данных с равными частотами применяется средняя геометрическая простая:

Для сгруппированных данных с неравными частотами применяется средняя геометрическая взвешенная:

Средняя квадратическая величина широко применяется при оценки вариации признака, при изучении взаимосвязи явлений.

Формула простой средней квадратической для не сгруппированных данных:

Формула взвешенной средней квадратической:

В итоге можно сказать, что правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования.

Выбор средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности.

б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин.

в) замена индивидуальных значений средними величинами

г) расчет средней с помощью соответствующего уровня.

Задача 1. Известны следующие данные о результатах сдачи абитуриентами вступительных экзаменов на 1-й курс колледжа в 1999 г. (баллов):

Постройте: а) ряд распределения абитуриентов по результатам сдачи ими вступительных экзаменов, выделив четыре группы абитуриентов с равными интервалами; б) ряд, делящих абитуриентов на поступивших и не поступивших в ВУЗ, учитывая что проходной балл составил 7 баллов. Укажите, по какому группировочному признаку построен каждый из этих рядов распределения; атрибутивному или количественному.

Решение:

а) Построим интервальный вариационный ряд с равными интервалами, выделив 4 группы.

Величину интервала определим по формуле:

где - наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Определение интервала при x_max = 10, x_min = 5; k =4.

Получаем: .

При h = 1,25 границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид: [5;5+1,25=6,25), [6,25;6,25+1,25=7,5), [7,5;7,5+1,25=8,75), [8,75;8,75+1,25=10].

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число студентов, входящих в каждую группу (частоты групп).

Группировку представим в таблице.

Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности студентов показывает, что распределение абитуриентов по оценке не является равномерным: преобладают студенты с оценками от 8,75 до 10 баллов (это 14 абитуриентов). Данный ряд построен по количественному признаку, где в качестве этого признака выступает оценка абитуриентов.

б) Построим ряд, делящий абитуриентов на поступивших и не поступивших в вуз, учитывая, что проходной балл составил 7 баллов. Ряд представим в таблице.

Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности абитуриентов показывает, что распределение абитуриентов по оценке не является равномерным: преобладают абитуриентов с оценками от 7 до 10 баллов (это 24 студента). Данный ряд построен по атрибутивному признаку, где в качестве этого признака выступает признак поступления

Задача 2. Имеются следующие данные о выполнении плана производства продукции 5 предприятиями машиностроительной промышленности за май отчетного года:

Вычислить процент выполнения плана в среднем по 5 предприятиям?

Решение:

Процент выполнения плана в среднем по 5 предприятиям определим по формуле средней гармонической взвешенной, так как фактический выпуск продукции представляет собой произведение планового выпуска на процент выполнения плана, следовательно, средний процент определим по формуле:

,

где ВП - фактический выпуск продукции (тыс. м. кв.); %вып - процент выполнения плана.

Получаем: %.

Таким образом, средний процент выполнения плана по выпуску продукции составил 105,30%.

Задача 3. Пользуясь формулой Стерджесса, определите интервал группировки сотрудников фирмы по уровню доходов, если общая численность сотрудников составляет 10 человек, а минимальный и максимальный доход соответственно равен 2000 и 3000 тенге.

Решение:

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле

,

где - наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k=1+3,322 lg n=1+3,322 lg 10= 4,322?4.

где n - число единиц совокупности.

Определение величины интервала по формуле при x_max = 3000 тенге, x_min = 2000 тенге:

тенге.

При h = 250 тенге. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид:

Таким образом, интервалы составят: [2000-2250); [2250-2500); [2500-2750); [2750-3000].

Задача 4. Определите вид ряда распределения исходя из данных о распределение рабочих завода по тарифному разряду:

В данной задаче, группировочным признаком выступает тарифный разряд рабочих завода. Данные ряды распределения являются вариационными дискретными, поскольку изучаемый признак представлен определенным числом.

Список литературы

1. Гусаров В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 1998.

3. Курс социально-экономической статистики: Учебник для вузов / Под ред. М.Г. Назарова, - М.: Финстатинформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

4. Теория статистики: Учебник. - 3-е изд., перераб. / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1999.

5. Экономическая статистика / Под ред. Ю.Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 1999.

Размещено на Allbest.ru